Dimensionamento_-_Elementos_submetidos__flexo_simples_-_Vigas

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DIMENSIONAMENTO DE VIGAS 
DE CONCRETO ARMADO
Introdução
• Vigas são elementos que, juntamente com os pilares e as lajes, compõem a superestrutura de
uma edificação.
• As vigas trabalham recebendo as cargas das lajes e também de outros elementos construtivos
apoiados sobre elas, como as paredes e/ou as divisórias. As vigas absorvem essas cargas e as
levam até seus apoios, que são os pilares.
• Em alguns casos, as vigas podem descarregar sobre outras vigas, mas depois a carga chega aos
pilares para que, então, sejam transmitidas às fundações e, consequentemente, até o solo.
Introdução
• Destaca-se que, apesar da ocorrência de outros esforços que podem existir nas vigas, como
cisalhamento, tração, compressão ou torção, a flexão é o principal esforço que acomete esse tipo
de elemento, sendo, muitas vezes, o responsável pelo tamanho da seção que o elemento vai ter.
Sendo a viga um elemento
majoritariamente fletido, uma das
faces da viga sofrerá tensões de
tração e a face oposta tensões de
compressão.
Introdução
• Enquanto o concreto for capaz de resistir aos esforços de tração atuantes, não ocorrem fissuras e
a viga está no que chamamos de Estádio Ia (peça não fissurada), em que o próprio concreto
resiste à tração.
• Com o aumento do carregamento, os momentos fletores também aumentam e, assim, as tensões
de tração superam a resistência do concreto à tração na flexão e então a viga fissura,
configurando o que se conhece por Estádio Ib (início da fissuração no concreto tracionado).
• O Estádio II é configurado pelo concreto já fissurado da viga e que não é mais considerado como
colaborante para resistir aos esforços de tração na flexão.
• O Estádio III é configurado pelo início do esmagamento do concreto comprimido.
Introdução
• Além das armaduras longitudinais, dentro das vigas de concreto armado, são dispostas armaduras
transversais, também chamadas comumente de estribos, e as armaduras de pele, conhecidas
também como costelas.
• Estribos: são as responsáveis pela estabilidade da viga diante dos esforços de cisalhamento
(esforço cortante) e, em alguns casos, também de torção, quando esses esforços ocorrem.
• Costelas: responsável por auxiliar na resistência também dos esforços de torção e em vigas de
alturas maiores que 60 cm, a disposição da armadura de pele minimiza as fissuras superficiais
que ocorrem nas laterais das vigas em função dos efeitos de retração do concreto.
Pré-dimensionamento
• Largura (bw ): A seção transversal das vigas não pode apresentar largura menor que 12 cm e a
das vigas-parede, menor que 15 cm. Estes limites podem ser reduzidos, respeitando-se um
mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais.
- bw = (espessura parede) – 2 × (revestimento)
• Altura (h): A altura das vigas deve ser preferencialmente modulada de 5 em 5 cm, ou de 10 em 10
cm. A altura mínima indicada é 20 cm.
- Em vigas biapoiadas e sem balanços em suas extremidades, a altura pode se calculada dividindo-
se o vão l por 10, arredondando-se para o múltiplo de 5 superior.
- Em vigas contínuas a altura será calculada dividindo-se o maior vão por 12, também
arredondando-se para o múltiplo de 5 superior. Esta altura h pode ser usada em toda a viga,
mesmo nos menores vãos.
- A altura da viga em balanço pode ser estimada dividindo-se o comprimento do balanço por cinco.
Pré-dimensionamento
• Altura (h)
Dimensionamento de vigas de seção retangular
com armadura simples
• Após o pré-dimensionamento de uma viga em concreto armado e conhecidos os esforços
(momento fletor e força cortante) atuantes em uma viga, deve-se partir ao seu
dimensionamento.
• Para tanto, recorremos ao auxílio das tabelas tipo k, assim como ocorre no dimensionamento de
lajes maciças em concreto armado.
• Obter o coeficiente Kc Obter o coeficiente Ks (tabela) Calcular a armadura.
• Coeficiente kc
• A altura útil “d” em uma viga é a distância da borda mais comprimida
até o eixo da armadura tracionada.
Adotar inicialmente l = 10 mm e t = 5 mm
𝑘 =
𝑏𝑤. 𝑑²
𝑀
d = h – c − l/2 − t 
Dimensionamento de vigas de seção retangular
com armadura simples
• Após o pré-dimensionamento de uma viga em concreto armado e conhecidos os esforços
(momento fletor e força cortante) atuantes em uma viga, deve-se partir ao seu
dimensionamento.
• Para tanto, recorremos ao auxílio das tabelas tipo k, assim como ocorre no dimensionamento de
lajes maciças em concreto armado.
• Obter o coeficiente Kc Obter o coeficiente Ks (tabela) Calcular a armadura.
• Coeficiente kc
• A altura útil “d” em uma viga é a distância da borda mais comprimida
até o eixo da armadura tracionada.
Adotar inicialmente l = 10 mm e t = 5 mm
𝑘 =
𝑏𝑤. 𝑑²
𝑀
d = h – c − l/2 − t 
Dimensionamento de vigas de seção retangular
com armadura simples
• Após o cálculo do coeficiente Kc, a NBR 6.118 (ABNT, 2014), em seu item 14.6.4.3, indica que se
deve verificar o limite para redistribuição dos esforços e condições de ductilidade.
• Para proporcionar o adequado comportamento dúctil em vigas e lajes, o coeficiente βx no ELU
deve obedecer aos seguintes limites:
βx = x/d  0,45 para concretos com fck  50 Mpa
onde x é a posição da Linha Neutra e d é a altura útil das lajes.
• Na sequência, a obtenção da área de aço “As” necessária às vigas de concreto armado é feita por
meio da Equação:
• O detalhamento das armaduras longitudinais das vigas de concreto armado é realizado por meio
da escolha de armaduras que atendam à área de aço calculada Ver Tabela.
𝐴 =
𝑘 . 𝑀
𝑑
Dimensionamento de vigas de seção retangular
com armadura simples
- Quando as barras de uma camada têm um mesmo
diâmetro, a verificação de ah,min pode ser feita com
auxílio da Tabela A-4, que mostra a “Largura bw
mínima” para um dado cobrimento nominal (c);
- Determina-se a largura mínima na intersecção entre a
coluna com o número de barras e a linha com o
diâmetro das barras, considerando concreto com
brita 1 (Br.1) apenas ou concreto com brita 2 (Br.2).
Dimensionamento de vigas de seção retangular
• Distribuição transversal:
- O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção
transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:
Dimensionamento de vigas de seção retangular 
com armadura dupla
• Nas seções retangulares com armadura dupla, além da armadura longitudinal na face tracionada,
há armadura longitudinal na face comprimida.
• O cálculo de vigas com armadura dupla também pode ser realizado por meio dos coeficientes tipo
k e o cálculo do coeficiente Kc.
• Quando se verifica que a viga não atende ao limite de βx ≤ 0,45, deve-se utilizar a armadura
dupla. Para isso, é necessário verificar qual parcela de momento fletor é responsável pela
armadura que estará comprimida e auxiliará o concreto na resistência das tensões de
compressão.
• Onde M1d é a primeira parcela do momento total Md; Kclim é o valor do coeficiente kc no limite
permitido pela norma, ou seja, βx = 0,45.
𝑀 =
𝑏𝑤. 𝑑²
𝑘
Dimensionamento de vigas de seção retangular 
com armadura dupla
• Outra parcela do momento é dada por:
• O momento M2d é a parcela do momento que irá gerar a armadura comprimida. Essa armadura
comprimida A’s é calculada por:
onde d’ é a distância da borda tracionada até o eixo da armadura tracionada e é a tensão na
armadura comprimida.
A área de aço tracionada “As” da viga é dada pela
onde fyd é a tensão na armadura tracionada.
𝑀 = 𝑀 − 𝑀
𝐴′ =
𝑀
𝜎′ (𝑑 − 𝑑 )
𝐴 =
𝑘 . 𝑀
𝑑
+
𝑀
𝑓 (𝑑 − 𝑑 )
Dimensionamento de vigas de seção retangular
• Armadura longitudinal mínima
- Após o cálculo da armadura, deve-se verificar a quantidade mínima de armadura. Essa armadura
mínima, definida no item 19.3.3.2 da NBR 6.118 (ABNT, 2014), deve atender à Equação a seguir:
- A Tabela a seguir mostra os valores de ρsmin para concreto de resistência até 50 MPa:
Dimensionamento de vigas ao cisalhamento
• Dentro da viga de concreto armado, podemos explicar o que ocorre por meio da analogia de
treliça,isso é, os esforços caminham no elemento estrutural de forma que se assemelham às
treliças.
• Na Figura, são observadas as componentes que ocorrem internamente em uma viga de concreto
armado e quem é responsável por suportar cada componente existente.
Banzo tracionado: é resistido pelas armaduras
longitudinais.
Banzo comprimido: é resistido pelo concreto
comprimido ou pelo concreto e armaduras
comprimidas.
Biela comprimida: resistida pelo concreto
comprimido da viga.
Diagonal tracionada: é resistida pelos estribos.
Dimensionamento de vigas ao cisalhamento
Dimensionamento de vigas ao cisalhamento
• O dimensionamento das vigas ao cisalhamento depende da resistência do concreto comprimido.
Essa resistência é verificada pelo não esmagamento do concreto na região das bielas.
• A verificação da compressão na biela definida pela NBR 6.118 (ABNT, 2014) em seu item 17.4.2.2
é feita por:
onde Vrd2 é a resistência de cálculo do concreto comprimido, fck é resistência característica do
concreto à compressão (expresso em kN/cm²), fcd é a resistência de cálculo do concreto à
compressão (expresso em kN/cm²).
• A verificação da compressão na biela é atendida quando:
onde Vsd é o esforço cortante de cálculo (já majorado).
𝑉 = 0,27 . 1 −
𝑓
25
. 𝑓 . 𝑏 . 𝑑
𝑉 ≤ 𝑉
Dimensionamento de vigas ao cisalhamento
• A parcela da força cortante absorvida pela armadura transversal do estribo é dada por:
onde Vc é a parcela da força cortante absorvida pelo concreto, determinada por meio da equação:
onde é o coeficiente de minoração da resistência do concreto igual a 1,4.
Conhecidas as parcelas Vsd, Vc e Vsw, é possível calcular a armadura necessária para resistir aos
esforços de cisalhamento na viga:
onde Asw é a área de todos os ramos da armadura transversal, s é o espaçamento da armadura
transversal, sempre adotado como 100 cm, e é a tensão na armadura transversal.
𝑉 =
0,6.
0,21. 𝑓
/
𝛾
𝑏 . 𝑑 
10
𝑉 = 𝑉 - 𝑉
𝐴
𝑠
=
𝑉
 
0,9. 𝑑. 𝑓
Dimensionamento de vigas ao cisalhamento
• O detalhamento da armadura transversal pode ser auxiliado por meio de tabelas que apresentam
a quantidade de armadura a cada espaçamento possível.
Dimensionamento de vigas ao cisalhamento
• Armadura transversal mínima
- A taxa de armadura transversal mínima , , depende da inclinação dos estribos em relação
ao eixo longitudinal do elemento estrutural, da classe do concreto e do aço adotado.
- Para aço CA-50 e ângulo dos estribos igual a 90º, pode empregar a tabela a seguir:
𝐴 , = 𝜌 , . 𝑏
Dimensionamento de vigas ao cisalhamento
• Armadura de pele
- A armadura de pele deve ser adicionada em vigas com
altura superior a 60 cm, para minimizar os efeitos da
retração na superfície do concreto e combater as
fissuras superficiais geradas por esse motivo.
- Essa armadura deve obedecer ao item 18.3.5 da NBR
6.118 (ABNT, 2014): a armadura de pele deve ser
disposta de modo que o afastamento entre as barras
não ultrapasse d/3 e 20 cm, onde d é a altura útil da
viga.
- Para o cálculo da armadura de pele conforme item
17.3.5.2.3 da NBR 6.118 (ABNT, 2014), pode-se adotar:
𝐴sp,face= 0,10 %𝐴c, = 0,0010 𝑏 . h 
Se refere à quantidade 
em cada face
Exemplo 1
• Para a viga a seguir, conhecidos os esforços, calcular a armação longitudinal e transversal:
• Viga em concreto armado apoiada sobre pilares.
• bw = 20 cm.
• h = 35 cm.
• Aço CA-50.
• Concreto C30.
• Obra em São Paulo (SP)
• Carga distribuída sobre a viga: 25,00 kN.m.
• Brita 1
Exemplo 1
• Esforços solicitantes
Exemplo 1
• Cálculo da armadura longitudinal
d = h – c - l /2 - t= 35 – 3 – 1/2 - 0,5 = 31 cm
Md = 1,4.Mk = 1,4 x 4632 = 6484,8 kN.cm
𝑤
• Verificar pela tabela de coeficientes tipo K, para concreto C30, qual o coeficiente Ks.
• Para proporcionar um adequado comportamento dúctil nas lajes, o coeficiente βx deve ser menor 
ou igual a 0,45.
Exemplo 1
• Com kc = 2,96 cm²/kN
• Concreto C30
• Βx = 0,26 < 0,45 ok!
• Ks = 0,026 cm²/kN
Exemplo 1
• Cálculo da armadura longitudinal
𝐴 =
𝑘 . 𝑀
𝑑
=
0,026. 6484,8
31
= 𝟓, 𝟒𝟒 𝒄𝒎𝟐 
• Cálculo da armadura longitudinal mínima
𝐴 =
0,150
100
20.35 = 1,05 𝑐𝑚 /𝑚 
𝐴 > 𝐴  Usar 𝟓, 𝟒𝟒 𝒄𝒎𝟐  316 = 6,0 cm² (Tabela)
• Verificação da largura mínima bw,min
Pela Tabela bw,min=15 cm (considerando c = 2,0 cm)
p/ c = 3,0 cm bw,min=15 cm + 2 cm = 17 cm < 20 cm (ok!)
Exemplo 1
• Cálculo da armadura transversal
- Verificação da compressão na biela ≤ :
67,34 ≤ 315,67 : Ok, atende quanto à compressão na biela.
- Cálculo da armadura = -
/
 
/
 
Exemplo 1
• Cálculo da armadura transversal
- Verificação da compressão na biela 𝑉 ≤ 𝑉 :
𝑉 = 𝑉 - 𝑉 = 67,34 − 53,87 = 13,87 𝑘𝑁
- Com o valor de 𝑉 , calcula-se a armadura
𝐴
𝑠
=
𝑉
 
0,9. 𝑑. 𝑓
=
13,87 
0,9. 31.
50
1,15
 
. 100 = 1,11 𝑐𝑚 /𝑚
• Cálculo da armadura transversal mínima
𝐴 , = 0,1159 . 20 = 𝟐, 𝟑𝟐 𝒄𝒎
𝟐/𝒎  c/17 (Tabela)
𝐴 , ≥ 𝐴  Usar 𝐴 ,
Exemplo 2
• Detalhamento
35
 c
m
20 cm
N1 225 c/17
385 cm
Pilar
20 x 403 16 
N2 3 C = 459 
N3 25 C = 399
3030 399
Exemplo 2
• Para a viga a seguir, conhecidos os esforços, calcular a armação longitudinal e transversal:
• Viga em concreto armado apoiada sobre pilares.
• bw = 20 cm.
• h = 35 cm.
• Aço CA-50.
• Concreto C30.
• Obra em São Paulo (SP)
• Carga distribuída sobre a viga: 47,00 kN.m.
• Brita 1
Exemplo 2
• Esforços solicitantes
Exemplo 2
• Cálculo da armadura longitudinal
d = h – c - l /2 - t= 35 – 3 – 1/2 - 0,5 = 31 cm
Md = 1,4.Mk = 1,4 x 8708 = 12191,2 kN.cm
𝑤
• Verificar pela tabela de coeficientes tipo K, para concreto C30, qual o coeficiente Ks.
• Para proporcionar um adequado comportamento dúctil nas lajes, o coeficiente βx deve ser menor 
ou igual a 0,45.
Exemplo 2
• Com kc = 1,58 cm²/kN
• Concreto C30
• Βx = 0,56 > 0,45 Não ok!
• Deve-se adotar armadura
dupla
• Βx = 0,45
• Kc,lim = 1,90 cm²/kN
• Ks,lim = 0,028 cm²/kN
Exemplo 2
• Cálculo do Momento M1d: Parte do momento que será absorvida pela armadura tracionada
𝑤
• Cálculo do Momento M2d: Parte do momento que será absorvida pela armadura comprimida
• Cálculo da Armadura Comprimida A’s
Exemplo 2
• Cálculo da Armadura Tracionada As
𝐴 =
𝑘 . 𝑀
𝑑
+
𝑀
𝑓 (𝑑 − 𝑑 )
=
𝐴 =
0,028. 10115,8 
31
+
2075,4
50
1,15
(31 − 4)
= 10,91 𝑐𝑚²
• Cálculo da Armadura Mínima de Tração
𝐴 =
0,150
100
20.35 = 1,05 𝑐𝑚 /𝑚 
As = 10,91 cm² 4  20 = 12,60 cm²
A’s = 1,77 cm² 2  12,5 = 2,50 cm²
Bw,min para Br.1
com c = 2,0 cm
Exemplo 2
• Detalhamento
35
 c
m
20 cm
Armadura A’s
Armadura As
Estribo (Dimensionar!)
Detalhar as barras!