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CREMEPE 
 
 
Princípio da Regressão ou Reversão. ................................................................................. 1 
Lógica dedutiva, argumentativa e quantitativa. ................................................................... 6 
Lógica matemática qualitativa, sequências lógicas envolvendo números, letras e figuras. 64 
Geometria básica. ............................................................................................................. 85 
Álgebra básica e sistemas lineares. ................................................................................ 108 
Calendários. .................................................................................................................... 145 
Numeração. .................................................................................................................... 150 
Razões especiais. ........................................................................................................... 159 
Análise combinatória e probabilidade. ............................................................................. 159 
Progressões Aritmética e Geométrica. ............................................................................ 167 
Conjuntos: As relações de pertinência; Inclusão e igualdade; Operações entre conjuntos, 
união, interseção e diferença. .............................................................................................. 179 
Comparações. ................................................................................................................ 190 
 
 
 
 
Olá Concurseiro, tudo bem? 
 
Sabemos que estudar para concurso público não é tarefa fácil, mas acreditamos na sua 
dedicação e por isso elaboramos nossa apostila com todo cuidado e nos exatos termos do 
edital, para que você não estude assuntos desnecessários e nem perca tempo buscando 
conteúdos faltantes. Somando sua dedicação aos nossos cuidados, esperamos que você 
tenha uma ótima experiência de estudo e que consiga a tão almejada aprovação. 
 
Pensando em auxiliar seus estudos e aprimorar nosso material, disponibilizamos o e-mail 
professores@maxieduca.com.br para que possa mandar suas dúvidas, sugestões ou 
questionamentos sobre o conteúdo da apostila. Todos e-mails que chegam até nós, passam 
por uma triagem e são direcionados aos tutores da matéria em questão. Para o maior 
aproveitamento do Sistema de Atendimento ao Concurseiro (SAC) liste os seguintes itens: 
 
01. Apostila (concurso e cargo); 
02. Disciplina (matéria); 
03. Número da página onde se encontra a dúvida; e 
04. Qual a dúvida. 
 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhar em e-mails separados, 
pois facilita e agiliza o processo de envio para o tutor responsável, lembrando que teremos até 
cinco dias úteis para respondê-lo (a). 
 
Não esqueça de mandar um feedback e nos contar quando for aprovado! 
 
Bons estudos e conte sempre conosco! 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
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PRINCÍPIO DA REGRESSÃO OU REVERSÃO 
 
Princípio da regressão 
 
Este princípio tem como objetivo resolver determinados problemas de forma não algébrica, mas 
utilizando uma técnica baseada em raciocínio lógico, conhecida como princípio da regressão ou 
reversão. 
Esta técnica consiste em determinar um valor inicial pedido pelo problema a partir de um valor final 
dado. Utiliza-se para resolução dos problemas as operações matemáticas básicas com suas respectivas 
reversões. 
 
- Fundamento da regressão 
Utilizando as quatro operações fundamentais, podemos obter uma construção quantitativa lógica 
fundamentada no princípio da regressão, cujo objetivo é obter o valor inicial do problema proposto através 
da operação inversa. 
 
Soma ↔ a regressão é feita pela subtração. 
Subtração ↔ a regressão é feita pela soma. 
Multiplicação ↔ a regressão é feita pela 
divisão. 
Divisão ↔ a regressão é feita pela 
multiplicação. 
 
Veja os exemplos abaixo: 
 
1 – Uma pessoa gasta metade do seu capital mais R$ 10,00, ficando sem capital algum. Quanto ela 
possuía inicialmente? 
Solução: 
 
No problema acima, a pessoa gastou em dinheiro (– R$ 10,00), ou seja, houve uma perda. Pelo 
princípio da regressão, iremos supor que ele recuperará o dinheiro, para que possamos chegar à situação 
inicial (+ R$ 10,00). Posteriormente, ele gasta metade do seu capital (÷2). Para voltarmos a situação inicial 
devemos multiplicar por 2 o valor em dinheiro que ele possuía. Logo, 2 × R $10,00 = R$ 20,00. 
 
2 – Um indivíduo fez uma promessa a São Sebastião, se este dobrar o seu dinheiro, ele doará R$ 
20,00 para a igreja, no final da 3º dobra, nada mais lhe restara, quanto possuía o indivíduo inicialmente? 
(A) 14,50 
(B) 15,50 
(C) 16,50 
(D) 17,50 
(E) 18,50 
Princípio da Regressão ou Reversão. 
 
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Solução: 
 
a) Solução Algébrica 
Valor que possuía inicialmente: x 
1º dobra: 2x – 20 
2° dobra: 2(2x – 20) – 20 
3° dobra: 2[2(2x – 20) – 20] – 20 = 0 
Resolvendo a equação encontramos x = 17,50 
 
Resposta: Inicialmente o indivíduo possui R$17,50 
 
b) Solução pelo método da regressão 
 
Pelo método da regressão, vamos abordar o problema do final para o início, ou seja, partiremos do 
passo IV até o passo I. 
IV) Se no final restou 0, significa que todo o dinheiro foi doado. 
III) No terceiro passo, ele dobrou o capital que tinha e deu 20 reais para a igreja, fazendo a regressão, 
podemos dizer se ele deu 20 reais para a igreja (representar – 20), então, ele os possuía inicialmente 20 
(representar +20). Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (20 ÷ 2) = 10. 
Conclusão: na terceira etapa ele possuía 10 reais, que dobrados originaram 20 reais. Como doou 20 
reais, ficou com nada no quarto passo. 
II) No segundo passo, ele já possuía 10 reais, mas doou 20 para a igreja (-20) e ao recuperá-lo ficou 
com 10 + 20 = 30. Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (30 ÷ 2) = 15. 
Conclusão: na segunda etapa ele possuía 15 reais, que dobrados originaram 30 reais. Como doou 20 
reais, ficou com 10 no terceiro passo. 
I) Inicialmente, ele possuirá os 15 reais mais 20 reais que serão recuperados, ou seja, 35 reais e reduzir 
o capital pela metade (35 ÷ 2) = 17,50. 
 
Resposta: Inicialmente, possuía R$ 17,50. 
Gabarito: D 
 
Outros métodos: 
2- Tabela verdade e equivalência lógica, negação e validade de um argumento. 
3- Regras de Inferência 
4- Diagramas de Euller-Venn 
 
Explicações do item 2,3,4. 
O candidato deve ficar atento, após o entendimento da tabela verdade, este deve saber aplicar as 
regras de inferência, diagramas de Venn, equivalência e negação, assim ele verificará que não existe 
lógica pelas frases ou suas interpretações, veja o modelo abaixo (caso 1 e 2). 
 
Caso 1: validade de um argumento 
Um argumento é válido caso satisfaça duas condições: 
I – A proposição 1, a proposição 2 e a conclusão (p1, p2, C), têm pelo menos uma linha verdadeira 
quando construída a sua tabela-verdade. 
II – (p1 p2) → C é tautológica, caso contrário, temos um sofisma. 
 
Nota: argumento possui 3 premissas no mínimo e uma conclusão e silogismo 2 premissas e 
uma conclusão, assim de início chamarei o silogismo de argumento sem o rigor da definição, pois 
a preocupação é quanto a validade, e percebe que não há correlação com o português, mas sim 
com a estrutura. 
Exemplo: 
Verifique se o argumento (silogismo) abaixo é válido: 
Premissa 1 (P1): p q 
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Premissa 2 (P2): ~q 
Conclusão (C): p 
 
Condição I: P1, P2 e C devem ter pelo menos uma linha da tabela-verdade toda verdadeira. 
P1: p q P2: ~q C: p 
V F V 
V V V 
V F F 
F V F 
 
Condição II: (p1 p2) → C deve ser tautológica 
 
(p q) ~q → p 
F V V 
V V V 
F V F 
F V F 
 
Resposta: O argumento é válido, pois satisfaz as duas condições. 
 
1) Verifique se os argumentos abaixosão válidos: 
P1: hoje é sábado ou domingo. 
P2: hoje não é sábado. 
C: hoje é domingo. 
 
Solução: 
Construindo a tabela, temos: 
p1: p v q p2: ~p C: q 
V F V 
V F F 
V V V 
F V F 
 
De acordo com a tabela, podemos garantir que o argumento é válido, pois existe pelo menos uma linha 
toda verdadeira (V, V, V) e a verdade das premissas (V, V) garante a verdade da conclusão (V). 
Gabarito: V, pois o argumento é válido. 
 
2) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: 
P1: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego. 
P2: Ela conseguiu um bom emprego. 
C: Portanto, Célia tem um bom currículo. 
Solução: 
p1: p → 
q 
p2: q C: p 
V V V 
F F V 
V V F 
V F F 
 
Neste caso, a primeira condição é satisfeita, ou seja, temos uma linha toda verdadeira (V, V, V). No 
entanto, a verdade das premissas, além de garantir a verdade da conclusão, também garantiu a sua 
falsidade, havendo assim uma contradição (também conhecido como princípio do terceiro excluído). 
Exemplo: 
p1 p2 C 
V V V 
V V F 
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A conclusão não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, logo o argumento não é válido. 
Gabarito: F 
 
Caso 2 
 
DIAGRAMAS DE VENN - EULLER - EXPRESSÕES CATEGÓRICAS 
 
As expressões categóricas são: 
TODO 
ALGUM 
NENHUM 
 
NOTA: Deve ficar claro que a negação destas expressões não tem nenhuma relação com a gramática, 
língua Portuguesa ou relação com o seu antônimo como todo, nenhum ou coisa do gênero, na verdade a 
negação destas expressões tem relação direta com a cisão topológica do diagrama, podendo ainda ser 
associada à mecânica dos fluidos no que se refere a volume de controle, para não entramos no contexto 
da física será feito apenas uma abordagem topológica da estrutura. 
 
Caso 1: Negação da expressão Nenhum 
Qual a negação da proposição: “Nenhum rondoniense é casado” 
i) deve ficar claro que a negação de nenhum não é todo ou pelo menos um ou qualquer associação 
que se faça com o português, a topologia da estrutura nos fornecerá várias respostas, vejamos: 
Possíveis negações: Negar a frase é na verdade verificar os possíveis deslocamentos dos círculos. 
I) pelo menos 1 rondoniense é casado 
II) algum rondoniense é casado 
III) existe rondoniense casado 
IV) Todo rondoniense é casado 
V) Todo casado é rondoniense 
Definir: 
A = Rondoniense 
B= Casado 
 
CONCLUSÃO: Topologicamente o pelo menos 1 é a condição mínima de existência; algum e existe 
estão no mesmo nível de importância e o todo é a última figura sendo assim topologicamente possível 
mas a última, em termos de importância. 
 
Questões 
 
01. Uma senhora levava uma caixa de chocolates para dar aos seus netos. Ao primeiro ela deu a 
metade dos chocolates que levava mais meio chocolate. Ao segundo, deu a metade do que restou e mais 
meio chocolate. Por último, ao terceiro neto ela deu a metade do que ainda sobrou e mais meio chocolate, 
não sobrando nenhum com ela. Quantos chocolates havia inicialmente na caixa? 
 
02. Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou R$ 1,00 a mais 
do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja? 
 
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03. Um feirante vendeu 1/3 das frutas que possuía mais duas. A seguir, vendeu 4/5 das restantes mais 
uma, ficando, assim, com três frutas. Se n é o número inicial de frutas, então: 
(A) n > 100 
(B) 90 < n < 100 
(C) 70 < n < 90 
(D) 50 < n < 70 
(E) 30 < n < 50 
 
04. (SENAI 2015) O Sr. Altair deu muita sorte em um programa de capitalização bancário. Inicialmente, 
ele apresentava um saldo devedor X no banco, mas resolveu depositar 500 reais, o que cobriu sua dívida 
e ainda lhe sobrou uma certa quantia A. Essa quantia A, ele resolveu aplicar no programa e ganhou quatro 
vezes mais do que tinha, ficando então com uma quantia B. Uma segunda vez, o Sr. Altair resolveu aplicar 
no programa, agora a quantia B que possuía, e novamente saiu contente, ganhou três vezes o valor 
investido. Ao final, ele passou de devedor a credor de um valor de R$ 3 600,00 no banco. Qual era o 
saldo inicial X do Sr. Altair? 
(A) -R$ 350,00. 
(B) -R$ 300,00. 
(C) -R$ 200,00. 
(D) -R$ 150,00. 
(E) -R$ 100,00. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: 
 
 
02. Resposta: 
 
 
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03. Resposta: 
 
 
04. Resposta: C. 
Devemos partir da última aplicação. Sabemos que a última aplicação é 3B, logo: 
3B = 3600 → B = 3600/3 → B = 1200 
A 1º aplicação resultou em B e era 4A: B = 4A → 1200 = 4A → A = 1200/4 → A = 300 
A é o saldo que sobrou do pagamento da dívida X com o 500 reais: A = 500 – X → 300 = 500 – X → 
-X = 300 – 500 → -X = -200. (-1) → X = 200. 
Como o valor de X representa uma dívida representamos com o sinal negativo: a dívida era de R$ -
200,00. 
 
 
 
Raciocínio Lógico-Dedutivo - Dedução 
 
A dedução é uma inferência que parte do universal para o mais particular. Assim considera-se que um 
raciocínio lógico é dedutivo quando, de uma ou mais premissas, se conclui uma proposição que é 
conclusão lógica da(s) premissa(s). 
 
A dedução é um raciocínio de tipo mediato, sendo o silogismo uma das suas formas clássicas. É um 
tipo de Raciocínio lógico que se utiliza da dedução para obter uma conclusão de certa premissa. Deduzir 
segundo o dicionário de língua portuguesa, pode significar concluir, ato de deduzir. 
 
Nesta modalidade de raciocínio lógico, dada uma generalização, inferimos as particularidades. As 
generalizações são sempre atingidas pelo processo indutivo, e as particularidades pelo dedutivo. 
 
O raciocínio dedutivo apresenta conclusões que devem, necessariamente, ser verdadeiras caso todas 
as premissas sejam verdadeiras. 
 
É importante deixar claro que a dedução não oferece conhecimento novo, apenas organiza e especifica 
o conhecimento que já se possui. 
 
Exemplo: 
Todo vertebrado possui vértebras. 
Todos os gatos são vertebrados. 
Logo, todos os gatos têm vértebras. 
 
Lógica dedutiva, argumentativa e quantitativa. 
 
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Afim de estudar um pouco mais sobre Raciocínio lógico-dedutivo devemos estudar sobre os 
silogismos. 
 
Referência 
 
http://www.infoescola.com/filosofia/raciocinio-dedutivo/ 
 
SILOGISMO 
 
Silogismo é uma palavra cujo significado é o de cálculo. Etimologicamente, silogismo significa “reunir 
com o pensamento” e foi empregado pela primeira vez por Platão (429-348 a. C.). Aqui o sentido adotado 
é o de um raciocínio no qual, a partir de proposições iniciais, conclui-se uma proposição final. Aristóteles 
(384-346 a. C.) utilizou tal palavra para designar um argumento composto por duas premissas e uma 
conclusão. Exemplo: 
 
Jogamos futebol no sábado ou no domingo. Não jogamos futebol no sábado. 
╞ Jogamos futebol no domingo. 
 
Observação: o símbolo “╞” é chamado de traço de asserção; É usado entre as premissas e a 
conclusão .Esse silogismo também pode ser representado como: 
 
Jogamos futebol no sábado ou no domingo. 
Não jogamos futebol no sábado. 
Logo, jogamos futebol no domingo. 
 
Chamado de P a proposição: “Jogamos futebol no sábado”, escreve-se: P: Jogamos futebol no sábado. 
Chamado de C a proposição: “Jogamos futebol no domingo”, escreve-se: C: Jogamos futebol no 
domingo. 
 
Das proposições P e C resulta a proposição “Jogamos futebol no sábado ou no domingo”. Denotamos: 
P + C: Jogamos futebol no sábado ou no domingo. 
Com a negativa da proposição P, tem-se a premissa “Não jogamos futebol no sábado”. Escreve-se: 
~P: Não jogamos futebol no sábado. Reescrevendo o argumento, obteremos: 
 
P + C, ~P ╞ C 
 
ou 
 
P + C 
~P 
Logo, C 
 
Silogismo Categórico de Forma Típica 
 
Chamaremos de silogismo categórico de forma típica ao argumento formado por duas premissas e 
uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas são categóricasde forma típica (A, E, I, O). 
Teremos também três termos: 
- Termo menor: sujeito da conclusão. 
- Termo maior: predicado da conclusão. 
- Termo médio: é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão. 
 
Exemplos: 
Todos os artistas são vaidosos 
Alguns artistas são pobres 
Logo, todos os pobres são vaidosos. 
 
Todos os gregos são humanos 
Todos os atenienses são gregos 
Logo, todos os atenienses são humanos. 
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Todos os coelhos são velozes 
Alguns cavalos não são velozes 
Logo, alguns cavalos não são coelhos. 
 
Alguns políticos são honestos 
Nenhum estudante é político 
Logo, nenhum estudante é honesto. 
 
Regras do Silogismo 
 
Para que um silogismo seja válido, sua estrutura deve respeitar regras. Tais regras, em número de 
oito, permitem verificar a correção ou incorreção do silogismo. As quatro primeiras regras são relativas 
aos termos e as quatro últimas são relativas às premissas. São elas: 
- Todo silogismo contém somente 3 termos: maior, médio e menor; 
- Os termos da conclusão não podem ter extensão maior que os termos das premissas; 
- O termo médio não pode entrar na conclusão; 
- O termo médio deve ser universal ao menos uma vez; 
- De duas premissas negativas, nada se conclui; 
- De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão negativa; 
- A conclusão segue sempre a premissa mais fraca; 
- De duas premissas particulares, nada se conclui. 
 
Estas regras reduzem-se às três regras que Aristóteles definiu. O que se entende por “parte mais fraca” 
são as seguintes situações: entre uma premissa universal e uma particular, a “parte mais fraca” é a 
particular; entre uma premissa afirmativa e outra negativa, a “parte mais fraca” é a negativa. Atenção: 
Para determinar se um argumento é uma falácia ou silogismo, deve-se analisar o resultado, ou argumento 
final: quando se chega a um argumento falso, tem-se uma falácia; quando se chega a um argumento 
verdadeiro, tem-se um silogismo. 
 
Silogismos Derivados 
Silogismos derivados são estruturas argumentativas que não seguem a forma rigorosa do silogismo 
típico, mas que mesmo assim são formas válidas. 
 
Entimema: trata-se de um argumento em que uma ou mais proposições estão subentendidas. Por 
exemplo: todo metal é corpo, logo o chumbo é corpo. Neste caso, fica subentendida a premissa “todo 
chumbo é metal”. Passando para a forma silogística: 
 
Todo metal é corpo. 
Todo chumbo é metal. 
___________________ 
Todo chumbo é corpo. 
 
Mais um exemplo: Todo quadrúpede tem 4 patas. Logo, um cavalo é um quadrúpede. No dia a dia, 
usamos muitas formas como essa, pois as premissas faltantes são óbvias ou implícitas e repeti-las pode 
cansar os ouvintes. Contudo, é comum haver confusão justamente por causa de premissas faltantes. 
 
Epiquerema: o epiquerema é um argumento onde uma ou ambas as premissas apresentam a prova 
ou razão de ser do sujeito. Geralmente é acompanhada do termo porque ou algum equivalente. Por 
exemplo: 
 
O demente é irresponsável, porque não é livre. 
Ora, Pedro é demente, porque o exame médico revelou ser portador de paralisia geral progressiva. 
Logo, Pedro é irresponsável. 
 
No epiquerema sempre existe, pelo menos, uma proposição composta, sendo que uma das 
proposições simples é razão ou explicação da outra. 
 
Polissilogismo: O polissilogismo é uma espécie de argumento que contempla vários silogismos, onde 
a conclusão de um serve de premissa menor para o próximo. Por exemplo: 
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Quem age de acordo com sua vontade é livre. 
Ora, o racional age de acordo com sua vontade. 
Logo, o racional é livre. 
 
Ora, quem é livre é responsável. 
Logo, o racional é responsável. 
 
Ora, quem é responsável é capaz de direitos. 
Logo, o racional é capaz de direitos. 
 
Silogismo Expositório: o silogismo expositório não é propriamente um silogismo, mas um 
esclarecimento ou exposição da ligação entre dois termos, caracteriza-se por apresentar, como termo 
médio, um termo singular. Por exemplo: 
 
Aristóteles é discípulo de Platão. 
Ora, Aristóteles é filósofo. 
Logo, algum filósofo é discípulo de Platão. 
 
Silogismo Informe: o silogismo informe caracteriza-se pela possibilidade de sua estrutura expositiva 
poder ser transformada na forma silogística típica. Por exemplo: “a defesa pretende provar que o réu não 
é responsável do crime por ele cometido. Esta alegação é gratuita. Acabamos de provar, por testemunhos 
irrecusáveis, que, ao perpetrar o crime, o réu tinha o uso perfeito da razão e nem podia fugir às graves 
responsabilidades deste ato”. Este argumento pode ser formalizado assim: 
 
Todo aquele que perpetra um crime quando no uso da razão é responsável por seus atos. 
Ora, o réu perpetrou um crime no uso da razão. 
Logo, o réu é responsável por seus atos. 
 
Sorites: é semelhante ao polissilogismo, mas neste caso ocorre que o predicado da primeira 
proposição se torna sujeito na proposição seguinte, seguindo assim até que na conclusão se unem o 
sujeito da primeira proposição com o predicado da última. Por exemplo: 
 
A Grécia é governada por Atenas. 
Atenas é governada por mim. 
Eu sou governado por minha mulher. 
Minha mulher é governada por meu filho, criança de 10 anos. 
Logo, a Grécia é governada por esta criança de 10 anos. 
 
Silogismo Hipotético: um silogismo hipotético contém proposições hipotéticas ou compostas, isto é, 
apresentam duas ou mais proposições simples unidas entre si por uma cópula não verbal, isto é, por 
partículas. As proposições compostas podem ser divididas em: 
 
Claramente Compostas: são aquelas proposições em que a composição entre duas ou mais 
proposições simples são indicadas pelas partículas: e, ou, se ... então. 
 
Copulativa ou Conjuntiva: “a lua se move e a terra não se move”. Nesse exemplo, duas proposições 
simples são unidas pela partícula e ou qualquer elemento equivalente a essa conjunção. Dentro do cálculo 
proposicional será considerada verdadeira a proposição que tiver as duas proposições simples 
verdadeiras e será simbolizada como: p ∧ q. 
 
Disjuntivas: “a sociedade tem um chefe ou tem desordem”. Caracteriza-se por duas proposições 
simples unidas pela partícula “ou” ou equivalente. Dentro do cálculo proposicional, a proposição composta 
será considerada verdadeira se uma ou as duas proposições simples forem verdadeiras e será 
simbolizada como: p ∨ q. 
 
Condicional: “se vinte é número ímpar, então vinte não é divisível por dois”. Aqui, duas proposições 
simples são unidas pela partícula se... então. Dentro do cálculo proposicional, essa proposição, será 
considerada verdadeira se sua consequência for boa ou verdadeira, simbolicamente: p → q. 
 
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Ocultamente Compostas: são duas ou mais proposições simples que formam uma proposição 
composta com as partículas de ligação: salvo, enquanto, só. 
 
Exceptiva: “todos corpos, salvo o éter, são ponderáveis”. A proposição composta é formada por três 
proposições simples, sendo que a partícula salvo oculta as suas composições. As três proposições 
simples componentes são: “todos os corpos são ponderáveis”, “o éter é um corpo” e “o éter não é 
ponderável”. Também são exceptivos termos como fora, exceto, etc. Essa proposição composta será 
verdadeira se todas as proposições simples forem verdadeiras. 
 
Reduplicativa: “a arte, enquanto arte, é infalível”. Nessa proposição temos duas proposições simples 
ocultas pela partícula enquanto. As duas proposições simples componentes da composta são: “a arte 
possui uma indeterminação X” e “tudo aquilo que cai sobre essa indeterminação X é infalível”. O termo 
realmente também é considerado reduplicativo. A proposição composta será considerada verdadeira se 
as duas proposições simples forem verdadeiras. 
 
Exclusiva: “só a espécie humana é racional”. A partícula “só” oculta as duas proposiçõessimples que 
compõem a composta, são elas: “a espécie humana é racional” e “nenhuma outra espécie é racional”. O 
termo apenas também é considerado exclusivo. A proposição será considerada verdadeira se as duas 
proposições simples forem verdadeiras. 
 
O silogismo hipotético apresenta três variações, conforme o conetivo utilizado na premissa maior: 
 
Condicional: a partícula de ligação das proposições simples é se... então. 
 
Se a água tiver a temperatura de 100°C, a água ferve. 
A temperatura da água é de 100°C. 
Logo, a água ferve. 
 
Esse silogismo apresenta duas figuras legítimas: 
 
- Ponendo Ponens (do latim afirmando o afirmado): ao afirmar a condição (antecedente), prova-se o 
condicionado (consequência). 
 
Se a água tiver a temperatura de 100°C, a água ferve. 
A temperatura da água é de 100°C. 
Logo, a água ferve. 
 
- Tollendo Tollens (do latim negando o negado): ao destruir o condicionado (consequência), destrói-se 
a condição (antecedente). 
 
Se a água tiver a temperatura de 100°C, a água ferve. 
Ora, a água não ferve. 
Logo, a água não atingiu a temperatura de 100°C. 
 
Disjuntivo: a premissa maior, do silogismo hipotético, possui a partícula de ligação “ou”. 
 
Ou a sociedade tem um chefe ou tem desordem. 
Ora, a sociedade não tem chefe. 
Logo, a sociedade tem desordem. 
 
Esse silogismo também apresenta duas figuras legítimas: 
 
- Ponendo Tollens: afirmando uma das proposições simples da premissa maior na premissa menor, 
nega-se a conclusão. 
 
Ou a sociedade tem um chefe ou tem desordem. 
Ora, a sociedade tem um chefe. 
Logo, a sociedade não tem desordem. 
 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
11 
 
- Tollendo Ponens: negando uma das proposições simples da premissa maior na premissa menor, 
afirma a conclusão. 
 
Ou a sociedade tem um chefe ou tem desordem. 
Ora, a sociedade não tem um chefe. 
Logo, a sociedade tem desordem. 
 
Conjuntivo: a partícula de ligação das proposições simples, na proposição composta, é “e”. Nesse 
silogismo, a premissa maior deve ser composta por duas proposições simples que possuem o mesmo 
sujeito e não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, ou seja, os predicados devem ser contraditórios. 
Possui somente uma figura legítima, o Ponendo Tollens, afirmando uma das proposições simples da 
premissa maior na premissa menor, nega-se a outra proposição na conclusão. 
 
Ninguém pode ser, simultaneamente, mestre e discípulo. 
Ora, Pedro é mestre. 
Logo, Pedro não é discípulo. 
 
Dilema: o dilema é um conjunto de proposições onde, a primeira, é uma disjunção tal que, afirmando 
qualquer uma das proposições simples na premissa menor, resulta sempre a mesma conclusão. Por 
exemplo: 
 
Se dizes o que é justo, os homens te odiarão. 
Se dizes o que é injusto, os deuses te odiarão. 
Portanto, de qualquer modo, serás odiado. 
 
Questões 
 
01. (CESGRANRIO - CAPES - Analista de Sistemas) Parte superior do formulário 
O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma padronizada ,é constituído por três 
proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, conclusão .As premissas são juízos 
que precedem a conclusão .Em um silogismo, a conclusão é consequência necessária das premissas. 
Assinale a alternativa que corresponde a um silogismo. 
(A) 
Premissa 1: Marcelo é matemático. 
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Marcelo gosta de física. 
(B) 
Premissa 1: Marcelo é matemático. 
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Marcelo não gosta de física. 
(C) 
Premissa 1: Mário gosta de física. 
Premissa 2: Alguns matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Mário é matemático. 
(D) 
Premissa 1: Mário gosta de física. 
Premissa 2: Todos os matemáticos gostam de física. 
Conclusão: Mário é matemático. 
(E) 
Premissa 1: Mário gosta de física. 
Premissa 2: Nenhum matemático gosta de física. 
Conclusão: Mário não é matemático. 
 
02. (FGV - MEC - Documentador) O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. Na sua forma 
padronizada, é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira, 
conclusão. As premissas são juízos que precedem a conclusão. Em um silogismo, a conclusão é 
consequência necessária das premissas. São dados três conjuntos formados por duas premissas 
verdadeiras e uma conclusão não necessariamente verdadeira. 
 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
12 
 
I- 
Premissa 1: Todos os mamíferos são homeotérmicos. 
Premissa 2: Todas as baleias são mamíferas. 
Conclusão: Todas as baleias são homeotérmicas. 
II- 
Premissa 1: Todos os peixes são pecilotérmicos. 
Premissa 2: Todos os tubarões são pecilotérmicos. 
Conclusão: Todos os tubarões são peixes. 
III- 
Premissa 1: Todos os primatas são mamíferos. 
Premissa 2: Todos os mamíferos são vertebrados. 
Conclusão: Todos os vertebrados são primatas. 
 
Assinale: 
(A) se somente o conjunto I for um silogismo. 
(B) se somente o conjunto II for um silogismo. 
(C) se somente o conjunto III for um silogismo. 
(D) se somente os conjuntos I e III forem silogismos. 
(E) se somente os conjuntos II e III forem silogismos. 
 
03. 
Algumas flores são rosas 
A Rosa é uma mulher bonita 
Logo, algumas mulheres bonitas são flores. 
 
(A) O que é um silogismo categórico? 
(B) Este silogismo será válido formalmente? 
 
04. 
Todos os gatos são seres vivos 
Alguns seres vivos são omnívoros 
Logo, alguns seres omnívoros são gatos. 
 
(A) Será válido formalmente? 
 
Respostas 
 
01. Resposta “E”. 
Parte inferior do formulário 
A letra “D” parece certa, mas observe que certa seria se a segunda premissa fosse invertida: “Todos 
os que gostam de física são matemáticos”. A letra “E” é correta. Existem algumas proposições que podem 
ser negadas. 
Algum → negação: Nenhum. 
Nenhum → negação: Algum. 
Todo → negação: Algum não. 
Algum não → negação: Todo. 
Nessa questão basta negar todas as proposições com suas equivalências supracitadas, ou basta fazer 
conjuntos (ou balões): 
 
(A) Há dois grupos “matemáticos” e “aqueles que gostam de física”. Há uma intersecção entre eles, 
com matemáticos que gostam e matemáticos que não gostam de física. Marcelo pode estar tanto em um 
como em outro grupo. 
(B) Mesmo raciocínio. Marcelo pode gostar ou não de física. 
(C) Há intersecção entre “matemáticos” e “gostam de física”. Mário pode estar no grupo “matemáticos 
que gostam de física” e o outro grupo, “aqueles que gostam de física e não são matemáticos”. 
(D) O grupo “matemáticos” está dentro de “os que gostam de física”. Porém, Mario tanto pode ser 
matemático como pertencer a outro grupo que também goste de física. 
(E) Não há intersecção entre os grupos “os que gostam de física” e “matemáticos”. Mário gosta de 
física, logo, ele não pode ser matemático. (Alternativa correta) 
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13 
 
02. Resposta “A”. 
I - Todos os mamíferos são homeotérmicos. Todas as baleias são mamíferos. Conclusão: todas as 
baleias são homeotérmicos. Está certa... essa questão fica clara se desenharmos um conjunto.... assim 
fica da seguinte forma: o conjunto dos mamíferos está contido no conjunto dos homeotérmicos... e o 
conjunto das baleias está contido dentro do conjunto dos mamíferos, consequentemente está dentro do 
conjunto dos homeotérmicos, por isso podemos afirmar que todas as baleias são homeotérmicas. 
 
II - Todos os peixes são pecilotérmicos. Todos os tubarões são pecilotérmicos. Conclusão: todos os 
tubarões são peixes. Não podemos afirmar tal coisa... pode ser que alguns ou até todos sejam, mas a 
questão não dá informações suficientes para isso... em um conjunto teríamos o conjunto dos 
pecilotérmicos e dentro dele 2 conjuntos... dos peixes e dos tubarões... eles podem ter alguma intersecção 
ou nenhuma, por isso não podemos afirmar. 
 
III - Todos os primatas são mamíferos. Todos os mamíferos são vertebrados. Conclusão: todos os 
vertebrados são primatas.Mais uma vez não podemos afirmar, pois a questão não dá informações para 
concluirmos tal coisa... o conjunto dos primatas está contido no conjunto dos mamíferos e os mamíferos 
contidos no conjunto dos vertebrados, então pode ser que tenha primatas que não sejam primatas ou que 
não sejam mamíferos.... 
 
 
03. 
(A) Um silogismo categórico é uma forma de raciocínio composto por duas premissas categóricas e 
uma conclusão que se extrai combinando os termos em que se decompõem as suas premissas. 
(B) Ilegítimo, inválido formalmente, porque um silogismo compõe-se de, única e exclusivamente, três 
termos e neste exercício temos 4 termos/conceitos: flor, rosa (nome de flor), Rosa (nome de mulher) e 
mulher bonita. 
 
04. 
(A) Ilegítimo, inválido formalmente, porque o termo médio não é considerado pelo menos uma vez 
universalmente, tal como se exige nas regras. 
 
 
 
 
 
 
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14 
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
 
A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para convencer alguém de alguma coisa. A 
argumentação faz uso de vários tipos de raciocínio que são baseados em normas sólidas e argumentos 
aceitáveis. 
A lógica de argumentação é também conhecida como dedução formal e é a principal ferramenta 
para o raciocínio válido de um argumento. Ela avalia conclusões que a argumentação pode tomar e 
avalia quais dessas conclusões são válidas e quais são inválidas (falaciosas). O estudo das formas 
válidas de inferências de uma linguagem proposicional também faz parte da Teoria da argumentação. 
 
Conceitos 
 
Premissas (proposições): são afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas. Com base nelas que 
os argumentos são compostos, ou melhor, elas possibilitam que o argumento seja aceito. 
 
Inferência: é o processo a partir de uma ou mais premissas se chegar a novas proposições. Quando 
a inferência é dada como válida, significa que a nova proposição foi aceita, podendo ela ser utilizada em 
outras inferências. 
 
Conclusão: é a proposição que contém o resultado final da inferência e que está alicerçada nas 
premissas. Para separar as premissas das conclusões utilizam-se expressões como “logo, ...”, “portanto, 
...”, “por isso, ...”, entre outras. 
 
Sofisma: é um raciocínio falso com aspecto de verdadeiro. 
 
Falácia: é um argumento inválido, sem fundamento ou tecnicamente falho na capacidade de provar 
aquilo que enuncia. 
 
Silogismo: é um raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a conclusão 
é verdadeira e deriva logicamente das duas primeiras premissas, ou seja, a conclusão é a terceira 
premissa. 
 
Argumento: é um conjunto finito de premissas – proposições –, sendo uma delas a consequência das 
demais. O argumento pode ser dedutivo (aquele que confere validade lógica à conclusão com base nas 
premissas que o antecedem) ou indutivo (aquele quando as premissas de um argumento se baseiam na 
conclusão, mas não implicam nela) 
O argumento é uma fórmula constituída de premissas e conclusões (dois elementos fundamentais da 
argumentação). 
 
Alguns exemplos de argumentos: 
 
1) 
Todo homem é mortal 
Premissas 
João é homem 
Logo, João é mortal Conclusão 
 
2) 
Todo brasileiro é mortal 
Premissas 
Todo paulista é brasileiro 
Logo, todo paulista é mortal Conclusão 
 
3) 
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15 
 
Se eu passar no concurso, então irei viajar 
Premissas 
Passei no concurso 
Logo, irei viajar Conclusão 
 
Todas as PREMISSAS têm uma CONCLUSÃO. Os exemplos acima são considerados silogismos. 
 
Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q, indica-se por: 
 
P1, P2, ..., Pn |----- Q 
 
Argumentos Válidos 
Um argumento é VÁLIDO (ou bem construído ou legítimo) quando a conclusão é VERDADEIRA (V), 
sempre que as premissas forem todas verdadeiras (V). Dizemos, também, que um argumento é válido 
quando a conclusão é uma consequência obrigatória das verdades de suas premissas.Ou seja: 
 
A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. 
 
Um argumento válido é denominado tautologia quando assumir, somente, valorações verdadeiras, 
independentemente dos valores assumidos por suas estruturas lógicas. 
 
Argumentos Inválidos 
Um argumento é dito INVÁLIDO (ou falácia, ou ilegítimo ou mal construído), quando as verdades das 
premissas são insuficientes para sustentar a verdade da conclusão. 
Caso a conclusão seja falsa, decorrente das insuficiências geradas pelas verdades de suas premissas, 
tem-se como conclusão uma contradição (F). 
Um argurmento não válido diz-se um SOFISMA. 
Os argumentos falaciosos podem ter validade emocional, íntima, psicológica, mas não validade lógica. 
É importante conhecer os tipos de falácia para evitar armadilhas lógicas na própria argumentação e para 
analisar a argumentação alheia. 
 
- A verdade e a falsidade são propriedades das proposições. 
- Já a validade e a invalidade são propriedades inerentes aos argumentos. 
- Uma proposição pode ser considerada verdadeira ou falsa, mas nunca válida e inválida. 
- Não é possível ter uma conclusão falsa se as premissas são verdadeiras. 
- A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e 
conclusões. 
 
Critérios de Validade de um argumento 
Pelo teorema temos: 
 
Um argumento P1, P2, ..., Pn |---- Q é VÁLIDO se e somente se a condicional: 
(P1 ^ P2 ^ ...^ Pn) → Q é tautológica. 
 
Métodos para testar a validade dos argumentos1 
Estes métodos nos permitem, por dedução (ou inferência), atribuirmos valores lógicos as premissas 
de um argumento para determinarmos uma conclusão verdadeira. 
Também podemos utilizar diagramas lógicos caso sejam estruturas categóricas (frases formadas pelas 
palavras ou quantificadores: todo, algum e nenhum). 
 
Os métodos constistem em: 
 
1) Atribuição de valores lógicos: o método consiste na dedução dos valores lógicos das premissas 
de um argumento, a partir de um “ponto de referência inicial” que, geralmente, será representado pelo 
valor lógico de uma premissa formada por uma proposição simples ou de uma conjunção. Lembramos 
que, para que um argumento seja válido, partiremos do pressuposto que todas as premissas que 
compõem esse argumento são, na totalidade, verdadeiras. 
 
1 ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. 
CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
16 
 
 
Para dedução dos valores lógicos, utilizaremos como auxílio a tabela-verdade dos conectivos. 
 
 
 
 
Exemplo 
Sejam as seguintes premissas: 
P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. 
P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. 
P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. 
P4: Ora, a rainha fica na masmorra. 
 
Se todos os argumentos (P1,P2,P3 e P4) forem válidos, então todas premissas que compõem o 
argumento são necessariamente verdadeiras (V). E portanto pela premissa simples P4: “a rainha fica 
na masmorra”; por ser uma proposição simples e verdadeira, servirá de “referencial inicial” para a 
dedução dos valores lógicos das demais proposições que, também, compõem esse argumento. Teremos 
com isso então: 
 
Já sabemos que a premissa simples “a rainha fica na masmorra” é verdadeira, portanto, tal valor lógico 
confirmará como verdade a 1a parte da condicional da premissa P3 (1º passo). 
 
Lembramos que, se a 1ª parte de uma condicional for verdadeira, implicará que a 2ª parte também 
deverá ser verdadeira (2º passo), já que a verdade implica outra verdade (vide a tabela-verdade da 
condicional). Assim teremos como valor lógico da premissa uma verdade (V). 
 
Confirmando-se a proposição simples “o bárbaro usa a espada” como verdadeira (3º passo), logo, a 
1ª parte da disjunçãosimples da premissa P1, “o bárbaro não usa a espada”, será falsa (4º passo). 
 
DICA: 
Para dedução dos valores lógicos, utilizaremos como auxílio a tabela-verdade dos 
conectivos, portanto, tente memorizar quando é verdadeiro e quando é falso os 
conectivos lógicos! 
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17 
 
 
Como a premissa P1 é formada por uma disjunção simples, lembramos que ela será verdadeira, se 
pelo menos uma de suas partes for verdadeira. Sabendo-se que sua 1ª parte é falsa, logo, a 2ª parte 
deverá ser, necessariamente, verdadeira (5º passo). 
 
Ao confirmarmos como verdadeira a proposição simples “o príncipe não foge a cavalo”, então, 
devemos confirmar como falsa a 2a parte da condicional “o príncipe foge a cavalo” da premissa P2 (6o 
passo). 
 
E, por último, ao confirmar a 2a parte de uma condicional como falsa, devemos confirmar, também, sua 
1a parte como falsa (7o passo). 
 
Através da analise das premissas e atribuindo os seus valores lógicos chegamos as seguintes 
conclusões: 
- A rainha fica na masmorra; 
- O bárbaro usa a espada; 
- O rei não fica nervoso; 
- o príncipe não foge a cavalo. 
 
Observe que onde as proposições são falsas (F) utilizamos o não para ter o seu correspondente como 
válido, expressando uma conclusão verdadeira. 
 
Caso o argumento não possua uma proposição simples ou uma conjunção “ponto de referência inicial”, 
devem-se iniciar as deduções pela disjunção exclusiva ou pela bicondicional, caso existam. Lembrando 
que, no caso da bicondicional(VV ou FF) e a disjunção exclusiva(VF ou FV), cada uma possui duas 
possibilidades de serem verdadeiras, logo, é necessário testar as duas possibilidades. 
 
2) Método da Tabela Verdade: para resolvermos temos que levar em considerações dois casos. 
 
1º caso: quando o argumento é representado por uma fómula argumentativa. 
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Exemplo 
 
A → B ~A = ~B 
Para resolver vamos montar uma tabela dispondo todas as proposições, as premissas e as conclusões 
afim de chegarmos a validade do argumento. 
 
(Fonte: http://www.marilia.unesp.br) 
 
O caso onde as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa está sinalizada na tabela acima 
pelo asterisco.Observe também, na linha 4, que as premissas são verdadeiras e a conclusão é verdadeira. 
Chegamos através dessa análise que o argumento não é valido. 
 
2o caso: quando o argumento é representado por uma sequência lógica de premissas, sendo a última 
sua conclusão, e é questionada a sua validade. 
 
Exemplo: 
“Se leio, então entendo. Se entendo, então não compreendo. Logo, compreendo.” 
P1: Se leio, então entendo. 
P2: Se entendo, então não compreendo. 
C: Compreendo. 
Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa 
desse argumento: 
P1 ∧ P2 → C 
 
Representando inicialmente as proposições primitivas “leio”, “entendo” e “compreendo”, 
respectivamente, por “p”, “q” e “r”, teremos a seguinte fórmula argumentativa: 
P1: p → q 
P2: q → ~r 
C: r 
[(p → q) ∧ (q → ~r)] → r ou 
 
𝑝 → 𝑞
𝑞 → ~𝑟
𝑟
 
 
Montando a tabela verdade temos (vamos montar o passo a passo): 
 
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19 
 
 
 
 
Sendo a solução (observado na 5a resolução) uma contingência (possui valores verdadeiros e falsos), 
logo, esse argumento não é válido. Podemos chamar esse argumento de sofisma embora tenha 
premissas e conclusões verdadeiras. 
 
Implicações tautológicas: a utilização da tabela verdade em alguns casos torna-se muito trabalhoso, 
principlamente quando o número de proposições simples que compõe o argumento é muito grande, então 
vamos aqui ver outros métodos que vão ajudar a provar a validade dos argumentos. 
 
3.1 - Método da adição (AD) 
p
p ∨ q
 ou p → (p ∨ q) 
 
3.2 - Método da adição (SIMP) 
 
1º caso: 
p ∧ q
p
 ou (p ∧ q) → p 
 
2º caso: 
p ∧ q
p
 ou (p ∧ q) → q 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
20 
 
3.3 - Método da conjunção (CONJ) 
 
1º caso: 
 
p
q
p ∧ q
 ou (p ∧ q) → (p ∧ q) 
 
2º caso: 
 
p
q
q ∧ p
 ou (p ∧ q) → (q ∧ p) 
 
3.4 - Método da absorção (ABS) 
 
p → q
p → (p ∧ q)
 ou (p → q) → [p → p ∧ q)] 
 
3.5 – Modus Ponens (MP) 
 
p→q
p
q
 ou [(p → q) ∧ p] → q 
 
3.6 – Modus Tollens (MT) 
 
p→q
~q
~p
 ou [(p → q) ∧ ~q] → p 
 
3.7 – Dilema construtivo (DC) 
 
p → q
r → s
p ∨ r
q ∨ s
 ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) ] → (q ∨ s) 
 
3.8 – Dilema destrutivo (DD) 
 
p → q
r → s
~q ∨ ~s
~p ∨ ~r
 ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s) ] → (~p ∨ ~r) 
 
3.9 – Silogismo disjuntivo (SD) 
 
1º caso: 
 
p ∨ q
~p
q
 ou [(p ∨ q) ∧ ~p] → q 
 
2º caso: 
 
p ∨ q
~q
p
 ou [(p ∨ q) ∧ ~q] → p 
 
 
 
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21 
 
3.10 – Silogismo hipotético (SH) 
 
p → q
q → r
p → r
 ou [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) 
 
3.11 – Exportação e importação. 
 
1º caso: Exportação 
 
(p ∧ q) → r
p → (q → r)
 ou [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)] 
 
2º caso: Importação 
 
p → (q → r)
(p ∧ q) → r
 ou [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r] 
 
Produto lógico de condicionais: este produto consiste na dedução de uma condicional conclusiva, 
que será a conclusão do argumento, decorrente ou resultante de várias outras premissas formadas 
por, apenas, condicionais. 
Ao efetuar o produto lógico, eliminam-se as proposições simples iguais que se localizam em partes 
opostas das condicionais que formam a premissa do argumento, resultando em uma condicional 
denominada condicional conclusiva. Vejamos o exemplo: 
 
 
 
Nós podemos aplicar a soma lógica em alguns casos, como por exemplo: 
 
1º caso - quando a condicional conclusiva é formada pelas proposições simples que aparecem apenas 
uma vez no conjunto das premissas do argumento. 
 
Exemplo 
 
Dado o argumento: 
Se chove, então faz frio. 
Se neva, então chove. 
Se faz frio, então há nuvens no céu. 
Se há nuvens no céu, então o dia está claro. 
Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: 
P1: Se chove, então faz frio. 
P2: Se neva, então chove. 
P3: Se faz frio, então há nuvens no céu. 
P4: Se há nuvens no céu, então o dia está claro. 
 
Vamos denotar as proposições simples: 
p: chover 
q: fazer frio 
r: nevar 
s: existir nuvens no céu 
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22 
 
t: o dia está claro 
Montando o produto lógico teremos: 
 
𝑥 {
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑝
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑝
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑞
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑞
𝑞 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → 𝑠
𝑠 → 𝑡
 ⇒ 𝑟 → 𝑡 
 
Conclusão: “Se neva, então o dia está claro”. 
 
Observe que: As proposições simples “nevar” e “o dia está claro” só apareceram uma vez no conjunto 
de premissas do argumento anterior. 
 
2º caso - quando a condicional conclusiva é formada por, apenas, uma proposição simples que 
aparece em ambas as partes da condicional conclusiva, sendo uma a negação da outra. As demais 
proposições simples são eliminadas pelo processo natural do produto lógico. 
Neste caso, na condicional conclusiva, a 1ª parte deverá necessariamente ser FALSA, e a 2ª parte, 
necessariamente VERDADEIRA. 
 
 
 
Exemplo 
Seja o argumento: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. Se Carlos não viaja, então Beto não 
estuda. Se Carlos viaja, Ana trabalha. 
 
Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: 
P1: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. 
P2: Se Carlos não viaja, então Beto não estuda. 
P3: Se Carlos viaja, Ana trabalha. 
Denotando as proposições simples teremos: 
p: Ana trabalha 
q: Beto estuda 
r: Carlos viaja 
Montando o produto lógico teremos: 
 
{
𝑝 → ~𝑞
~𝑟 → ~𝑞
𝑟 → 𝑝
(𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) ⇒ 𝑥 {
𝑝 → ~𝑞
𝑞 → 𝑟
𝑟 → 𝑝
 ⇒ 𝑥 {
𝑟 → ~𝑞
𝑞 → 𝑟 ⇒ 𝑞⏟
𝐹
→ ~𝑞⏟
𝑉
 
 
Conclusão: “Beto não estuda”. 
 
Questões 
 
01. (IFAL – Assistente Social – COPEVE/UFAL/2019) Considere asseguintes premissas: 
– Se é domingo, então Carlos lava seu carro. – Se chover, então Carlos não lava seu carro. – Se não 
é domingo, então Carlos acorda cedo. – Carlos acordou tarde. 
Com base nessas premissas, pode-se concluir que: 
(A) Não é domingo 
(B) Não lavou o carro 
 
DICA: 
Nos dois casos anteriores, pode-se utilizar o recurso de equivalência da 
contrapositiva (contraposição) de uma condicional, para que ocorram os devidos 
reajustes entre as proposições simples de uma determinada condicional que resulte 
no produto lógico desejado. 
(p → q) ⇔ ~q → ~p 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
23 
 
(C) Não choveu 
(D) Choveu 
(E) É impossível concluir 
 
02. (CRM/AC – Assistente Administrativo – QUADRIX/2019) 
P: Se João obedece à sua mãe, então ele come pudim. 
Q: Se João não come pudim, então ele fica triste. 
R: João gosta de futebol e sua mãe gosta de novela. 
Considerando as proposições lógicas acima, julgue o item. 
Se João não fica triste, então ele obedece à sua mãe. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
03. (FLAMA/SC – Geólogo – UNESC/2019) Considere verdadeiras as afirmações a seguir: 
I - Se Vivi é costureira, então Verônica não é advogada 
II - Se Verinha é bailarina, então Verônica é advogada 
III - Virna é professora 
IV - Ou Verinha é bailarina, ou Virna não é professora. 
Com base nessas afirmações podemos concluir corretamente que: 
(A) Se Virna é professora, então Verônica não é advogada 
(B) Se Verônica não é advogada, então Verinha não é bailarina 
(C) Virna é professora e Verônica não é advogada 
(D) Verônica não é advogada ou Vivi é costureira 
 
04. (Pref. de Petrolina/PE – Guarda Civil – IDIB/2019) Em uma sala de aula, o professor instiga os 
alunos com problemas de raciocínio lógico relacionando as cores dos carros e seus proprietários. Desta 
forma, o professor repassou aos alunos as afirmativas verdadeiras a seguir: 
I. Ou Bruno tem um carro rosa, ou Cinthia não tem um carro verde. 
II. Se Daniel tem um carro amarelo, então Ana não tem um carro azul. 
III. Se Bruno tem um carro rosa, então Ana tem um carro azul. 
IV. Cinthia tem um carro verde. 
Com base nas afirmações anteriores, pode-se concluir com certeza que: 
(A) Se Ana não tem um carro azul, então Bruno não tem um carro rosa. 
(B) Bruno não tem um carro rosa ou Daniel tem um carro amarelo. 
(C) Ana não tem um carro azul e Daniel não tem um carro amarelo. 
(D) Cinthia tem um carro verde e Ana não tem um carro azul. 
(E) Se Cinthia tem um carro verde, então Ana não tem um carro azul. 
 
05. (DPU – Agente Administrativo – CESPE) Considere que as seguintes proposições sejam 
verdadeiras. 
• Quando chove, Maria não vai ao cinema. 
• Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema. 
• Quando Cláudio sai de casa, não faz frio. 
• Quando Fernando está estudando, não chove. 
• Durante a noite, faz frio. 
Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o item subsecutivo. 
Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
06. (STJ – Conhecimentos Gerais para o cargo 17 – CESPE) Mariana é uma estudante que tem 
grande apreço pela matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo 
suficiente para estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste 
semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada Introdução à Matemática Aplicada. No entanto, 
ela não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nessa disciplina. 
A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue o item a seguir, acerca das 
estruturas lógicas. 
Considerando-se as seguintes proposições: 
p: “Se Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1, então ela aprende o conteúdo de Química Geral"; 
q: “Se Mariana aprende o conteúdo de Química Geral, então ela é aprovada em Química Geral"; 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
24 
 
c: “Mariana foi aprovada em Química Geral", é correto afirmar que o argumento formado pelas 
premissas p e q e pela conclusão c é um argumento válido. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
07. (Petrobras – Técnico (a) de Exploração de Petróleo Júnior – CESGRANRIO) Se Esmeralda é 
uma fada, então Bongrado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, então Monarca é um centauro. Se Monarca 
é um centauro, então Tristeza é uma bruxa. 
Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo 
(A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo. 
(B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro. 
(C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro. 
(D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada 
(E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo. 
 
08. (Câm. de Indaiatuba/SP – Analista de Sistemas – VUNESP) Considere verdadeiras as 
afirmações I e II, e falsa a afirmação III. 
I. Se Hugo é policial, então Beatriz é juíza. 
II. Se Fernando é vereador, então Vanessa é professora. 
III. Beatriz não é juíza ou Vanessa é professora. 
A alternativa que contém uma afirmação necessariamente verdadeira, com base nas afirmações 
apresentadas é: 
(A) Fernando não é vereador 
(B) Hugo é policial. 
(C) Hugo não é policial e Fernando é vereador. 
(D) Hugo é policial e Fernando não é vereador. 
(E) Hugo é policial ou Fernando é vereador. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Observe que dentre as premissas temos uma proposição simples, portanto iremos começar por ela e 
a partir daí descobriremos os valores lógicos das outras, lembrando, as premissas são sempre 
verdadeiras. 
Carlos acordou tarde (V) 
Vamos procurar uma que fale sobre o Carlos acordar ou não tarde. 
Se não é domingo, então Carlos acorda cedo(F). 
Como Carlos aordou tarde, Carlos acordou cedo é Falso, sendo assim temos uma condicional ? →F, 
logo o valor de não é domingo tem que ser obrigatoriamente Falso, pois a premissa tem que ser verdadeira 
e se tivermos um VF teremos uma premissa falsa, por isso devemos ter FF, continuando para outra 
premissa. 
Se é domingo, então Carlos lava seu carro 
Não é domingo é F, logo ser domingo é V, portanto obrigatoriamente Carlos lava seu carro tem que 
ser V, pois senão teríamos um V→F que na condicional seria falso, continuando, 
Se chover, então Carlos não lava seu carro 
 ? → F (pois Carlos lava seu carro é V) 
Como é uma condicional, Chover tem que ser Falso, para a condicional ser verdadeira, logo temos o 
seguinte: 
Chover = F 
Ser domingo = V 
Carlos lava seu carro = V 
Carlos acordou tarde = V 
Assim a conclusão verdadeira está na alternativa “C” Não choveu, pois se chover é falso, não chover 
é verdadeiro. 
 
02. Resposta: Errado 
Vamos analisar as premissas, lembrando que elas devem ser sempre verdadeiras, temos que tentar 
concluir: Se João não fica triste, então ele obedece à sua mãe. 
O ponta pé inicial é procurar a premissa mais simples, ou seja, a proposição simples ou uma conjunção, 
se não houver nenhuma dessas aí partimos para uma bicondicional ou uma disjunção exclusiva, mas aí 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
25 
 
meu amigo, amarra as calças, pois tem que testar todos os casos em que elas são verdadeiras, mas 
voltando para nossa questão aqui, temo uma conjunção em “R”. 
R: João gosta de futebol e sua mãe gosta de novela. 
A conjunção só é verdadeira se for tudo V, logo: 
João gosta de futebol = V 
sua mãe gosta de novela = V 
Agora vamos para as outras premissas utilizando essas informações já encontradas. 
Mas aí não conseguimos mais nada com as outras premissas, logo vamos tentar o método de negar 
a conclusão, aí se a conclusão for falsa e as premissas continuar verdadeiras estaremos diante de um 
argumento inválido, vamos lá! 
Se João não fica triste, então ele obedece à sua mãe (para ser falso devemos ter VF) 
João não fica triste = V 
Ele obedece sua mãe = F 
Vamos para as premissas, “R” já conseguimos determinar que ela pode ser Verdadeira, falta P e Q 
Q: Se João não come pudim, então ele fica triste. 
 ? → F, assim Joãonão come pudim é F. 
 
P: Se João obedece à sua mãe, então ele come pudim. 
 F → F 
Essa premissa também vai ser verdade, então meu amigo(a), as premissas são verdadeiras mesmo 
eu negando a conclusão, desta forma não podemos ter um argumento válido, assim ele é inválido, 
portanto não podemos concluir que Se João não fica triste, então ele obedece à sua mãe, logo gabarito 
errado. 
 
03. Resposta: B 
Para resolver esse tipo de questão, lembre-se de procurar uma proposição simples ou por uma 
conjunção, pois todas as premissas são verdadeiras. 
I - Se Vivi é costureira, então Verônica não é advogada 
II - Se Verinha é bailarina, então Verônica é advogada 
III - Virna é professora 
IV - Ou Verinha é bailarina, ou Virna não é professora. 
Vou começar pela premissa III pois é uma proposição simples. 
Virna é professora (V) 
Procure uma premissa que contenha algo de Virna (IV). 
IV - Ou Verinha é bailarina, ou Virna não é professora. 
 ?v F como é uma disjunção exclusiva para ser verdadeiro as proposições simples 
precisam ter valor lógico diferentes logo a primeira é V. 
Verinha é bailarina (V) 
Premissa II 
Se Verinha é bailarina, então Verônica é advogada 
 V→? A segunda parte precisa ser V para a condicional ser Verdadeira, logo 
Verônica é advogada (V) 
Premissa I 
Se Vivi é costureira, então Verônica não é advogada 
 ? → F, a primeira parte precisa ser F para a condicional ser Verdadeira, logo 
Vivi é costureira (F) 
Agora, sabendo o valor lógico dessas proposições, vamos para as alternativas 
(A) Se Virna é professora, então Verônica não é advogada 
V→F essa condicional é FALSA 
(B) Se Verônica não é advogada, então Verinha não é bailarina 
F → F essa condicional é verdadeira, logo é a alternativa correta 
(C) Virna é professora e Verônica não é advogada 
V ^F essa conjunção é FALSA 
(D) Verônica não é advogada ou Vivi é costureira 
FvF essa disjunção simples é falsa 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
26 
 
04. Resposta: A 
Precisamos procurar uma proposição simples ou uma conjunção, para ser nosso ponto de partida. 
I. Ou Bruno tem um carro rosa, ou Cinthia não tem um carro verde. 
II. Se Daniel tem um carro amarelo, então Ana não tem um carro azul. 
III. Se Bruno tem um carro rosa, então Ana tem um carro azul. 
IV. Cinthia tem um carro verde. 
Iremos iniciar então pela premissa IV 
Cinthia tem um carro verde (V) 
Agora vamos para a premissa I 
Ou Bruno tem um carro rosa, ou Cinthia não tem um carro verde 
? v F a primeira parte precisa ser V para a disjunção exclusiva ser Verdadeira 
Bruno tem um carro rosa (V) 
Premissa III 
Se Bruno tem um carro rosa, então Ana tem um carro azul 
V → ? a segunda parte precisa ser V para a condicional ser Verdadeira. 
Ana tem um carro azul (V) 
Premissa II 
Se Daniel tem um carro amarelo, então Ana não tem um carro azul 
? → F a primeira parte precisa ser F para a condicional ser Verdadeira. 
Daniel tem um carro amarelo (F) 
Agora vamos analisar as alternativas. 
(A) Se Ana não tem um carro azul, então Bruno não tem um carro rosa. 
V → V essa condicional é verdaderia, logo é nossa alternativa correta. 
(B) Bruno não tem um carro rosa ou Daniel tem um carro amarelo. 
F v F essa disjunção simples é FALSA 
(C) Ana não tem um carro azul e Daniel não tem um carro amarelo. 
F ^ V essa conjunção é FALSA 
(D) Cinthia tem um carro verde e Ana não tem um carro azul. 
V ^F essa conjunção é FALSA 
(E) Se Cinthia tem um carro verde, então Ana não tem um carro azul. 
V → F essa condicional é FALSA 
 
05. Resposta: Errado 
A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as premissas chegamos a uma conclusão. 
Enumerando as premissas: 
A = Chove 
B = Maria vai ao cinema 
C = Cláudio fica em casa 
D = Faz frio 
E = Fernando está estudando 
F = É noite 
A argumentação parte que a conclusão deve ser (V) 
Lembramos a tabela verdade da condicional: 
 
 
A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, utilizando isso temos: 
O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. // B → ~E 
Iniciando temos: 
4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B = V – para que o argumento seja válido 
temos que Quando chove tem que ser F. 
3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). // C → B = V - para que o argumento 
seja válido temos que Maria vai ao cinema tem que ser V. 
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27 
 
2º - Quando Cláudio sai de casa (F), não faz frio (F). // ~C → ~D = V - para que o argumento seja 
válido temos que Quando Cláudio sai de casa tem que ser F. 
5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). // E → ~A = V. – neste caso Quando 
Fernando está estudando pode ser V ou F. 
1º- Durante a noite (V), faz frio (V). // F → D = V 
Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao cinema (V), então Fernando estava 
estudando (V ou F); pois temos dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F). 
 
06. Resposta: Errado 
Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa 
desse argumento: 
P1 ∧ P2 → C 
Organizando e resolvendo, temos: 
A: Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1 
B: Mariana aprende o conteúdo de Química Geral 
C: Mariana é aprovada em Química Geral 
Argumento: [(A → B) ∧ (B → C)] ⇒ C 
Vamos ver se há a possibilidade de a conclusão ser falsa e as premissas serem verdadeiras, para 
sabermos se o argumento é válido: 
Testando C para falso: 
(A → B) ∧ (B →C) 
(A →B) ∧ (B → F) 
Para obtermos um resultado V da 2º premissa, logo B têm que ser F: 
(A → B) ∧ (B → F) 
(A → F) ∧ (F → F) 
(F → F) ∧ (V) 
Para que a primeira premissa seja verdadeira, é preciso que o “A” seja falso: 
(A → F) ∧ (V) 
(F → F) ∧ (V) 
(V) ∧ (V) 
 (V) 
Então, é possível que o conjunto de premissas seja verdadeiro e a conclusão seja falsa ao mesmo 
tempo, o que nos leva a concluir que esse argumento não é válido. 
 
07. Resposta: B 
Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Tristeza não é bruxa, considerando ela como (V), 
precisamos ter como conclusão o valor lógico (V), então: 
(4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) → V 
(3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro (F) → V 
(2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) → V 
(1) Tristeza não é uma bruxa (V) 
Logo: 
Temos que: 
Esmeralda não é fada(V) 
Bongrado não é elfo (V) 
Monarca não é um centauro (V) 
Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verdadeiro quando todas as afirmativas forem 
verdadeiras, logo, a única que contém esse valor lógico é: 
Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro. 
 
08. Resposta: A 
Sabemos que I e II são VERDADEIRAS e que III é FALSA 
I. Se Hugo é policial, então Beatriz é juíza. VERDADEIRA 
II. Se Fernando é vereador, então Vanessa é professora. VERDADEIRA 
III. Beatriz não é juíza ou Vanessa é professora. FALSA 
Não recomendo iniciar pelas premissas I e II, pois a condicional possui três formas de verdade em sua 
tabela, já a premissa III é uma disjunção simples e só possui uma forma de ser FALSA (F v F), logo 
começaremos por ela 
Beatriz não é juíza ou Vanessa é professora 
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28 
 
F v F 
Agora podemos partir para as outras, tanto faz começar pela I ou pela II. 
II. Se Fernando é vereador, então Vanessa é professora 
? → F, para essa condicional ser verdadeira a primeira parte precisa ser FALSA 
Fernando é vereador (F) 
I. Se Hugo é policial, então Beatriz é juíza 
? → V, para essa condicional ser verdadeira não importa o valor lógico da primeira parte, pois ela 
sempre vai ser verdadeira, deste modo, não podemos concluir nada sobre Hugo ser policial, vamos 
analisar as alternativas. 
(A) Fernando não é vereador 
Essa é a alternativa correta 
(B) Hugo é policial. 
Não podemos concluir isso do HUGO 
(C) Hugo não é policial e Fernandoé vereador. 
? ^ F não importa o que o Hugo seja, essa conjunção já é FALSA 
(D) Hugo é policial e Fernando não é vereador. 
? ^ V para essa conjunção ser verdadeira a primeira parte obrigatoriamente precisa ser Verdadeira, 
mas não podemos afirmar nada dela, então não podemos concluir isso. 
(E) Hugo é policial ou Fernando é vereador. 
? v F, para essa disjunção simples ser verdadeira, a primeira parte deveria ser verdadeira, mas não 
podemos afirmar nada do Hugo, portanto não podemos assinalar ela. 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO (MATEMÁTICO). 
 
Caros alunos, assuntos como raciocínio lógico quantitativo (matemático), devem ser trabalhados com 
questões que exploram conteúdos básicos, como porcentagem, razões, regra de três, combinatória, 
operações fundamentais, etc. 
 
Vejamos então o conteúdo principal necessário: 
 
PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
 
Primeiramente os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações e 
divisões. Depois os problemas matemáticos são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, 
isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Os problemas matemáticos 
são situações onde precisamos confiar em nosso instinto para poder resolver e saber associar o 
pensamento algébrico dentro da situação para então poder formular uma estratégia para resolução. 
Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra. 
 
- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4; 
- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1); 
- O quadrado de um número mais 10: x2 + 10; 
- O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x + 2x; 
- A metade da soma de um número mais 15: 
(𝑥+15)
2
 
- A quarta parte de um número: 
𝑥
4
. 
 
Exemplos: 
01. A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os. 
1º número: x 
2º número: x + 2 
3º número: x + 4 
(x) + (x + 2) + (x + 4) = 96 
 
Resolução: 
x + x + 2 + x + 4 = 96 
3x = 96 – 4 – 2 
3x = 96 – 6 
3x = 90 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
29 
 
x = 
90
3
 
x = 30 
1º número: x = 30 
2º número: x + 2 = 30 + 2 = 32 
3º número: x + 4 = 30 + 4 = 34 
Os números são 30, 32 e 34. 
 
02. O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o: 
 
Resolução: 
3x + 4 = 52 
3x = 25 – 4 
3x = 21 
x = 
21
3
 
x = 7 
O número procurado é igual a 7. 
 
03. A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o 
triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um? 
 
Resolução: 
Atualmente 
Filho: x 
Pai: 4x 
Futuramente 
Filho: x + 5 
Pai: 4x + 5 
 
4x + 5 = 3 . (x + 5) 
4x + 5 = 3x + 15 
4x – 3x = 15 – 5 
X = 10 
Pai: 4x = 4 . 10 = 40 
O filho tem 10 anos e o pai tem 40. 
 
04. O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número? 
 
Resolução: 
2x + 3x = 20 
5x = 20 
x = 
20
5
 
x = 4 
O número corresponde a 4. 
 
05. Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 
pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara. 
 
Galinhas: G 
Coelhos: C 
G + C = 35 
 
Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então: 
2G + 4C = 100 
 
Sistema de equações 
Isolando C na 1ª equação: 
G + C = 35 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
30 
 
C = 35 – G 
 
Substituindo C na 2ª equação: 
2G + 4C = 100 
2G + 4 . (35 – G) = 100 
2G + 140 – 4G = 100 
2G – 4G = 100 – 140 
- 2G = - 40 
G = 
40
2
 
G = 20 
 
Calculando C 
C = 35 – G 
C = 35 – 20 
C = 15 
 
Questões 
 
01. (Pref. Guarujá/SP – Professor de Matemática – CAIPIMES) Sobre 4 amigos, sabe-se que 
Clodoaldo é 5 centímetros mais alto que Mônica e 10 centímetros mais baixo que Andreia. Sabe-se 
também que Andreia é 3 centímetros mais alta que Doralice e que Doralice não é mais baixa que 
Clodoaldo. Se Doralice tem 1,70 metros, então é verdade que Mônica tem, de altura: 
(A) 1,52 metros. 
(B) 1,58 metros. 
(C) 1,54 metros. 
(D) 1,56 metros. 
 
02. (Câmara de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – VUNESP) Em um 
condomínio, a caixa d’água do bloco A contém 10 000 litros a mais de água do que a caixa d’água do 
bloco B. Foram transferidos 2 000 litros de água da caixa d’água do bloco A para a do bloco B, ficando o 
bloco A com o dobro de água armazenada em relação ao bloco B. Após a transferência, a diferença das 
reservas de água entre as caixas dos blocos A e B, em litros, vale 
(A) 4 000. 
(B) 4 500. 
(C) 5 000. 
(D) 5 500. 
(E) 6 000. 
 
03. (IFNMG – Matemática – Gestão de Concursos) Uma linha de produção monta um equipamento 
em oito etapas bem definidas, sendo que cada etapa gasta exatamente 5 minutos em sua tarefa. O 
supervisor percebe, cinco horas e trinta e cinco minutos depois do início do funcionamento, que a linha 
parou de funcionar. Como a linha monta apenas um equipamento em cada processo de oito etapas, 
podemos afirmar que o problema foi na etapa: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 5 
(D) 7 
 
04. (EBSERH/UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado 
número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor 
que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, 
quantos bombons ao todo Joana possui? 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28 
 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
31 
 
05. (Câmara de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – VUNESP) Na biblioteca 
de um instituto de física, para cada 2 livros de matemática, existem 3 de física. Se o total de livros dessas 
duas disciplinas na biblioteca é igual a 1 095, o número de livros de física excede o número de livros de 
matemática em 
(A) 219. 
(B) 405. 
(C) 622. 
(D) 812. 
(E) 1 015. 
 
06. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) (...) No maior aeroporto do Rio (Galeão), 
perde-se em média um objeto a cada hora e meia. É o dobro da taxa registrada no aeroporto Santos 
Dumont (...). 
KAZ, Roberto. Um mundo está perdido. Revista O Globo, Rio de Janeiro, 9 mar. 2014, p. 16. 
De acordo com as informações apresentadas, quantos objetos, em média, são perdidos no Aeroporto 
Santos Dumont a cada semana? 
(A) 8 
(B) 16 
(C) 28 
(D) 56 
(E) 112 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Em três meses, Fernando depositou, ao 
todo, R$ 1.176,00 em sua caderneta de poupança. Se, no segundo mês, ele depositou R$ 126,00 a mais 
do que no primeiro e, no terceiro mês, R$ 48,00 a menos do que no segundo, qual foi o valor depositado 
no segundo mês? 
(A) R$ 498,00 
(B) R$ 450,00 
(C) R$ 402,00 
(D) R$ 334,00 
(E) R$ 324,00 
 
08. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Caio é 15 cm mais alto do que Pedro. 
Pedro é 6 cm mais baixo que João. João é 7 cm mais alto do que Felipe. Qual é, em cm, a diferença entre 
as alturas de Caio e de Felipe? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 9 
(D) 14 
(E) 16 
 
09. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um atleta gasta 2 minutos e 15 segundos para dar 
uma volta completa em uma determinada pista de corrida. Após certo período de treinamento mais 
intenso, esse mesmo atleta fez essa volta completa em 
2
3
 do tempo anterior, o que significa que o novo 
tempo gasto por ele para dar uma volta completa nessa pista passou a ser de 
(A) 2 minutos e 05 segundos. 
(B) 1 minuto e 50 segundos. 
(C) 1 minuto e 45 segundos. 
(D) 1 minuto e 30 segundos. 
(E) 1 minuto e 05 segundos. 
 
10. (Pref. de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Uma loja de materiais 
elétricos testou um lote com 360 lâmpadas e constatou que a razão entre o número de lâmpadas 
queimadas e o número de lâmpadas boas era 2 / 7. Sabendo-se que, acidentalmente, 10 lâmpadas boas 
quebraram e que lâmpadas queimadas ou quebradas não podem ser vendidas, então a razão entre o 
número de lâmpadas que não podem ser vendidas e o número de lâmpadas boas passou a ser de 
(A) 1 / 4. 
(B) 1 / 3. 
(C) 2 / 5. 
Apostila gerada especialmentepara: Álvaro L 114.943.344-29
 
32 
 
(D) 1 / 2. 
(E) 2 / 3. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Escrevendo em forma de equações, temos: 
C = M + 0,05 (I) 
C = A – 0,10 (II) 
A = D + 0,03 (III) 
D não é mais baixa que C 
Se D = 1,70, então: 
(III) A = 1,70 + 0,03 = 1,73 
(II) C = 1,73 – 0,10 = 1,63 
(I) 1,63 = M + 0,05 
M = 1,63 – 0,05 = 1,58 m 
 
02. Resposta: E. 
Se chamarmos o reservatório B de x, temos: 
A = x + 10000 
B = x 
Foram retirados 2000L de A e passamos para B, logo: 
A = x + 8000 
B = x + 2000 
Agora ele disse que a é igual ao dobro de B, logo 
2B = A 
2(x + 2000) = x + 8000 
2x + 4000 = x + 8000 
2x – x = 8000 – 4000 
x = 4000. 
Logo: 
A = x + 8000 = 4000 + 8000 = 12000L 
B = x + 2000 = 4000 + 2000 = 6000L 
Como ele pediu a diferença, teremos: 
12000L – 6000L = 6000L 
Portanto, alternativa E. 
 
03. Resposta: B. 
Um equipamento leva 8.5 = 40 minutos para ser montado. 
5h35 = 60.5 + 35 = 335 minutos 
335min: 40min = 8 equipamentos + 15 minutos (resto) 
15min: 5min = 3 etapa. 
 
04. Resposta: E. 
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 
 
05. Resposta: A. 
𝑀
𝐹
= 
2
3
 , ou seja, 3.M = 2.F (I) 
 
M + F = 1095, ou seja, M = 1095 – F (II) 
Vamos substituir a equação (II) na equação (I): 
3 . (1095 – F) = 2.F 
3285 – 3.F = 2.F 
5.F = 3285 
F = 3285 / 5 
F = 657 (física) 
Assim: M = 1095 - 657 = 438 (matemática) 
A diferença é: 657 – 438 = 219 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
33 
 
06. Resposta: D. 
1h30 = 90min 
Galeão: 
1
90
 
Santos Dumont perde metade do que no Galeão. Assim: 
1
2
 .
1
90
= 
1
180
 , ou seja, 1 objeto a cada 180min = 3 horas 
1 semana = 7 dias = 7. 24h = 168h 
Assim, 168 / 3 = 56 objetos 
 
07. Resposta: B. 
Primeiro mês = x 
Segundo mês = x + 126 
Terceiro mês = x + 126 – 48 = x + 78 
Total = x + x + 126 + x + 78 = 1176 
3.x = 1176 – 204 
x = 972 / 3 
x = R$ 324,00 (1º mês) 
* No 2º mês: 324 + 126 = R$ 450,00 
 
08. Resposta: E. 
Caio = Pedro + 15cm 
Pedro = João – 6cm 
João = Felipe + 7cm, ou seja: Felipe = João – 7 
Caio – Felipe =? 
Pedro + 15 – (João – 7) = 
= João – 6 + 15 – João + 7 = 16 
 
09. Resposta: D. 
2min15seg = 120seg + 15seg = 135 seg. 
2
3
 de 135seg = 
2.135
3
=
270
3
= 90 seg = 1min30seg 
 
10. Resposta: B. 
Chamemos o número de lâmpadas queimadas de (Q) e o número de lâmpadas boas de (B). Assim: 
B + Q = 360, ou seja, B = 360 – Q (I) 
 
𝑄
𝐵
= 
2
7
 , ou seja, 7.Q = 2.B (II) 
 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
7.Q = 2. (360 – Q) 
7.Q = 720 – 2.Q 
7.Q + 2.Q = 720 
9.Q = 720 
Q = 720 / 9 
Q = 80 (queimadas) 
Como 10 lâmpadas boas quebraram, temos: 
Q’ = 80 + 10 = 90 e B’ = 360 – 90 = 270 
 
𝑄′
𝐵′
= 
90
270
= 
1
3
 (: 9 / 9) 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
Múltiplos de um número natural 
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. 
Podemos dizer então que: 
 
“30 é divisível por 6 porque existe um número natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.” 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
34 
 
Um número natural a é divisível por um número natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal 
que c . b = a. 
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que: 
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30. 
 
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela 
sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números 
da sucessão dos naturais: 
 
 
 
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 
14, 21, 28,...}. 
 
Observações: 
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo. 
- Todo número natural é múltiplo de 1. 
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. 
- O zero é múltiplo de qualquer número natural. 
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2k 
(kN). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2k + 1 (k 
N). 
O mesmo se aplica para os números inteiros, tendo k Z. 
 
Critérios de divisibilidade 
São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem 
efetuarmos a divisão. 
 
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando 
ele é par. 
 
Exemplos 
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6, e é par. 
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1, e não é par. 
 
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos é divisível por 3. 
 
Exemplos 
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3. 
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos são 00 ou 
formam um número divisível por 4. 
 
Exemplos 
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00. 
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4. 
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
35 
 
Exemplos 
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0. 
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5. 
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4. 
 
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
 
Exemplos 
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). 
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16). 
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2. 
 
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o último algarismo do número, multiplicado 
por 2, subtraído do número sem o algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Neste, o processo será 
repetido a fim de diminuir a quantidade de algarismos a serem analisados quanto à divisibilidade por 7. 
 
Exemplo 
41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9.2 = 18 ; 4190 – 18 = 4172 → 2.2 = 4 ; 417 – 4 = 
413 → 3.2 = 6 ; 41 – 6 = 35 ; 35 é multiplo de 7. 
 
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou 
formarem um número divisível por 8. 
 
Exemplos 
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000. 
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 
8. 
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é 
divisível por 8. 
 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos formam um número divisível por 9. 
 
Exemplos 
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9. 
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando seu algarismo da unidade termina em 
zero. 
 
Exemplos 
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero. 
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero. 
 
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos 
de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11 ou 
quando essas somas forem iguais. 
 
Exemplos 
 - 43813: 
a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 
15.) 
4 3 8 1 3 
Apostila gerada especialmente para: Álvaro L 114.943.344-29
 
36 
 
 2º 4º  Algarismos de posição par. (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 
 
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11. 
 
-83415721: