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Matéria: Estatística 
Professor: Alex Lira 
 
 
 
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Teoria e questões comentadas 
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SUMÁRIO 
MÉDIA ................................................................................................ 3 
1. Introdução ...................................................................................... 3 
2. Média para Dados em Rol .................................................................. 6 
3. Média para Dados Agrupados por Valor ............................................... 8 
4. Média para Dados Agrupados em Classes ........................................... 11 
5. Propriedades da Média Aritmética ..................................................... 16 
6. Média Ponderada ............................................................................ 19 
7. Média Geométrica ........................................................................... 20 
8. Média Harmônica ............................................................................ 22 
9. Comparação Entre as Médias ........................................................... 24 
10. Média das Médias ......................................................................... 27 
MEDIANA .......................................................................................... 28 
1. Introdução .................................................................................... 28 
2. Mediana para Dados em Rol ............................................................. 28 
3. Mediana para Dados Agrupados por Valor .......................................... 29 
4. Mediana para Dados Agrupados em Classes ....................................... 32 
5. Propriedades da Mediana ................................................................. 41 
MODA ............................................................................................... 42 
1. Introdução .................................................................................... 42 
2. Moda para Dados em Rol ................................................................. 43 
3. Moda para Dados Agrupados por Valor .............................................. 45 
4. Moda para Dados Agrupados em Classes ........................................... 46 
5. Propriedades da Moda ..................................................................... 51 
QUESTÕES COMENTADAS ................................................................... 52 
LISTA DE QUESTÕES .......................................................................... 58 
 
 
 
Aula – Estatística Descritiva (parte 2) 
 
 
 
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MÉDIA 
 
 
1. Introdução 
Já estudamos como resumir dados por meio de tabelas e gráficos estatísticos. 
Porém, também é interessante resumir todas as informações que temos em um 
número. 
Uma forma utilizada para tanto, são as famosas medidas de posição! Como o 
nome já diz, elas nos fornecem informações acerca de posições que os dados 
ocupam. Podem ser de dois tipos: 
 Medidas de tendência central (média, mediana e moda); 
 Medidas separatrizes. 
As medidas de tendência central indicam valores aproximados em torno 
do qual as observações se agrupam. Um exemplo é a média aritmética. Se 
dissermos que o peso médio de um grupo de pessoas é 80 kg, é razoável esperar 
que os pesos “giraram” em torno de 80. Uma ou outra pessoa deve ter uns 90 
ou 100 quilos. Um ou outro deve ter tirado 50 ou 60 quilos. Mas a maioria deve 
ter um peso intermediário, girando em torno de 80 kg. 
As medidas separatrizes (Mediana, Quartil, Decil e Centil) nos ajudam a se-
parar os dados. Um exemplo de medida separatriz é o quartil. Uma série de 
dados possui três quartis que separam a série de dados em quatro partes com 
mesmo número de elementos. 
Em suma, temos o seguinte: 
 
 
Medidas de Posição
Medidas de 
Tendência Central
Média
Mediana
Moda
Medidas 
Separatrizes
Mediana
Quartil
Decil
Centil
 
 
 
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Adicionalmente, há diversas outras medidas estatísticas, tais como: 
 Medidas de Dispersão (Amplitude Total, Desvio Absoluto, Desvio Padrão, Va-
riância, Coeficiente de Variação, Variância Relativa); 
 Momentos Estatísticos; 
 Medidas de Assimetria; 
 Medidas de Curtose. 
Especificamente em relação ao cálculo da média, basta somar todos os valores 
observados e dividirmos este somatório pela quantidade total de observações: 
𝑴é𝒅𝒊𝒂 =
𝑺𝒐𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔
𝑸𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔
 
 
Pronto, meus amigos. Esse é o conceito de Média! Além disso, é importante 
termos em mente que a média sempre existe e é única! 
 
 
1- (ESAF - ACF/SEFAZ-CE/2007) Qual a variação (índice de aumento ou 
redução) do preço médio verificado na tabela de compras abaixo? 
 
a) 25%. b) 33%. c) 50%. d) 125%. e) 133% 
RESOLUÇÃO: 
O nosso objetivo consiste em obter a variação do preço médio verificado 
entre os anos X0 e X1. Para isso, precisamos calcular as médias dos valores 
dos produtos, em cada uma nos anos. 
Como faremos isso, professor? 
Ora, basta dividir o valor total gasto pela quantidade de produtos adquirida: 
 Para o ano X0: 
𝑿𝟎̅̅̅̅ =
20 + 20 + 20 + 30
10 + 20 + 10 + 20
= 𝟏, 𝟓 
 Para o ano X1: 
𝑿𝟏̅̅̅̅ =
40 + 60 + 40 + 40
20 + 30 + 20 + 20
= 𝟐 
 
 
 
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Com isso, a média subiu de 1,5 para 2, o que corresponde a um aumento de 
0,5 em 1,5. Percentualmente isso representa: 
0,5
1,5
= 𝟑𝟑, 𝟑𝟑% 
Gabarito 1: B. 
 
2- (FCC – Analista/BACEN/2006) A média aritmética dos salários dos 
100 empregados em uma empresa é de R$ 1 500,00. Na hipótese de serem 
demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2 500,00, e 
ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos 
remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de 
 a) R$ 1 375,00 
 b) R$ 1 350,00 
 c) R$ 1 345,00 
 d) R$ 1 320,00 
 e) R$ 1 300,00 
RESOLUÇÃO: 
Já que a média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa 
é de R$ 1 500,00, temos que a soma dos salários é: 
1500 . 100 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 
Na sequência, a questão cria a hipótese de 20 funcionários serem demitidos, 
sendo que cada um destes recebe salário de R$ 2.500,00. Com isso, a soma 
dos salários dos funcionários passa a ser de: 
150000 − 20 . 2500 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 
Posteriormente, é concedido um aumento de 10% a todos os funcionários re-
manescentes. Daí a nova soma será de: 
100000 . 1,1 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 
Dessa forma, tem-se que os 80 funcionários restantes receberão no total R$ 
110.000,00 de salário, resultando numa média de: 
110000
80
= 𝟏𝟑𝟕𝟓 
Gabarito 2: A. 
 
3- (FCC – Escriturário/Banco do Brasil/2011) Palmira faz parte de um 
grupo de 10 funcionários do Banco do Brasil cuja média das idades é 30 anos. 
 
 
 
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Se Palmira for excluída do grupo, a média das idades dos funcionários restantes 
passa a ser 27 anos. Assim sendo, a idade de Palmira, em anos, é 
a) 60. b) 57. c) 54. d) 52. e) 48. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam: 
𝑿𝑷: idade de Palmira. 
∑ 𝑿𝒊
𝟗
𝒊=𝟏 : soma das idades dos outros 9 funcionários do grupo, excluindo Palmira. 
Visto que a questão afirma que a média de idade do grupo dos 10 funcionários
é de 30 anos, temos: 
�̅� = 30 
𝑋𝑃 + ∑ 𝑋𝑖
9
𝑖=1
10
= 30 
𝑋𝑃 + ∑ 𝑋𝑖
9
𝑖=1
= 30 . 10 
𝑿𝑷 = 𝟑𝟎𝟎 − ∑ 𝑿𝒊
𝟗
𝒊=𝟏
 (I) 
Daí, a o enunciado vem nos dizer que, se Palmira for excluída do grupo, a 
média das idades dos funcionários restantes passa a ser 27 anos. Nessa situ-
ação, teremos: 
�̅� = 27 
∑ 𝑋𝑖
9
𝑖=1
9
= 27 
∑ 𝑿𝒊
𝟗
𝒊=𝟏
= 27 . 9 = 𝟐𝟒𝟑 (II) 
Substituindo (II) em (I), temos: 
𝑋𝑃 = 300 − 243 
𝑿𝑷 = 𝟓𝟕 
Portanto, Palmira tem 57 anos de idade, o que torna a letra B a opção cor-
reta. 
Gabarito 3: B. 
 
2. Média para Dados em Rol 
A partir de agora, estudaremos como calcular a média aritmética para três ca-
sos, conforme o conjunto de dados fornecido estiver: 
 
 
 
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 Em Rol 
 Agrupados por valor (Tabela de frequência) 
 Agrupados em classes (Distribuição de frequência) 
Quando o conjunto de dados for apresentado através de um Rol, para calcular 
a Média Aritmética, basta somar todos os valores e dividir pelo número 
de dados. A fórmula a ser utilizada é a seguinte: 
�̅� =
∑ 𝑿𝒊
𝒏
 
Em que: 
 𝐗 é a Média Aritmética; 
 Σ é o sinal de somatório. O que vier após este símbolo deverá ser somado! 
 Xi é cada elemento do conjunto; 
 n é o número de elementos do conjunto. 
 
 
4- (FCC – Escriturário/Banco do Brasil/2011) Suponha que certa Agên-
cia do Banco do Brasil tenha 25 funcionários, cujas idades, em anos, são as 
seguintes: 
24 − 24 − 24 − 25 − 25 − 30 − 32 − 32 − 32 
35 − 36 − 36 − 40 − 40 − 40 − 40 − 46 − 48 
48 − 50 − 54 − 54 − 60 − 60 − 65 
A média das idades dos funcionários dessa Agência, em anos, é igual a 
a) 36. b) 38. c) 40. d) 42. e) 44. 
RESOLUÇÃO: 
A questão nos apresenta um Rol composto pelas idades de 25 funcionários de 
uma Agência bancária. Daí, pede para calcularmos a média das idades de tais 
funcionários. 
O primeiro passo consiste em somar as 25 idades: 
24 + 24 + 24 + 25 + 25 + 30 + 32 + 32 + 32 + 35 + 36 + 36 + 40 + 40 + 
40 + 40 + 46 + 48 + 48 + 50 + 54 + 54 + 60 + 60 + 65 = 1000 
Em seguida, aplicamos a fórmula da Média Aritmética, obtendo: 
�̅� =
∑ 𝑿𝒊
𝒏
 
 
 
 
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�̅� =
1000
25
= 𝟒𝟎 
Assim, a média das idades dos funcionários dessa Agência é de 40 anos. 
Gabarito 4: C. 
 
3. Média para Dados Agrupados por Valor 
No caso de o conjunto de dados ser apresentado por meio de uma tabela de 
frequências (agrupado por valor), a fórmula que utilizaremos para o cálculo 
da Média Aritmética será a seguinte: 
�̅� =
∑ 𝒇𝒊 . 𝑿𝒊
𝒏
 
 
Alguma semelhança com algo que já vimos? Sim, com certeza! Note que basta 
repetir a fórmula do Rol e acrescentar o fi no numerador. 
 
Para chegar à fórmula da Média de dados agrupados por valor basta acres-
centar a fi ao somatório presente na fórmula da Média para dados em Rol. 
 
Isto acontece porque temos que multiplicar cada valor de Xi pela sua respectiva 
frequência. Deste modo, quando os dados estão agrupados, a soma de todos os 
valores fica ligeiramente diferente. 
 
 
5- (ESAF – Técnico de Finanças e Controle/CGU/2008) Uma turma do 
ensino fundamental é formada por 5 crianças com idade igual a 10 anos, 5 com 
idade igual a 8 anos e 15 crianças com idade igual a 9 anos. Desse modo, a 
idade média destes alunos é, em anos: 
 a) maior que 9 
 b) igual a 8 
 c) menor que 9 
 d) igual a 9 
 e) maior que 10 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
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Vamos montar a tabela de frequências a seguir, com os dados fornecidos no 
enunciado, e incluir a coluna relativa ao produto entre xi e fi: 
xi fi xi . fi 
8 5 40 
9 15 135 
10 5 50 
Total 25 225 
 
Daí a média aritmética das idades dos alunos será calculada da seguinte 
forma: 
�̅� =
∑ 𝒇𝒊 . 𝑿𝒊
𝒏
 
�̅� =
225
25
= 𝟗 
Gabarito 5: D. 
 
6- (ESAF – Analista de Finanças e Controle/CGU/2008) Uma distribui-
ção de frequência com dados agrupados em classe forneceu os pontos médios 
de classes m e as respectivas frequências absolutas f abaixo: 
 
Calcule a média aritmética simples dos dados. 
a) 52. b) 52,25. c) 53,35. d) 54,15. e) 55. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos montar a tabela de frequências a seguir, com os dados fornecidos no 
enunciado, e incluir a coluna relativa ao produto entre xi e fi: 
m f m . f 
49 7 343 
52 15 780 
55 12 660 
 
 
 
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58 5 290 
61 1 61 
Total 40 2134 
 
Daí a média aritmética das idades dos alunos será calculada da seguinte 
forma: 
�̅� =
∑ 𝒇𝒊 . 𝑿𝒊
𝒏
 
�̅� =
2134
40
= 𝟓𝟑, 𝟑𝟓 
Gabarito 6: C. 
 
7- (FCC - ATARH/SERGAS/2013) A tabela mostra o número de funcioná-
rios de uma empresa presentes ao trabalho durante os cinco dias de uma se-
mana. 
 
Na 5ª feira não houve faltas. A média diária de faltas de funcionários, nessa 
semana, foi, aproximadamente: 
a) 18. b) 12. c) 26. d) 30. e) 20. 
RESOLUÇÃO: 
A questão afirma que na quinta-feira nenhum funcionário faltou ao trabalho, e 
nesse dia estiveram presentes 240. Sendo assim, concluímos que o total de 
funcionários na empresa é justamente 240. 
Se, de segunda-feira a sexta-feira, todos os 240 funcionários comparecessem 
ao trabalho, teríamos o seguinte total ao longo da semana: 
5 . 240 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 
Porém, não foi isso o que ocorreu. De acordo com a tabela apresentada pelo 
enunciado, o total de funcionários presentes foi de: 
216 + 204 + 228 + 240 + 180 = 𝟏𝟎𝟔𝟖 
 
 
 
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Assim, a quantidade de ausências durante a semana foi de: 
1200 − 1068 = 𝟏𝟑𝟐 
Por fim, já que tivemos 132 ausências nos 5 dias úteis da semana, a média 
diária de faltas de funcionários foi de: 
132
5
= 𝟐𝟔, 𝟒 
Gabarito 7: C. 
 
4. Média para Dados Agrupados em Classes 
Visto que na distribuição de frequência trabalhamos com dados em classes (e 
não com elementos individualizados), não faremos uso do elemento Xi. Ele terá 
que ser substituído por um valor que melhor representa cada classe. De quem 
estamos falando? É o Ponto Médio! Daí a fórmula para o cálculo da Média 
para dados agrupados em classes será: 
�̅� =
∑ 𝒇𝒊 . 𝑷𝑴
𝒏
 
 
 
Para chegar à fórmula da Média de dados agrupados em classes basta 
substituir Xi presente na fórmula da Média para dados agrupados por va-
lor pelo Ponto Médio. 
 
 
8- (ESAF - Estatístico/MIN/2012) A distribuição de frequências em clas-
ses do salário mensal x, medido em número de salários mínimos, de uma amos-
tra aleatória de 50 funcionários de uma empresa, é apresentado a seguir. 
 
Usando o ponto médio como representativo da classe, determine o valor mais 
próximo da média amostral do salário mensal. 
 
 
 
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a) 14,5 b) 15,0 c) 15,8 d) 16,1 e) 16,5 
RESOLUÇÃO: 
A questão nos apresenta a seguinte distribuição de frequências: 
X f 
Mais de 0 a 10 22 
Mais de 10 a 20 13 
Mais de 20 a 30 10 
Mais de 30 a 40 3 
Mais de 40 a 50 2 
Total 50 
 
Em seguida, incluímos a coluna referente ao Ponto Médio: 
X f PM 
Mais de 0 a 10 22 5 
Mais de 10 a 20 13 15 
Mais de 20 a 30 10 25 
Mais de 30 a 40 3 35 
Mais de
40 a 50 2 45 
Total 50 
 
Por fim, inserimos a coluna relativa ao produto fi x PM: 
X f PM f x PM 
Mais de 0 a 10 22 5 110 
Mais de 10 a 20 13 15 195 
Mais de 20 a 30 10 25 250 
Mais de 30 a 40 3 35 105 
Mais de 40 a 50 2 45 90 
Total 50 750 
 
Dessa forma, a Média Aritmética será: 
�̅� =
∑ 𝒇𝒊 . 𝑷𝑴
𝒏
 
 
 
 
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�̅� =
750
50
= 𝟏𝟓 
Gabarito 8: B. 
 
9- (FCC - AC/TCE-PR/2011) A distribuição dos salários dos 1000 funcio-
nários da companhia A, em número de salários mínimos, está apresentada na 
tabela abaixo: 
 
A média dos salários, calculada supondo-se que todos os valores dentro de uma 
faixa salarial tenham seus valores iguais ao ponto médio desta faixa, em número 
de salários mínimos, é igual a 
a) 4,2. b) 4,5. c) 4,6. d) 4,8. e) 5,0. 
RESOLUÇÃO: 
A questão nos apresenta a seguinte distribuição de frequências: 
Classes f 
1 a 3 200 
3 a 5 400 
5 a 7 200 
7 a 9 200 
Total 1000 
 
Vamos ser um pouco mais rápidos, inserindo ao mesmo tempo as colunas rela-
tivas ao Ponto Médio e ao Produto fi x PM: 
Classes f PM f x PM 
1 a 3 200 2 400 
3 a 5 400 4 1600 
5 a 7 200 6 1200 
7 a 9 200 8 1600 
Total 1000 4800 
 
Dessa forma, a Média Aritmética será: 
 
 
 
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�̅� =
∑ 𝒇𝒊 . 𝑷𝑴
𝒏
 
�̅� =
4800
1000
= 𝟒, 𝟖 
Gabarito 9: D. 
 
10- (ESAF - AFRE/SEFAZ-PA/2002) A tabela de frequências abaixo deve 
ser utilizada na questão e apresenta as frequências acumuladas (F) correspon-
dentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) - 
em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem reali-
zações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. 
 
Assinale a opção que corresponde ao salário anual médio estimado para o de-
partamento de fiscalização da Cia. X. 
a) 70,0 b) 69,5 c) 68,0 d) 74,4 e) 60,0 
RESOLUÇÃO: 
A questão nos apresenta a seguinte distribuição de frequências: 
Classes f 
29,5 – 39,5 2 
39,5 – 49,5 6 
49,5 – 59,5 13 
59,5 – 69,5 23 
69,5 – 79,5 36 
79,5 – 89,5 45 
89,5 – 99,5 50 
 
Porém, note que a segunda coluna se refere à frequência acumulada. Logo, 
teremos que criar a coluna da frequência absoluta: 
Classes fac f 
29,5 – 39,5 2 2 
 
 
 
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39,5 – 49,5 6 4 
49,5 – 59,5 13 7 
59,5 – 69,5 23 10 
69,5 – 79,5 36 13 
79,5 – 89,5 45 9 
89,5 – 99,5 50 5 
Total 50 
 
Em seguida, incluímos a coluna referente ao Ponto Médio: 
Classes f PM 
29,5 – 39,5 2 34,5 
39,5 – 49,5 4 44,5 
49,5 – 59,5 7 54,5 
59,5 – 69,5 10 64,5 
69,5 – 79,5 13 74,5 
79,5 – 89,5 9 84,5 
89,5 – 99,5 5 94,5 
Total 50 
 
Por fim, inserimos a coluna relativa ao produto fi x PM: 
Classes f PM fi x PM 
29,5 – 39,5 2 34,5 69 
39,5 – 49,5 4 44,5 178 
49,5 – 59,5 7 54,5 381,5 
59,5 – 69,5 10 64,5 645 
69,5 – 79,5 13 74,5 968,5 
79,5 – 89,5 9 84,5 760,5 
89,5 – 99,5 5 94,5 472,5 
Total 50 3475 
 
Dessa forma, a Média Aritmética será: 
 
 
 
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�̅� =
∑ 𝒇𝒊 . 𝑷𝑴
𝒏
 
�̅� =
3475
50
= 𝟔𝟗, 𝟓 
Gabarito 10: B. 
 
5. Propriedades da Média Aritmética 
Vamos agora conhecer algumas propriedades importantíssimas sobre média 
aritmética para que possamos garantir alguma eventual questão teórica sobre 
este assunto. 
 
 
Das duas primeiras propriedades, concluímos que a média aritmética sofre 
influência das quatro operações! 
Com relação às duas últimas propriedades, vamos verificá-las por meio de um 
exemplo. Consideremos a sequência de dados (3, 5, 6, 7 ,8 ,10, 12, 15, 15). 
Calculemos sua média aritmética: 
•Somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento
do conjunto, a média do novo conjunto fica aumentada ou
diminuída de c.
1ª PROPRIEDADE
•Multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de
dados por uma constante c, a média do novo conjunto fica
multiplicada ou dividida por c.
2ª PROPRIEDADE
•A soma dos desvios tomados em relação à média é igual a
zero.
3ª PROPRIEDADE
•A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à
média aritmética é um valor mínimo.
4ª PROPRIEDADE
•A Média é influenciada por valores extremos.
5ª PROPRIEDADE
 
 
 
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�̅� =
∑ 𝑿𝒊
𝒏
 
�̅� =
81
9
= 𝟗 
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento 
de um conjunto de valores e a média aritmética. Para o exemplo dado, temos: 
 𝑑1 = 𝑥1 − �̅� = 3 − 9 = −6 
 𝑑2 = 𝑥2 − �̅� = 5 − 9 = −4 
 𝑑3 = 𝑥3 − �̅� = 6 − 9 = −3 
 𝑑4 = 𝑥4 − �̅� = 7 − 9 = −2 
 𝑑5 = 𝑥5 − �̅� = 8 − 9 = −1 
 𝑑6 = 𝑥6 − �̅� = 10 − 9 = 1 
 𝑑7 = 𝑥7 − �̅� = 12 − 9 = 3 
 𝑑8 = 𝑥8 − �̅� = 15 − 9 = 6 
 𝑑9 = 𝑥9 − �̅� = 15 − 9 = 6 
Facilmente verificamos que a soma dos desvios em relação à média é igual a 
zero. De fato: 
∑ 𝑑𝑖 = (−6) + (−4) + (−3) + (−2) + (−1) + 1 + 3 + 6 + 6 = 𝟎 
Dessa forma, a veracidade da 3ª propriedade fica comprovada! Por fim, verifi-
quemos a 4ª propriedade. 
Calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação à média aritmé-
tica: 
∑ 𝑑𝑖
2 = (−6)2 + (−4)2 + (−3)2 + (−2)2 + (−1)2 + 12 + 32 + 62 + 62 = 𝟏𝟒𝟖 
A propriedade nos diz que, para o conjunto de dados considerado, o valor 148 
é um valor mínimo. O que isso significa? Bem, se construirmos um conjunto 
dos desvios di’ formado pela diferença entre os elementos xi do conjunto e uma 
constante que não seja a média, ou seja, um conjunto dos desvios em torno de 
um valor qualquer diferente da média e, feito isso, acharmos o conjunto (di’)2 
e em seguida calcularmos o seu somatório, este último valor será maior do que 
148. 
Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação ao nú-
mero 5 (diferente da média aritmética 9): 
∑(𝑑𝑖
′)2 = (−2)2 + 02 + 12 + 22 + 32 + 52 + 72 + 102 + 102 = 𝟐𝟗𝟐 
Daí, temos que: 
 
 
 
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∑(𝒅𝒊
′)𝟐 > ∑ 𝒅𝒊
𝟐 
Dessa maneira, também conseguimos comprovar a veracidade da 4ª proprie-
dade! 
Por fim, o que se quer dizer ao afirmar que a média é influenciada por valo-
res extremos? Considere o conjunto {1, 3, 5, 7, 9}. Bem, a sua média é 5. 
Mas, e se trocarmos o valor extremo 9 por 900? Ora, o conjunto ficaria total-
mente diferente: {1, 3, 5, 7, 900}. Além disso, a própria média desse novo 
conjunto seria alterada. Para quanto? Feitos os cálculos, a nova média é 183,2. 
Realmente a diferença entre as duas médias é imensa. Isso ocorre por que a 
Média sofre influência de valores extremos! 
 
 
11- (FCC/SEFAZ-BA/2004) Uma administradora de locação de imóveis, 
com o objetivo de analisar o mercado em sua região, procedeu às seguintes 
operações: 
I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira 
II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I. 
III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II 
IV. Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. 
Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos 
valores dos alugueis em reais é: 
a) 2300 b) 1700 c) 1500 d) 1300 e) 750 
RESOLUÇÃO: 
Seja �̅� a média
dos aluguéis da carteira de imóveis da administradora de loca-
ção. 
Primeiro, todos os valores são multiplicados por dois. De acordo com a primeira 
propriedade, a média desses novos valores também será dobrada: 
Média dos valores obtidos no item I: 𝟐�̅� 
Depois, todos os valores são subtraídos por R$ 1.200,00. De acordo com a pri-
meira propriedade, a média desses novos valores também será reduzida de 
R$ 1.200,00: 
Média dos valores obtidos no item II: 𝟐�̅� − 𝟏𝟐𝟎𝟎 
Por fim, todos os valores são divididos por R$ 1.000,00. De acordo com a se-
gunda propriedade, a média também ficará dividida por mil: 
 
 
 
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Média dos valores obtidos em III: 
𝟐�̅�−𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎
 
Por fim, o enunciado afirma que a média dos valores obtidos no item III é de 
3/10. Logo: 
2�̅� − 1200
1000
=
3
10
 
2�̅� − 1200 =
3000
10
 
2�̅� = 1200 + 300 
�̅� = 𝟕𝟓𝟎 
Gabarito 11: E. 
 
6. Média Ponderada 
A média ponderada é uma variação da média aritmética. Trata-se da situação 
em que cada um dos elementos do Rol possui um peso. 
Para um conjunto de dados x1, x2, ... xn afetados por pesos p1, p2, ..., pn, res-
pectivamente, tem-se que a média aritmética ponderada é definida por: 
�̅� =
∑ 𝒑𝒊 . 𝒙𝒊
∑ 𝒑𝒊
 
 
 
12- (ESAF/Prefeitura de Recife/2003) Em uma amostra, realizada para 
se obter informação sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encon-
trou-se que o salário médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para 
os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale 
a opção correta. 
a) O número de homens na amostra é igual ao de mulheres. 
b) O número de homens na amostra é o dobro do de mulheres. 
c) O número de homens na amostra é o triplo do de mulheres. 
d) O número de mulheres é o dobro do número de homens. 
e) O número de mulheres é o quádruplo do número de homens. 
RESOLUÇÃO: 
A questão afirma que o salário médio observado para os homens foi de R$ 
1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. 
 
 
 
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Você concorda que, se no conjunto houvesse mais homens, a média geral esta-
ria mais próxima de R$ 1.300,00? 
Certamente, professor! 
Logicamente, se houvesse mais mulheres, a média geral estaria mais próxima 
de 1100. 
Porém, o fato é que o enunciado nos disse que a média geral foi de R$ 1.200,00. 
Ou seja, exatamente no meio! E o que isso significa? Ora, que a quantidade 
de mulheres é igual à de homens. 
Com isso, já encontramos que a alternativa correta é a letra A. De toda forma, 
vamos fazer os cálculos. 
O desenho que representa a situação descrita no enunciado é o seguinte: 
 
Dessa maneira, obtemos os percentuais de homens e de mulheres: 
 
Gabarito 12: A. 
 
7. Média Geométrica 
Na matemática, a Média Geométrica é um tipo de média ou aproximação, que 
indica a tendência central ou o valor típico de um conjunto de números usando 
o produto dos seus valores (ao contrário da média aritmética que usa a soma 
dos valores). 
A média geométrica é definida como n-ésima raiz (onde n é a quanti-
dade de termos) da multiplicação dos termos. Logo: 
𝑮 = √𝑿𝟏 . 𝑿𝟐 . 𝑿𝟑 . . . 𝑿𝒏
𝒏 
 
 
 
 
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Assim, para calcularmos a média geométrica entre números devemos realizar a 
multiplicação entre eles e, logo em seguida, extrair a raiz com índice igual ao 
número de fatores utilizados na multiplicação. 
 
Por exemplo, ao calcular a média geométrica dos números 2, 4 e 6, efetuamos 
o seguinte cálculo: 
𝐺 = √2 . 4 . 6
3
= √48
3
≅ 𝟑, 𝟔𝟑 
 
A média geométrica é muito utilizada nas situações envolvendo aumentos su-
cessivos. 
 
Por exemplo, vamos considerar um aumento de salário sucessivo de 15% no 
primeiro mês, 12% no segundo mês e 21% no terceiro mês. 
Vamos determinar a média geométrica dos aumentos. Porém, as taxas per-
centuais devem ser transformadas em taxa unitárias. Logo: 
𝐺 = √1,15 . 1,12 . 1,21 
3
= √1,55848
3
= 𝟏, 𝟏𝟓𝟗𝟒 
O valor 1,1594 corresponde a taxa média de 15,94% de todos os aumentos 
sucessivos. Isso indica que se aplicarmos três vezes consecutivas a taxa de 
15,94% corresponderá ao aumento sucessivo dos percentuais de 15%, 12% e 
21%. 
 
 
13- (FCC - Analista/DPE-RS/2013) A média geométrica dos números 4, 8 
e 16 é 
 a) maior que a respectiva média aritmética. 
 b) inferior a 6. 
 c) igual a 8. 
 d) igual a 4. 
 e) superior a 9. 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
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Acabamos de aprender que a média geométrica é definida como n-ésima 
raiz (onde n é a quantidade de termos) da multiplicação dos termos. 
Logo: 
𝑮 = √𝑿𝟏 . 𝑿𝟐 . 𝑿𝟑 . . . 𝑿𝒏
𝒏 
𝑮 = √4 . 8 . 16
3
= √512
3
= 𝟖 
Gabarito 13: C. 
 
8. Média Harmônica 
Em Matemática, a média harmônica (às vezes chamado de média subcontrária) 
é um dos vários métodos de calcular uma média. 
Definimos a Média Harmônica entre os números reais e positivos x1, x2, x3, 
..., xn como sendo o inverso da média aritmética do inverso destes nú-
meros. Logo: 
Como sabemos a média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn é dada por: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒏
 
Só que no caso da Média Harmônica estamos falando do inverso destes nú-
meros, então teríamos a seguinte média aritmética: 
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+
1
𝑥3
+ ⋯ +
1
𝑥𝑛
𝑛
 
Além disto, como vimos que a Média Harmônica é o inverso da média aritmé-
tica do inverso dos referidos números, então finalmente temos: 
𝑯 =
𝒏
𝟏
𝒙𝟏
+
𝟏
𝒙𝟐
+ ⋯ +
𝟏
𝒙𝒏
 
 
A média harmônica é utilizada quando estamos trabalhando com grandezas 
inversamente proporcionais. 
Um exemplo clássico é aquele onde estamos trabalhando com velocidade e 
tempo, pois ao aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para 
percorrer um determinado trajeto e vice-versa. 
 
Suponha que, em uma determinada viagem, um carro desenvolva duas veloci-
dades distintas, durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 50 
 
 
 
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km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. Vamos de-
terminar a velocidade média do veículo durante o percurso. 
De acordo com a média harmônica temos a seguinte relação: 
𝑯 =
𝒏
𝟏
𝒙𝟏
+
𝟏
𝒙𝟐
+ ⋯ +
𝟏
𝒙𝒏
 
𝑯 =
2
1
50
+
1
60
=
2
6 + 5
300
= 2 .
300
11
=
600
11
≅ 𝟓𝟒 
A velocidade média do veículo durante todo o percurso será de aproximada-
mente 54 km/h. 
 
Caso calculássemos a velocidade média utilizando a média aritmética chegaría-
mos ao resultado de 55 km/h. Esse valor demonstra que a velocidade e o tempo 
de percurso nos dois trechos seriam iguais. Mas precisamos considerar que no 
primeiro trecho o automóvel levou um tempo maior para o percurso, pois a 
velocidade era de 50 km/h e no segundo trecho o tempo decorrido foi menor, 
devido à velocidade de 60 km/h. 
Nesse momento, observamos a relação inversa entre velocidade e tempo e, 
para que não ocorra erro, é aconselhável nessas condições a utilização da média 
harmônica. 
 
 
14- (ESAF - ATRFB/Receita Federal do Brasil/2006) Um motorista de 
táxi faz 10 viagens ida-e-volta do aeroporto Santos Dumont ao aeroporto do 
Galeão, no Rio de Janeiro. Ele calcula e anota a velocidade média, em quilôme-
tros por hora, em cada uma dessas
viagens. O motorista quer, agora, saber 
qual a velocidade média do táxi para aquele percurso, em quilômetros por hora, 
considerando todas as 10 viagens ida-e-volta. Para tanto, ele deve calcular a 
média 
 a) aritmética dos inversos das velocidades médias observadas. 
 b) geométrica das velocidades médias observadas. 
 c) aritmética das velocidades médias observadas. 
 d) harmônica das velocidades médias observadas. 
 e) harmônica dos inversos das velocidades médias observadas. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam: 
 
 
 
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d: A distância de cada viagem; 
ti: tempo de percurso da i-ésima viagem; 
vi: velocidade média da i-ésima viagem. 
Após as 10 viagens, a distância total será de 10d. Por sua vez, o tempo total 
gasto será de: 
∑ 𝑡𝑖
10
𝑖=1
 
Sabemos que a velocidade média é dada pela divisão entre a distância total 
percorrida e o tempo total do percurso: 
𝑣𝑚 =
10𝑑
∑ 𝑡𝑖
10
𝑖=1
 
Fazendo o inverso, temos: 
1
𝑣𝑚
=
∑ 𝑡𝑖
10
𝑖=1
10𝑑
 
1
𝑣𝑚
= (
𝑡1
𝑑
+
𝑡2
𝑑
+ ⋯ +
𝑡10
𝑑
) ÷ 10 
1
𝑣𝑚
= (
1
𝑣1
+
1
𝑣2
+ ⋯ +
1
𝑣10
) ÷ 10 
𝒗𝒎 =
𝟏
𝟏
𝒗𝟏
+
𝟏
𝒗𝟐
+ ⋯ +
𝟏
𝒗𝟏𝟎
𝟏𝟎
 
Da equação acima, concluímos que a velocidade média é o inverso da média 
aritmética dos inversos das velocidades observadas, o que torna vm a média 
harmônica de tais velocidades. 
Gabarito 14: D. 
 
9. Comparação Entre as Médias 
Para qualquer conjunto de n números positivos, a média harmônica é menor 
ou igual à média geométrica e esta é menor ou igual à média aritmética. 
A igualdade só ocorre se todos os números forem iguais entre si. 
COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS 
𝑯 ≤ 𝑮 ≤ �̅� 
(a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
 
 
 
 
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15- (ESAF - AFRFB/Receita Federal do Brasil/2005) Assinale a opção 
que expresse a relação entre as médias aritmética ( ), geométrica (G) e har-
mônica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn): 
a) G≤H≤X¯¯¯¯, com G=H=X¯¯¯¯ somente se os n valores forem todos iguais. 
b) G≤X¯¯¯¯≤HH, com G=X¯¯¯¯=H somente se os n valores forem todos iguais. 
c) X¯¯¯¯≤G≤H, com X¯¯¯¯=G=H somente se os n valores forem todos iguais. 
d) H≤G≤X¯¯¯¯, com H=G=X¯¯¯¯somente se os n valores forem todos iguais. 
e) X¯¯¯¯≤H≤G, com X¯¯¯¯=H=G somente se os n valores forem todos iguais. 
RESOLUÇÃO: 
A questão cobra o conhecimento da relação existente entre tipos de médias. 
Para qualquer conjunto de n números positivos, a média harmônica é menor 
ou igual à média geométrica e esta é menor ou igual à média aritmética. 
Por outro lado, tais médias terão valores iguais se todos os números também 
forem iguais entre si. 
Em suma, temos: 
COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS 
𝑯 ≤ 𝑮 ≤ �̅� 
(a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
 
Gabarito 15: D. 
 
16- (ESAF - Analista Técnico/SUSEP/2006) Para um conjunto determi-
nado de números positivos temos: X¯¯¯¯ como a média aritmética, G como a 
média geométrica e H como a média harmônica, podemos afirmar que 
a) X¯¯¯¯ menor ou igual a G menor ou igual a H. 
b) G maior do que X¯¯¯¯ maior do que H. 
c) X¯¯¯¯ menor ou igual a H menor ou igual a G. 
d) H menor ou igual a G menor ou igual a X¯¯¯¯ . 
e) H maior do que G maior do que X¯¯¯¯ . 
RESOLUÇÃO: 
Vimos que a relação entre as médias resulta: 
 
 
 
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𝑯 ≤ 𝑮 ≤ �̅� 
(a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais) 
 
Gabarito 16: D. 
 
17- (CESPE – Analista Judiciário/TST/2008) Considere que, em um am-
biente de trabalho industrial, as seguintes medições acerca da poluição do ar 
tenham sido observadas: 1, 6, 4, 3, 2, 3, 1, 5, 1, 4. Nessa situação, julgue o 
item que se segue. 
As médias harmônica e geométrica são ambas inferiores a 3. 
RESOLUÇÃO: 
Acabamos de aprender que a média geométrica é definida como n-ésima 
raiz (onde n é a quantidade de termos) da multiplicação dos termos. 
Logo: 
𝑮 = √𝑿𝟏 . 𝑿𝟐 . 𝑿𝟑 . . . 𝑿𝒏
𝒏 
𝑮 = √1 . 6 . 4 . 3 . 2 . 3 . 1 . 5 . 1 . 4
10
= √8640
10
= 𝟐, 𝟒𝟕 
Como vimos, a Média Harmônica é o inverso da média aritmética do inverso 
dos referidos números, então temos: 
𝑯 =
𝒏
𝟏
𝒙𝟏
+
𝟏
𝒙𝟐
+ ⋯ +
𝟏
𝒙𝒏
 
 
Vamos efetuar os cálculos com os valores apresentados na questão: 
𝑯 =
𝒏
𝟏
𝒙𝟏
+
𝟏
𝒙𝟐
+ ⋯ +
𝟏
𝒙𝒏
 
𝐻 =
10
1
1
+
1
6
+
1
4
+
1
3
+
1
2
+
1
3
+
1
1
+
1
5
+
1
1
+
1
4
 
𝐻 =
10
60 + 10 + 15 + 20 + 30 + 20 + 60 + 12 + 60 + 15
60
 
𝑯 =
10
302
60
= 10 ÷
302
60
= 10 .
60
302
=
600
302
= 𝟏, 𝟗𝟗 
Dessa forma, as médias harmônica e geométrica são ambas inferiores a 3. 
Gabarito 17: Certo. 
 
 
 
 
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10. Média das Médias 
Suponha que uma sala de aula tenha 15 meninos com altura média de 1,60 m, 
ao passo que existem 20 meninas com 1,50 m de altura média. Qual será a 
altura média de toda a classe? 
Perceba que estamos diante de dois conjuntos menores (meninos e meninas) 
com suas respectivas médias, de modo que precisamos uni-los formando um 
conjunto maior. Em seguida, calculamos a Média das Médias apresentadas ou 
Média Global. 
Para isso, aplicamos a seguinte fórmula: 
�̅� =
𝒏𝑨 × �̅�𝑨 + 𝒏𝑩 × �̅�𝑩 + ⋯ + 𝒏𝑲 × �̅�𝑲
𝒏𝑨 + 𝒏𝑩 + ⋯ + 𝒏𝑲
 
Em que: 
 𝒏𝑨 é o número de elementos do primeiro conjunto menor 
 𝒏𝑩 é o número de elementos do segundo conjunto menor 
 𝒏𝑲 é o número de elementos do k-ésimo conjunto menor 
 �̅�𝑨 é a média dos elementos do primeiro conjunto menor 
 �̅�𝑩 é a média dos elementos do segundo conjunto menor 
 �̅�𝑲 é a média dos elementos do k-ésimo conjunto menor 
Note que a Média das Médias nada mais é que uma aplicação da Média Pon-
derada, em que a média de cada conjunto é multiplicada pela quantidade de 
elementos. 
Dessa maneira, utilizando a fórmula indicada ao caso dos alunos, temos: 
�̅� =
(𝒏𝑨 × �̅�𝑨) + (𝒏𝑩 × �̅�𝑩)
(𝒏𝑨 + 𝒏𝑩)
 
�̅� =
(15 × 1,60) + (20 × 1,50)
(15 + 20)
=
24 + 30
35
= 𝟏, 𝟓𝟒 
Assim, a altura média dos alunos da classe em consideração é 1,54 m. 
 
 
 
 
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MEDIANA 
 
 
1. Introdução 
A Mediana (Md) de um conjunto de valores é o elemento que se encontra 
no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma 
ordem, de tal forma que o conjunto fica separado em dois subconjuntos de 
mesmo número de elementos. 
Com isso, percebemos que a Mediana constitui não só uma medida de ten-
dência central, como também será considerada uma Medida Separatriz, já 
que separa o conjunto em duas partes iguais, conforme estudaremos mais adi-
ante. 
Assim como fizemos em relação à Média, aprenderemos como calcular a Medi-
ana para três casos, conforme o conjunto de dados fornecido estiver: 
 Em Rol 
 Agrupados por valor (Tabela de frequência) 
 Agrupados em classes (Distribuição de frequência) 
 
2. Mediana para Dados em Rol 
Quando o conjunto de dados for apresentado através de um Rol, para determi-
nar a Mediana, basta identificar o elemento que ocupa a posição cen-
tral do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais. 
O problema é que o número de elementos do conjunto (n) em consideração 
pode ser ímpar ou par. Em cada um desses casos, temos uma maneira dife-
rente de determinar a posição do elemento que
corresponde à Mediana: 
 
 
 
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18- (ESAF – Analista de Finanças e Controle/CGU/2008) Determine a 
mediana do seguinte conjunto de dados: 58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 
31, 28, 73, 5 e 56. 
a) 28. b) 31. c) 44. d) 50. e) 56. 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente, vamos organizar os dados brutos em Rol: 
5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95 
Note que temos um rol composto por 15 elementos. Logo, n é ímpar! Assim, 
a posição do elemento que corresponde à Mediana é calculada da seguinte 
forma: 
𝑛 + 1
2
=
15 + 1
2
= 𝟖 
Ou seja, a mediana corresponde ao termo que ocupa a 8ª posição no Rol. 
Vamos rever o nosso rol: 
5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95 
Portanto, a Mediana para o conjunto de dados fornecido é igual a 44, o que 
torna a letra C a nossa alternativa correta. 
Gabarito 18: C. 
 
3. Mediana para Dados Agrupados por Valor 
MEDIANA
𝒏 + 𝟏
𝟐
Se n for ÍMPAR.
Média aritmética entre:
𝒏
𝟐
e 
𝒏
𝟐
+ 𝟏
Se n for PAR.
 
 
 
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Ao contrário da média, para encontrar a mediana não trabalhamos com fre-
quências simples, mas sim com frequências acumuladas (tanto faz ser rela-
tiva ou absoluta). 
Assim, no caso de o conjunto de dados ser apresentado por meio de uma Ta-
bela de Frequências (agrupado por valor), a Mediana é identificada por meio 
da frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das fre-
quências. Daí, a mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal 
frequência acumulada. 
Vamos determinar a mediana da tabela de frequências a seguir. 
 
O primeiro passo consiste em descobrir o número de elementos do conjunto 
(n), a fim de saber se o resultado será par ou ímpar. No nosso caso, temos que 
um número ímpar de dados (n = 75). 
O próximo passo será construir a coluna da frequência acumulada (fac), já que 
ela revela a posição acumulada do elemento. Logo: 
Xi fi fac 
1 5 5 
3 10 15 
5 15 30 
7 20 50 
9 25 75 
 n = 75 
 
 
 
 
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O terceiro passo consiste em determinar as posições centrais do conjunto de 
dados. Como n é ímpar, temos apenas uma posição central, determinado da 
seguinte forma: 
𝑷𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 = 
𝒏 + 𝟏
𝟐
 
 
Então, efetuemos os cálculos: 
𝑷𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 = 
75 + 1
2
=
76
2
= 𝟑𝟖 
Assim, temos que a 38ª posição será a central! 
Como último passo, iremos comparar o valor da posição central com os valores 
da fac. Como funcionará isso? Bem, muito simples: procuraremos qual o valor 
da fac será maior ou igual ao valor da posição central. Feito isso, a Mediana 
será o elemento Xi correspondente à fac que encontramos! 
No nosso exemplo, sabemos que a posição central é a 38ª. Daí, a fac que é 
maior ou igual a 38 está na 4ª linha, cujo valor é 50. 
Em seguida, olhamos qual é o elemento Xi correspondente a esta fac: 
Xi fi fac 
1 5 5 
3 10 15 
5 15 30 
7 20 50 
9 25 75 
 n = 75 
 
Dessa maneira, será o elemento Xi = 7 que ocupa a posição central, correspon-
dendo à Mediana do conjunto de dados em consideração! 
Portanto, temos que: Md = 7. 
 
*************** 
Talvez você me pergunte: 
E se tivéssemos um conjunto de dados cujo número de elementos fosse par? 
 
 
 
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Nessa situação, teríamos dois elementos que ocupam a posição central. Daí, a 
Mediana será a média aritmética entre eles, calculada da seguinte forma: 
𝑴𝒅 =
𝟏ª 𝑷𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 + 𝟐ª 𝑷𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍
𝟐
 
Que tal esquematizarmos a nossa estratégia para determinar o valor da Mediana 
no caso de dados agrupados? 
 
4. Mediana para Dados Agrupados em Classes 
No cálculo da Mediana em uma distribuição de frequência não teremos a 
preocupação de determinarmos se o número de elementos é par ou ímpar. 
Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão: 
 
1º 
passo
• Descobrir se o número de elementos (n) é par ou ímpar.
2º 
passo
• Construir a coluna da fac.
3º 
passo
• Determinar as posições centrais do conjunto de dados. 
4º 
passo
• Procurar qual o valor da fac será maior ou igual ao valor 
da posição central.
5º 
passo
• A MEDIANA será o elemento Xi correspondente à fac
encontrada no passo anterior.
1º passo
• Descobrir quem é a Classe Mediana.
2º passo
• Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de
frequências.
 
 
 
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19- (ESAF - AFFE/SEFAZ-PI/2001) A Tabela abaixo mostra a distribuição 
de frequência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de 
uma firma. As frequências são acumuladas. 
 
Assinale a opção que corresponde ao salário mediano da firma. 
a) R$ 10.250,00 
b) R$ 8.000,00 
c) R$ 8.700,00 
d) R$ 9.375,00 
e) R$ 9.500,00 
RESOLUÇÃO: 
A questão nos apresenta a distribuição de frequências a seguir: 
Classes de Salário Frequências 
(5.000 – 6.500) 12 
(6.500 – 8.000) 28 
(8.000 – 9.500) 52 
(9.500 – 11.000) 74 
(11.000 – 12.500) 89 
 
 
 
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(12.500 – 14.000) 97 
(14.000 – 15.500) 100 
 
Em seguida, o enunciado nos pede para encontrarmos o salário mediano da 
firma. Para isso, seguiremos os dois passos que acabamos de aprender: 
 
 
Primeiramente, teremos de descobrir quem é a classe mediana. Algumas eta-
pas deverão ser seguidas. A primeira delas é determinar o valor da fração me-
diana: 
𝒏
𝟐
 
 
No nosso caso, teremos: 
𝑛
2
=
100
2
= 𝟓𝟎 
Em seguida, iremos comparar o valor da fração mediana (= 50) com os valores 
da fac. Como funcionará isso? Bem, muito simples: procuraremos qual o valor 
da fac será maior ou igual ao valor da fração. Feito isso, procuraremos a classe 
correspondente, e diremos que esta será a Classe Mediana! 
No nosso exemplo, sabemos que o valor da fração mediana é 50. Daí a fac que 
é maior ou igual a 50 está na 3ª linha, cujo valor é 52. 
Por fim, olhamos qual é classe correspondente a esta fac: 
Classes de Salário Frequências 
(5.000 – 6.500) 12 
1º passo
• Descobrir quem é a Classe Mediana.
2º passo
• Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de
frequências.
 
 
 
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(6.500 – 8.000) 28 
(8.000 – 9.500) 52 
(9.500 – 11.000) 74 
(11.000 – 12.500) 89 
(12.500 – 14.000) 97 
(14.000 – 15.500) 100 
 
Dessa maneira, a Classe Mediana será a terceira classe (8.000 – 9.500). 
Agora, só nos resta aplicar a Fórmula da Mediana: 
𝑴𝒅 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + [
𝒏
𝟐
− 𝒇𝒂𝒄𝑨𝑵𝑻
𝒇𝒊
] . 𝒉 
Em que: 
 Linf é o limite inferior da Classe Mediana; 
 facANT é a fac da classe anterior à classe mediana; 
 fi é a frequência absoluta simples da classe mediana; 
 h é a amplitude da classe mediana. 
Apliquemos a fórmula ao caso de nossa questão, lembrando que já encontramos 
a classe mediana: 
Classes de Salário fi Frequências 
(5.000 – 6.500) 12 12 
(6.500 – 8.000) 16 28 
(8.000 – 9.500) 24 52 
(9.500 – 11.000) 22 74 
(11.000
– 12.500) 11 89 
(12.500 – 14.000) 8 97 
(14.000 – 15.500) 3 100 
 
Classe 
Mediana 
Classe 
Anterior 
 
 
 
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Daí os dados necessários para a fórmula serão: 
 Linf = 8.000 
 facANT = 28 
 fi = 24 
 h = 1.500 
Assim, podemos substituir os dados na fórmula da mediana e efetuar os cál-
culos: 
𝑴𝒅 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + [
𝒏
𝟐
− 𝒇𝒂𝒄𝑨𝑵𝑻
𝒇𝒊
] . 𝒉 
𝑴𝒅 = 8000 + [
50 − 28
24
] . 1500 = 8000 +
22
24
. 1500 = 8000 + 1375 = 𝟗𝟑𝟕𝟓 
Gabarito 19: D. 
 
20- (ESAF - AFRFB/Receita Federal do Brasil/2000) Para efeito da ques-
tão faça uso da tabela de frequências abaixo. 
Frequências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que 
corresponde ao valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de 
frequências. 
a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 
RESOLUÇÃO: 
A questão nos apresenta a distribuição de frequências a seguir: 
Classes de Salário fac 
(3; 6] 12 
(6; 9] 30 
 
 
 
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(9; 12] 50 
(12; 15] 60 
(15; 18] 65 
(18; 21] 68 
 
Em seguida, o enunciado nos pede para encontrarmos o salário mediano da 
Cia. Alfa. 
Primeiramente, teremos de descobrir quem é a classe mediana. Algumas eta-
pas deverão ser seguidas. A primeira delas é determinar o valor da fração me-
diana: 
𝒏
𝟐
 
 
No nosso caso, teremos: 
𝑛
2
=
68
2
= 𝟑𝟒 
Em seguida, procuraremos qual o valor da fac será maior ou igual ao valor da 
fração mediana. Feito isso, procuraremos a classe correspondente, e diremos 
que esta será a Classe Mediana! 
No nosso exemplo, sabemos que o valor da fração mediana é 34. Daí a fac que 
é maior ou igual a 34 está na 3ª linha, cujo valor é 50. 
Por fim, olhamos qual é classe correspondente a esta fac: 
Classes de Salário fac 
(3; 6] 12 
(6; 9] 30 
(9; 12] 50 
(12; 15] 60 
(15; 18] 65 
(18; 21] 68 
 
Dessa maneira, a Classe Mediana será a terceira classe (9; 12]. 
 
 
 
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Agora, só nos resta aplicar a Fórmula da Mediana: 
𝑴𝒅 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + [
𝒏
𝟐 − 𝒇𝒂𝒄𝑨𝑵𝑻
𝒇𝒊
] . 𝒉 
Precisamos lembrar que já encontramos a classe mediana: 
Classes de Salário fi fac 
(3; 6] 12 12 
(6; 9] 18 30 
(9; 12] 20 50 
(12; 15] 10 60 
(15; 18] 5 65 
(18; 21] 3 68 
 
Assim, podemos substituir os dados na fórmula da mediana e efetuar os cál-
culos: 
𝑴𝒅 = 𝟗 + [
𝟑𝟒 − 𝟑𝟎
𝟐𝟎
] . 𝟑 
𝑴𝒅 = 9 +
4
20
. 3 = 9 + 0,6 = 𝟗, 𝟔 
Gabarito 20: B. 
 
21- (ESAF - Estatístico/MIN/2012) A distribuição de frequências em clas-
ses do salário mensal x, medido em número de salários mínimos, de uma amos-
tra aleatória de 50 funcionários de uma empresa, é apresentado a seguir. 
 
Determine o valor mais próximo da mediana do salário mensal da distribuição 
de frequências apresentada acima, interpolando linearmente dentro das classes, 
se necessário. 
Classe 
Anterior 
Classe 
Mediana 
 
 
 
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a) 15 b) 14,3 c) 13,7 d) 12,3 e) 7,3 
RESOLUÇÃO: 
A questão nos apresenta a distribuição de frequências a seguir: 
Classes de Salário f 
Mais de 0 a 10 22 
Mais de 10 a 20 13 
Mais de 20 a 30 10 
Mais de 30 a 40 3 
Mais de 40 a 50 2 
 
Em seguida, o enunciado nos pede para encontrarmos a mediana do salário 
mensal. 
Preliminarmente, construímos a coluna da frequência acumulada: 
Classes de Salário f fac 
Mais de 0 a 10 22 22 
Mais de 10 a 20 13 35 
Mais de 20 a 30 10 45 
Mais de 30 a 40 3 48 
Mais de 40 a 50 2 50 
 
A seguir, teremos de descobrir quem é a classe mediana. Algumas etapas 
deverão ser seguidas. A primeira delas é determinar o valor da fração medi-
ana: 
𝒏
𝟐
 
 
No nosso caso, teremos: 
𝑛
2
=
50
2
= 𝟐𝟓 
 
 
 
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Em seguida, procuraremos qual o valor da fac será maior ou igual ao valor da 
fração mediana. Feito isso, procuraremos a classe correspondente, e diremos 
que esta será a Classe Mediana! 
No nosso exemplo, sabemos que o valor da fração mediana é 25. Daí a fac que 
é maior ou igual a 25 está na 2ª linha, cujo valor é 35. 
Por fim, olhamos qual é classe correspondente a esta fac: 
Classes de Salário f fac 
Mais de 0 a 10 22 22 
Mais de 10 a 20 13 35 
Mais de 20 a 30 10 45 
Mais de 30 a 40 3 48 
Mais de 40 a 50 2 50 
 
Dessa maneira, a Classe Mediana será a segunda classe (10 a 20). 
Agora, só nos resta aplicar a Fórmula da Mediana: 
𝑴𝒅 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + [
𝒏
𝟐
− 𝒇𝒂𝒄𝑨𝑵𝑻
𝒇𝒊
] . 𝒉 
 
Precisamos lembrar que já encontramos a classe mediana: 
Classes de Salário f fac 
Mais de 0 a 10 22 22 
Mais de 10 a 20 13 35 
Mais de 20 a 30 10 45 
Mais de 30 a 40 3 48 
Mais de 40 a 50 2 50 
 
Assim, podemos substituir os dados na fórmula da mediana e efetuar os cál-
culos: 
Classe 
Anterior 
Classe 
Mediana 
 
 
 
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𝑴𝒅 = 𝟏𝟎 + [
𝟐𝟓 − 𝟐𝟐
𝟏𝟑
] . 𝟏𝟎 
𝑴𝒅 = 10 +
3
13
. 10 = 10 + 2,31 = 𝟏𝟐, 𝟑𝟏 
 
Gabarito 21: D. 
 
5. Propriedades da Mediana 
Vamos agora conhecer algumas propriedades sobre a Mediana. 
 
 
Das duas primeiras propriedades, concluímos que a Mediana também sofre 
influência das quatro operações, assim como acontece com a Média 
Aritmética! 
 
 
 
•Somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento
do conjunto, a Mediana do novo conjunto fica aumentada ou
diminuída de c.
1ª PROPRIEDADE
•Multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de
dados por uma constante c, a Mediana do novo conjunto fica
multiplicada ou dividida por c.
2ª PROPRIEDADE
•A Mediana não é influenciada por valores extremos.
3ª PROPRIEDADE
 
 
 
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MODA 
 
 
1. Introdução 
Quando vemos a palavra “moda”, provavelmente, pensamos em algo que todo 
mundo está fazendo ou usando, não é verdade? Por exemplo, a moda de uma 
campanha de vestuários é a “roupa” que as pessoas mais gostam de usar, ou 
seja, é a realização que mais ocorre! É essa a ideia por trás do conceito de 
Moda em termos estatísticos. 
 
 
Moda é aquele elemento que mais vezes aparece no conjunto, ou seja, trata-
se do elemento de maior frequência. 
 
Sendo assim, um conjunto de valores pode apresentar várias modas. Neste 
caso, dizemos ser Multimodal; caso contrário, será Amodal, quando o con-
junto é sem moda, com todos os valores das variáveis em consideração apre-
sentando a mesma frequência. Porém, o caso mais comum é do conjunto Uni-
modal, que possui apenas uma moda. 
Resumindo, temos o seguinte: 
 
 
 
22- (CESPE - AE/SEGER-ES/2013) A estatística é importante para a ges-
tão da qualidade, além de ser elemento imprescindível para o controle e a me-
lhoria de processos. 
Considerando determinada sequência de resultados, a grandeza estatística uti-
lizada para designar os dados que mais se repetem é 
a) a moda. 
b) o quartil inferior. 
Amodal
Sem moda
Unimodal
Uma única 
moda
Bimodal
Duas 
modas
Multimodal
Três ou 
mais modas
 
 
 
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c) a mediana. 
d) o desvio padrão. 
e) a média. 
RESOLUÇÃO: 
Acabamos de aprender que Moda é aquele elemento que mais vezes aparece 
ou se repete no conjunto, ou seja, trata-se do elemento de maior frequência. 
Gabarito 22: A. 
 
23- (CESPE - AUDITOR/TCE-ES/2012) Em pesquisa realizada para se es-
timar o salário médio dos empregados de uma empresa, selecionou-se, aleato-
riamente, uma amostra de nove empregados entre todos os empregados da 
empresa. Os dados de tempo de serviço, em anos, e salário, em quantidade de 
salários mínimos, dos indivíduos dessa amostra estão dispostos na tabela 
abaixo. 
 
A partir dos dados da tabela, julgue o item seguinte. 
Excluindo-se da amostra um empregado qualquer, nem o menor salário nem a 
moda amostral sofreriam alterações com relação aos valores observados na 
amostra completa. 
RESOLUÇÃO: 
Inicialmente, observamos que o menor salário é de 5 mínimos. De fato, há 
duas pessoas com este rendimento. Caso uma delas seja excluída da amostra, 
ainda assim a outra pessoa que ganha 5 salários mínimos permanecerá, man-
tendo a menor observação inalterada. 
Em relação à moda, sabemos que se trata do valor com maior frequência. 
Nesse sentido, a moda para os 6 salários é 6, pois são quatro pessoa com este 
rendimento. Mesmo que uma delas seja excluída da amostra, restariam três 
pessoas com 6 salários. Ou seja, ainda seria o valor que mais se repete. 
A que conclusão chegamos? Ora, é correto afirmar que o salário modal e o 
menor salário não seriam afetados pela exclusão de uma observação da 
amostra. 
Gabarito 23: Certo. 
 
2. Moda para Dados em Rol 
 
 
 
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A partir de agora, analisaremos o procedimento a ser aplicado para calcular a 
Moda para três casos, conforme o conjunto de dados fornecido estiver: 
 Em Rol 
 Agrupados por valor (Tabela de frequência) 
 Agrupados em classes (Distribuição de frequência) 
Quando o conjunto de dados for apresentado por meio de um Rol, a determi-
nação da Moda é bem tranquila: basta identificar o elemento que mais se 
repete! 
 
 
24- (CESPE - Analista/BACEN/2013) 
2 4 8 4 8 1 2 32 12 1 5 7 5 5 3 4 24 19 4 14 
Os dados mostrados acima representam uma amostra, em minutos, do tempo 
utilizado na armazenagem de formulários no almoxarifado central de certa ins-
tituição por diversos funcionários. 
Com base nesses dados, julgue o próximo item. 
A média da sequência de dados apresentada é superior ao dobro da moda. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos organizar os dados apresentados em uma tabela: 
Valor (X) Frequência (f) 𝑋 × 𝑓 
1 2 2 
2 2 4 
3 1 3 
4 4 16 
5 3 15 
7 1 7 
8 2 16 
12 1 12 
14 1 14 
19 1 19 
24 1 24 
32 1 32 
 
 
 
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Total 20 164 
 
Primeiramente calculamos a média, somando todas as observações e dividindo 
pela quantidade de dados, que foram 20: 
�̅� =
164
20
= 𝟖, 𝟐 
Em relação à moda dos dados, seu valor é 4 pois foi o termo com maior fre-
quência. 
Dessa maneira, a média é maior que o dobro da moda, o que torna o item 
certo. 
Gabarito 24: Certo. 
 
3. Moda para Dados Agrupados por Valor 
Quando os elementos forem apresentados numa tabela, de modo que os dados 
estejam agrupados por valor, a Moda será o termo que possui a maior fre-
quência absoluta simples. Dessa forma, teremos que procurar, na coluna do 
fi, qual é o maior valor. Feito isso, basta identificar o elemento Xi relacionado, 
que corresponderá à moda do conjunto. 
Suponha que nos seja questionado a respeito da moda do conjunto de dados a 
seguir: 
Xi fi 
1 3 
2 5 
3 4 
4 6 
5 2 
6 9 
 
Inicialmente, precisamos analisar qual é a maior frequência absoluta simples. 
Vejamos: 
Xi fi 
1 3 
2 5 
3 4 
4 6 
 
 
 
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5 2 
6 9 
 
Em seguida, identificamos o elemento Xi associado ao 9. Ou seja: 
Xi fi 
1 3 
2 5 
3 4 
4 6 
5 2 
6 9 
 
Assim, verificamos que a maior frequência simples é fi = 9, referente ao ele-
mento Xi = 6. Portanto, a Moda do conjunto de dados apresentado é o ele-
mento 6. 
 
 
25- (CESPE – Técnico Administrativo/ANATEL/2004) 
 
A tabela acima mostra os números mensais de reclamações (N) feitas por usu-
ários de telefonia fixa, registradas em uma central de atendimento, entre os 
meses de fevereiro a novembro de 2003. Considerando esses dados, julgue o 
item que se segue. 
A moda dos números mensais de reclamações registradas é igual a 100. 
RESOLUÇÃO: 
A Moda é o termo que possui maior frequência. No caso apresentado, o ele-
mento que mais se repete é o 50, aparecendo em três oportunidades. 
Gabarito 25: Errado. 
 
4. Moda para Dados Agrupados em Classes 
 
 
 
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Existem diversos métodos para o cálculo da Moda quando os dados são agru-
pados em classes. No entanto, precisamos nos concentrar no que é mais co-
brado em concursos públicos, de forma que analisaremos dois métodos especí-
ficos para determinarmos a Moda numa distribuição de frequências. 
Antes, porém, convém aprender a identificar a Classe Modal de determinado 
conjunto. Essa informação estará presente em quaisquer dos métodos que vi-
ermos a aplicar. 
E é muito simples reconhecer a Classe Modal. Ela corresponde à Classe que 
apresenta maior frequência absoluta simples. 
Por exemplo, considere a seguinte distribuição de frequências. 
Xi fi 
(0 – 10) 10 
(10 – 20) 28 
(20 – 30) 19 
(30 – 40) 34 
(40 – 50) 9 
 
Bem, a Classe Modal será a que possui maior fi. Qual será? 
Xi fi 
(0 – 10) 10 
(10 – 20) 28 
(20 – 30) 19 
(30 – 40) 34 
(40 – 50) 9 
 
Pronto, podemos concluir que a classe modal será a quarta (30 – 40), pois 
possui a maior frequência absoluta simples (fi = 34), podendo ser simbolizada 
por fM. 
Entendido esse ponto, podemos analisar os métodos mais cobrados nas provas 
para o cálculo da Moda quando os dados estão agrupados em Classes. 
 
4.1. Método de Czuber 
O método de Czuber para calcular a Moda é baseado na aplicação da seguinte 
fórmula: 
 
 
 
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𝑴 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + 𝒉 × (
𝒇𝑴 − 𝒇𝒂𝒏𝒕
(𝒇𝑴 − 𝒇𝒂𝒏𝒕) + (𝒇𝑴 − 𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕)
) 
Em que: 
 linf é o limite inferior da classe modal 
 h é a amplitude da classe modal 
 fM é o fi da classe modal 
 fant é o fi da classe anterior à classe modal 
 fpost é o fi da classe posterior à classe modal 
Neste caso, meu amigo e minha amiga, o que importa para as provas é real-
mente memorizar a fórmula de Czuber, entendendo o significado de cada 
termo presente nela. 
 
 
26- (ESAF - AFRFB/Receita Federal do Brasil/2002) O atributo do tipo 
contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida 
de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências se-
guinte: 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de 
Czuber. 
a) 69,50 b) 73,79 c) 71,20 d) 74,53 e) 80,10 
RESOLUÇÃO: 
A classe modal é aquela que apresenta maior frequência absoluta simples. 
Nesta questão, isso ocorre com a classe 69,5 – 79,5, cuja frequência (fM)
é 26, 
o limite inferir da classe modal (linf) é 69,5, frequência da classe anterior (fant) 
é 20, a frequência da classe posterior (fpost) é 18, e a amplitude é (h) 10. 
 
 
 
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Dessa forma, vamos ao cálculo da Moda por meio da fórmula de Czuber: 
𝑴 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + 𝒉 × (
𝒇𝑴 − 𝒇𝒂𝒏𝒕
(𝒇𝑴 − 𝒇𝒂𝒏𝒕) + (𝒇𝑴 − 𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕)
) 
𝑴 = 69,5 + 10 × (
26 − 20
(26 − 20) + (26 − 18)
) = 69,5 + 10 .
6
14
= 𝟕𝟑, 𝟕𝟗 
Gabarito 26: B. 
 
27- (CESPE - Analista/MPU/2010) Uma pesquisa sobre obesidade resul-
tou na seguinte distribuição da massa corporal para um grupo de 100 pessoas. 
 
 
A moda dessa distribuição é igual a 65. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos aplicar a fórmula de Czuber para obter a Moda da distribuição apre-
sentada, para a Classe Modal 60 – 70, com base nos seguintes dados: 
linf = 60 h = 10 fM = 30 fant = 20 fpost = 25 
 
𝑴 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + 𝒉 × (
𝒇𝑴 − 𝒇𝒂𝒏𝒕
(𝒇𝑴 − 𝒇𝒂𝒏𝒕) + (𝒇𝑴 − 𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕)
) 
𝑴 = 60 + 10 × (
30 − 20
(30 − 20) + (30 − 25)
) = 60 + 10 .
10
15
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟕 
Portanto, o item está errado ao afirmar que a moda da distribuição apresentada 
é igual a 65. 
Gabarito 27: Errado. 
 
28- (FCC - Analista/BACEN/2006) Considere a distribuição de frequências 
a seguir para resolver a questão. 
 
 
 
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O valor da moda, obtida com a utilização da Fórmula de Czuber, é igual a (des-
prezar os centavos na resposta) 
a) R$ 3.201,00 
b) R$ 3.307,00 
c) R$ 3.404,00 
d) R$ 3.483,00 
e) R$ 3.571,00 
RESOLUÇÃO: 
Vamos aplicar a fórmula de Czuber para obter a Moda da distribuição apre-
sentada, para a Classe Modal 3.000 – 4.000, com base nos seguintes dados: 
linf = 3.000 h = 1.000 fM = 16 fant = 8 fpost = 10 
 
𝑴 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + 𝒉 × (
𝒇𝑴 − 𝒇𝒂𝒏𝒕
(𝒇𝑴 − 𝒇𝒂𝒏𝒕) + (𝒇𝑴 − 𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕)
) 
𝑴 = 3.000 + 1.000 × (
16 − 8
(16 − 8) + (16 − 10)
) = 3.000 + 1.000 .
8
14
= 𝟑. 𝟓𝟕𝟏, 𝟒𝟑 
Gabarito 28: E. 
 
4.2. Método de King 
O Método de King para a obtenção da Moda de uma distribuição de frequências 
é baseado na aplicação da seguintes fórmula: 
𝑴 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + 𝒉 × (
𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕
𝒇𝒂𝒏𝒕 + 𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕
) 
 
Em que: 
 linf é o limite inferior da classe modal 
 h é a amplitude da classe modal 
 
 
 
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 fant é o fi da classe anterior à classe modal 
 fpost é o fi da classe posterior à classe modal 
Note que a fórmula de King é bem parecida com a utilizada no método de 
Czuber, havendo basicamente duas mudanças: 1) no cálculo entram apenas as 
frequências posterior e anterior, ignorando-se a fM; e 2) a fpost aparece duas 
vezes, enquanto em Czuber é utilizada apenas em uma oportunidade. 
Por fim, destaco que a fórmula de King é pouco cobrada em provas. Geral-
mente, quando o tópico “Moda” aparece numa questão ou se exige que na re-
solução seja utilizada a fórmula de Czuber ou não especifica o método a ser 
empregado. Apesar disso, já houve questão da própria ESAF que determinava 
o cálculo via King. Por isso, é bom memorizar mais essa fórmula! 
 
5. Propriedades da Moda 
Vamos agora conhecer algumas propriedades sobre a Moda para que possa-
mos garantir alguma eventual questão teórica sobre este assunto. 
 
 
Das duas primeiras propriedades, concluímos que a Moda sofre influência 
das quatro operações, assim como acontece com a Média Aritmética! 
 
 
 
 
• Somando ou subtraindo uma constante c de cada
elemento do conjunto, a Moda do novo conjunto fica
aumentada ou diminuída de c.
1ª PROPRIEDADE
• Multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto
de dados por uma constante c, a Moda do novo conjunto
fica multiplicada ou dividida por c.
2ª PROPRIEDADE
• A Moda não é influenciada por valores extremos.
3ª PROPRIEDADE
 
 
 
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QUESTÕES COMENTADAS 
 
 
29- (ESAF - ERSPE/ANEEL/2004) A questão diz respeito à distribuição de 
frequências seguinte associada ao atributo de interesse X. Não existem obser-
vações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Assinale a opção que dá, aproximadamente, a média amostral de X. 
a) 25,00 b) 17,48 c) 18,00 d) 17,65 e) 19,00 
RESOLUÇÃO: 
A questão nos apresenta a seguinte distribuição de frequências: 
Classes f 
0 a 10 120 
10 a 20 90 
20 a 30 70 
30 a 40 40 
40 a 50 20 
Total 340 
 
Em seguida, incluímos a coluna referente ao Ponto Médio: 
Classes f PM 
0 a 10 120 5 
10 a 20 90 15 
20 a 30 70 25 
30 a 40 40 35 
 
 
 
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40 a 50 20 45 
Total 340 
 
Por fim, inserimos a coluna relativa ao produto fi x PM: 
Classes f PM f x PM 
0 a 10 120 5 600 
10 a 20 90 15 1350 
20 a 30 70 25 1750 
30 a 40 40 35 1400 
40 a 50 20 45 900 
Total 340 6000 
 
Dessa forma, a Média Aritmética será: 
�̅� =
∑ 𝒇𝒊 . 𝑷𝑴
𝒏
 
�̅� =
6000
340
= 𝟏𝟕, 𝟔𝟓 
Gabarito 29: D. 
 
30- (ESAF - ACF/SEFAZ-CE/2007) Indicando por: 
- 𝐗: a média aritmética de uma amostra; 
- mg: a média geométrica da mesma amostra; e 
- mh: a média harmônica também da mesma amostra. 
E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, 
é verdadeiro afirmar que a relação entre estas médias é: 
a) 𝐗<mg<mh. 
b) 𝐗>mg>mh. 
c) mg<𝐗<mh. 
d) 𝐗<mg=mh. 
e) 𝐗=mg=mh. 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
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No caso de todos os valores da amostra serem diferentes entre si (conforme 
afirma a questão), teremos que a média harmônica é menor que a geomé-
trica, que é menor que a aritmética. 
Já na situação de termos todos os valores da amostra iguais entre si, as mé-
dias coincidem. 
Gabarito 30: B. 
 
31- (ESAF - ATRFB/Receita Federal do Brasil/2006) Sobre a moda de 
uma variável, é correto afirmar que 
a) para toda variável existe uma e apenas uma moda. 
b) a moda é uma medida de dispersão relativa. 
c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos. 
d) em distribuições assimétricas, o valor da moda encontra-se entre o valor da 
média e o da mediana. 
e) sendo o valor mais provável da distribuição, a moda, tal como a probabili-
dade, pode assumir valores somente no intervalo entre zero e a unidade. 
RESOLUÇÃO: 
O nosso objetivo consiste em encontrar a alternativa que demonstre correta-
mente uma característica da moda de uma variável. Assim, precisamos analisar 
cada opção separadamente. 
Alternativa A: Incorreta. 
Podem existir conjuntos com duas modas, ou com mais modas. Além disso há 
a possibilidade de encontrarmos conjuntos sem modas, ou mesmo conjuntos 
que apresentam unicamente um ponto de mínimo de frequência (antimodal). 
Alternativa B: Incorreta. 
Essa é fácil: a moda não é medida de dispersão, mas sim de posição! 
Alternativa C: Correta. 
Realmente, a moda não é afetada por valores extremos, assim como 
acontece também com a mediana. 
Alternativa D: Incorreta. 
No caso de distribuições assimétricas, a mediana é que fica entre a média e a 
moda. 
Alternativa E: Incorreta. 
A moda pode assumir valores diferentes dos contidos no intervalo entre 0 e 1. 
Gabarito 31: C. 
 
 
 
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32- (ESAF - ACF/SEFAZ CE/2007) O conjunto de notas dos alunos de uma 
determinada prova é: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que 
a moda, média e mediana deste conjunto são, respectivamente: 
 a) 3, 6 e 5. 
 b) 3, 4 e 5. 
 c) 10, 6 e 5. 
 d) 5, 4 e 3. 
 e) 3, 6 e 10. 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente montamos o rol, que corresponde à disposição dos dados em 
ordem crescente. Em seguida, calcularemos a média aritmética, a moda e a 
mediana. Daí: 
Rol: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10 
 
 Cálculo da Média Aritmética: 
�̅� =
3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 5 + 8 + 9 + 10 + 10
10
=
60
10
= 𝟔 
 Cálculo da Moda: 
Sabemos que a moda corresponde aos termos que mais se repete, dentre as 
observações consideradas. No caso do conjunto formado pelas notas dos alunos, 
percebemos que o termo que mais se repete é o 3. Logo: 
𝑴 = 𝟑 
 Cálculo da Mediana: 
A mediana é o termo posicionado no meio do rol de dados. Porém, nesta questão 
temos um número par de observações; não há um termo central. Logo, a me-
diana será dada pela média dos dois termos centrais: 
𝑫 =
𝑋5 + 𝑋6
2
=
5 + 5
2
=
10
2
= 𝟓 
Gabarito 32: A. 
 
33- (ESAF - ATRFB/Receita Federal do Brasil/2006) Considere a se-
guinte distribuição das frequências absolutas dos salários mensais, em R$, re-
ferentes a 200 trabalhadores de uma indústria (os intervalos são fechados à 
esquerda e abertos à direita). 
 
 
 
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Sobre essa distribuição de salários é correto afirmar que: 
 a) O salário modal encontra-se na classe de R$ 800 até R$ 900. 
 b) O salário mediano encontra-se na classe de R$ 600 até R$ 700. 
 c) O salário modal encontra-se na classe de R$ 600 até R$ 700. 
 d) O salário modal encontra-se na classe de R$ 700 até R$ 800. 
 e) O salário mediano encontra-se na classe de R$ 500 até R$ 600. 
RESOLUÇÃO: 
A classe modal é aquela de maior frequência. No caso, a classe 500,00 a 600,00 
apresenta a maior frequência (70). Logo, a moda está nesta classe. Estão erra-
das as alternativas A, C e D. 
Para encontrar a mediana, fazemos interpolação linear a partir da tabela de 
frequências acumuladas. 
As frequências acumuladas são: 
 
O valor 500,00 corresponde à frequência acumulada 50. A mediana (D) corres-
ponde à frequência acumulada 100 (que é 50% do total de observações). O 
valor 600,00 corresponde à frequência acumulada 120. 
Observem que, para as frequências acumuladas, 100 está entre 50 e 120. Por-
tanto, o valor que a ele corresponde (=mediana) está entre 500 e 600. 
Gabarito 33: E. 
 
34- (ESAF - AFRFB/Receita Federal do Brasil/2009) Considere a se-
guinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso 
preparatório. 
Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 
 
 
 
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29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 
32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. 
 a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
 b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
 c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
 d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. 
 e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
RESOLUÇÃO: 
A estratégia a ser adotada a fim de ganharmos tempo na resolução da questão 
é iniciar pela determinação da moda e da mediana, pois tais grandezas depen-
dem apenas da mera contagem. Ok? Vamos lá! 
O primeiro passo consiste em ordenar as observações: 
23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 
28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41 
 
Sabemos que a moda (M) corresponde ao termo que mais se repete. Logo: 
𝑴 = 𝟐𝟕 
Por sua vez, a mediana (Md) corresponde ao termo central, que ocupa a posi-
ção 19ª. Logo: 
𝑫 = 𝑿𝟏𝟗 = 𝟐𝟕 
Assim, tanto a moda como a mediana valem 27, o que torna a letra E a opção 
correta. 
Gabarito 34: E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito 1: B. 
Gabarito 2: A. 
Gabarito 3: B. 
Gabarito 4: C. 
Gabarito 5: D. 
Gabarito 6: C. 
Gabarito 7: C. 
Gabarito 8: B. 
Gabarito 9: D. 
Gabarito 10: B. 
Gabarito 11: E. 
Gabarito 12: A. 
Gabarito 13: C. 
Gabarito 14: D. 
Gabarito 15: D. 
Gabarito 16: D. 
Gabarito 17: Certo. 
Gabarito 18: C. 
Gabarito 19: D. 
Gabarito 20: B. 
Gabarito 21: D. 
Gabarito 22: A. 
Gabarito 23: Certo. 
Gabarito 24: Certo. 
Gabarito 25: Errado. 
Gabarito 26: B. 
Gabarito 27: Errado. 
Gabarito 28: E. 
Gabarito 29: D. 
Gabarito 30: B. 
Gabarito 31: C. 
Gabarito 32: A. 
Gabarito 33: E. 
Gabarito 34: E.