16 medidas de posição de tendência central - média, moda e mediana

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Aula 16
 Raciocínio Lógico Matemático p/ PRF
(Policial) Pós-Edital
Autor:
Equipe Exatas Estratégia
Concursos
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6 de Março de 2021
1 
 
Sumário 
1. Média Aritmética .......................................................................................................................... 3 
1.1. Média para Dados em Rol ..................................................................................................... 3 
1.2. Média para Dados Agrupados por Valor ............................................................................... 4 
1.3. Média para Dados Agrupados em Classes ............................................................................ 4 
1.4. Propriedades da Média Aritmética ........................................................................................ 5 
2. Média Ponderada ......................................................................................................................... 7 
3. Média Geométrica ....................................................................................................................... 9 
4. Média Harmônica ....................................................................................................................... 10 
5. Comparação entre as Médias .................................................................................................... 12 
6. Média das Médias ...................................................................................................................... 13 
7. Mediana ..................................................................................................................................... 14 
7.1. Mediana para Dados em Rol ............................................................................................... 14 
7.2. Mediana para Dados Agrupados por Valor ......................................................................... 15 
7.3. Mediana para Dados Agrupados em Classes ...................................................................... 17 
7.4. Propriedades da Mediana ................................................................................................... 18 
8. Moda .......................................................................................................................................... 18 
8.1. Moda para Dados em Rol .................................................................................................... 19 
8.2. Moda para Dados Agrupados por Valor .............................................................................. 19 
8.3. Moda para Dados Agrupados em Classes .......................................................................... 21 
8.4. Método de Czuber .............................................................................................................. 22 
8.5. Método de King .................................................................................................................. 22 
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8.6. Propriedades da Moda ........................................................................................................ 23 
Questões Comentadas .................................................................................................................. 24 
Lista de Questões Comentadas ..................................................................................................... 68 
Questões Complementares Comentadas ...................................................................................... 87 
Lista de Questões Complementares ............................................................................................ 110 
Gabarito ....................................................................................................................................... 120 
 
 
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1. MÉDIA ARITMÉTICA 
A Média Aritmética de um conjunto de dados é obtida somando todos os valores e dividindo-se 
pela quantidade de dados desse conjunto. 
𝑴é𝒅𝒊𝒂 =
𝑺𝒐𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔
𝑸𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔
 
Por exemplo, suponha que em uma sala de aula tem 5 alunos, com as seguintes idades: 14, 12, 
15, 18 e 16. Qual a idade média dos alunos dessa sala? 
Ora, basta somarmos todas as idades e dividirmos pelo total de alunos. Logo: 
𝑀 =
14 + 12 + 15 + 18 + 16
5
=
75
5
= 15 
Pronto! Esse é o conceito de média aritmética! Além disso, é importante termos em mente que a 
média sempre existe e é única. 
Geralmente, utiliza-se o símbolo �̅� para denotar a média aritmética. Leia-se “X barra”. 
A partir de agora, estudaremos como calcular a média aritmética para três casos, conforme o 
conjunto de dados fornecido estiver: 
▪ Em Rol 
▪ Agrupados por valor (Tabela de frequência) 
▪ Agrupados em classes (Distribuição de frequência) 
 
1.1. Média para Dados em Rol 
Quando o conjunto de dados for apresentado através de um Rol, para calcular a Média Aritmética, 
basta somar todos os valores e dividir pelo número de dados. A fórmula a ser utilizada é a seguinte: 
�̅� =
∑𝑿𝒊
𝒏
 
Em que: 
▪ �̅� é a Média Aritmética; 
▪ Σ é o sinal de somatório. O que vier após este símbolo deverá ser somado! 
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▪ Xi é cada elemento do conjunto; 
▪ n é o número de elementos do conjunto. 
1.2. Média para Dados Agrupados por Valor 
No caso de o conjunto de dados ser apresentado por meio de uma tabela de frequências 
(agrupado por valor), a fórmula que utilizaremos para o cálculo da Média Aritmética será a 
seguinte: 
�̅� =
∑𝒇𝒊 . 𝑿𝒊
𝒏
 
Alguma semelhança com algo que já vimos? Sim, com certeza! Note que basta repetir a fórmula 
do Rol e acrescentar o fi no numerador. 
 
Para chegar à fórmula da média de dados agrupados por valor basta acrescentar a fi ao 
somatório presente na fórmula da média para dados em Rol. 
Isto acontece porque temos que multiplicar cada valor de Xi pela sua respectiva frequência. Deste 
modo, quando os dados estão agrupados, a soma de todos os valores fica ligeiramente diferente. 
 
1.3. Média para Dados Agrupados em Classes 
Visto que na distribuição de frequência trabalhamos com dados em classes (e não com elementos 
individualizados), não faremos uso do elemento Xi. Ele terá que ser substituído por um valor que 
melhor representa cada classe. De quem estamos falando? É o Ponto Médio! Daí a fórmula para 
o cálculo da Média para dados agrupados em classes será: 
�̅� =
∑𝒇𝒊 . 𝑷𝑴
𝒏
 
 
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Para chegar à fórmula da média de dados agrupados em classes basta substituir 
Xi presente na fórmula da média para dados agrupados por valor pelo Ponto 
Médio. 
 
1.4. Propriedades da Média Aritmética 
Vamos agora conhecer algumas propriedades importantíssimas sobre média aritmética para que 
possamos garantir alguma eventual questão teórica sobre este assunto, bem como ganhar tempo 
na resolução de tantas outras. 
 
Das duas primeiras propriedades, concluímos que a média aritmética sofre influência das quatro 
operações! Para exemplificar, suponha que um aluno tenha as notas 6,0, 5,5 e 7,5, o que resulta 
na média 6,3. Devido a um trabalho escolar que fez, a professora presenteia o aluno com um ponto 
a ser adicionado em cada uma das suas notas individuais, passando a ter o seguinte desempenho 
• Somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto, a
média do novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c.
1ª PROPRIEDADE
• Multiplicando ou dividindo cada elemento do conjuntode dados por uma
constante c, a média do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.
2ª PROPRIEDADE
• A soma dos desvios tomados em relação à média é igual a zero.
3ª PROPRIEDADE
• A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à média aritmética é
um valor mínimo.
4ª PROPRIEDADE
• A média é influenciada por valores extremos.
5ª PROPRIEDADE
• Quando acrescentamos um elemento de valor igual à média, a média aritmética
do novo conjunto não muda.
6ª PROPRIEDADE
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escolar: 7,0, 6,5 e 8,5. Qual será a nova média? Nem precisamos fazer contas para saber que será 
7,3, pois a média é influenciada pelo valor somado aos itens que a compõe. O mesmo raciocínio 
valeria se tivéssemos subtraído, multiplicado ou dividido todos os elementos por um mesmo valor. 
Com relação à terceira e à quarta propriedades, vamos verificá-las por meio de um exemplo. 
Consideremos a sequência de dados (3, 5, 6, 7, 8 , 10, 12, 15 e 15). Calculemos sua média 
aritmética: 
�̅� =
∑𝑿𝒊
𝒏
 
�̅� =
81
9
= 𝟗 
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de 
valores e a média aritmética. Para o exemplo dado, temos: 
▪ 𝑑1 = 𝑥1 − �̅� = 3 − 9 = −6 
▪ 𝑑2 = 𝑥2 − �̅� = 5 − 9 = −4 
▪ 𝑑3 = 𝑥3 − �̅� = 6 − 9 = −3 
▪ 𝑑4 = 𝑥4 − �̅� = 7 − 9 = −2 
▪ 𝑑5 = 𝑥5 − �̅� = 8 − 9 = −1 
▪ 𝑑6 = 𝑥6 − �̅� = 10 − 9 = 1 
▪ 𝑑7 = 𝑥7 − �̅� = 12 − 9 = 3 
▪ 𝑑8 = 𝑥8 − �̅� = 15 − 9 = 6 
▪ 𝑑9 = 𝑥9 − �̅� = 15 − 9 = 6 
Facilmente verificamos que a soma dos desvios em relação à média é igual a zero. De fato: 
∑𝑑𝑖 = (−6) + (−4) + (−3) + (−2) + (−1) + 1 + 3 + 6 + 6 = 𝟎 
Dessa forma, a veracidade da 3ª propriedade fica comprovada! Por fim, verifiquemos a 4ª 
propriedade. 
Calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética: 
∑𝑑𝑖
2 = (−6)2 + (−4)2 + (−3)2 + (−2)2 + (−1)2 + 12 + 32 + 62 + 62 = 𝟏𝟒𝟖 
A propriedade nos diz que, para o conjunto de dados considerado, o valor 148 é um valor mínimo. 
O que isso significa? Bem, se construirmos um conjunto dos desvios di’ formado pela diferença 
entre os elementos xi do conjunto e uma constante que não seja a média, ou seja, um conjunto 
dos desvios em torno de um valor qualquer diferente da média e, feito isso, acharmos o conjunto 
(di’)2 e em seguida calcularmos o seu somatório, este último valor será maior do que 148. 
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Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvios em relação ao número 5 (diferente 
da média aritmética 9): 
∑(𝑑𝑖
′)2 = (−2)2 + 02 + 12 + 22 + 32 + 52 + 72 + 102 + 102 = 𝟐𝟗𝟐 
 
 
Daí, temos que: 
∑(𝒅𝒊
′)𝟐 >∑𝒅𝒊
𝟐 
Dessa maneira, também conseguimos comprovar a veracidade da 4ª propriedade! 
E a quinta propriedade, o que se quer dizer ao afirmar que a média é influenciada por valores 
extremos? Considere o conjunto {1, 3, 5, 7, 9}. Bem, a sua média é 5. Mas, e se trocarmos o valor 
extremo 9 por 900? Ora, o conjunto ficaria totalmente diferente: {1, 3, 5, 7, 900}. Além disso, a 
própria média desse novo conjunto seria alterada. Para quanto? Feitos os cálculos, a nova média 
é 183,2. 
Realmente a diferença entre as duas médias é imensa. Isso ocorre porque a média sofre influência 
de valores extremos. 
Por fim, quanto à sexta propriedade, suponha um rol composto pelos seguintes valores: 10, 20, 
30, 40. Repare que a sua média aritmética é igual a (10 + 20 + 30 + 40) ÷ 4 = 25. Entretanto, o 
que acontece com a média se acrescentarmos o valor 25 a esse conjunto? Ora, não acontece nada, 
pois a média não será alterada: (10 + 20 + 30 + 40 + 25) ÷ 5 = 25. Assim, concluímos que, de fato, 
quando adicionamos um elemento de valor igual à média ao conjunto de dados, a média 
aritmética do novo conjunto não se altera. 
 
2. MÉDIA PONDERADA 
Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma 
importância. Dizemos, então, que elas têm o mesmo peso relativo. 
No entanto, existem casos em que as ocorrências têm importância relativa diferente. Nesses casos, 
o cálculo da média deve levar em conta esse peso relativo, e estaremos diante da chamada média 
aritmética ponderada. 
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A média ponderada é uma variação da média aritmética. Trata-se da situação em que 
cada um dos elementos do conjunto de dados possui um peso. 
 
 
Para um conjunto de dados x1, x2, ... xn afetados por pesos p1, p2, ..., pn, respectivamente, tem-se 
que a média aritmética ponderada é definida por: 
�̅�𝒑 =
𝒙𝟏 . 𝒑𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒑𝟐 +⋯+ 𝒙𝒏 . 𝒑𝒏
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 +⋯+ 𝒑𝒏
 
Para exemplificar, considerando as notas e os respectivos pesos de cada uma delas contidos na 
tabela a seguir, indique qual a média que o aluno obteve no curso. 
Disciplina Nota Peso 
Biologia 8,2 3 
Filosofia 10,0 2 
Física 9,5 4 
Geografia 7,8 2 
História 10,0 2 
Língua 
Portuguesa 
9,5 3 
Matemática 6,7 4 
Como cada média tem um peso específico, precisamos calcular a média aritmética ponderada: 
�̅�𝑝 =
8,2 . 3 + 10 . 2 + 9,5 . 4 + 7,8 . 2 + 10 . 2 + 9,5 . 3 + 6,7 . 4
3 + 2 + 4 + 2 + 2 + 3 + 4
 
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�̅�𝑝 =
24,6 + 20 + 38 + 15,6 + 20 + 28,5 + 26,8
20
=
173,5
20
= 8,7 
 
3. MÉDIA GEOMÉTRICA 
Na matemática, a média geométrica é um tipo de média ou aproximação que indica a tendência 
central ou o valor típico de um conjunto de números usando o produto dos seus valores (ao 
contrário da média aritmética, que usa a soma dos valores). 
A média geométrica é definida como n-ésima raiz da multiplicação dos termos, em que n é a 
quantidade de termos. Logo: 
𝑮 = √𝑿𝟏 . 𝑿𝟐 . 𝑿𝟑 . . . 𝑿𝒏
𝒏 
Assim, para calcularmos a média geométrica entre números devemos realizar a multiplicação entre 
eles e, logo em seguida, extrair a raiz com índice igual ao número de fatores utilizados na 
multiplicação. 
Por exemplo, ao calcular a média geométrica dos números 2, 4 e 6, efetuamos o seguinte cálculo: 
𝐺 = √2 . 4 . 6
3
= √48
3
≅ 𝟑,𝟔𝟑 
A média geométrica é muito utilizada nas situações envolvendo aumentos sucessivos. 
Por exemplo, vamos considerar um aumento de salário sucessivo de 15% no primeiro mês, 12% 
no segundo mês e 21% no terceiro mês. 
Vamos determinar a média geométrica dos aumentos. Antes, as taxas percentuais devem ser 
transformadas em taxas unitárias. Logo: 
𝐺 = √1,15 . 1,12 . 1,21 
3
= √1,55848
3
= 𝟏, 𝟏𝟓𝟗𝟒 
O valor 1,1594 corresponde a taxa média de 15,94% de todos os aumentos sucessivos. Isso indica 
que se aplicarmos três vezes consecutivas a taxa de 15,94% corresponderá ao aumento sucessivo 
dos percentuais de 15%, 12% e 21%. 
 
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4. MÉDIA HARMÔNICA 
Em Matemática, a média harmônica (às vezes chamado de média subcontrária) é um dos vários 
métodos de calcular uma média. 
Definimos a média harmônica entre os números reais e positivos x1, x2, x3, ..., xn como sendo o 
inverso da média aritmética do inverso desses números. 
Como sabemos, a média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn é dada por: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 +⋯+ 𝒙𝒏
𝒏
 
Só que no caso da média harmônica estamos falando do inverso desses números, então teríamos 
a seguinte média aritmética: 
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+
1
𝑥3
+⋯+
1
𝑥𝑛
𝑛
 
 
Além disto, como vimos que a média harmônica é o inverso da média aritmética do inverso dos 
referidos números, então finalmente temos: 
𝑯 =
𝒏
𝟏
𝒙𝟏
+
𝟏
𝒙𝟐
+⋯+
𝟏
𝒙𝒏
 
A média harmônica é utilizada quando estamos trabalhando comgrandezas inversamente 
proporcionais. 
Um exemplo clássico é aquele no qual estamos trabalhando com velocidade e tempo, pois ao 
aumentarmos a velocidade diminuímos o tempo necessário para percorrer um determinado trajeto 
e vice-versa. 
Para exemplificar, suponha que, em uma determinada viagem, um carro desenvolva duas 
velocidades distintas, durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 20 km/h e 
durante a metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. Vamos determinar a velocidade média 
do veículo durante o percurso. 
De acordo com a média harmônica temos a seguinte relação: 
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𝑯 =
𝒏
𝟏
𝒙𝟏
+
𝟏
𝒙𝟐
+⋯+
𝟏
𝒙𝒏
 
𝑯 =
2
1
20 +
1
60
=
2
3 + 1
60
= 2 .
60
4
=
120
4
≅ 𝟑𝟎 
A velocidade média do veículo durante todo o percurso será de aproximadamente 30 km/h. 
Caso calculássemos a velocidade média utilizando a média aritmética, chegaríamos facilmente ao 
resultado de 40 km/h, mas estaria errado. Esse valor demonstra que a velocidade e o tempo de 
percurso nos dois trechos seriam iguais. Mas precisamos considerar que no primeiro trecho o 
automóvel levou um tempo maior para o percurso, pois a velocidade era de 20 km/h e no segundo 
trecho o tempo decorrido foi menor, devido à velocidade de 60 km/h. 
Nesse momento, observamos a relação inversa entre velocidade e tempo e, para que não ocorra 
erro, nessas condições precisamos utilizar a média harmônica. 
Cuidado para não errar esse tipo de questão, pois seria muito fácil achar que bastaria calcular a 
média aritmética das velocidades, enquanto o correto seria calcular a média harmônica. 
Como sabemos que provavelmente você não está convencido disso, vamos brincar de voltar aos 
nossos velhos tempos de estudo da Física do primeiro ano de ensino médio. 
Lembra que 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 ? 
 
 
Assim, chamando cada metade do percurso de S, teremos: 
𝑁𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 = 𝑣1 = 
𝑆
𝑡1
→ 𝑡1 =
𝑆
𝑣1
= 
𝑆
20
 
𝑁𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 = 𝑣2 = 
𝑆
𝑡2
→ 𝑡2 =
𝑆
𝑣2
= 
𝑆
60
 
𝑁𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜 = 𝑣m = 
𝑆 + 𝑆
𝑡1 + 𝑡2
 = 
2𝑆
𝑆
20 +
𝑆
60
 = 
2𝑆
4𝑆
60
 = 30𝑘𝑚/ℎ 
Então, pare de duvidar dos autores, porque até os físicos concordam com a gente, incluindo o 
Einstein. 
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Enfim, se a questão envolver duas medidas inversamente proporcionais, use a média harmônica, 
e não a aritmética. 
 
5. COMPARAÇÃO ENTRE AS MÉDIAS 
Para qualquer conjunto de n números positivos, a média harmônica é menor ou igual à média 
geométrica e esta é menor ou igual à média aritmética. A igualdade só ocorre se todos os números 
forem iguais entre si. 
 
COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS 
 
Para efeito de comparação entre as médias, devemos ter em mente a seguinte relação: 
 
 
 
Em que a igualdade só ocorre se todos os dados forem iguais. 
 
Vamos testar isso com um exemplo numérico, calculando essas três médias para os números 1, 4 
e 16: 
�̅� =
1 + 4 + 16
3
=
21
3
= 𝟕 
𝑮 = √1 . 4 . 16
3
= √64
3
= 𝟒 
𝑯 =
3
1
1 +
1
4 +
1
16
=
3
16 + 4 + 1
16
= 3 ÷
21
16
= 3 ×
16
21
=
16
7
≅ 𝟐, 𝟑 
𝑯 ≤ 𝑮 ≤ �̅� 
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2,3 < 4 < 7 → 𝑯 ≤ 𝑮 ≤ �̅� 
 
6. MÉDIA DAS MÉDIAS 
Suponha que uma sala de aula tenha 15 meninos com altura média de 1,60m, ao passo que existem 
20 meninas com 1,50m de altura média. Qual será a altura média de toda a classe? 
Perceba que estamos diante de dois conjuntos menores (meninos e meninas) com suas respectivas 
médias, de modo que precisamos uni-los formando um conjunto maior. Em seguida, calculamos a 
Média das Médias apresentadas ou Média Global. 
Para isso, aplicamos a seguinte fórmula: 
�̅� =
𝒏𝑨 × �̅�𝑨 + 𝒏𝑩 × �̅�𝑩 +⋯+ 𝒏𝑲 × �̅�𝑲
𝒏𝑨 + 𝒏𝑩 +⋯+ 𝒏𝑲
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
 
Em que: 
▪ 𝒏𝑨 é o número de elementos do primeiro conjunto menor 
▪ 𝒏𝑩 é o número de elementos do segundo conjunto menor 
▪ 𝒏𝑲 é o número de elementos do k-ésimo conjunto menor 
▪ �̅�𝑨 é a média dos elementos do primeiro conjunto menor 
▪ �̅�𝑩 é a média dos elementos do segundo conjunto menor 
▪ �̅�𝑲 é a média dos elementos do k-ésimo conjunto menor 
Note que a média das médias nada mais é que uma aplicação da Média Ponderada, em que a 
média de cada conjunto é multiplicada pela quantidade de elementos. 
 
 
Dessa maneira, utilizando a fórmula indicada ao caso dos alunos, temos: 
�̅� =
(𝒏𝑨 × �̅�𝑨) + (𝒏𝑩 × �̅�𝑩)
(𝒏𝑨 + 𝒏𝑩)
 
�̅� =
(15 × 1,60) + (20 × 1,50)
(15 + 20)
=
24 + 30
35
= 𝟏, 𝟓𝟒 
Assim, a altura média dos alunos da classe em consideração é 1,54m. 
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7. MEDIANA 
A Mediana (Md) de um conjunto de valores é o elemento que se encontra no centro de uma série 
de números, estando estes dispostos segundo uma ordem, de tal forma que o conjunto fica 
separado em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 
Com isso, percebemos que a Mediana constitui não só uma medida de tendência central, como 
também será considerada uma Medida Separatriz, já que separa o conjunto em duas partes iguais, 
conforme estudaremos mais adiante. 
Assim como fizemos em relação à Média, aprenderemos como calcular a Mediana para três casos, 
conforme o conjunto de dados fornecido estiver: 
▪ Em Rol 
▪ Agrupados por valor (Tabela de frequência) 
▪ Agrupados em classes (Distribuição de frequência) 
 
7.1. Mediana para Dados em Rol 
Quando o conjunto de dados for apresentado através de um Rol, para determinar a Mediana, 
basta identificar o elemento que ocupa a posição central do conjunto, dividindo-o em duas 
partes iguais. 
O problema é que o número de elementos do conjunto (n) em consideração pode ser ímpar ou 
par. Em cada um desses casos, temos uma maneira diferente de determinar a posição do elemento 
que corresponde à Mediana: 
 
 
MEDIANA
𝒏 + 𝟏
𝟐
Se n for ÍMPAR.
Média aritmética entre:
𝒏
𝟐
e 𝒏
𝟐
+ 𝟏
Se n for PAR.
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7.2. Mediana para Dados Agrupados por Valor 
Ao contrário da média, para encontrar a mediana não trabalhamos com frequências simples, mas 
sim com frequências acumuladas (tanto faz ser relativa ou absoluta). 
Assim, no caso de o conjunto de dados ser apresentado por meio de uma Tabela de Frequências 
(agrupado por valor), a Mediana é identificada por meio da frequência acumulada imediatamente 
superior à metade da soma das frequências. Daí, a mediana será aquele valor da variável que 
corresponde a tal frequência acumulada. 
Vamos determinar a mediana da tabela de frequências a seguir. 
Xi fi 
1 5 
3 10 
5 15 
7 20 
9 25 
Total n = 75 
O primeiro passo consiste em descobrir o número de elementos do conjunto (n), a fim de saber 
se o resultado será par ou ímpar. No nosso caso, temos que um número ímpar de dados (n = 75). 
 
 
O próximo passo será construir a coluna da frequência acumulada (fac), já que ela revela a posição 
acumulada do elemento. Logo: 
Xi fi fac 
1 5 5 
3 10 15 
5 15 30 
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16 
 
7 20 50 
9 25 75 
Total n = 75 
O terceiro passo consiste em determinar as posições centrais do conjunto de dados. Como n é 
ímpar, temos apenas uma posição central, determinado da seguinte forma: 
𝑷𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍= 
𝒏 + 𝟏
𝟐
 
Então, efetuemos os cálculos: 
𝑷𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 = 
75 + 1
2
=
76
2
= 𝟑𝟖 
Assim, temos que a 38ª posição será a central! 
Como último passo, iremos comparar o valor da posição central com os valores da fac. Como 
funcionará isso? Bem, muito simples: procuraremos qual o valor da fac será maior ou igual ao valor 
da posição central. Feito isso, a mediana será o elemento Xi correspondente à fac que 
encontramos! 
No nosso exemplo, sabemos que a posição central é a 38ª. Daí, a fac que é maior ou igual a 38 
está na 4ª linha, cujo valor é 50. 
Em seguida, olhamos qual é o elemento Xi correspondente a esta fac: 
Xi fi fac 
1 5 5 
3 10 15 
5 15 30 
7 20 50 
9 25 75 
Total n = 75 
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Dessa maneira, será o elemento Xi = 7 que ocupa a posição central, correspondendo à Mediana 
do conjunto de dados em consideração! 
Portanto, temos que: Md = 7. 
Talvez você me pergunte: 
E se tivéssemos um conjunto de dados cujo número de elementos fosse par? 
Nessa situação, teríamos dois elementos que ocupam a posição central. Daí, a Mediana será a 
média aritmética entre eles, calculada da seguinte forma: 
𝑴𝒅 =
𝟏ª 𝑷𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 + 𝟐ª 𝑷𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍
𝟐
 
Que tal esquematizarmos a nossa estratégia para determinar o valor da Mediana no caso de dados 
agrupados? 
 
 
7.3. Mediana para Dados Agrupados em Classes 
No cálculo da Mediana em uma distribuição de frequência não teremos a preocupação de 
determinarmos se o número de elementos é par ou ímpar. 
Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão: 
1º passo
• Descobrir se o número de elementos (n) é par ou ímpar.
2º passo
• Construir a coluna da fac.
3º passo
• Determinar as posições centrais do conjunto de dados. 
4º passo
• Procurar qual o valor da fac será maior ou igual ao valor da posição central.
5º passo
• A MEDIANA será o elemento Xi correspondente à fac encontrada no passo anterior.
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7.4. Propriedades da Mediana 
Vamos agora conhecer algumas propriedades sobre a Mediana. 
 
 
Das duas primeiras propriedades, concluímos que a Mediana também sofre influência das quatro 
operações, assim como acontece com a Média Aritmética! 
 
8. MODA 
Quando vemos a palavra “moda”, provavelmente, pensamos em algo que todo mundo está 
fazendo ou usando, não é verdade? Por exemplo, a moda de uma campanha de vestuários é a 
“roupa” que as pessoas mais gostam de usar, ou seja, é a realização que mais ocorre! É essa a 
ideia por trás do conceito de Moda em termos estatísticos. 
1º passo
• Descobrir quem é a Classe Mediana.
2º passo
• Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências.
•Somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto, a Mediana do
novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c.
1ª PROPRIEDADE
•Multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, a
Mediana do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.
2ª PROPRIEDADE
•A Mediana não é influenciada por valores extremos.
3ª PROPRIEDADE
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Moda é aquele elemento que mais vezes aparece no conjunto, ou seja, trata-se do 
elemento de maior frequência. 
Sendo assim, um conjunto de valores pode apresentar várias modas. Neste caso, dizemos ser 
multimodal; caso contrário, será amodal, quando o conjunto é sem moda, com todos os valores 
das variáveis em consideração apresentando a mesma frequência. Porém, o caso mais comum é 
do conjunto unimodal, que possui apenas uma moda. 
Resumindo, temos o seguinte: 
 
8.1. Moda para Dados em Rol 
A partir de agora, analisaremos o procedimento a ser aplicado para calcular a Moda para três 
casos, conforme o conjunto de dados fornecido estiver: 
▪ Em Rol 
▪ Agrupados por valor (Tabela de frequência) 
▪ Agrupados em classes (Distribuição de frequência) 
Quando o conjunto de dados for apresentado por meio de um Rol, a determinação da Moda é 
bem tranquila: basta identificar o elemento que mais se repete! 
 
8.2. Moda para Dados Agrupados por Valor 
Quando os elementos forem apresentados numa tabela, de modo que os dados estejam 
agrupados por valor, a Moda será o termo que possui a maior frequência absoluta simples. Dessa 
forma, teremos que procurar, na coluna do fi, qual é o maior valor. Feito isso, basta identificar o 
elemento Xi relacionado, que corresponderá à moda do conjunto. 
Amodal
Sem moda
Unimodal
Uma única 
moda
Bimodal
Duas modas
Multimodal
Três ou mais 
modas
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Suponha que nos seja questionado a respeito da moda do conjunto de dados a seguir: 
Xi fi 
1 3 
2 5 
3 4 
4 6 
5 2 
6 9 
Inicialmente, precisamos analisar qual é a maior frequência absoluta simples. Vejamos: 
Xi fi 
1 3 
2 5 
3 4 
4 6 
5 2 
6 9 
Em seguida, identificamos o elemento Xi associado ao 9. Ou seja: 
Xi fi 
1 3 
2 5 
3 4 
4 6 
5 2 
6 9 
Assim, verificamos que a maior frequência simples é fi = 9, referente ao elemento Xi = 6. Portanto, 
a Moda do conjunto de dados apresentado é o elemento 6. 
 
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8.3. Moda para Dados Agrupados em Classes 
Existem diversos métodos para o cálculo da Moda quando os dados são agrupados em classes. 
No entanto, precisamos nos concentrar no que é mais cobrado em concursos públicos, de forma 
que analisaremos dois métodos específicos para determinarmos a Moda numa distribuição de 
frequências. 
Antes, porém, convém aprender a identificar a Classe Modal de determinado conjunto. Essa 
informação estará presente em quaisquer dos métodos que viermos a aplicar. Ela corresponde à 
Classe que apresenta maior frequência absoluta simples. 
Por exemplo, considere a seguinte distribuição de frequências. 
Xi fi 
(0 – 10) 10 
(10 – 20) 28 
(20 – 30) 19 
(30 – 40) 34 
(40 – 50) 9 
Bem, a Classe Modal será a que possui maior fi. Qual será? 
Xi fi 
(0 – 10) 10 
(10 – 20) 28 
(20 – 30) 19 
(30 – 40) 34 
(40 – 50) 9 
Pronto, podemos concluir que a classe modal será a quarta (30 – 40), pois possui a maior 
frequência absoluta simples (fi = 34), podendo ser simbolizada por fM. 
Entendido esse ponto, podemos analisar os métodos mais cobrados nas provas para o cálculo da 
Moda quando os dados estão agrupados em Classes. 
 
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8.4. Método de Czuber 
O método de Czuber para calcular a Moda é baseado na aplicação da seguinte fórmula: 
𝑴 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + 𝒉 × (
𝒇𝑴 − 𝒇𝒂𝒏𝒕
(𝒇𝑴 − 𝒇𝒂𝒏𝒕) + (𝒇𝑴 − 𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕)
) 
Em que: 
▪ linf é o limite inferior da classe modal 
▪ h é a amplitude da classe modal 
▪ fM é o fi da classe modal 
▪ fant é o fi da classe anterior à classe modal 
▪ fpost é o fi da classe posterior à classe modal 
Neste caso, meu amigo e minha amiga, o que importa para as provas é realmente memorizar a 
fórmula de Czuber, entendendo o significado de cada termo presente nela. 
8.5. Método de King 
O Método de King para a obtenção da Moda de uma distribuição de frequências é baseado na 
aplicação da seguinte fórmula: 
𝑴 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + 𝒉 × (
𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕
𝒇𝒂𝒏𝒕 + 𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕
) 
Em que: 
▪ linf é o limite inferior da classe modal 
▪ h é a amplitude da classe modal 
▪ fant é o fi da classe anterior à classe modal 
▪ fpost é o fi da classe posterior à classe modal 
Note que a fórmulade King é bem parecida com a utilizada no método de Czuber, havendo 
basicamente duas mudanças: 1) no cálculo entram apenas as frequências posterior e anterior, 
ignorando-se a fM; e 2) a fpost aparece duas vezes, enquanto em Czuber é utilizada apenas em uma 
oportunidade. 
 
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8.6. Propriedades da Moda 
Vamos agora conhecer algumas propriedades sobre a Moda para que possamos garantir alguma 
eventual questão teórica sobre este assunto. 
 
Das duas primeiras propriedades, concluímos que a moda sofre influência das quatro operações, 
assim como acontece com a Média Aritmética! 
 
• Somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto, a
Moda do novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c.
1ª PROPRIEDADE
• Multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma
constante c, a Moda do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.
2ª PROPRIEDADE
• A Moda não é influenciada por valores extremos.
3ª PROPRIEDADE
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QUESTÕES COMENTADAS 
1. (CESPE 2019/SEFAZ-DF) A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n, sabe-se que 
a média aritmética de uma variável X foi igual a 3. Considerando que os valores possíveis para a 
variável X sejam -1 e +4, julgue o item que se segue. 
Nessa amostra aleatória, a quantidade de observações iguais a +4 foi igual a 0,8 n. 
Comentários: 
Seja 𝑝 proporção amostral de valores iguais a 4. 
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 4 𝑛𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎: 𝑝 
O restante da amostra é formado pelos valores iguais a -1: 
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 − 1: 1 − 𝑝 
Para obter a média aritmética, multiplicamos cada valor por sua frequência relativa, e depois 
somamos: 
�̅� = 4 × 𝑝 + (−1) × (1 − 𝑝) 
O exercício disse que a média vale 3. 
3 = 4𝑝 + (−1) × (1 − 𝑝) 
Aplicando a propriedade distributiva, temos: 
3 = 4𝑝 − 1 + 𝑝 
Trazendo as constantes para o lado esquerdo da igualdade, e deixando tudo que depende de 𝑝 
no lado direito, temos: 
3 + 1 = 4𝑝 + 𝑝 
4 = 5𝑝 
𝑝 = 45 
𝑝 = 0,8 
Portanto, concluímos que 80% das observações foram iguais a +4. 
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Gabarito: Certo. 
 
2. (CESPE 2019/SEFAZ-DF) A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n, sabe-se que 
a média aritmética de uma variável X foi igual a 3. Considerando que os valores possíveis para a 
variável X sejam -1 e +4, julgue o item que se segue. 
A mediana amostral da variável X foi igual a 2,5. 
Comentários: 
Na questão anterior, verificamos que 80% das observações são iguais a +4 e que 20% são iguais 
a −1. Deste modo, podemos montar a seguinte distribuição de frequências acumuladas: 
X Frequência relativa Frequência relativa 
acumulada 
-1 0,2 =0,2 
4 0,8 =0,2+0,8=1 
Reparem que o patamar de 50% de frequência acumulada é ultrapassado justamente na segunda 
linha, na qual X=4. Portanto, a mediana vale 4. 
Além disso, vale mencionar que a banca tentou confundir o candidato, fazendo a média entre +1 
e +4, mas tal afirmação apresenta dois erros: 
a) primeiro porque não existe valor +1; o valor em análise é −1; 
b) segundo porque só fazemos a média entre dois valores, para determinação da mediana, quando 
a amostra tem uma quantidade par de valores. Neste caso, tomamos a média dos dois valores 
centrais como mediana. 
No caso desta questão, não sabemos qual o tamanho da amostra. Além disso, ainda que esse 
número fosse par, é certo que os dois termos centrais seriam iguais a 4, e a média entre eles 
continuaria sendo 4. 
Como exemplo, façamos uma amostra de tamanho n=10, em que 20% dos dados valem -1: 
−1,−1,4,4, 4,4⏟
𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑠
, 4,4,4,4 
Destacamos os termos centrais, e ambos valem 4. 
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Gabarito: Errado. 
 
3. (CESPE 2019/Vest. UNCISAL) A SELIC é uma taxa referencial de juros estabelecida pelo Banco 
Central do Brasil como parâmetro para as taxas de juros cobradas pelos bancos comerciais no 
Brasil. A tabela seguinte mostra a evolução da SELIC, em porcentagem, no mês de janeiro dos 
anos de 2003 a 2012. 
 
Disponível em: www.bcb.gov.br. Acesso em: nov. 2016 (adaptado). 
O valor da mediana dos valores da SELIC mostrados no gráfico é igual a 
a) 11,25. 
b) 12,125. 
c) 12,875. 
d) 13,00. 
e) 14,44. 
Comentários: 
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A mediana é o valor que separa a metade maior e a metade menor de uma amostra, uma 
população ou uma distribuição de probabilidade. Em termos mais simples, mediana pode ser o 
valor do meio de um conjunto de dados. Se houver um número par de observações, não há um 
único valor do meio. Então, a mediana é definida como a média dos dois valores do meio. 
 
Ordenando os dados teremos: 
 
8,75 10,5 11,25 11,25 ⏟ 12,75 13 16,25 17,25 18,25 25,15⏟ 
 
Sendo a quantidade de termos um número par, então a mediana será a média dos termos centrais, 
ou seja, 
 
𝑀𝑑 =
12,75 + 13
2
= 12,875. 
Gabarito: C. 
 
4. (CESPE 2019/Pref São Cristóvão) Segundo o IBGE, a massa da renda média mensal real 
domiciliar per capita em 2016 foi de aproximadamente R$ 264 bilhões; a população brasileira 
nesse ano era de aproximadamente 190 milhões de pessoas. A partir dessas informações, julgue 
o item a seguir. 
O gráfico a seguir mostra que, em 2016, mais de 40% da massa de renda mensal real domiciliar 
per capita coube a 10% da população; ao restante coube menos de 60% dessa massa de renda. 
A partir do gráfico, é correto inferir que, naquele ano, em média, a renda mensal desses 10% da 
população era superior a R$ 10.000. 
 
Comentários: 
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Pelos dados apresentados no enunciado, 10% da população correspondem a 19 milhões de 
pessoas. Além disso, 43,4% da massa total equivale a: 
43,4% 𝑑𝑒 𝑅$ 264 𝑏𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 = 𝑅$ 114,576 𝑏𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
Assim, a média da renda mensal desses 10% da população será de 
𝑀 =
114,576 𝑏𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
19 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠
=
114.576.000.000
19.000.000
≅ 𝑅$ 6.030,31 
Gabarito: Errado. 
 
5. (CESPE 2019/Pref São Cristóvão) Segundo o IBGE, a massa da renda média mensal real 
domiciliar per capita em 2016 foi de aproximadamente R$ 264 bilhões; a população brasileira 
nesse ano era de aproximadamente 190 milhões de pessoas. 
A partir dessas informações, julgue o item a seguir. 
A renda média mensal dos brasileiros em 2016 foi superior a R$ 1.300. 
Comentários: 
A média aritmética é definida pela soma dos valores de um determinado conjunto de medidas, 
dividindo-se o resultado dessa soma pela quantidade dos valores que foram somados. 
Sendo a renda de 264 bilhões de reais e a população de 190 milhões de pessoas, então a renda 
média dos brasileiros será 
𝑀𝑒 =
264.000.000.000
190.000.000
 
𝑀𝑒 =
26.400
19
 
𝑀𝑒 ≅ 1.389,5 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
Gabarito: Certo. 
 
6. (CESPE 2019/Pref São Cristóvão) A tabela seguinte mostra a distribuição das idades dos 30 
alunos da turma A do quinto ano de uma escola de ensino fundamental. 
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 idade (em anos) 9 10 11 12 13 14 
quantidade de 
estudantes 
6 22 0 1 0 1 
A partir dessa tabela, julgue o item. 
A moda dessa distribuição é igual a 11 anos. 
Comentários:A moda é uma das medidas de tendência central de um conjunto de dados. Seu valor é igual ao 
número que aparece com mais frequência no conjunto de dados. 
Para o conjunto de valores apresentados na tabela, temos que a idade de 10 anos foi a que mais 
se repetiu, tendo aparecido em 22 dos 30 estudantes analisados. 
Cabe ressaltar que a moda nem sempre corresponde a um único valor. Amostras podem ser 
bimodais, trimodais e assim por diante, podendo, inclusive, ser amodal (sem nenhuma moda). 
Gabarito: Errado. 
 
7. (CESPE 2018/FUB) A tabela seguinte mostra as quantidades de livros de uma biblioteca que 
foram emprestados em cada um dos seis primeiros meses de 2017. 
 
mês 
1 2 3 4 5 6 
quantidade 50 150 250 250 300 200 
A partir dessa tabela, julgue o próximo item. 
A mediana dos números correspondentes às quantidades de livros emprestados no primeiro 
semestre de 2017 é igual a 200. 
Comentários: 
A mediana é o valor que separa a metade maior e a metade menor de uma amostra, uma 
população ou uma distribuição de probabilidade. Em termos mais simples, mediana pode ser o 
valor do meio de um conjunto de dados. Se houver um número par de observações, não há um 
único valor do meio. Então, a mediana é definida como a média dos dois valores do meio. 
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30 
 
 
Organizando, em ordem crescente, as quantidades apresentadas teremos 
50 150 200 250 250 300 
Por estarmos com uma quantidade par, a mediana será dada pela média dos termos centrais, ou 
seja, 
𝑀𝑑 =
200 + 250
2
= 225. 
Gabarito: Errado. 
 
8. (CESPE 2018/SEFAZ-RS) Para a, b e c, números reais, positivos e distintos, são verdadeiras as 
seguintes propriedades: 
• 𝒂 < 𝒄 
• 𝒃 <
𝒂+𝒄
𝟐
< √𝒃𝒄
𝟐 
A partir dessas propriedades, é correto concluir que 
a) 𝑎+𝑐
2
<
𝑎+𝑏+𝑐
3
 
b) 𝑎 > 𝑏 
c) 𝑐 < 𝑎+𝑏
2
 
d) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 
e) 𝑏 > 𝑐 
 
Comentários: 
O enunciado afirma que, para a, b e c, números reais, positivos e distintos, são verdadeiras as 
seguintes propriedades: 
𝑎 < 𝑐 
𝑏 <
𝑎 + 𝑐
2
< √𝑏𝑐 
Assim, já sabemos que 𝑎 < 𝑐. 
A segunda desigualdade nos diz que 𝑏 < √𝑏𝑐. Em outras palavras, b é menor que a média 
geométrica entre b e c. Como a média sempre fica entre os números, podemos concluir que 𝑏 <
𝑐. Podemos verificar isso da seguinte forma: 
𝑏2 < 𝑏𝑐 
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31 
 
𝑏 < 𝑐 
Precisamos, agora, saber a relação entre a e b. 
A segunda desigualdade informou que 𝑎+𝑐
2
< √𝑏𝑐. O lado esquerdo representa a média aritmética 
entre os números a e c. Sabemos que a média aritmética é sempre maior que a média geométrica. 
Portanto, 
√𝑎𝑐 <
𝑎 + 𝑐
2
< √𝑏𝑐 
Agora, sabemos que: 
√𝑎𝑐 < √𝑏𝑐 
𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 
𝑎 < 𝑏 
Assim, temos que 𝑎 < 𝑏 e 𝑏 < 𝑐. Portanto, 𝑎 < 𝑏 < 𝑐. A resposta está na alternativa D, mas 
analisaremos as demais alternativas. 
a) 𝒂+𝒄
𝟐
<
𝒂+𝒃+𝒄
𝟑
 
Sabemos que 𝑏 < 𝑎 + 𝑐, isto é, 𝑏 é menor que a média entre 𝑎 e 𝑐. Assim, se formos incluir no 
cálculo da média, o resultado dessa média diminuirá. Logo, a alternativa A está errada. 
 
b) 𝑎 > 𝑏 
Falso, pois concluímos que 𝑎 < 𝑏. 
 
c) 𝑐 < 𝑎+𝑏
2
 
Falso, pois 𝑐 é o maior valor. Logo, também será maior que a média dos dois menores. 
 
d) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 
Alternativa correta 
 
e) 𝑏 > 𝑐 
Falso, pois 𝑏 < 𝑐. 
Agora, vamos resolver a questão por meio da atribuição de valores às variáveis reais positivas a, b 
e c. Como temos √𝑏𝑐, podemos atribuir b=9 e c=16. Dessa forma, √𝑏𝑐 = √9 × 16 = √144 = 12. 
Assim, temos que: 
𝑎 < 𝑐 
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32 
 
𝑎 < 16 
Temos ainda que 
9 <
𝑎 + 16
2
< 12 
Vamos multiplicar todos os termos por 2. 
18 < 𝑎 + 16 < 24 
Nesse ponto, devemos subtrair 16 de todos os termos. 
2 < 𝑎 < 8 
Portanto, 𝑎 pode ser qualquer valor nesse intervalo. Vamos supor que 𝑎 = 4. Assim, vamos assumir 
que 𝑎 = 4, 𝑏 = 9 e 𝑐 = 16. Agora, podemos partir para a análise das alternativas: 
a) 𝒂+𝒄
𝟐
<
𝒂+𝒃+𝒄
𝟑
 
4 + 16
2
<
4 + 9 + 16
3
 
10 < 9,666 (𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜) 
b) 𝑎 > 𝑏 
4 > 9 (𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜) 
c) 𝑐 < 𝑎+𝑏
2
 
16 <
4 + 9
2
 
16 < 6,5 (𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜) 
d) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 
4 < 9 < 16 (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜) 
e) 𝑏 > 𝑐 
9 > 16 (𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜) 
Portanto, comprovamos que a resposta correta é a alternativa D. 
Gabarito: D 
 
9. (CESPE 2018/IPHAN) Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada 
para descrever e resumir dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir. 
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33 
 
A mediana é o valor que ocupa a posição central da série de observações de uma variável, 
dividindo-se o conjunto de valores ordenados em partes assimétricas desiguais. 
Comentários: 
A mediana, de fato, é o valor que ocupa a posição central da série de observações de uma variável. 
Porém, ela divide o conjunto de valores em partes simétricas iguais. Por exemplo, na amostra: 
1,3,4,5,5,5,6,7,8,8,8,9,9 
a mediana é o termo da posição 7, ou seja, o número 6. Assim teremos 6 termos antes e 6 termos 
depois da mediana. 
Gabarito: Errado. 
 
10. (CESPE 2018/IPHAN) Uma pesquisa a respeito das quantidades de teatros em cada uma de 
11 cidades brasileiras selecionadas apresentou o seguinte resultado: {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}. 
Com referência a esses dados, julgue o item seguinte. 
A mediana do conjunto é igual a 3. 
Comentários: 
A mediana é o valor que separa a metade maior e a metade menor de uma amostra, uma 
população ou uma distribuição de probabilidade. Em termos mais simples, mediana pode ser o 
valor do meio de um conjunto de dados. Se houver um número par de observações, não há um 
único valor do meio. Então, a mediana é definida como a média dos dois valores do meio. 
Pela definição acima, a mediana da amostra 
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 
será igual a 3, por representar o termo central. 
Gabarito: Correto. 
 
11. (CESPE 2018/PF) 
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 dia 
X (quantidade diária de drogas apreendidas, em 
kg) 
1 2 3 4 5 
10 22 18 22 28 
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de drogas 
em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela precedente, 
que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de 
apreensões no citado aeroporto, julgue o item. 
A mediana das quantidades X observadas na amostra em questão foi igual a 18 kg. 
Comentários: 
A mediana é o termo que ocupa a posição central. Como, nos dados originais, esta posição é 
ocupada pelo 18, tendemos a associá-lo à mediana. Mas isso está correto, pois, inicialmente, 
devemos montar o rol, ou seja, listar os dados em ordem crescente: 
Rol: 
10, 18, 22, 22, 28 
Só agora identificamos o termo central, que é o 22. 
𝑀𝑑 = 22 
Gabarito: Errado. 
 
12. (CESPE 2018/IPHAN) Uma pesquisa a respeito das quantidades de teatros em cada uma de 
11 cidades brasileiras selecionadas apresentou o seguinte resultado: {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}. 
Com referência a esses dados, julgue o item seguinte. 
O valor do primeiro quartil do conjunto de dados (Q1/4) é igual a 3. 
Comentários: 
Um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro 
partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população. 
Assim, no caso duma amostra ordenada, 
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• primeiro quartil (designado por Q1/4), ou quartil inferior, é o valor aos 25% da amostra 
ordenada. 
• segundo quartil (designado por Q2/4), ou mediana, é o valor até ao qual se encontra 50% da 
amostra ordenada. 
• terceiro quartil (designado por Q3/4), ou quartil superior, valor a partir do qual se encontram 
25% dos valores mais elevados, isto é, valor aos 75% da amostra ordenada. 
Em nosso item, tem-se uma amostra de 11 elementos. Como 
25
100
× 11 = 2,75 
então, o primeiro quartil será o termo na terceira posição da amostra ordenada, pois é o inteiro 
mais próximo de 2,75. Como a amostra ordenada é 
{1, 2, 𝟐, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}, 
segue que Q1=2. 
Gabarito: Errado. 
 
13. (CESPE 2018/IPHAN) Uma pesquisa a respeito das quantidades de teatros em cada uma de 
11 cidades brasileiras selecionadas apresentou o seguinte resultado: {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}. 
Com referência a esses dados, julgue o item seguinte. 
O valor do terceiro quartil do conjunto de dados (Q3/4) é igual a 4. 
Comentários: 
Um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro 
partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população. 
Assim, no caso duma amostra ordenada, 
• primeiro quartil (designado por Q1/4), ou quartil inferior, é o valor aos 25% da amostra 
ordenada. 
• segundo quartil (designado por Q2/4), ou mediana, é o valor até ao qual se encontra 50% da 
amostra ordenada. 
• terceiro quartil (designado por Q3/4), ou quartil superior, valor a partir do qual se encontram 
25% dos valores mais elevados, isto é, valor aos 75% da amostra ordenada. 
Em nosso item, tem-se uma amostra de 11 elementos. Como 
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75
100
× 11 = 8,25 
então, o primeiro quartil será o termo da nona posição da amostra ordenada, pois é o primeiro 
inteiro maior que 8,25. Como a amostra ordenada é 
{1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4}, 
segue que Q3=4 
Gabarito: Correto. 
 
14. (CESPE 2018/IFF) A distribuição das notas dos 20 alunos de uma sala de aula na prova de 
matemática está mostrada na tabela a seguir. 
nota do aluno 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 
número de alunos 3 3 1 7 6 
Nessa situação, a moda dessas notas é igual a 
a) 6,0. 
b) 6,5. 
c) 7,0. 
d) 7,5. 
e) 8,0. 
Comentários: 
A moda é o termo que mais se repete, ou seja, que tem maior frequência. 
Da tabela acima, temos: 
• a nota 5 ocorreu 3 vezes 
• a nota 6 ocorreu 3 vezes 
• a nota 7 ocorreu 1 vez 
• a nota 8 ocorreu 7 vezes 
• a nota 9 ocorreu 6 vezes 
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Logo, a moda vale 8, pois foi a nota que mais se repetiu. 
Gabarito: E. 
 
15. (CESPE 2018/IPHAN) Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada 
para descrever e resumir dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir. 
A moda é o valor que apresenta a maior frequência da variável entre os valores observados. 
Comentários: 
O item foi literal na definição da moda. Como exemplo, considere o seguinte conjunto de dados: 
1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5 
O valor que mais se repetiu, ou seja, que teve a maior frequência, foi o número 2, com cinco 
ocorrências. Então, dizemos que a moda vale 2. 
Quanto a essa medida, faço um alerta sobre alguns casos que podem ocorrer: 
i) é possível que um conjunto tenha mais de uma moda. Exemplo: 
1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 
O conjunto acima é bimodal, ou seja, tem duas modas, que são os valores 1 e 2. 
ii) é ainda possível que um conjunto seja amodal, isto é, não tenha moda. Exemplo: 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 
Nenhum valor se sobressaiu, dado que todas as observações têm frequência 1. Então, dizemos 
que o conjunto não tem moda. 
Gabarito: Certo. 
 
 
 
 
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16. (CESPE 2018/PF) 
 dia 
X (quantidade diária de drogas apreendidas, em 
kg) 
1 2 3 4 5 
10 22 18 22 28 
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de drogas 
em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela precedente, 
que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de 
apreensões no citado aeroporto, julgue o item. 
A moda da distribuição dos valores X registrados na amostra foi igual a 22 kg. 
Comentários: 
A moda é o termo que mais se repete, ou seja, que tem a maior frequência. 
Na distribuição acima, temos: 
• o valor 10 tem frequência 1, pois aparece 1 vez 
• o valor 22 tem frequência 2, pois aparece 2 vezes 
• o valor 18 tem frequência 1, pois aparece 1 vez 
• o valor 28 tem frequência 1, pois aparece 1 vez 
O valor 22 é a moda, pois apresentou a maior frequência. 
Gabarito: Certo. 
 
17. (CESPE 2018/ABIN) Em fevereiro de 2018, o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas 
Educacionais Anísio Teixeira (INEP) começou a segunda etapa do Censo Escolar 2017, o módulo 
“Situação do Aluno”. Nessa etapa, serão coletadas informações sobre rendimento e movimento 
escolar dos alunos ao final do ano letivo de 2017. Para isso, será importante que as escolas utilizem 
seus registros administrativos e acadêmicos, como ficha de matrícula, diário de classe, histórico 
escolar. 
Internet: <www.inep.gov.br/notícias> (com adaptações). 
A partir do texto antecedente, julgue o item que se segue, relativo a estatísticas educacionais. 
A moda a ser obtida no estudo indicará o resultado de maior frequência para cada uma das 
informações a serem coletadas. 
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Comentários: 
A moda realmente é o valor com maior frequência observado no conjunto de dados. 
Teremos realmente uma moda para cada uma das informações coletadas. Uma eventual variável 
tempo médio de aula teria sua moda, assim como teria uma moda a variável número de alunos 
por sala, e assim para cada variável extraída das informações no estudo censitário. 
Gabarito: Certo. 
 
18. (CESPE 2018/IFF) Considere que o peso de 5 pessoas, juntas em um elevador, seja de 340 kg. 
Se, em determinado andar, mais um indivíduo entrar no elevador, sem que dele ninguém desça, 
e a média aritmética dos pesos dessas 6 pessoas passar a ser de 70 kg, esse sexto indivíduo pesa 
a) 68,3 kg. 
b) 69 kg. 
c) 70 kg. 
d) 80 kg. 
e) 82 kg. 
Comentários: 
Vamos relembrar da fórmula da média: 
�̅� =
𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑛
 
Basta dividir a soma dos dados pelo número de observações. 
Oras, se passarmos o "n" multiplicando, veremos que: 
𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝑛 × �̅� 
Ou seja, se tomarmos o tamanho da amostra "n" e multiplicarmos pela média, temos a soma dos 
dados. Com isso em mente, vemos que: 
i) Na primeira situação a soma dos pesos vale 340 kg (informação dada no enunciado) 
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ii) Na segunda situação a soma dos pesos vale 6×70=420 kg (basta multiplicar número de pessoas 
pelo peso médio). 
iii) A diferença entre os dois pesos corresponde ao último indivíduo que entrou: 420−340=80 kg 
Gabarito: D. 
 
19. (CESPE 2018/PM-AL) Acerca de análise de dados, julgue o próximo item. O gráfico a seguir 
mostra a distribuição de frequência de delitos ocorridos em determinado bairro nos seis primeiros 
meses de 2018. 
 
Nesse caso, a média dos delitos ocorridos no semestre considerado foi superior à média dos 
delitos ocorridos no segundo trimestre. 
Comentários: 
Vamos organizar os dados: 
Período 
Quantidade de 
delitos 
Janeiro 27 
Fevereiro 30 
Março21 
Total 1º trimestre 78 
Abril 30 
Maio 24 
Junho 18 
Total 2º trimestre 72 
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Total do 
semestre 
78+72=150 
No semestre tivemos 150 delitos em seis meses. A média semestral fica: 
150
6
= 25 
No segundo trimestre tivemos 72 delitos em 3 meses. A média trimestral fica: 
72
3
= 24 
De fato, a média dos delitos no semestre foi maior que a média no segundo trimestre. 
Gabarito: Certo. 
 
20. (CESPE 2018/IFF) A tabela a seguir mostra a distribuição das idades dos 30 alunos de uma sala 
de aula. 
idade (em anos) 10 11 12 13 14 
número de alunos 14 8 3 4 1 
Nesse caso, a média de idade dos alunos dessa sala é igual a 
a) 14 anos. 
b) 13 anos. 
c) 12 anos. 
d) 11 anos. 
e) 10 anos. 
Comentários: 
Para calcular a média, o primeiro passo e multiplicar valor pela frequência, e depois somar: 
Valor (𝑿) 10 11 12 13 14 Total 
Frequência (𝒇) 14 8 3 4 1 30 
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𝑿 × 𝒇 140 88 36 52 14 330 
Dividindo os dois totais, temos a média: 
�̅� =
330
30
= 11 
Gabarito: D. 
 
21. (CESPE 2018/IFF) No registro das quantidades de filhos de 200 casais, verificaram-se os valores 
mostrados na tabela seguinte. 
quantidade de filhos 1 2 0 3 4 5 6 
quantidade de casais 50 40 40 30 25 10 5 
Nesse caso, a quantidade média de filhos para esse grupo de casais é igual a 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 2,5. 
e) 3. 
Comentários: 
Pessoal, a média de filhos (𝑋𝑓̅̅ ̅) desse grupo é a soma de todos os filhos (𝑆𝑓), dividido pelo número 
de casais (𝑛𝑐). Então, 
𝑋𝑓̅̅ ̅ =
𝑆𝑓
𝑛𝑐
 
Substituindo os valores, teremos: 
𝑋𝑓̅̅ ̅ =
1 × 50 + 2 × 40 + 0 × 40 + 3 × 30 + 4 × 25 + 5 × 10 + 6 × 5
50 + 40 + 40 + 30 + 25 + 10 + 5
 
𝑋𝑓̅̅ ̅ =
50 + 80 + 0 + 90 + 100 + 50 + 30
200
 
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𝑋𝑓̅̅ ̅ =
400
200
 
𝑋𝑓̅̅ ̅ = 2 
Logo, a quantidade média de filhos para esse grupo de casais é 2 filhos por casal. 
Gabarito: C. 
 
22. (CESPE 2018/BNB) No item a seguir é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma 
assertiva a ser julgada, a respeito de proporcionalidade, divisão proporcional, média e 
porcentagem. 
Em uma faculdade, para avaliar o aprendizado dos alunos em determinada disciplina, o professor 
aplica as provas A, B e C e a nota final do aluno é a média ponderada das notas obtidas em cada 
prova. Na prova A, o peso é 1; na prova B, o peso é 10% maior que o peso na prova A; na prova 
C, o peso é 20% maior que o peso na prova B. 
Nesse caso, se P A, P B e P C forem as notas obtidas por um aluno nas provas A, B e C, 
respectivamente, então a nota final desse aluno é expressa por 𝑃𝐴 + 1,2𝑃𝐵 + 1,32𝑃𝐶
3,52
. 
Comentários: 
Para resolver essa questão utilizaremos o conceito de média ponderada. 
A média aritmética ponderada é bastante similar à média aritmética comum. A diferença, 
entretanto, é que na média aritmética todos os valores contribuem com peso igual, enquanto que 
no cálculo da média aritmética ponderada se leva em consideração a contribuição (peso) de cada 
termo, uma vez que existem termos que contribuem mais que outros. 
Consideremos uma coleção formada por n números: 𝑥1, 𝑥2,⋯, 𝑥𝑛 de forma que cada um esteja 
sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: 𝑝1, 𝑝2,⋯, 𝑝𝑛. A média aritmética ponderada 
desses n números é a soma dos produtos de cada um multiplicados por seus respectivos pesos, 
dividida pela soma dos pesos, isto é: 
�̅� =
𝑥1𝑝1 + 𝑥2𝑝2+. . . . +𝑥𝑛𝑝𝑛
𝑝1 + 𝑝2+. . . . +𝑝𝑛
 
Como na prova A, o peso é 1; na prova B, o peso é 10% maior que o peso na prova A; na prova 
C, o peso é 20% maior que o peso na prova B, então os respectivos pesos serão 
Peso para A: 1 
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Peso para B: 1,1 
Peso para C: 1,32. 
Logo, a nota final será expressa por: 
𝑁𝑜𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =
𝑃𝐴 + 1,2 × 𝑃𝐵 + 1,32 × 𝑃𝐶
1 + 1,1 + 1,32
=
𝑃𝐴 + 1,2 × 𝑃𝐵 + 1,32 × 𝑃𝐶
3,42
 
Gabarito: Errado. 
 
23. (CESPE 2018/IPHAN) Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada 
para descrever e resumir dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir. 
As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto em torno do 
qual se concentram as médias dos dados. 
Comentários: 
As medidas de tendência central são as medidas típicas ou representativas de um conjunto de 
dados cujo objetivo é indicar o valor típico ou prevalente de uma distribuição de frequência, 
quando esta apresenta os valores intermediários da variável com frequência maior que os valores 
extremos, ou seja, uma tendência central. Tal nome é conveniente pois tendem para o centro da 
distribuição, que não necessariamente é a média. Assim, as medidas de tendência central nos dão 
um indicativo de onde se concentram os dados originais. 
Um contraexemplo para afirmação pode ser o seguinte: considere os dados {1,4,1000}. O termo 
central é 4 (mediana, nesse caso) enquanto a média é: 
𝑀𝑒 =
1 + 4 + 1000
3
= 335, 
valor bem longe do centro. 
Dentre as medidas mais utilizadas podemos citar a média aritmética, a mediana e a moda. 
Cabe salientar que por essas medidas por si só dão informações insuficientes e precisam ser 
acopladas a uma medida de variabilidade. 
Gabarito: Errado. 
 
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24. (CESPE 2018/SEDF) Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, 
mostrou que jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 horas 
por dia. 
A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
distribuição dos tempos 
gastos assistindo televisão 
(T, em horas) 
1.º quartil 2 
2.º quartil 4 
3.º quartil 8 
1.º decil 1 
9.º decil 10 
Tendo como referência essas informações, julgue o seguinte item. 
Segundo esse levantamento, metade dos jovens com idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão 
durante 8 horas por dia. 
Comentários: 
Segundo as informações da tabela, apenas 25% dos jovens assistem à televisão durante, pelo 
menos, 8 horas por dia. De fato, como o 3º quartil é 8, então 75% dos dados estão abaixo de 8; e 
25% deles, iguais a ou acima de 8. 
Como o 2º quartil é 4, pode-se afirmar que 50% dos jovens – aqueles cujos tempos estão acima 
de 4 – assistem à televisão durante, pelo menos, 4 horas por dia. 
Gabarito: Errado. 
 
25. (CESPE 2018/SEDF) Iniciado em 2007, o processo gradativo de substituição do sinal de TV 
analógico pelo digital no Brasil começou a concretizar-se em 2016. 
Nesse período, intensificou-se o uso da TV por assinatura, segundo dados do IBGE. 
A tabela a seguir mostra o percentual aproximado de domicílios brasileiros que dispunham de 
diferentes modalidades de acesso à TV em 2014. 
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zona 
sinal digital de 
TV aberta 
TV por 
assinatura 
antena 
parabólica 
urbana 44% 36% 32% 
rural 16% 8% 79% 
IBGE (com adaptações). 
Considerando essas informações e o fato de que, em 2014, 86% dos domicílios brasileiros 
situavam-se na zona urbana, julgue o item subsequente. 
Em 2014, havia acesso ao sinal digital de TV aberta em mais de 50% dos domicílios brasileiros. 
Comentários: 
O enunciado nos informou que: 
• 86% dos domicílios estão em zona urbana e, destes, 44% têm sinal aberto digital; 
• 14% dos domicílios estão em zona rural e, destes, 16% têm sinal aberto digital.Portanto, a média geral de domicílios com sinal digital aberto será uma média ponderada entre 
44% e 16%. Os pesos de ponderação são 86% e 14%. 
Aplicando a fórmula da média, temos: 
0,44 × 0,86 + 0,16 × 0,14
0,86 + 0,14
= 40,08% 
Gabarito: Errado. 
 
26. (CESPE 2017/PM-AL) Em um tanque A, há uma mistura homogênea de 240 L de gasolina e 60 
L de álcool; em outro tanque B, 150 L de gasolina estão misturados homogeneamente com 50 L 
de álcool. 
A respeito dessas misturas, julgue o item subsequente. 
Considere que em um tanque C, inicialmente vazio, tenham sido despejadas certas quantidades 
das misturas dos tanques A e B totalizando 100 L. Considere também que, depois de 
homogeneizada essa mistura no tanque C, a separação de álcool e gasolina por um processo 
químico tenha mostrado que nesses 100 L, 22 L eram de álcool. Nessa situação, para formar essa 
mistura no tanque C foram usados mais de 55 L da mistura do tanque A. 
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47 
 
Comentários: 
No tanque A, a proporção de álcool é de 60/300, ou seja, 20%. 
No tanque B, a proporção de álcool é de 50/200, ou seja, 25%. 
No tanque C, a proporção foi de 22/100, ou seja, 22%. 
A proporção final em C é uma média ponderada das proporções de A e B. 
0,22 = 𝑎 × 0,20 + 𝑏 × 0,25 
Se somarmos os percentuais usados para A e para B, temos 100%: 
𝑎 + 𝑏 = 1 → 𝑏 = 1 − 𝑎 
Substituindo este resultado na equação anterior. 
0,22 = 𝑎 × 0,20 + 𝑏 × 0,25 
0,22 = 0,2𝑎 + (1 − 𝑎) × 0,25 
0,22 = 0,2𝑎 − 0,25𝑎 + 0,25 
0,05𝑎 = 0,03 
𝑎 = 0,6 
60% do conteúdo de C proveio de A. Ou seja, foram usados 60L de A. 
Gabarito: Certo. 
 
27. (CESPE 2017/Pref. São Luís) 
Texto 11A2CCC 
A tabela a seguir apresenta uma comparação entre a evolução populacional ocorrida na cidade 
de São Luís, no estado do Maranhão e no Brasil, a cada cinco anos, de 1985 a 2010. 
ano 
São Luís 
(em 
milhares) 
Maranhão 
(em 
milhões) 
Brasil 
(em 
milhões) 
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1985 640 4,3 137 
1990 700 4,9 146 
1995 780 5,2 156 
2000 870 5,6 171 
2005 960 6,1 183 
2010 1.000 6,6 192 
IBGE (com adaptações). 
Com base na tabela do texto 11A2CCC, considerando-se a sequência dos seis valores 
correspondentes à população de São Luís, infere-se que a mediana desses valores é igual a 
a) 725.000. 
b) 775.000. 
c) 825.000. 
d) 875.000. 
e) 700.000. 
Comentários: 
A tabela apresenta seis observações, que é uma quantidade par. Neste caso, a mediana é dada 
pela média entre os termos centrais: 
780 + 870
2
= 390 + 435 
= 825 
A mediana é de 825 milhares de habitantes. 
Gabarito: C. 
 
28. (CESPE 2016/TCE-PA) 
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número diário de 
denúncias 
registradas (X) 
frequência 
relativa 
0 
1 
2 
3 
4 
0,3 
0,1 
0,2 
0,1 
0,3 
total 1,0 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa 
o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir 
das informações dessa tabela, julgue o item seguinte. 
A moda da variável X é igual a 2. 
Comentários: 
A moda é o termo com maior frequência. No caso, temos duas modas, pois há dois valores com 
maior frequência relativa. São modas os valores 0 e 4, ambos com frequência 0,3. 
Gabarito: Errado. 
 
29. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
 
Considerando que os dados na tabela mostram salários de diferentes servidores que aderiram (1) 
ou não aderiram (0) a determinado plano de previdência complementar, julgue o item subsecutivo. 
A média dos salários do grupo que aderiu ao plano de previdência complementar é menor que a 
do que não aderiu ao plano. 
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Comentários: 
Chamando de X a variável adesão ao plano, tem-se que a média dos salários do grupo que aderiu 
ao plano de previdência é igual a: 
𝑋1̅̅ ̅ (𝑋 = 1) =
5000 + 8000 + 6000 + 4000 + 4500
5
 
=
27000
5
 
= 5500. 
Já a média dos que não aderiram ao plano é dada por: 
𝑋0̅̅ ̅ (𝑋 = 0) =
4000 + 2000 + 3000 + 4000 + 7000
5
 
=
20000
5
 
= 4000. 
Logo, a média dos salários do grupo que aderiu ao plano de previdência é maior que a do que 
não aderiu ao plano. 
Gabarito: Errado. 
 
30. (CESPE 2016/FUB) Em um almoxarifado há, em estoque, 100 caixas na forma de 
paralelepípedos retângulos. Na tabela a seguir são mostrados alguns valores da frequência 
absoluta, da frequência relativa e da porcentagem da variável volume interno da caixa, em litros 
(L). 
volume 
da 
caixa (L) 
frequênci
a 
absoluta 
frequênci
a 
relativa 
porcentage
m 
(%) 
10 10 * * 
20 * * * 
45 * 0,2 * 
60 * * 40 
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Total 100 1 100 
Considerando essas informações, julgue o seguinte item. 
A média aritmética dos volumes dessas caixas é igual a 40 L. 
Comentários: 
A média aritmética é definida pela soma dos valores de um determinado conjunto de medidas, 
dividindo-se o resultado dessa soma pela quantidade dos valores que foram somados. Assim, 
para uma coleção formada por n números 𝑥1, 𝑥2, . . . ., 𝑥𝑛 a média aritmética simples será 
determinada pela expressão: 
�̅� =
𝑥1 + 𝑥2+. . . . +𝑥𝑛
𝑛
 
Para determinar a média sugerida na questão precisamos completar a tabela apresentada: 
Volume 
da 
caixa (L) 
Frequênci
a 
absoluta 
Frequênci
a 
relativa 
Porcentage
m 
(%) 
10 10 0,1 10 
20 30 0,3 30 
45 20 0,2 20 
60 40 0,4 40 
Total 100 1 100 
Para tanto, usamos o fato de que a frequência relativa é dada pela razão (divisão) entre a 
frequência absoluta e o total de elementos. 
Com os dados apresentados na tabela, a amostra de volumes para as 100 caixas, em ordem 
crescente, será 
10,10,⋯ ,10⏟ 
10 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠
, 20,20,⋯ ,20⏟ 
30 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠
, 45,45,⋯ ,45⏟ 
20 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠
, 60,60,⋯ ,60⏟ 
40 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠
 
de onde concluímos que a média aritmética dos volumes dessas 100 caixas é igual a: 
�̅� =
10 × 10 + 20 × 30 + 45 × 20 + 60 × 40
100
 
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�̅� =
100 + 600 + 900 + 2400
100
 
�̅� =
4000
100
 
�̅� = 40 
Gabarito: Certo. 
 
31. (CESPE 2016/TCE-PA) 
número diário de 
denúncias 
registradas (X) 
frequência 
relativa 
0 
1 
2 
3 
4 
0,3 
0,1 
0,2 
0,1 
0,3 
total 1,0 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que representa 
o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição pública. A partir 
das informações dessa tabela, julgue o item seguinte. 
A mediana do número diário de denúncias registradas é igual a 2. 
Comentários: 
Reparem que a distribuição é simétrica. Quando isso ocorre, a mediana corresponde ao ponto 
central da tabela de valores de X. Ou seja, a mediana vale mesmo 2. 
Apesar disso, vamos ver como fica o cálculo. 
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Número diário de 
denúncias 
registradas (X) 
Freq. 
relativa 
Freq. relativa 
acumulada 
0 0,3 0,3 
1 0,1 0,4 
2 0,2 0,6 
3 0,1 0,7 
4 0,3 1 
A mediana é o valor que apresenta frequência relativa igual a 0,5. Na tabela não temos esse 
patamar, então procuramos o ponto em que ele foi ultrapassado. 
No nosso caso, tal patamar de frequência relativa foi ultrapassado justamente para o valor 2 (vide 
linha em vermelho acima). Portanto,a mediana é igual a 2. 
Gabarito: Certo. 
 
32. (CESPE 2015/DEPEN) 
quantidade 
diária 
de incidentes (N) 
frequência 
relativa 
0 0,1 
1 0,2 
2 0,5 
3 0,0 
4 0,2 
total 1 
Considerando os dados da tabela mostrada, que apresenta a distribuição populacional da 
quantidade diária de incidentes (N) em determinada penitenciária, julgue o item que se segue. 
A moda da distribuição de N é igual a 4, pois esse valor representa a maior quantidade diária de 
incidentes que pode ser registrada nessa penitenciária. 
Comentários: 
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A moda é o valor que apresenta maior frequência. 
A maior frequência é 0,5, que corresponde ao valor 2. Logo, a moda vale 2. 
Gabarito: Errado. 
 
33. (CESPE 2015/DEPEN) 
 
Dado que a participação dos presidiários em cursos de qualificação profissional é um aspecto 
importante para a reintegração do egresso do sistema prisional à sociedade, foram realizados 
levantamentos estatísticos, nos anos de 2001 a 2009, a respeito do valor da educação e do 
trabalho em ambientes prisionais. Cada um desses levantamentos, cujos resultados são 
apresentados no gráfico, produziu uma estimativa anual do percentual P de indivíduos que 
participaram de um curso de qualificação profissional de curta duração, mas que não receberam 
o diploma por motivos diversos. Em 2001, 69,4% dos presidiários que participaram de um curso 
de qualificação profissional não receberam o diploma. No ano seguinte, 2002, esse percentual foi 
reduzido para 61,5%, caindo, em 2009, para 30,9%. 
A partir das informações e do gráfico apresentados, julgue o item que se segue. 
Caso a quantidade total de presidiários participantes de um curso de qualificação profissional em 
2001 seja igual a N, e esse total em 2002 seja igual a 2N, a estimativa do percentual P de indivíduos 
que participaram de um curso de qualificação profissional de curta duração e que não receberam 
o diploma por motivos diversos nos anos de 2001 e 2002 é inferior a 65%. 
Comentários: 
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Em 2001, tivemos N presidiários participando do curso. Sabemos que 69,4% desta quantia não 
recebeu o diploma. 
0,694 × 𝑁 
Para 2002 são 2N presidiários, e 61,5% não recebeu o diploma. 
0,615 × (2𝑁) = 1,23𝑁 
Total de pessoas que não recebeu o diploma: 
0,694𝑁 + 1,23𝑁 = 1,924𝑁 
Finalmente, para calcular o percentual, basta dividir esta quantia pelo total de pessoas nos dois 
anos: 
1,924𝑁
𝑁 + 2𝑁
=
1,924
3
≅ 0,64 
≅ 64% 
Gabarito: Certo. 
 
34. (CESPE 2015/TELEBRAS) A equipe de atendentes de um serviço de telemarketing é 
constituída por 30 empregados, divididos em 3 grupos, que trabalham de acordo com a seguinte 
escala. 
▸Grupo I: 7 homens e 3 mulheres, que trabalham das 6 h às 12 h. 
▸Grupo II: 4 homens e 6 mulheres, que trabalham das 9 h às 15 h. 
▸Grupo III: 1 homem e 9 mulheres, que trabalham das 12 h às 18 h. 
A respeito dessa equipe, julgue o item que se segue. 
Se, nesse serviço de telemarketing, a média das idades das atendentes for de 21 anos e a média 
das idades dos atendentes for de 31 anos, então a média das idades de todos os 30 atendentes 
será de 26 anos. 
Comentários: 
Segundo o enunciado, o total de homens é: 
7 + 4 + 1 = 12 
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Já o total de mulheres é: 
3 + 6 + 9 = 18 
A média geral é uma média ponderada das médias individuais. Os pesos de ponderação são as 
quantidades de homens e mulheres. 
�̅� =
21 × 18 + 31 × 12
18 + 12
 
Dividindo todos os fatores por 6: 
�̅� =
21 × 3 + 31 × 2
3 + 2
 
�̅� =
63 + 62
5
 
�̅� =
125
5
= 25 
Gabarito: Errado. 
 
35. (CESPE 2015/DEPEN) 
idade (x) 
percentua
l 
18 < x < 25 30% 
25 < x < 30 25% 
30 < x < 35 20% 
35 < x < 45 15% 
45 < x < 60 10% 
total 100% 
Felipe M. Monteiro, Gabriela R. Cardoso e Rafael da Silva. A seletividade do sistema prisional brasileiro e as políticas de 
segurança pública. In: XV Congresso Brasileiro de Sociologia, 26 a 29 de julho de 2011, Curitiba (PR). Grupo de Trabalho – 
Violência e Sociedade (com adaptações). A tabela precedente apresenta a distribuição percentual de presos no Brasil por faixa 
etária em 2010, segundo levantamento feito por Monteiro et al. (2011), indicando que a população prisional brasileira nesse ano 
era predominantemente jovem. 
Com base nos dados dessa tabela, julgue o item a seguir. 
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A mediana da distribuição mostrada é igual ou superior a 30 anos, pois as idades mínima e máxima 
na população prisional brasileira em 2010 foram, respectivamente, 18 e 60 anos. 
Comentários: 
Em primeiro lugar, devemos calcular 
Idade (x) Percentua
l 
Perc. acumulado 
18 < x < 25 30% 30% 
25 < x < 
30 
25% 30% + 25% = 55% 
30 < x < 35 20% 55% + 20% = 75% 
35 < x < 45 15% 75% + 15% = 90% 
45 < x < 60 10% 90% + 10% = 100% 
total 100% 
Sabemos que: 
• a idade 25 corresponde à frequência acumulada 30% 
• a idade D (mediana) corresponde à frequência acumulada 50% 
• a idade 30 corresponde à frequência acumulada 55% 
Agora, podemos calcular a mediana por meio do método da interpolação: 
𝐷 − 25
30 − 25
=
50 − 30
55 − 30
 
 
𝐷 − 25
5
=
20
25
 
𝐷 = 29 
Assim, a mediana vale 29 anos. 
Gabarito: Errado. 
 
36. (CESPE 2015/DEPEN) 
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idade (x) 
percentua
l 
18 < x < 25 30% 
25 < x < 30 25% 
30 < x < 35 20% 
35 < x < 45 15% 
45 < x < 60 10% 
total 100% 
Felipe M. Monteiro, Gabriela R. Cardoso e Rafael da Silva. A seletividade do sistema prisional brasileiro e as políticas de 
segurança pública. In: XV Congresso Brasileiro de Sociologia, 26 a 29 de julho de 2011, Curitiba (PR). Grupo de Trabalho – 
Violência e Sociedade (com adaptações). A tabela precedente apresenta a distribuição percentual de presos no Brasil por faixa 
etária em 2010, segundo levantamento feito por Monteiro et al. (2011), indicando que a população prisional brasileira nesse ano 
era predominantemente jovem. 
Com base nos dados dessa tabela, julgue o item a seguir. 
A maior parte da população prisional brasileira em 2010 era formada por pessoas com idades 
inferiores a 30 anos. Porém, a média da distribuição das idades dos presos no Brasil nesse ano foi 
superior a 30 anos. 
Comentários: 
Vamos quebrar o item em duas partes. 
A primeira parte do item está correta: “a maior parte da população prisional brasileira em 2010 
era formada por pessoas com idades inferiores a 30 anos”. De fato, havia mais da metade das 
pessoas nessa faixa etária. Mais precisamente, 55% das pessoas tinham menos de 30 anos. Para 
comprovar isso, basta somarmos as frequências das duas primeiras linhas. 
Agora, vamos analisar a segunda parte do item: “a média da distribuição das idades dos presos 
no Brasil nesse ano foi superior a 30 anos”. Vamos calcular a média: 
Idade (𝒙) Ponto médio 
(𝑿) 
percentual 
(𝒑) 
𝑿 × 𝒑 
18 < x < 25 21,5 30% 6,45 
25 < x < 30 27,5 25% 6,875 
30 < x < 35 32,5 20% 6,5 
35 < x < 45 40 15% 6 
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45 < x < 60 52,5 10% 5,25 
total 1 31,075 
�̅� = 31,075 
A média de fato foi maior que 30. 
Gabarito: Certo. 
 
37. (CESPE 2015/TELEBRAS) Considerando que os possíveis valores de um indicador X, elaborado 
para monitorar a qualidade de um serviço de cabeamento residencial para a comunicação de 
dados, sejam elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}