Projeto de Ponte Rodoviária - Memorial de Cálculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO DE PONTE RODOVIÁRIA HIPERESTÁTICA 
EM CONCRETO ARMADO COM SEÇÃO TRANSVERSAL COM DUAS VIGAS 
PRINCIPAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNOS: DANIEL BRAZ E MARCELO FERREIRA 
 
PROFESSOR ORIENTADOR: DR. JOSÉ NERES DA SILVA FILHO 
 
 
 
 
NATAL - RN 
 2016.02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO DE PONTE RODOVIÁRIA HIPERESTÁTICA 
EM CONCRETO ARMADO COM SEÇÃO TRANSVERSAL COM DUAS VIGAS 
PRINCIPAIS 
 
 
 
 
Atividade Prática do Curso de 
Pontes da Escola de Engenharia 
Civil da Universidade Federal 
do Rio Grande do Norte. 
 
 
 
 
NATAL - RN 
 2016.02 
RESUMO 
 
 
Esse documento faz referência ao projeto de ponte hiperestática em concreto armado com 
seção transversal com duas longarinas retas. Apresentam-se o memorial descritivo, aspectos 
de pré-dimensionamento e dimensionamento dos principais elementos da superestrutura, 
mesoestrutura e infraestrutura. Por se tratar de um projeto interdisciplinar, o projeto 
envolve aspectos de diferentes disciplinas da Engenharia Civil. Procurou-se, de forma 
didática, expor as principais etapas, considerações e expressões inerentes ao projeto de uma 
ponte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Palavras Chaves: ponte, concreto armado, dimensionamento 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
1 Memorial descritivo ............................................................................................................. 1 
2 Pré-dimensionamento .......................................................................................................... 2 
3 Cálculo da viga principal ..................................................................................................... 4 
3.1 Levantamento da carga permanente ............................................................................. 4 
3.1.1 Determinação da carga g1 ....................................................................................... 4 
3.1.2 Determinação da carga g2 ....................................................................................... 5 
3.1.3 Determinação da carga G1 e G1’ ............................................................................ 5 
3.1.4 Determinação da carga G2 ...................................................................................... 5 
3.2 Esforços solicitantes devidos à carga permanente ........................................................ 6 
3.2.1 Momento fletor ....................................................................................................... 6 
3.2.2 Esforço cortante...................................................................................................... 6 
3.3 Determinação do trem-tipo de cálculo das vigas principais ......................................... 7 
3.3.1 Seção que passa pelo veículo-tipo .......................................................................... 9 
3.3.2 Seção fora do veículo-tipo...................................................................................... 9 
3.3.3 Composição do trem-tipo longitudinal ................................................................. 10 
3.3.4 Coeficiente de impacto ......................................................................................... 10 
3.4 Traçado das linhas de influência ................................................................................. 12 
3.5 Esforços solicitantes devidos à carga móvel ............................................................... 13 
3.6 Envoltórias dos esforços solicitantes .......................................................................... 13 
3.7 Dimensionamento e detalhamento das armaduras ...................................................... 14 
3.7.1 Dimensionamento da armadura longitudinal ....................................................... 15 
3.7.2 Dimensionamento da armadura transversal ......................................................... 18 
3.7.3 Verificação à fadiga das armaduras ..................................................................... 21 
3.7.4 Armadura de pele ................................................................................................. 26 
4 Cálculo das lajes ................................................................................................................ 28 
4.1 Esforços solicitantes ................................................................................................... 28 
4.2 Dimensionamentos das armaduras de flexão .............................................................. 31 
4.2.1 Lajes L1 = L7 ....................................................................................................... 31 
4.2.1 Laje L2 ................................................................................................................. 33 
4.2.1 Lajes L3, L4, L5 e L6 ........................................................................................... 35 
4.2.1 Laje de transição................................................................................................... 37 
4.3 Verificação das tensões cisalhantes ............................................................................ 38 
4.3.1 Lajes L1 = L7 ....................................................................................................... 38 
4.3.1 Laje L2 ................................................................................................................. 39 
4.3.1 Lajes L3, L4, L5 e L6 ........................................................................................... 41 
4.3.1 Laje de transição................................................................................................... 43 
5 Cálculo das transversinas e cortina .................................................................................... 45 
5.1 Levantamento das cargas permanentes ....................................................................... 45 
5.1.1 Peso próprio das transversinas ............................................................................. 45 
5.1.2 Reação do peso próprio da laje e do pavimento ................................................... 45 
5.1.3 Esforços solicitantes devido às cargas permanentes ............................................ 46 
5.2 Reação da carga móvel ............................................................................................... 48 
5.3 Envoltórias dos esforços solicitantes .......................................................................... 48 
5.4 Dimensionamento e detalhamento das armaduras ...................................................... 49 
5.4.1 Dimensionamento da armadura longitudinal ....................................................... 50 
5.4.2 Dimensionamento da armadura transversal ......................................................... 50 
5.4.3 Verificação à fadiga das armaduras ..................................................................... 50 
5.4.4 Armadura de pele ................................................................................................. 51 
5.5 Dimensionamento da cortina ...................................................................................... 52 
5.5.1 Empuxos sobre a cortina ...................................................................................... 52 
5.5.2 Peso próprio e reações das lajes ........................................................................... 54 
6 Cálculo dos elementos da mesoestrutura e infraestrutura .................................................55 
6.1 Esforços solicitantes verticais ..................................................................................... 55 
6.2 Ações horizontais longitudinais .................................................................................. 56 
6.2.1 Aceleração e frenagem ......................................................................................... 56 
6.2.2 Componente longitudinal do vento ...................................................................... 56 
6.2.3 Empuxo de terra e sobrecarga nas cortinas .......................................................... 57 
6.2.4 Empuxo de terra nos pilares ................................................................................. 57 
6.2.5 Retração e variação de temperatura ..................................................................... 59 
6.2.6 Distribuição das ações horizontais longitudinais ................................................. 59 
6.2.7 Resumo das ações horizontais longitudinais ........................................................ 63 
6.3 Ações horizontais transversais .................................................................................... 63 
6.3.1 Componente transversal do vento ........................................................................ 63 
6.3.2 Pressão da água nos pilares .................................................................................. 63 
6.3.3 Distribuição das ações horizontais transversais ................................................... 64 
6.4 Esforços solicitantes nos pilares e tubulões ................................................................ 64 
6.5 Dimensionamento e detalhamento das armaduras dos pilares e tubulões .................. 70 
6.6 Dimensionamento da base do tubulão ........................................................................ 74 
7 Estado-limite de Serviço de Deformações Excessivas ...................................................... 76 
8 Detalhamentos ................................................................................................................... 77 
8.1 Longarinas e Transversinas......................................................................................... 78 
8.2 Lajes ............................................................................................................................ 79 
8.3 Pilares e Tubulões ....................................................................................................... 80 
9 Considerações finais .......................................................................................................... 81 
10 Referências ...................................................................................................................... 82 
 
 
1 
 
1 Memorial descritivo 
 Este trabalho tem por objetivo o desenvolvimento do projeto de uma ponte 
hiperestática em concreto armado com seção transversal com tabuleiro sobre duas 
longarinas retas. Para este fim, foram observadas as recomendações das seguintes normas: 
 NBR 6118:2014 Projeto de estruturas de concreto - Procedimento; 
 NBR 7187:2003 Projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido - 
 Procedimento; 
 NB-6:1982 Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre; 
 NBR 7188:2013 Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, 
 passarelas e outras estruturas; 
 NBR 8681:2003 Ações e segurança nas estruturas - Procedimento. 
 A resistência característica do concreto para a estrutura é de 30 MPa e a classe da 
ponte é classe 30. Esta apresenta extensão total de 40,0 m, com vãos principais de 16,0 m e 
balanços, em cada extremidade, de 4,0 m, conforme o esquema geral exposto na Figura 1. 
Além disso, conta com lajes de transição de 3,0 m para o acesso. Sob as vigas encontram-se 
pilares de seção circular com gabarito livre mínimo de 5,0 m, considerados engastados no 
topo dos tubulões. Os aparelhos de apoio, designados por AN na ilustração abaixo, são de 
neoprene fretado. 
Figura 1 - Esquema geral da ponte 
 
Fonte: Autores (2016). 
 A seção transversal da ponte apresenta 13,0 m de extensão, sendo 6,60 m a distância 
entre os eixos das longarinas. O capeamento asfáltico tem inclinação de 1% a partir do 
centro do tabuleiro, com espessura mínima de 9,0 cm. Maiores detalhes quanto as 
dimensões serão apresentadas no Capítulo 2. 
 
 
2 
 
 Adiante, apresentam-se os detalhes da barreira lateral, pingadeira, aba lateral e 
cortina. 
Figura 2 - Detalhes da barreira lateral, pingadeira, aba lateral e cortina 
 
Fonte: Silva Filho (2016). 
Figura 3 - Detalhes da cortina e laje de transição 
 
Fonte: Silva Filho (2016). 
2 Pré-dimensionamento 
 O pré-dimensionamento dos elementos estruturais foi feito com base nas 
recomendações da seção 9.1 Dimensões das peças da NBR 7187:2003 e de projetos 
consultados. 
 Segundo a norma, as lajes maciças devem respeitar altura mínima de 15 cm, para 
pontes destinadas ao tráfego rodoviário. Portanto, para a estrutura em dimensionamento 
define-se altura constante de 25 cm. 
 
 
3 
 
 As vigas não devem ter largura de alma bw inferior a 20 cm e a altura pode ser 
estimada entre 1/10 e 1/12 do comprimento do vão entre apoios. Considerando a 
recomendação prática de alargar a base das longarinas no sentido do vão ao apoio, adotam-
se bases de 50 cm no meio do vão e 60 cm no apoio. Norteado pelo critério prático, 
adotam-se vigas de 180 cm de altura. 
 Na direção horizontal, entre as longarinas, foram adotadas mísulas de 50 cm de 
comprimento e 15 cm de altura a partir da face das vigas, com comprimento longitudinal 
igual à distância entre as transversinas. Os detalhes da seção transversal no meio do vão e 
apoio são apresentados na Figura 4. 
Figura 4 - Seção transversal 
 
Fonte: Autores (2016). 
 As transversinas, elementos utilizados para conferir maior rigidez ao tabuleiro, são 
dispostas a cada 4,0 m para coincidir com os apoios e meio do vão. Estas apresentam altura 
de 135 cm, segundo critério de 75% da altura da longarina, e base de 25 cm. Associadas às 
transversinas são dispostas mísulas com um metro de comprimento e 10 cm de altura, 
conforme a Figura 5. As cortinas, já apresentadas na Figura 3, apresentam altura de 200 cm. 
Figura 5 - Detalhe da Transversina 
 
Fonte: Autores (2016). 
 
 
 
4 
 
3 Cálculo da viga principal 
3.1 Levantamento da carga permanente 
O levantamento é feito considerando a distribuição dos carregamentos ao longo da 
longarina apresentado na Figura 6. 
Figura 6 - Esquema dos carregamentos permanentes na longarina 
 
Fonte: Siqueira, Lucena (2015). 
Para este levantamento, consideram-se os pesos específicos de 25 kN/m
3
 para o 
concreto armado e 24 kN/m
3
 para o pavimento asfáltico, além de uma carga adicional de 2 
kN/m
2
, sugerida pela NBR 7187:2003, para atender a um possível recapeamento. 
 A seguir, apresenta-se a expressão (01) para a determinação de cargas permanentes 
uniformemente distribuídas sobre a longarina. A expressão (02) indica o cálculo para as 
cargas concentradas sobre a longarina. 
g = γ ∙ A (01) 
G = γ ∙ V (02) 
onde 
 g: carga permanente distribuída; 
 γ: peso específico do material constituinte; 
 A: área considerada obtida com o AutoCAD; 
 G: carga concentrada; 
 V: volume do elemento; produto da área obtida no AutoCAD pelo comprimento. 
3.1.1 Determinação da carga g1 
 A carga g1 refere-se ao pesopróprio da meia seção transversal da ponte onde a base 
da alma da longarina é de 50 cm, além do peso das barreiras de concreto e do pavimento. A 
partir das áreas obtidas para os elementos de concreto (A1 = 2,760 m
2
) e pavimento 
asfáltico (Aasf = 0,735 m
2
) que compõem a meia seção transversal da ponte, determina-se a 
carga g1 conforme a expressão (26). 
g1 = γc ∙ A1 + γasf ∙ Aasf +
L
2
∙ 2
kN
m
2
= 25 ∙ 2,760 + 24 ∙ 0,735 + 6,10 ∙ 2 = 98,83 kN/m 
 
 
5 
 
3.1.2 Determinação da carga g2 
 A carga g2 refere-se ao peso próprio da meia seção transversal da ponte onde a base 
da alma da longarina é de 60 cm. A partir das áreas obtidas para os elementos de concreto 
(A2 = 2,913 m
2
) e pavimento asfáltico (Aasf = 0,735 m
2
), determina-se a carga g2. 
g2 = γc ∙ A2 + γasf ∙ Aasf +
L
2
∙ 2
kN
m
2
= 25 ∙ 2,913 + 24 ∙ 0,735 + 6,1 ∙ 2 = 102,66 kN/m 
3.1.3 Determinação da carga G1 e G1’ 
 A carga concentrada G1 refere-se aos pesos das transversinas e respectivas mísulas 
no meio do vão. A carga concentrada G1’ refere-se aos pesos das transversinas e respectivas 
mísulas no apoio. 
G1 = γc ∙ (Vtransversina + Vmísula) = 25 ∙ (0,839 + 0,305) = 28,59 kN 
G1
′ = γc ∙ (Vtransversina + Vmísula) = 25 ∙ (0,825 + 0,300) = 28,13 kN 
3.1.4 Determinação da carga G2 
 A carga concentrada G2 refere-se aos pesos da cortina, aba lateral, mísula no 
encontro, laje de transição (com a camada do pavimento e barreira) e do pavimento 
(camada acima da cortina). A metade da carga da laje de aproximação será considerada 
como a reação sobre a estrutura da ponte. Os respectivos volumes obtidos via AutoCAD 
são: 
Vcortina = 4,339 m
3 
Vaba lateral = 0,744 m
3 
Vmísula no encontro = 0,358 m
3 
Vlaje de transição = 5,571 m
3 
Vpavimento sobre a laje = 2,205 m
3 
Vpavimento sobre a cortina = 0,184 m
3 
Ameia laje = 18,3 m
2 
G2,concreto = γc ∙ (Vcortina + Vaba lateral + Vmísula no encontro) = 136,00 kN 
G2,pavimento = γasf ∙ Vpavimento sobre a cortina + 2Aasf = 5,88 kN 
G2,reação da laje = 0,5 ∙ (γc ∙ 5,571 + γasf ∙ 0,184 + 2 ∙ 18,3) = 114,40 kN 
G2 = G2,concreto + G2,pavimento + G2,reação da laje = 256,28 kN 
 De posse das intensidades das ações permanentes, determina-se o esquema 
estrutural da longarina, conforme a Figura 7. 
 
 
6 
 
Figura 7 - Esquema estrutural 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
3.2 Esforços solicitantes devidos à carga permanente 
 O cálculo dos esforços permanentes nas longarinas foi feito com auxílio do 
programa computacional Ftool (MARTHA, 2015). De posse das intensidades das ações 
permanentes levantadas na seção anterior, determinam-se os diagramas de esforços. 
3.2.1 Momento fletor 
Figura 8 - Diagrama de momento fletor (kNm) 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
3.2.2 Esforço cortante 
Figura 9 - Diagrama de esforço cortante (kN) 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
 
 
7 
 
3.3 Determinação do trem-tipo de cálculo das vigas principais 
 De acordo com a definição do memorial descritivo, a ponte é categorizada na classe 
30. Segundo a NB-6:1982, a esta classe corresponde um veículo-tipo de 300 kN de peso 
total, cuja configuração em planta é exposta adiante, e carga de multidão de 5 kN/m
2
 
disposta segundo a Figura 11. 
Figura 10 - Veículo-tipo classe 30 
 
Fonte: Marchetti (2008). 
Figura 11 - Carga de multidão p 
 
Fonte: Marchetti (2008). 
 Cada roda apresenta peso de 50 kN. As dimensões b1, b2 e b3 são iguais a 0,40 m e o 
comprimento de contato de cada roda é de 0,20 m. A distância entre os eixos é de 1,50 m e 
entre centros de roda de cada eixo, de 2,00 m. 
 Conhecidas as características do veículo de projeto, determina-se a composição 
longitudinal do trem-tipo pelo processo das reações de apoio, que considera, 
separadamente, a seção que passa pelo veículo-tipo e a seção que compreende apenas a 
carga uniformemente distribuída, como demonstrado nas figuras a seguir. 
 
 
8 
 
Figura 12 - Corte dentro da faixa do veículo-tipo 
 
Fonte: Autores (2016). 
 
Figura 13 - Esquema estrutural da seção dentro da faixa do veículo-tipo 
 
Fonte: Autores (2016). 
 
Figura 14 - Corte fora da faixa do veículo-tipo 
 
Fonte: Autores (2016). 
 
 
 
 
9 
 
Figura 15 - Esquema estrutural da seção fora da faixa do veículo-tipo 
 
Fonte: Autores (2016). 
RP = P ∙ (
d1 + d3
d3
) + P ∙ (
d2 + d3
d3
) (03) 
Rp1 = p ∙ d4 ∙
d4
2
∙
1
d3
 (04) 
Rp2 = 3p ∙ (
d4 + 1,50
d3
) (05) 
3.3.1 Seção que passa pelo veículo-tipo 
 A partir dos esquemas e expressões acima, tendo em mente a configuração do 
veículo-tipo da classe 30, define-se o esquema estrutural a seguir para a respectiva seção. 
Figura 16 - Seção que passa pelo veículo-tipo 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
Do esquema estrutural acima, calculam-se: 
RP = 50 ∙ (
2,30 + 6,60
6,60
) + 50 ∙ (
6,60 + 0,30
6,60
) = 119,70 kN 
Rp1 = 5 ∙ 6,40 ∙
6,40
2
∙
1
6,60
= 15,52 kN/m 
3.3.2 Seção fora do veículo-tipo 
 A partir dos esquemas e expressões acima, tendo em mente a configuração do 
veículo-tipo da classe 30, define-se o esquema estrutural a seguir para a respectiva seção. 
 
 
 
10 
 
Figura 17 - Seção que passa fora do veículo-tipo 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
Do esquema estrutural acima, calcula-se: 
Rp2 = 3 ∙ 5 ∙ (1,50 + 6,40) ÷ 6,60 = 17,95 kN/m 
3.3.3 Composição do trem-tipo longitudinal 
O trem-tipo de flexão para as longarinas apresenta a composição ilustrada na Figura 
18. O trem-tipo obtido nesta análise é apresentado na Figura 19. 
Figura 18 - Composição do trem-tipo longitudinal 
 
Fonte: Autores (2016). 
Figura 19 - Trem-tipo longitudinal 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
3.3.4 Coeficiente de impacto 
 De acordo com a NBR 7188:2013 Carga móvel rodoviária e de pedestres em 
pontes, viadutos, passarelas e outras estruturas, as cargas verticais devem ser ponderadas 
pelo produto dos coeficientes apresentados a seguir. 
a) Coeficiente de Impacto Vertical 
 As cargas móveis verticais características devem ser majoradas para o 
dimensionamento de todos os elementos estruturais pelo CIV, dado por: 
CIV = 1,35 (para vão menor que 10 m); (06) 
CIV = 1 + 1,06 ∙ (
20
Liv + 50
) (07) 
onde 
 
 
11 
 
Liv usado para estruturas de vão isostático. Liv: média aritmética dos vãos nos casos 
de vãos contínuos; 
 Liv é o comprimento do próprio balanço para estruturas em balanço; 
 L é o vão, expresso em metros (m). 
b) Coeficiente de Número de Faixas 
 As cargas móveis características devem ser ajustadas pelo CNF, dado por (08). 
CNF = 1 − 0,05 ∙ (n − 2) > 0,9 (08) 
onde 
 n é o número inteiro de faixas de tráfego rodoviário a serem carregadas sobre um 
 tabuleiro transversalmente contínuo. Acostamentos e faixas de segurança não são 
 faixas de tráfego da rodovia. 
 Este coeficiente não se aplica ao dimensionamento de elementos estruturais 
transversais ao sentido do tráfego (lajes, transversinas etc.). 
c) Coeficiente de Impacto Adicional 
 Os esforços das cargas móveis definidasdevem ser majorados na região das juntas 
estruturais e extremidades da obra. Todas as seções dos elementos estruturais distantes 
horizontalmente em até 5,0 m de cada lado da junta ou descontinuidade estrutural devem 
ser dimensionadas com os esforços das cargas móveis majorados pelo CIA, definido a 
seguir. 
CIA = 1,25, para obras em concreto ou mistas (09) 
CIA = 1,15, para obras em aço (10) 
Como exposto, a norma brasileira determina o coeficiente de impacto pelo produto 
dos coeficientes de impacto vertical CIV (06), coeficiente de número de faixas CNF (07) e 
coeficiente de impacto adicional CIA (08). No entanto, o software Ftool (MARTHA, 2015) 
não permite a adoção de diferentes coeficientes de impacto para uma mesma estrutura. 
Portanto, calculam-se os coeficientes de impacto vertical considerando separadamente os 
vãos contínuos e os balanços. Além disso, como não foram previstas juntas de dilatação, 
adota-se CIA = 1,00. Dos valores abaixo obtidos, será adotado o maior para fins de 
segurança. 
 
 
 
 
12 
 
Tabela 1 - Coeficiente de impacto 
Região Liv (m) CIV CNF CIA CIV∙CNF∙CIA 
Vão 16,00 1,32 1,00 1,00 1,32 
Balanço 4,00 1,39 1,00 1,00 1,39 
Fonte: Autores (2016). 
3.4 Traçado das linhas de influência 
 Por se tratar de uma estrutura hiperestática, o traçado das linhas de influência é feito 
com o auxílio do software de análise estrutural. O Ftool (MARTHA, 2015) fornece as 
linhas de influência de momento fletor e esforço cortante para cada seção desejada. 
Adiante, apresentam-se as LI dos esforços nas seções de apoio extremo, meio do vão e 
apoio central. 
Figura 20 - Linha de influência do esforço cortante no apoio extremo 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
Figura 21 - Linha de influência do esforço cortante no meio do vão 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
Figura 22 - Linha de influência do esforço cortante no apoio central 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
Figura 23 - Linha de influência do momento fletor no apoio extremo 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
 
13 
 
Figura 24 - Linha de influência do momento fletor no meio do vão 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
Figura 25 - Linha de influência do momento fletor no apoio extremo 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
3.5 Esforços solicitantes devidos à carga móvel 
 Os esforços solicitantes devidos à carga móvel podem ser obtidas diretamente das 
linhas de influência, isto é, multiplicando as ordenadas das linhas pelas cargas concentradas 
dispostas sobre estas ordenadas mais a multiplicação das áreas das LI sobre os respectivos 
carregamentos distribuídos sobre estas áreas. 
 Na Tabela 2, dispõem-se os valores de momento fletor e esforço cortante devidos à 
carga móvel nas seções de apoio extremo (x = 4,00 m), meio do vão (x = 12,00 m) e apoio 
central (x = 20,00 m). As posições foram indicadas a partir da extremidade da ponte. 
 Tabela 2 - Esforços devido à carga móvel 
Posição (m) Mq (kNm) Vq (kN) 
x = 4,00 m 
-1420,45 -84,04 
0,00 704,39 
x = 12,00 m 
-914,84 -360,97 
2131,93 225,10 
x = 20,00 m 
-2127,02 -118,25 
471,48 837,72 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
3.6 Envoltórias dos esforços solicitantes 
 A seguir, apresentam-se as envoltórias do esforço cortante e momento fletor 
fornecidas pelo Ftool. As intensidades expostas nas Figuras 26 e 27 não correspondem às 
intensidades dos esforços de projeto para dimensionamento. Estas serão calculadas, em 
 
 
14 
 
momento oportuno, segundo as considerações normativas de combinação de ações e 
respectivos coeficientes. 
Figura 26 - Envoltória do esforço cortante 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
Figura 27 - Envoltória do momento fletor 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
3.7 Dimensionamento e detalhamento das armaduras 
Para o dimensionamento das armaduras longitudinal e transversal, considera-se a 
expressão (11) para combinação última normal. De acordo com a NBR 8681, para ações 
permanentes diretas e ações variáveis agrupadas, os coeficientes γg e γq assumem os 
valores apresentados respectivamente nas Tabelas 3 e 4 para a combinação normal. 
Tabela 3 - Ações permanentes diretas agrupadas na combinação normal, 𝛄𝐠 
Combinação Tipo de estrutura 
Efeito 
Desfavorável Favorável 
Normal 
Grandes pontes
1)
 1,30 1,0 
Edificações tipo 1 e pontes em geral
2)
 1,35 1,0 
Edificação tipo 2
3)
 1,40 1,0 
1)
 Grandes pontes são aquelas em que o peso próprio da estrutura supera 75% da 
totalidade das ações permanentes. 
 
 
15 
 
2)
 Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m
2.
 
3)
 Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5 kN/m
2.
 
Fonte: adaptado da NBR 8681:2003. 
Tabela 4 - Ações variáveis consideradas conjuntamente na combinação normal, 𝛄𝐪 
Combinação Tipo de estrutura Coeficiente de ponderação 
Normal 
Pontes e edificações tipo 1 1,5 
Edificações tipo 2 1,4 
Fonte: adaptado da NBR 8681:2003. 
Fd = ∑ γgFgik + γq(Fq1k + ∑ ψ0jFqjk) (11) 
onde 
 Fgik: ação permanente em seu valor característico; 
 Fq1k: ação variável principal em seu valor característico; 
 Fqjk: ação variável secundária em seu valor característico. 
3.7.1 Dimensionamento da armadura longitudinal 
 Antes de iniciar o dimensionamento, é necessária a definição da seção transversal T 
segundo as recomendações da NBR 6118:2014. De acordo com a NBR 6118:2014, seção 
14.6.2.2 Largura colaborante de vigas de seção T, para a determinação da geometria da 
seção, estabelecem-se os critérios definidos na figura a seguir, onde a é a distância entre 
pontos de momento fletor nulo. 
 
Figura 28 - Largura de mesa colaborante 
 
Fonte: adaptado da NBR 6118:2014. 
 
 
 
16 
 
 A distância a pode ser verificada mediante exame dos diagramas de momentos 
fletores ou estimada, em função do comprimento ℓ do tramo considerado, segundo os 
critérios abaixo: 
- viga simplesmente apoiada: a = 1,00 ℓ; 
- tramo com momento em uma só extremidade: a = 0,75 ℓ; 
- tramo com momentos nas duas extremidades: a = 0,60 ℓ; 
- tramo em balanço: a = 2,00 ℓ. 
 No caso de vigas contínuas, como as longarinas do modelo proposto, a norma 
permite calcular uma única largura colaborante para todas as seções, inclusive nos apoios 
sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de 
momentos positivos onde a largura resulte mínima. Desta feita, determina-se a geometria da 
seção T conforme apresentado na Figura 28. 
Tabela 5 - Geometria da seção T 
a c1 c3 b2 b1 b4 b3 bf 
384,0 15,0 22,0 595,0 38,4 233,0 38,4 126,8 
Fonte: Autores (2016). 
Figura 29 - Seção T (cm) 
 
Fonte: Autores (2016). 
A armadura longitudinal de flexão é calculada segundo rotina de cálculo da Tabela 
1.1 Flexão simples em seção retangular - Armadura simples (PINHEIRO, 2010), que 
utiliza os parâmetros expressos em (12) e (13). 
kc =
bwd
2
Md
 (12) 
 
 
17 
 
ks =
Asd
Md
 (13) 
 O dimensionamento se dará em três seções: apoio extremo, seção de momento 
máximo no vão e apoio central. Na Tabela 6, apresentam-se as intensidades de momento de 
cálculo e as posições das respectivas seções. 
Tabela 6 -Momentos fletores de cálculo 
Posição (m) Mg (kNm) Mq (kNm) g q Md (kNm) 
x = 4,00 m 
-1846,40 -1420,45 1,35 1,50 Md,mín -4623,32 
-1846,40 0,00 1,00 1,50 Md,máx -1846,40 
x = 11,00 m 
1163,54 -978,09 1,00 1,50 Md,mín -303,60 
1163,54 2177,03 1,35 1,50 Md,máx 4836,32 
x = 20,00 m 
-2595,75 -2127,02 1,35 1,50 Md,mín -6694,79 
-2595,75 471,48 1,00 1,50 Md,máx -1888,53 
Fonte: Autores (2016). 
 De acordo com as expressões (12) e (13), calculam-se as áreas de aço necessárias 
para as seções apresentadas. As áreas obtidas devem ser superiores à mínima normativa, 
dada para uma taxa de  = 0,150% para elementos de concreto de 30 MPa, o que 
corresponde à 13,50 cm
2
 (7 16). Os resultados obtidos são expostos a seguir. 
 
Tabela 7 - Armadura positiva de flexão 
Posição Seção T 
Md 
(kNm) 
b 
(cm) 
d 
(cm) 
kc 
(cm
2
/kN) 
ks 
(cm
2
/kN) 
x 
(cm) 
As 
(cm
2
) 
n° 
(mm)
x = 4,00 m 126,8 x 180 - - - - - - - 
 
x = 11,00 m 126,8 x 180 4836,32 126,80 160,00 6,71 0,024 16,00 72,54 1525 
x = 20,00 m 126,8 x 180 - - - - - - - 
 
Fonte: Autores (2016). 
 
Tabela 8 - Armadura negativa de flexão 
Posição Seção Md (kNm) b (cm) d (cm) kc (cm
2
/kN) ks (cm
2
/kN) As (cm
2
) n° (mm)
x = 4,00 m 50 x 180 -4623,32 50,00 160,00 2,77 0,026 75,13 2420 
x = 11,00 m 50 x 180 -303,60 50,00 160,00 42,16 0,023 4,36 716 
x = 20,00 m 50 x 180 -6694,79 50,00 160,00 1,91 0,028 117,16 2425 
Fonte: Autores (2016). 
 
 
 
18 
 
3.7.2 Dimensionamento da armadura transversal 
 O dimensionamento da armadura transversal será feito conforme o Modelo de 
cálculo I, exposto na NBR 6118:2014 na seção 17.4.2.2. Este admite diagonais de 
compressão inclinadas de θ = 45° em relação ao eixo longitudinal. As expressões 
normativas válidas para o modelo considerado são apresentadas a seguir. 
a) verificação da compressão diagonal do concreto: 
𝑉Rd2 = 0,27 ∝v2 𝑓cd 𝑏w 𝑑 (14) 
onde 
 ∝v2= (1 − 𝑓ck / 250) e 𝑓ck em MPa; 
b) cálculo da armadura transversal: 
𝑉Rd3 = 𝑉c + 𝑉sw (15) 
onde 
𝑉sw = (𝐴sw / 𝑠) 0,9𝑑𝑓ywd (senα + cosα) 
 𝑉c = 𝑉c0 = 0,6 𝑓ctd 𝑏w 𝑑 
 𝑓ctd = 𝑓ctk,inf / γc = 0,7 𝑓ct,m / γc 
onde 
 𝑏w é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil 𝑑; 
𝑑 é a distância entre a borda comprimida ao centro de gravidade da armadura de 
tração; 
𝑠 é o espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento 
estrutural; 
𝑓ywd é a tensão na armadura transversal passiva não superior a 435 MPa; 
α é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, 
situado no intervalo 45° ≤ α ≤ 90°. 
 As áreas de armadura obtidas devem ser superiores à mínima, cuja taxa é dada pela 
expressão abaixo. 
ρsw =
𝐴sw
𝑏w ∙ 𝑠 ∙ senα
≥ 0,2
𝑓ct,m
𝑓ywk
 (16) 
onde 
 𝐴sw é a área da seção transversal dos estribos; 
 𝑓ct,m = 0,3 ∙ 𝑓ck
2/3
. 
 
 
19 
 
 Na Tabela 9, apresentam-se as intensidades de esforço cortante de projeto, a cada 
metro, conforme fornecido pelo Ftool (MARTHA, 2015). Baseado nos valores expostos e 
nas expressões normativas, definem-se as áreas de armadura transversal e a escolha de 
bitola e espaçamento (Tabela 11). 
 
Tabela 9 - Esforços cortantes de cálculo 
Posição (m) Vg (kN) Vq (kN) g q Vd (kN) 
x = 0,00 m 
-256,28 -166,38 1,35 1,50 Vd,mín -595,55 
-256,28 0,00 1,00 1,50 Vd,máx -256,28 
x = 1,00 m 
-358,94 -187,96 1,35 1,50 Vd,mín -766,51 
-358,94 0,00 1,00 1,50 Vd,máx -358,94 
x = 2,00 m 
-461,60 -375,91 1,35 1,50 Vd,mín -1187,03 
-461,60 0,00 1,00 1,50 Vd,máx -461,60 
x = 3,00 m 
-564,26 -563,87 1,35 1,50 Vd,mín -1607,56 
-564,26 0,00 1,00 1,50 Vd,máx -564,26 
x
e
 = 4,00 m 
-666,92 -84,04 1,35 1,50 Vd,mín -1026,40 
-666,92 704,38 1,00 1,50 Vd,máx 389,65 
x
d
 = 4,00 m 
794,35 -84,04 1,00 1,50 Vd,mín 668,29 
794,35 704,39 1,35 1,50 Vd,máx 2128,96 
x = 5,00 m 
692,17 -85,87 1,00 1,50 Vd,mín 563,37 
692,17 631,41 1,35 1,50 Vd,máx 1881,54 
x = 6,00 m 
590,95 -91,37 1,00 1,50 Vd,mín 453,90 
590,95 560,70 1,35 1,50 Vd,máx 1638,83 
x = 7,00 m 
490,68 -115,39 1,00 1,50 Vd,mín 317,60 
490,68 493,85 1,35 1,50 Vd,máx 1403,19 
x
e
 = 8,00 m 
391,37 -160,13 1,00 1,50 Vd,mín 151,18 
391,37 431,24 1,35 1,50 Vd,máx 1175,21 
x
d
 = 8,00 m 
362,78 -160,23 1,00 1,50 Vd,mín 122,44 
362,78 431,24 1,35 1,50 Vd,máx 1136,61 
x = 9,00 m 
263,95 -206,51 1,00 1,50 Vd,mín -45,82 
263,95 372,98 1,35 1,50 Vd,máx 915,80 
x = 10,00 m 
165,12 -255,46 1,00 1,50 Vd,mín -218,07 
165,12 319,17 1,35 1,50 Vd,máx 701,67 
 
 
20 
 
x = 11,00 m 
66,29 -307,05 1,00 1,50 Vd,mín -394,29 
66,29 269,86 1,35 1,50 Vd,máx 494,28 
x
e
 = 12,00 m 
-32,54 -360,99 1,35 1,50 Vd,mín -585,41 
-32,54 225,08 1,00 1,50 Vd,máx 305,08 
x
d
 = 12,00 m 
-61,13 -360,97 1,35 1,50 Vd,mín -623,98 
-61,13 225,10 1,00 1,50 Vd,máx 276,52 
x = 13,00 m 
-159,96 -416,96 1,35 1,50 Vd,mín -841,39 
-159,96 184,87 1,00 1,50 Vd,máx 117,35 
x = 14,00 m 
-258,79 -474,65 1,35 1,50 Vd,mín -1061,34 
-258,79 152,69 1,00 1,50 Vd,máx -29,76 
x = 15,00 m 
-357,62 -533,71 1,35 1,50 Vd,mín -1283,35 
-357,62 141,27 1,00 1,50 Vd,máx -145,72 
x
e
 = 16,00 m 
-456,45 -593,80 1,35 1,50 Vd,mín -1506,91 
-456,45 132,40 1,00 1,50 Vd,máx -257,85 
x
d
 = 16,00 m 
-485,04 -593,80 1,35 1,50 Vd,mín -1545,50 
-485,04 132,40 1,00 1,50 Vd,máx -286,44 
x = 17,00 m 
-584,35 -654,62 1,35 1,50 Vd,mín -1770,80 
-584,35 125,87 1,00 1,50 Vd,máx -395,55 
x = 18,00 m 
-684,61 -715,86 1,35 1,50 Vd,mín -1998,01 
-684,61 121,48 1,00 1,50 Vd,máx -502,39 
x = 19,00 m 
-785,84 -777,19 1,35 1,50 Vd,mín -2226,67 
-785,84 119,01 1,00 1,50 Vd,máx -607,33 
x
e
 = 20,00 m 
-888,02 -118,25 1,35 1,50 Vd,mín -1376,20 
-888,02 837,75 1,00 1,50 Vd,máx 368,61 
x
d
 = 20,00 m 
888,02 -118,25 1,00 1,50 Vd,mín 710,65 
888,02 837,72 1,35 1,50 Vd,máx 2455,41 
Fonte: Autores (2016). 
 
Tabela 10 - Parâmetros de cálculo 
fck (MPa) 
fct,m 
(MPa) 
fctd 
(MPa) 
v2 
bw 
(cm) 
d 
(cm) 
Asw,mín 
(cm
2
/m) 
Vsw,mín 
(kN) 
30 2,90 1,45 0,88 50 160 5,79 362,87 
Fonte: Autores (2016). 
 
 
 
 
21 
 
Tabela 11 - Armadura transversal 
Posição (m) VSd (kN) VRd2 (kN) Vc0 (kN) Vsw (kN) Asw (cm
2
/m) Asw (cm
2
/ramo) Escolha 
x = 0,00 m 595,55 4073,14 695,15 -99,60 5,79 2,90 
10 c/10 
(2 ramos)
x = 1,00 m 766,51 4073,14 695,15 71,36 5,79 2,90 
x = 2,00 m 1187,03 4073,14 695,15 491,87 7,85 3,93 
x = 3,00 m 1607,56 4073,14 695,15 912,40 14,57 7,28 
x = 4,00 m 2128,96 4073,14 695,15 1433,81 22,89 7,63 
10 c/10 
(3 ramos)
x = 5,00 m 1881,54 4073,14 695,15 1186,39 18,94 6,31 
x = 6,00 m 1638,83 4073,14 695,15 943,68 15,07 5,02 
x = 7,00 m 1403,19 4073,14 695,15 708,04 11,30 3,77 
x = 8,00 m 1175,21 4073,14 695,15 480,06 7,66 2,55 
x = 9,00 m 915,80 4073,14 695,15 220,65 5,79 2,90 
10 c/20 
(2 ramos)
x = 10,00 m 701,67 4073,14 695,15 6,51 5,79 2,90 
x = 11,00 m 494,28 4073,14 695,15 -200,87 5,79 2,90 
x = 12,00 m 585,41 4073,14 695,15 -109,74 5,79 2,90 
x = 13,00 m 841,39 4073,14 695,15 146,23 5,79 2,90 
x = 14,00 m 1061,34 4073,14 695,15 366,19 5,85 2,92 
x = 15,00 m 1283,35 4073,14 695,15 588,20 9,39 3,13 
10 c/8 
(3 ramos)
x = 16,00 m 1545,50 4073,14 695,15 850,35 13,58 4,53x = 17,00 m 1770,80 4073,14 695,15 1075,65 17,17 5,72 
x = 18,00 m 1998,01 4073,14 695,15 1302,86 20,80 6,93 
x = 19,00 m 2226,67 4073,14 695,15 1531,52 24,45 8,15 
x = 20,00 m 2455,41 4073,14 695,15 1760,25 28,10 9,37 
Fonte: Autores (2016). 
3.7.3 Verificação à fadiga das armaduras 
3.7.3.1 Combinação de ação 
 De acordo com a NBR 6118:2014, verifica-se o estado-limite último de fadiga 
utilizando combinação frequente de ações, típica de estado-limite de serviço, conforme a 
expressão (17). Os coeficientes apresentados foram extraídos da NBR 8681:2003. 
Fd,ser = ∑ Fgik
m
i=1
+ ψ1 Fq1k + ∑ ψ2j Fqjk
n
j=2
 (17) 
Para pontes rodoviárias, objeto deste estudo, temos: 
 ψ1 = 0,5 para verificação das vigas; 
 ψ1 = 0,7 para verificação das transversinas; 
 ψ1 = 0,8 para verificação das lajes de tabuleiro. 
 
 
22 
 
3.7.3.2 Modelo de cálculo 
A norma permite que os esforços solicitantes sejam calculados em regime elástico. 
No caso das tensões decorrentes da força cortante em vigas, devem ser aplicados os 
modelos I ou II, respeitando-se as seguintes condições: 
- no modelo I, o valor de Vc deve ser multiplicado pelo fator redutor 0,5; 
- no modelo II, o valor de Vc deve ser multiplicado pelo fator redutor 0,5 e a inclinação das 
diagonais de compressão, , deve ser corrigida pela equação tgθcor = √tgθ ≤ 1. 
 Devem ser adotados: 
 γf = 1,0 
 γc = 1,4 
 γs = 1,0 
 Para o cálculo dos esforços solicitantes e verificações das tensões, admite-se o 
modelo linear elástico com relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto 
e = 10. 
3.7.3.3 Verificação da fadiga da armadura 
A verificação é satisfeita se a máxima variação de tensão calculada, s, para a 
combinação frequente de cargas satisfizer: 
γf ∙ ∆σSs ≤ ∆𝑓sd,fad (18) 
 Os valores de ∆𝑓sd,fad são dados na Tabela 12 a partir de parâmetros fornecidos na 
Tabela 13, ambas adaptadas das Tabelas 23.2 e 23.3 contidas na NBR 6118:2014. As 
constantes k apresentadas na Tabela 13 são obtidas a partir de gráficos da função da 
resistência à fadiga para o aço, representada em escala log.log. Esta função consiste em 
segmentos de reta da forma (∆𝑓sd,fad)
m
 x N = constante, conforme Figura 30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Tabela 12 - Parâmetros para as curvas S-N (Woeller) para os aços dentro do concreto a 
Armadura passiva, aço CA-50 
Valores de Δfsd,fad,mín, para 2 x 10
6
 ciclos (MPa) 
Caso 
 (mm) 
Tipo
b
 
10 12,5 16 20 22 25 32 40 
Barras retas ou dobradas com D ≥ 25 
 
190 190 190 185 180 175 165 150 T1 
Barras retas ou dobradas com: 
105 105 105 105 100 95 90 85 T1 
D < 25  
D = 5  < 20 mm 
D = 8  ≥ 20 mm 
Estribos 
85 85 85 - - - - - T1 
D = 3  ≤ 10 mm 
Ambiente marinho 
65 65 65 65 65 65 65 65 T4 
Classe IV 
Barras soldadas (incluindo solda por 
ponto ou das extremidades) e 
conectores mecânicos 
85 85 85 85 85 85 85 85 T4 
Armadura ativa 
Caso 
Valores de Δfpd,fad,mín, para 2 x 10
6
 ciclos 
(MPa) 
Pré-tração, fio ou cordoalha reto 150 T1 
Pós-tração, cabos curvos 110 T2 
Cabos retos 150 T1 
Conectores mecânicos e ancoragens 
(caso de cordoalha engraxada) 
70 T3 
a
 Admite-se, para certificação de processos produtivos, justificar os valores desta Tabela em 
ensaios de barras ao ar. A flutuação de tensões deve ser medida a partir da tensão máxima de 
80% da tensão nominal de escoamento e frequente de 5 Hz a 10 Hz. 
b
 Ver Tabela 4. 
Fonte: adaptado da NBR 6118:2014. 
 
Tabela 13 - Tipos da curva S-N 
Tipo N
*
 k1 k2 
T1 10
6 
5 9 
T2 10
6
 3 7 
T3 10
6
 3 5 
T4 10
7
 3 5 
Fonte: adaptado da NBR 6118:2014. 
 
 
 
 
 
24 
 
Figura 30 - Formato das curvas de resistência característica à fadiga (curvas S-N) para o aço 
 
Fonte: NBR 6118:2014. 
3.7.3.4 Fadiga da armadura longitudinal 
A determinação do fator de fadiga requer a definição da posição da linha neutra e da 
inércia no estádio II. Da resistência dos materiais, define-se a posição da linha neutra xII e a 
inércia 𝐼II neste estádio a partir das expressões (20) e (21). 
 Para 
bw ∙ xII
2 + 2[hf ∙ (bf − bw) + αe(As + A
′
s)]xII − [hf
2 ∙ (bf − bw) + 2αe ∙ (Asd + A
′
sd
′] = 0 (19) 
sendo 
 𝑎1 = bw 
 𝑎2 = 2[hf ∙ (bf − bw) + αe(As + A
′
s)] 
 𝑎3 = −[hf
2 ∙ (bf − bw) + 2αe ∙ (Asd + A
′
sd′] 
 Temos que a posição da linha neutra no estádio II é dada por: 
xII =
−𝑎2 ± √𝑎2
2 − 4 ∙ 𝑎1 ⋅ 𝑎3
2 ⋅ 𝑎1
 (20) 
𝐼II =
bf ∙ hf
3
12
+ bf ∙ hf ∙ (xII −
hf
2
)
2
+
bw ∙ (xII − hf)
3
3
+ αe ∙ [As ∙ (d − xII)
2 + A′s ∙ (d
′ − xII)
2](21) 
onde 
 bw é a largura da alma da seção T; 
 bf é a largura da mesa colaborante da seção T. Para M < 0, bf = bw; 
 hf é a espessura da mesa colaborante. Para momentos negativos, hf = 0; 
 As é a área de aço da armadura longitudinal de flexão tracionada pelo momento; 
 A′s é a área de aço da armadura longitudinal de flexão comprimida pelo momento; 
 αe é a razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto; 
 d é a altura útil da armadura tracionada por ocasião do momento considerado; 
 
 
25 
 
 d′ é a altura útil da armadura comprimida por ocasião do momento considerado. 
 Obtidos estes parâmetros, calculam-se as tensões máximas σmáx,s e mínimas σmín,s 
na armadura longitudinal, por meio das expressões (22) e (23). 
σmáx,s =
αe ∙ Md,máx ∙ (d − xII)
𝐼II
 (22) 
σmín,s =
αe ∙ Md,mín ∙ (d − xII)
𝐼II
 (23) 
 A partir das expressões acima, calculam-se os parâmetros do estádio II (Tabelas 14 
e 15) e, por fim, definem-se os fatores de fadiga das armaduras longitudinais. Nas tabelas a 
seguir, as tensões são expressas em MPa e os momentos em kNm. 
 As alturas úteis foram calculadas a partir das recomendações da NBR 6118:2014: 
a) Cobrimento mínimo igual ao maior valor entre 30 mm (CAA II) e diâmetro da barra; 
b) Espaçamento horizontal dado pelo maior valor entre: 20 mm, diâmetro da barra e 1,2 vez 
a dimensão máxima característica do agregado graúdo (brita 19 mm); 
c) Espaçamento vertical dado pelo maior valor entre: 20 mm, diâmetro da barra e 0,5 vez a 
dimensão máxima característica do agregado graúdo; 
d) Diâmetro dos estribos de 10 mm. 
 Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 15. 
Tabela 14 - Parâmetros de entrada 
Posição bw (cm) bf (cm) hf (cm) Md,mín Md,máx As (cm
2
) A's (cm
2
) d (cm) d' (cm) 
x = 4,00 m 50,0 50,0 0,0 -2556,63 -1846,40 75,40 0,00 172,00 0,00 
x = 10,00 m 50,0 126,8 25,0 527,20 2114,96 73,63 14,07 172,75 4,80 
x = 20,00 m 50,0 60,0 0,0 -3659,26 -2360,01 117,81 0,00 170,38 0,00 
Fonte: Autores (2016). 
 
Tabela 15 - Fator de fadiga da armadura longitudinal, tensões em MPa 
Posição a1 (cm) a2 (cm) a3 (cm) xII (cm) III (m
4
) Δ𝜎s Δ𝑓sd,fad f.f 
x = 4,00 m 50,0 1507,96 -259369,89 58,51 0,1305 61,77 185 0,334 ∴ 1,00 
x = 10,00 m 50,0 5594,11 -303746,51 40,00 0,1577 133,67 175 0,764 ∴ 1,00 
x = 20,00 m 50,0 2356,19 -401436,64 69,09 0,1758 74,85 175 0,428 ∴ 1,00 
Fonte: Autores (2016). 
 
 
 
26 
 
3.7.3.5 Fadiga da armadura transversal 
 O fator de fadiga da armadura transversal é calculada a partir das expressões(24) e 
(25), tomando-se as intensidades de esforço cortante obtidas pela combinação (17). Neste 
cálculo, considera-se a redução em 50% dos mecanismos complementares, conforme 
apresentado em 3.7.3.2. 
σmáx,sw =
V𝑠
max − Vc
bw ∙ 𝑑 ∙ 𝜌sw
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 (24) 
σmín,sw =
Vs
min − Vc
bw ∙ 𝑑 ∙ 𝜌sw
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 (25) 
sendo 
 𝜌sw
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 =
Asw/𝑠
bw
⁄ a taxa de armadura transversal calculada. 
 Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 16. 
 
Tabela 16 - Fator de fadiga da armadura transversal, tensões em MPa 
Posição Vd,min (kN) Vd,max (kN) Vc (kN) σmín,sw σmáx,sw Δ𝜎s Δ𝑓sd,fad f.f 
x = 3,00 m -846,20 -564,26 248,27 -435,69 -323,46 112,24 85,00 1,32 
x = 4,00 m 752,33 1146,55 248,27 133,77 238,40 104,62 85,00 1,23 
x = 14,00 m -496,12 -182,45 248,27 -591,91 -342,49 249,42 85,00 2,93 
x = 20,00 m 828,90 1306,88 248,27 123,31 224,82 101,51 85,00 1,19 
Fonte: Autores (2016). 
 
 As armaduras corrigidas à fadiga são apresentadas a seguir. 
 
Tabela 17 - Armaduras transversais corrigidas 
Posição Asw,original (cm
2
/m) f.f Asw (cm
2
/m) Asw (cm
2
/ramo) Escolha 
x = 3,00 m 15,70 1,32 20,73 6,91 10 c/11(3 ramos) 
x = 4,00 m 23,55 1,23 28,99 9,66 10 c/8 (3 ramos)
x = 14,00 m 7,86 2,93 23,06 7,69 10 c/10 (3 ramos)
x = 20,00 m 29,43 1,19 35,15 8,79 10 c/8.5 (4 ramos)
Fonte: Autores (2016). 
3.7.4 Armadura de pele 
 De acordo com as seções 17.3.5.2.3 Armadura de pele e 18.3.5 Armadura de pele 
da NBR 6118, esta armadura é destinada para vigas com altura superior a 60 cm. A mínima 
 
 
27 
 
armadura lateral deve ser de 0,10% Ac,alma em cada face da alma da viga, com espaçamento 
não maior que 20 cm ou um terço da altura útil d. 
 Diante do exposto e considerando que a longarina apresenta dimensões retangulares 
de 180 cm x 50 cm, temos que a área mínima de pele é de 9 cm
2
. Para o atendimento dos 
critérios de espaçamento, adotar-se-ão 812.5 em cada face lateral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
4 Cálculo das lajes 
 O cálculo das lajes se dá com o auxílio das tabelas de Rüsch (1965), obtidas a partir 
da metodologia de superfícies de influência. Para este projeto, considerando a simetria da 
estrutura, dividir-se-á o dimensionamento à flexão das lajes, expostas na Figura 31, em 
quatro grupos de lajes. Com exceção da laje de transição, as demais lajes apresentam 
larguras de 4,0 m. Todas as lajes apresentam altura de 25 cm, conforme especificado no 
memorial descritivo. 
Figura 31 - Vista inferior do tabuleiro com a identificação das lajes 
 
Fonte: Autores (2016). 
4.1 Esforços solicitantes 
 Segundo metodologia da tabela de Rüsch (1965), calculam-se os momentos devidos 
à carga permanente (26) e à carga móvel (27) como se segue. 
Mg = k ∙ gpp ∙ lx
2 (26) 
Mq = ϕ ∙ (P ∙ ML + p ∙ Mp + p
′ ∙ Mp′) (27) 
onde: 
 k é o coeficiente fornecido pela tabela para momentos permanentes; 
 gpp é o peso próprio total sobre a laje considerada; 
 lx é o comprimento do lado da laje paralelo ao eixo x, conforme Figura 32; 
 ϕ é o coeficiente de impacto da estrutura, igual a 1,39 (ver seção 3.3.4); 
 P é o peso de uma roda do veículo-tipo, igual a 50 kN; 
 ML, Mp, Mp′ são os coeficientes fornecidos pela tabela para momentos acidentais; 
 p, p′ são as cargas de multidão, iguais a 5,0 kN/m2. 
 
 
29 
 
 Os pesos distribuídos por área são determinados conforme (28), onde h é a altura ou 
espessura do elemento correspondente ao peso específico considerado. 
g = γ ∙ h (28) 
Figura 32 - Convenção dos eixos nas tabelas de Rüsch 
 
Fonte: Silva Filho (2016). 
 Para obtenção dos coeficientes contidos nas expressões (26) e (27), é necessária a 
determinação dos parâmetros de entrada da tabela, isto é, os vãos das lajes, nas respectivas 
direções x e y; o lado t’ do quadrado equivalente do retângulo de contato da roda do 
veículo-tipo e a correspondente projeção t na superfície média da laje, como apresentado na 
Figura 33; e a distância a entre os centros geométricos das rodas do veículo, tomada sempre 
igual a 2,0 m. 
Figura 33 - Parâmetros de entrada 
 
Fonte: Silva Filho (2016). 
 Para o caso de lajes contínuas, recomenda-se a correção dos efeitos da carga móvel 
pelos coeficientes expostos na Figura 34. Além disso, é necessária a compatibilização dos 
momentos entre lajes adjacentes segundo os critérios da Figura 35. 
 
 
30 
 
 Figura 34 - Correção dos efeitos da carga móvel 
 
Fonte: Silva Filho (2016). 
Figura 35 - Compatibilização dos momentos em lajes contínuas 
 
Fonte: Barros (2015). 
 
 
31 
 
4.2 Dimensionamentos das armaduras de flexão 
 Para esta seção, destaca-se a simbologia, própria da Tabela de Rüsch: 
 Mxm e Mym são os momentos, nas respectivas direções, no meio da placa; 
 Mxe e Mye são os momentos, nas respectivas direções, no engaste; 
 Mxr e Myr são os momentos, nas respectivas direções, nas bordas livres. 
4.2.1 Lajes L1 = L7 
 As lajes L1 e L7 correspondem às lajes do balanço. Para suas modelagens, 
consideram-se lajes com duas bordas apoiadas na direção y, uma engastada e outra livre, 
ambas na direção x. Segundo as expressões já explicitadas, calculam-se os parâmetros de 
entrada para as tabelas. A espessura e do pavimento corresponde à média entre as alturas da 
extremidade (9 cm) e à 3,20 m (11,8 cm) 
Tabela 18 - Parâmetros de entrada das lajes L1 e L7 
t' (m) e (m) t (m) lx (m) ly (m) ly/lx lx/a t/a 
0,2828 0,1040 0,7808 3,20 20,00 6,25 1,60 0,3904 
Fonte: Autores (2016). 
 Para a determinação dos momentos permanentes no engaste Mxe e na borda livre 
Myr, é necessário o cálculo do peso permanente da laje. A partir das dimensões e valores 
fornecidos abaixo, obtêm-se os pesos referentes à laje de concreto (com altura média hmédia 
= 29,0 cm), ao pavimento asfáltico (com espessura média emédia = 10,4 cm) e recapeamento. 
O momento gerado pela barreira lateral será embutido no valor final de Mxe sobre a laje. 
Figura 36 - Dimensões (cm) e áreas da laje em balanço 
 
Fonte: Autores (2016). 
 
 
32 
 
Tabela 19 - Pesos (kN/m2) dos elementos do balanço 
glaje gpavimento grecapeamento gtotal 
7,355 2,184 2,000 11,539 
Fonte: Autores (2016). 
 Para a vinculação descrita, utiliza-se a Tabela 98.2 de Rüsch para a obtenção dos 
coeficientes. Uma vez que os valores de lx/a e t/a são intermediários aos contidos na tabela, 
devem ser feitas interpolações entre os valores em destaque. Os resultados decorrentes das 
interpolações estão na Tabela 20 e 21. 
Figura 37 - Tabela 98.2 de Rüsch 
 
Fonte: Rüsch (1965). 
Tabela 20 - Coeficientes interpolados para as lajes L1 e L7 
k,Mxe k,Myr ML,xe ML,yr ML,xm ML,ym ML,ym 
0,500 0,000 1,685 0,524 0,121 0,200 0,392 
Fonte: Autores (2016). 
Tabela 21 - Coeficientes interpolados para as lajes L1 e L7 (multidão) 
Mp,xe Mp,yr Mp,xm Mp,ym M
-
p,xm 
p p' p p' p p' p p' p p' 
0,508 0,168 0,000 0,048 0,000 0,034 0,000 0,044 0,392 0,008 
Fonte: Autores (2016). 
 Com base nos valores dos coeficientes, aplicando-se as expressões(26) e (27), 
determinam-se as intensidades de momentos permanentes e variáveis. De posse dos 
valores, faz-se a combinação conforme (11) para obtenção dos valores de projeto. Assim 
 
 
33 
 
como feito para as longarinas, utilizam-se os coeficientes γg = 1,35 (ou 1,00 para efeito 
favorável) e γq = 1,50. 
Tabela 22 - Momentos permanentes e variáveis (kNm/m) das lajes L1 e L7 
Mg,xe Mg,yr Mq,xe Mq,yr Mq,xm Mq,ym M
-
p,xm 
75,440 0,000 121,837 36,718 8,637 14,205 30,041 
Fonte: Autores (2016). 
Tabela 23 - Momentos de projeto (kNm) das lajes L1 e L7 
Md,xe Md,yr Md,xm Md,ym M
-
d,xm 
284,599 55,077 12,955 21,308 45,061 
Fonte: Autores (2016). 
 Para o dimensionamento, utiliza-se o mesmo procedimento descrito em 3.7.1. As 
áreas calculadas e as respectivas bitolas e espaçamentos escolhidos são dispostos na Tabela 
24. Salienta-se que segundo recomendação da NBR 6118:2014, para concretos de fck = 30 
MPa, a taxa de armadura mínima é de 0,15%. Adotando altura média de 29 cm, obtém-se 
armadura mínima de 4,35 cm
2
/m. Além disso, para fins de execução, procurou-se 
uniformizar, quando possível, as bitolas para uma mesma direção. 
 Tabela 24 - Armadura longitudinal das lajes L1 e L7 
Laje Md (kNm/m) b (cm) d (cm) kc (cm
2
/kN) ks (cm
2
/kN) As (cm
2
/m) Escolha 
L1 = L7 
Md,xe 284,599 100,00 25,00 2,20 0,027 30,74 16 c/6.5
Md,yr 55,077 100,00 24,00 10,46 0,024 5,51 10 c/14
Md,xm 12,955 100,00 25,00 48,24 0,023 1,19 10 c/18
Md,ym 21,308 100,00 24,00 27,03 0,023 2,04 10 c/18
M
-
d,xm 45,061 100,00 25,00 13,87 0,024 4,33 10 c/18
Fonte: Autores (2016). 
4.2.1 Laje L2 
 A laje em análise apresenta vinculação com três bordas apoiadas e uma engastada, 
na direção y (paralelo ao sentido do tráfego). A seguir, os parâmetros de entrada desta laje. 
Para as lajes intermediárias, a altura e foi calculada pela média entre as espessuras de 11,8 
cm e 15,1 cm. Assim como no caso anterior, haverá necessidade de interpolação devido aos 
valores calculados de lx/a e t/a. 
Tabela 25 - Parâmetros de entrada da laje L2 
t' (m) e (m) t (m) lx (m) ly (m) ly/lx lx/a t/a 
0,2828 0,1345 0,8018 6,60 4,00 0,61 3,30 0,4009 
Fonte: Autores (2016). 
 
 
 
34 
 
 Os valores dos momentos, como visto, dependem das intensidades dos pesos sobre 
a laje considerada. Para este caso, os valores são: 
Tabela 26 - Pesos (kN/m2) dos elementos da laje L2 
glaje gpavimento grecapeamento gtotal 
6,250 3,228 2,000 11,478 
Fonte: Autores (2016). 
 Baseado nas informações fornecidas e na vinculação proposta, determinam-se os 
coeficientes a partir de interpolações dos valores destacados da Tabela 86.2, exposta 
adiante. 
Figura 38 - Tabela 96.2 de Rüsch 
 
Fonte: Rüsch (1965). 
Tabela 27 - Coeficientes interpolados para a laje L2 
k,Mxm k,Mym k,Mye ML,xm ML,ym ML,ye 
0,017 0,030 0,064 0,252 0,324 0,814 
Fonte: Autores (2016). 
Tabela 28 - Coeficientes interpolados para a laje L2 (multidão) 
Mp,xm Mp,ym Mp,ye 
p p' p p' p p' 
0,003 0,168 0,000 0,485 0,065 1,064 
Fonte: Autores (2016). 
 Com base nos valores dos coeficientes, aplicando-se as expressões (26) e (27), 
determinam-se as intensidades de momentos permanentes e variáveis. 
Tabela 29 - Momentos permanentes e variáveis (kNm/m) das lajes L1 e L7 
Mg,xm Mg,ym Mg,ye Mq,xm Mq,ym Mq,ye 
8,500 14,999 31,999 18,716 25,915 64,402 
Fonte: Autores (2016). 
 Dada a continuidade, será feita a correção conforme os coeficientes apresentados na 
Figura 34. De acordo com a convenção dos eixos da mesma figura, tem-se que ly’/lx’ = lx/ly 
 
 
35 
 
= 6,60/4,00 = 1,65 e, portanto, admitido como infinito. Considerando este valor e que os 
vãos das lajes são menores que 20 m, calculam-se os coeficientes de correção  para cada 
seção (Tabela 30). 
Tabela 30 - Coeficientes de correção dos efeitos da carga móvel 
MA 1 B 2 C 
MB / 3 1,269 1,062 1,419 1,154 
Fonte: Autores (2016). 
 De posse destes parâmetros, corrigem-se as intensidades de momento devido à 
carga móvel (apenas na direção da continuidade). Especificamente para L2, os coeficientes 
utilizados são 1 (meio da placa) e B (engaste). 
Tabela 31 - Momentos variáveis (kNm/m) corrigidos da laje L2 
Mq,xm Mq,ym Mq,ye 
18,716 32,892 68,365 
Fonte: Autores (2016). 
 Para determinar as áreas requeridas de armadura de flexão, deve-se antes 
compatibilizar os momentos na região de continuidade entre L2 e L3. 
4.2.1 Lajes L3, L4, L5 e L6 
 Seguindo o mesmo procedimento, apresentam-se os parâmetros de entrada das 
tabelas de Rüsch para as lajes em análise. A modelagem destas se dá admitindo-se duas 
bordas apoiadas, na direção x, e duas bordas engastadas, na direção y (paralela ao sentido 
do tráfego). 
Tabela 32 - Parâmetros de entrada das lajes L3, L4, L5 e L6 
t' (m) e (m) t (m) lx (m) ly (m) ly/lx lx/a t/a 
0,2828 0,1345 0,8018 6,60 4,00 0,61 3,30 0,4009 
Fonte: Autores (2016). 
 Por apresentarem a mesma geometria da laje L2, os pesos sobre estas lajes terão a 
mesma intensidade, conforme Tabela 33. 
Tabela 33 - Pesos (kN/m2) dos elementos das lajes L3, L4, L5 e L6 
glaje gpavimento grecapeamento gtotal 
6,250 3,228 2,000 11,478 
Fonte: Autores (2016). 
 Para a vinculação proposta e parâmetros determinados, determinam-se as 
intensidades de momento a partir dos coeficientes interpolados da Tabela 92.2. 
 
 
 
 
36 
 
Figura 39 - Tabela 92.2 de Rüsch 
 
Fonte: Rüsch (1965). 
Tabela 34 - Coeficientes interpolados para as lajes L3=L4=L5=L6 
k,Mxm k,Mym k,Mye ML,xm ML,ym ML,ye 
0,016 0,024 0,050 0,209 0,288 0,660 
Fonte: Autores (2016). 
Tabela 35 - Coeficientes interpolados para as lajes L3=L4=L5=L6 (multidão) 
Mp,xm Mp,ym Mp,ye 
p p' p p' p p' 
0,025 0,116 0,003 0,390 0,038 0,730 
Fonte: Autores (2016). 
 Das expressões (26) e (27), determinam-se os momentos apresentados na Tabela 36. 
Assim como fora feito para a L2, deve-se corrigir os efeitos da carga móvel pelos 
coeficientes . Para as lajes internas, em análise, os coeficientes correspondentes são 2 
(meio da placa) e C (engaste). Os momentos corrigidos estão contidos na Tabela 37. 
Tabela 36 - Momentos permanentes e variáveis (kNm/m) das lajes L3, L4, L5 e L6 
Mg,xm Mg,ym Mg,ye Mq,xm Mq,ym Mq,ye 
8,000 12,000 24,999 15,474 22,768 51,182 
Fonte: Autores (2016). 
Tabela 37 - Momentos variáveis (kNm/m) corrigidos da laje L2 
Mq,xm Mq,ym Mq,ye 
15,474 32,313 59,056 
Fonte: Autores (2016). 
 Dos valores obtidos para as lajes L2 e L3, é possível notar a necessidade de 
compatibilizar os momentos (Tabela 38). Este processo é feito segundo o critério 
apresentado na Figura 35, isto é, o momento compatibilizado no engaste será o maior valor 
entre 80% do maior momento na região engastada e a média dos momentos no engaste. De 
acordo com o mesmo, o momento compatibilizado de projeto no engaste será de 134,039 
 
 
37 
 
kNm/m. Para este valor, corrigem-se os momentos positivos na mesma direção de modo a 
se obter Md,ym = 81,293 kNm/m (L2) e Md,ym = 64,669 kNm/m (L3). 
Tabela 38 - Momentos de projeto (kNm) das lajes L2 e L3 
Md 
Laje 
L2 L3 
Md,xm 39,548 34,010 
Md,ym 69,587 64,669 
Md,ye 145,746 122,333 
Fonte: Autores (2016). 
 Concluída a compatibilização, dá-se prosseguimento ao dimensionamento das 
armaduras de flexão das lajes L2 e L3 = L4 = L5 = L6. O resultado deste processo é 
apresentado na Tabela 39. Para fins de execução, procurou-se uniformizar as bitolas, 
quando possível. 
Tabela 39 - Armadura longitudinal das lajes L2 e L3, L4, L5 e L6 
Laje Md (kNm/m) b (cm) d (cm) kc (cm
2
/kN) ks (cm
2
/kN) As (cm
2
/m) Escolha 
L2 
Md,A 44,680 100,00 20,00 8,95 0,0245,36 8 c/9
Md,xm 39,548 100,00 21,00 11,15 0,024 4,52 8 c/11
Md,ym 81,293 100,00 20,00 4,92 0,024 9,76 16 c/20
Md,ye 134,039 100,00 20,00 2,98 0,026 17,43 16 c/11
L3 
Md,xm 34,010 100,00 21,00 12,97 0,024 3,89 8 c/12
Md,ym 64,669 100,00 20,00 6,19 0,024 7,76 16 c/20
Md,ye 134,039 100,00 20,00 2,98 0,026 17,43 16 c/11
Fonte: Autores (2016). 
4.2.1 Laje de transição 
 As lajes de transição são vinculadas da seguinte forma: bordas livres nas laterais e 
apoiadas nas extremidades. Simplificadamente, elas são calculadas a partir de faixas 
análogas a vigas. A seguir, os parâmetros de cálculo e os resultados obtidos para o 
dimensionamento à flexão das lajes de transição. 
Tabela 40 - Armadura longitudinal da laje de transição 
Laje 
g 
(kN/m
2
) 
lx 
(m) 
Md 
(kNm/m) 
b 
(cm) 
d 
(cm) 
kc 
(cm
2
/kN) 
ks 
(cm
2
/kN) 
As 
(cm
2
/m) 
As,min 
(cm
2
/m) 
Escolha 
Lt 11,142 3,00 17,549 100,00 21,00 25,13 0,023 1,92 3,75 8 c/13 
Fonte: Autores (2016). 
 Da tabela acima, percebe-se que a armadura longitudinal obtida no cálculo resultou 
inferior à mínima normativa. Portanto, a armadura adotada corresponde a taxa mínima, para 
concretos de 30 MPa, de 0,150% segundo Tabela 17.3 Taxas mínimas de armadura de 
flexão para vigas da NBR 6118:2014. 
 
 
38 
 
4.3 Verificação das tensões cisalhantes 
 De acordo com a NBR 6118:2014, seção 19.4.1 Lajes sem armadura para força 
cortante, as lajes maciças podem prescindir de armadura transversal para resistir as forças 
de tração oriundas da força cortante, quando a força de cálculo, a uma distância d da face 
do apoio, obedecer à expressão (29). 
VSd ≤ VRd1 = τRd ∙ k ∙ (1,2 + 40ρ1) ∙ bw ∙ d (29) 
onde: 
τRd = 0,25𝑓ctd é a tensão cisalhante resistente de cálculo do concreto ao 
cisalhamento; 
 k = |1,6 − 𝑑| é um coeficiente função da altura útil; 
ρ1 = 𝐴s1 𝑏w𝑑⁄ é a taxa da armadura de tração que se estende até não menos que d + 
lb.nec além da seção considerada. 
 Logo, para que seja feita a verificação, é necessário o cálculo dos esforços cortantes 
de cálculo nas lajes consideradas. Assim como para à flexão, a determinação dos esforços 
será feita a partir das Tabelas de Rüsch, para as quais são válidas as expressões (30) e (31). 
As exceções são as lajes L1 e L7 (balanço) e laje de transição, que serão tratadas 
simplificadamente como faixas unitárias de laje. 
Vg = k ∙ gpp ∙ lx (30) 
Vq = ϕ ∙ (P ∙ VL + p ∙ Vp + p
′ ∙ Vp′) (31) 
4.3.1 Lajes L1 = L7 
 Como já foi dito, as lajes em questão serão tratadas como faixas unitárias, isto é, 
como vigas. Para o cálculo do esforço cortante de projeto, consideram-se as cargas 
permanentes - provenientes da barreira lateral e do peso próprio do conjunto laje + 
pavimentação - e as cargas móveis - provenientes de duas rodas do veículo de projeto. 
Sobre as últimas, aplicam-se o coeficiente de impacto já determinado em seção anterior. 
Tabela 41 - Ações sobre as lajes L1 e L7 
glaje+pavimentação (kN/m
2
) 11,539 
Abarreira (m
2
) 0,218 
Pbarreira (kN) 5,453 
Proda (kN) 100 
Coeficiente de impacto φ 1,39 
Fonte: Autores (2016). 
 
 
 
39 
 
 A partir dos valores acima, determinam-se as parcelas de esforço cortante 
permanente, variável e de projeto - este calculado a partir da combinação de ações dada em 
(11) e coeficientes dados nas tabelas 3 e 4. 
Tabela 42 - Esforço cortante de projeto 
Vq (kN/m) Vg (kN/m) Vd (kN/m) 
139,000 42,379 265,711 
Fonte: Autores (2016). 
 Dada a expressão (29), verifica-se se para as lajes em balanço serão necessários 
estribos. As parcelas apresentadas na Tabela 43 foram calculadas com base nos valores de 
altura útil e área de armadura fornecida na Tabela 24. 
Tabela 43 - Esforço cortante resistente de projeto das lajes L1 e L7 
ꚍRd1 (MPa) k ρ1 VRd1 (kN) 
0,362 1,35 0,01238 165,700 
Fonte: Autores (2016). 
 Como se pode observar, VRd1 < VSd e, portanto, há necessidade de armadura 
transversal para as lajes L1 e L7. Esta é calculada segundo mesmo procedimento 
apresentado em 3.7.2. Os valores obtidos são expostos na Tabela 44. 
Tabela 44 - Armadura transversal das lajes L1 e L7 
fck (MPa) fct,m (MPa) fctd (MPa) v2 bw (cm) d (cm) Asw,mín (cm
2
/m) Vsw,mín (kN) 
30 2,90 1,45 0,88 100 25 11,59 113,40 
Direção VSd (kN) VRd2 (kN) Vc0 (kN) Vsw (kN) Asw (cm
2
/m) Asw (cm
2
/ramo) Escolha 
x 265,711 1272,86 217,24 48,48 11,59 5,79 8 c/8.5
Fonte: Autores (2016). 
4.3.1 Laje L2 
 A determinação do esforço cortante na laje L2 é feita com base na Tabela 102. Para 
esta tabela, utiliza-se a convenção de eixos exposta adiante. Conforme a figura, Vy = Qx 
(↔) e Vx = Qx (↕). Para a razão entre lados própria da laje L2, considera-se que os cortantes 
permanentes em x e em y terão a mesma intensidade. Assim como ocorreu no 
dimensionamento à flexão, devido às razões lx/a e t/a (Tabela 25), há necessidade de se 
interpolar os coeficientes tabelados. 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Figura 40 - Convenção de eixos para L2 
 
Fonte: Autores (2016). 
 
Figura 41 - Tabela 102 de Rüsch 
 
Fonte: Rüsch (1965). 
 
Tabela 45 - Coeficientes interpolados para cortante da L2 
Vy = Qx ↔ Vx = Qx ↕ 
VL,y t/a 0,250 0,401 0,500 VL,x t/a 0,250 0,401 0,500 
lx/a=3 VL 1,860 1,383 1,070 lx/a=3 VL 1,860 1,353 1,020 
VL,y t/a 0,250 0,401 0,500 VL,x t/a 0,250 0,401 0,500 
lx/a=4 VL 1,960 1,489 1,180 lx/a=4 VL 1,950 1,449 1,120 
VL,y 
lx/a 
1,383 
lx/a 
1,489 VL,y 
lx/a 
1,353 
lx/a 
1,449 
3,00 4,00 3,00 4,00 
lx/a=3,3 1,415 lx/a=3,3 1,382 
Fonte: Autores (2016). 
 
 
 
41 
 
Tabela 46 - Coeficientes interpolados para cortante da L2 (multidão) 
Vp,y 
lx/a p p' 
Vp,x 
lx/a p p' 
3,00 0,03 0,52 3,00 0,02 0,45 
4,00 0,15 0,86 4,00 0,05 0,96 
3,30 0,066 0,622 3,30 0,029 0,603 
Fonte: Autores (2016). 
 A partir dos valores interpolados (em destaque), determinam-se as intensidades de 
cortante permanente, variável e projeto. Para esta última, faz-se a verificação da dispensa 
de estribos, conforme (29). Os parâmetros para a verificação são calculados de acordo com 
os dados de altura útil e área de armadura de flexão fornecida na Tabela 39. 
 Como aponta a Tabela 47, VRd1 < VSd e, portanto, há necessidade de armadura 
transversal para a laje L2. Os valores obtidos são expostos na Tabela 49. 
Tabela 47 - Esforço cortante de projeto da L2 
k Vg (kN/m) Vy,q (kN/m) Vx,q (kN/m) Vd,y (kN/m) Vd,x (kN/m) 
0,44 33,332 103,117 100,422 199,674 195,631 
Fonte: Autores (2016). 
 
Tabela 48 - Esforço cortante resistente de projeto das lajes L1 e L7 
ꚍRd1 (MPa) k ρ1 VRd1 (kN) 
0,362 1,40 0,00914 158,715 
Fonte: Autores (2016). 
 
Tabela 49 - Armadura transversal da laje L2 
fck 
(MPa) 
fct,m 
(MPa) 
fctd 
(MPa) 
v2 
bw 
(cm) 
d 
(cm) 
Asw,mín 
(cm
2
/m) 
Vsw,mín 
(kN/m) 
30 2,90 1,45 0,88 100 20 11,59 90,72 
Direção VSd (kN/m) VRd2 (kN/m) Vc0 (kN/m) Vsw (kN/m) Asw (cm
2
/m) Asw (cm
2
/ramo) Escolha 
y 199,674 1018,29 173,79 25,89 11,59 5,79 8 c/8.5
x 195,631 1018,29 173,79 21,84 11,59 5,79 8 c/8.5
Fonte: Autores (2016). 
4.3.1 Lajes L3, L4, L5 e L6 
 Para as lajes em análise, considera-se a convenção de eixos apresentada adiante. Da 
Figura 42, constata-se que, para a direção y (paralela ao tráfego), as lajes têm bordas 
engastadas; para a direção x,as lajes têm bordas apoiadas. Desta forma, o cálculo dos 
esforços cortantes se dará pelo uso das tabelas 99 (direção x) e 102 (direção y). 
 
 
42 
 
 Devido às razões lx/a e t/a das lajes (Tabela 32), há necessidade de se interpolar os 
coeficientes tabelados em destaque nas figuras 41 e 43. 
Figura 42 - Convenção de eixos para L3, L4, L5 e L6 
 
Fonte: Autores (2016). 
 
Figura 43 - Tabela 99 de Rüsch 
 
Fonte: Rüsch (1965). 
Tabela 50 - Coeficientes interpolados para cortante da L3, L4, L5 e L6 
Tabela 102: Vy = Qx ↔ Tabela 99: Vx = Qx ↕ 
VL,y t/a 0,250 0,401 0,500 VL,x t/a 0,250 0,401 0,500 
lx/a=3 VL 1,860 1,383 1,070 lx/a=3 VL 1,460 1,146 0,940 
VL,y t/a 0,250 0,401 0,500 VL,x t/a 0,250 0,401 0,500 
lx/a=4 VL 1,960 1,489 1,180 lx/a=4 VL 1,530 1,228 1,030 
VL,y 
lx/a 
1,383 
lx/a 
1,489 VL,y 
lx/a 
1,146 
lx/a 
1,228 
3,00 4,00 3,00 4,00 
lx/a=3,3 1,415 lx/a=3,3 1,171 
Fonte: Autores (2016). 
 
 
43 
 
Tabela 51 - Coeficientes interpolados para cortante da L3, L4, L5 e L6 (multidão) 
Vp,y 
lx/a p p' 
Vp,x 
lx/a p p' 
3,00 0,03 0,52 3,00 0,15 0,42 
4,00 0,15 0,86 4,00 0,26 1,00 
3,30 0,066 0,622 3,30 0,183 0,594 
Fonte: Autores (2016). 
 
 A partir dos valores interpolados, determinam-se as intensidades de cortante 
permanente, variável e projeto. Para esta última, faz-se a verificação da dispensa de 
estribos, conforme (29). Os parâmetros para a verificação são calculados de acordo com os 
dados de altura útil e área de armadura de flexão fornecida na Tabela 39. 
 Como aponta a Tabela 53, VRd1 < VSd e, portanto, há necessidade de armadura 
transversal para as lajes L3, L4, L5 e L6. Os valores obtidos são expostos na Tabela 54. 
 
Tabela 52 - Esforço cortante de projeto da L3, L4, L5 e L6 
Direção Vinculação Tabela k Vg (kN/m) Vq (kN/m) Vd (kN/m) 
↕ x Apoiada 99 0,5 37,877 86,764 181,281 
↔ y Engastada 102 0,44 33,332 103,117 199,674 
Fonte: Autores (2016). 
 
Tabela 53 - Esforço cortante resistente de projeto das lajes L3, L4, L5 e L6 
ꚍRd1 (MPa) k ρ1 VRd1 (kN) 
0,362 1,40 0,00914 158,715 
Fonte: Autores (2016). 
 
Tabela 54 - Armadura transversal das lajes L3, L4, L5 e L6 
fck (MPa) fct,m (MPa) fctd (MPa) v2 bw (cm) d (cm) Asw,mín (cm
2
/m) Vsw,mín (kN) 
30 2,90 1,45 0,88 100 20 11,59 90,72 
Direção VSd (kN) VRd2 (kN) Vc0 (kN) Vsw (kN) Asw (cm
2
/m) Asw (cm
2
/ramo) Escolha 
y 181,281 1018,29 173,79 7,49 11,59 5,79 8 c/8.5
x 199,674 1018,29 173,79 25,89 11,59 5,79 8 c/8.5
Fonte: Autores (2016). 
4.3.1 Laje de transição 
 Seguindo a mesma metodologia simplificada adotada no dimensionamento à flexão, 
determinam-se os esforços cortantes máximos nas lajes de transição considerando uma 
faixa unitária de laje. Uma vez determinados, os cortantes máximos são comparados com 
 
 
44 
 
os respectivos valores de VRd1 de acordo com a expressão (29). Os resultados obtidos são 
apresentados na tabela a seguir. 
 
Tabela 55 - Verificação à cortante para a laje de transição 
Laje g (kN/m
2
) lx (m) Vd (kN/m) ꚍRd1 (MPa) k ρ1 VRd1 (kN) 
Lt 11,142 3,00 23,398 0,36 1,39 0,00184 128,20 
Fonte: Autores (2016). 
 Dos valores expostos, conclui-se que, para a laje de transição, não há necessidade de 
armadura transversal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
5 Cálculo das transversinas e cortina 
 Este cálculo considera que as transversinas estarão ligadas à laje. As dimensões 
consideradas são as já apresentadas na Figura 5. 
5.1 Levantamento das cargas permanentes 
5.1.1 Peso próprio das transversinas 
 O cálculo dos pesos próprios das transversinas intermediárias e de apoio é feito 
tomando-se o volume de concreto compreendido entre as faces das longarinas. O peso 
correspondente é distribuído no vão entre eixos de longarinas (6,60 m). Desta forma, as 
cargas correspondentes aos pesos próprios das transversinas intermediárias gpp,int e de 
apoio gpp,apoio são: 
Gpp,transversina = γc ∙ (0,25 m ∙ 1,10 m + 2 ∙ 0,10 m ∙ 1,00 m ÷ 2) = 9,375 kN/m 
gpp,int = 9,375 kN/m ∙ 6,10 m ÷ 6,60 m = 8,66 kN/m 
gpp,apoio = 9,375 kN/m ∙ 6,00 m ÷ 6,60 m = 8,52 kN/m 
5.1.2 Reação do peso próprio da laje e do pavimento 
 O cálculo da reação da laje e do pavimento é feito por meio da regra do trapézio 
(SILVA FILHO, 2016). Essa regra determina os ângulos das charneiras plásticas (linhas de 
ruptura) e, a partir destes, definem-se áreas de influência S. Considerando a laje 
simplesmente apoiada em todos os seus lados, define-se a área de influência conforme a 
Figura 44. 
Figura 44 - Área de influência 
 
Fonte: Silva Filho (2016). 
 
 
46 
 
 Logo, temos que a reação do peso próprio da laje e do pavimento glaje+pavimento 
será: 
glaje+pavimento = 0,5Lx ∙ [γc ∙ hlaje + γasf ∙ h̅asf] + 2
kN
m2
∙ 𝑆 ÷ Lx (32) 
onde 
 Lx é a distância entre eixos de longarina; 
 h̅asf é a altura média do pavimento asfáltico, igual a 12,05 cm; 
 𝑆 é a área de influência. 
 Portanto, temos que: 
glaje+pavimento = 0,5 ∙ 6,6 ∙ [γc ∙ 0,25 + γasf ∙ 0,1205] + 2
kN
m2
∙ 21,78 ÷ 6,6 = 36,77 kN/m 
 A partir das intensidades das ações, determinam-se os esquemas estruturais para as 
transversinas intermediárias e de apoio. 
 
Figura 45 - Esquema estrutural das transversinas intermediárias 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 46 - Esquema estrutural das transversinas de apoio 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
5.1.3 Esforços solicitantes devido às cargas permanentes 
 Dos esquemas acima, determinam-se os diagramas de esforços cortante e momento 
fletor para as transversinas intermediárias e apoio. 
 
 
 
47 
 
Figura 47 - Diagrama de esforço cortante das transversinas intermediárias 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 48 - Diagrama de momento fletor das transversinas intermediárias 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 49 - Diagrama de esforço cortante das transversinas de apoio 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 50 - Diagrama de momento fletor das transversinas de apoio 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
 
48 
 
5.2 Reação da carga móvel 
 O cálculo das solicitações devidas à carga móvel será feito baseado no método 
simplificado da NB-6:1982, que determina que para o cálculo de cortinas e transversinas 
ligadas às lajes, o carregamento deve ser o de um eixo isolado do veículo-tipo, acrescido do 
respectivo impacto. Para a classe 30, o trem-tipo correspondente é dado pela Figura 51. 
Para a determinação das envoltórias, conforme constatação da Tabela 1, o coeficiente de 
impacto é de 1,39. 
Figura 51 - Trem-tipo do método simplificado da NB-6 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
5.3 Envoltórias dos esforços solicitantes 
 Adiante, apresentam-se as envoltórias de cortante e momento fletor para as 
transversinas intermediárias e de apoio. 
Figura 52 - Envoltória de esforço cortante das transversinas intermediárias 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
Figura 53 - Envoltória de momento fletor das transversinas intermediárias 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
 
 
 
 
49 
 
Figura 54 - Envoltória de esforço cortante das transversinas de apoio 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 55 - Envoltória de momento fletor das transversinas de apoio 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
5.4 Dimensionamento e detalhamento das armaduras 
 Baseado nos esforços obtidos das envoltórias e considerando a combinação de ações 
dada em (11) e os procedimentos de cálculo adotados para as longarinas, dimensionam-se 
as armaduras longitudinal