física 3

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Capítulo 23: Lei de Gauss
A lei de Gauss considera uma superfície fechada imaginária que 
envolve uma distribuição de cargas.
Esta superfície gaussiana, como é chamada, pode ter qualquer forma, 
mas a forma que facilita o cálculo do campo elétrico é a que reflete a simetria 
da distribuição de cargas.
A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma 
superfície gaussiana à carga total envolvida pela superfície.
Figura: Uma superfície gaussiana
esférica. Se os vetores campo elétrico
têm o mesmo módulo e apontam
radialmente para fora da superfície
em todos os pontos, podemos
concluir que existe uma carga
positiva no interior da superfície e que 
essa carga possui simetria esférica.
Fluxo
Suponha que, como na figura abaixo, uma espira quadrada de área A
seja exposta a um vento uniforme cuja velocidade é v. Seja Φ a vazão (volume 
por unidade de tempo) do ar através da espira. Essa vazão depende do ângulo θ
entre v e o vetor A referente à área do plano da espira.
Figura: (a) Um vento uniforme de velocidade v incide perpendicularmente ao 
plano de uma espira quadrada de área A. (b) A Componente de v perpendicular ao 
plano da espira é vcosθ, onde θ é o ângulo entre v e uma normal ao plano.
(c) O vetor área A é perpendicular ao plano da espira e faz um ângulo θ com v.
(d) O campo de velocidades é interceptado pela espira.
Definimos o vetor área A como um vetor cujo módulo é igual a área 
da espira (nesse caso) e cuja a direção é perpendicular ao plano da área.
A vazão Φ através da espira é dada por
(01)
onde θ é o ângulo entre v e A.
Esta vazão através de uma área é um exemplo de fluxo; nessa situação, 
trata-se de um fluxo volumétrico.
Exemplo 1: Seja um fluxo de água uniforme com velocidade constante v na 
direção do eixo y positivo com módulo de 1 m/s e um cubo formado por faces 
com área A = 1 m2. Qual é o fluxo de água através da superfície (fechada) no 
cubo abaixo?
(01)
Fluxo:
Fluxo através da superfície:
Fluxo de um Campo Elétrico
Considere a figura ao lado, que mostra 
uma superfície gaussiana arbitrária (assimétrica) 
imersa em um campo elétrico não-uniforme.
- Dividir a superfície em pequenos 
quadrados de área ΔA suficientemente pequenos 
para que a curvatura local da superfície possa ser 
desprezada e os quadrados possam ser 
considerados planos.
- Estes elementos de área podem ser - Estes elementos de área podem ser 
representados por vetores área ΔA cujo o módulo 
é a área ΔA.
- Todos os vetores ΔA são 
perpendiculares à superfície gaussiana e apontam 
para fora da superfície.
- Como os quadrados são pequenos, o 
campo elétricos E pode ser considerado constante 
no interior de cada quadrado.
Uma definição provisória do fluxo do campo elétrico para a superfície 
gaussiana da figura acima é a seguinte:
(02)
devemos examinar cada quadrado da superfície gaussiana, calcular o produto 
escalar de cada quadrado e somar algebricamente. O valor do produto escalar 
determina se o fluxo através do quadrado é positivo, negativo ou nulo.
Fazendo a área dos quadrados ΔA tender a zero tornando uma área 
diferencial dA. O somatório da equação (02) se torna uma integral, e temos, 
para a definição de fluxo elétrico:para a definição de fluxo elétrico:
(03)
O círculo no sinal de integral indica que a integração deve ser realizada para 
uma superfície fechada. O fluxo do campo elétrico é um escalar, e sua unidade 
no SI é o N·m2/C.
O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana é proporcional 
ao número de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície.
Exemplo 2: A figura abaixo mostra uma superfície gaussiana com a forma de 
um cilindro de raio R imersa em um campo elétrico uniforme E, com o eixo 
do cilindro paralelo ao campo elétrico. Qual é o fluxo Φ do campo elétrico 
através desta superfície fechada?
Figura: Uma superfície gaussiana cilíndrica, fechada pelos planos das bases, 
imersa em um campo elétrico uniforme. O eixo do cilindro é paralelo à direção do 
campo.
x
Exemplo 3: Um campo elétrico não uniforme dado por
Esse campo atravessa o cubo gaussiano que aparece na figura abaixo. Qual é o 
fluxo elétrico na face direita, na face esquerda e na face superior do cubo?
Figura: Um cubo gaussiano, com uma aresta sobre o eixo x, imerso em um campo 
elétrico não-uniforme.
a) Face direita:
b) Face esquerda:
c) Face superior:
Lei de Gauss
A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através 
de uma superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total qenv que é 
envolvida por esta superfície:
(04)
Usando a definição de fluxo, podemos escrever a lei de Gauss na seguinte 
forma:
(05)(05)
a total qenv é a soma algébrica de todas as cargas positivas e negativas 
envolvidas pela superfície gaussiana e pode ser positiva, negativa ou nula.
Se qenv é positiva, o fluxo é para fora; se qenv é negativa, o fluxo é 
para dentro.
A carga do lado de fora da superfície não é incluída no termo qenv
da lei de Gauss.
Superfície S1: O campo elétrico aponta para 
fora em todos os pontos da superfície; o fluxo 
do campo elétrico através desta superfície é 
positivo. 
Superfície S2: O campo elétrico aponta para 
dentro em todos os pontos da superfície; o 
fluxo do campo elétrico é negativo. 
Superfície S : Esta superfície não envolve Superfície S3: Esta superfície não envolve 
nenhuma carga; o fluxo do campo elétrico 
através desta superfície deve ser nulo. 
Superfície S4: A carga total envolvida por esta 
superfície é nula; o fluxo do campo elétrico 
através desta superfície deve ser zero. 
Exemplo 4: A figura abaixo mostra cinco pedaços de plástico eletricamente 
carregados e uma moeda neutra. A figura mostra também uma superfície 
gaussiana S vista de perfil. Qual é o fluxo elétrico que atravessa a superfície S
se q1 = q4 = 3,1 nC, q2 = q5 = -5,9 nC e q3= -3,1 nC?
Figura: Cinco pedaços de plástico eletricamente carregados e uma moeda neutra. 
Uma superfície gaussiana, vista de perfil, envolve três dos pedaços de plástico e a 
moeda.
Exemplo 5: A figura abaixo mostra uma carga pontual positiva q envolvida por 
uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r.
Demonstre a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss.
Figura: Uma superfície gaussiana esférica com centro em uma carga pontual q.
A partir da lei de Gauss:
Um condutor Carregado
A lei de Gauss permite demonstrar um teorema importante a respeito 
dos condutores:
Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, a carga se concentra 
na superfície do condutor; o interior do condutor continua a ser neutro.
Equilíbrio estático. 
Um condutor Carregado com uma Cavidade Interna
Como E = 0 no interior do condutor, não existe carga em excesso na 
superfície da cavidade interna; toda a carga em excesso permanece na 
superfície externa do condutor.
O Campo Elétrico Externo
Exemplo 6: Entretanto, o campo elétrico 
próximo à superfície de um condutor pode 
ser determinado com facilidade usando a lei 
de Gauss.
Para isso, consideramos uma região da 
superfície suficientemente pequena para que 
possamos desprezar a curvatura e usamos um 
plano para representar a região (E é constante).
O E é proporcional à densidade de 
cargas superficiais do condutor.
Exemplo 7: A figura abaixo mostra uma seção reta de uma casca metálica 
esférica de raio interno R. Uma carga pontual de -5 μC está situada a uma 
distância R/2 do centro da casca. 
Se a casca é eletricamente neutra, quais são as cargas (induzidas) na 
superfície interna e na superfície externa? Qual é a configuração do campo 
elétrico do lado de dentro e do lado de fora da casca?
Superfície interna: 5 μC , a carga envolvida é zero.
Superfície externa: -5 μC .
Do lado de dentro da casca: a configuração de linhas de campo elétrico é 
assimétrica por causa da assimetria da distribuição de carga positiva.
Do lado de fora: as linhas de campo elétrico é simétrica, radialmente 
para dentro, como se a carga pontual estivesse no centro da casca. Esta 
configuração do campoelétrico externo à casca, é a mesma para qualquer 
posição da carga pontual no interior da casca.
Aplicando a Lei de Gauss: Simetria 
Cilíndrica
Uma barra de plástico cilíndrica de 
comprimento infinito com uma densidade linear 
uniforme de cargas positivas λ.
Exemplo 8: Vamos obter uma expressão para o 
módulo do campo elétrico E a uma distância r
do eixo da barra.
A superfície gaussiana escolhida deve 
ter a mesma simetria da carga, foi escolhido um 
cilindro circular de raio r e altura h, coaxial cilindro circular de raio r e altura h, coaxial 
com a barra.
Como 2πr é a circunferência do 
cilindro e h é a altura, a área A da superfície 
lateral é 2πr·h. O fluxo de E através dessa 
superfície é
O fluxo através das bases do cilindro é zero porque E é paralelo aos 
planos das bases, ou seja, perpendicular aos vetores A.
é o E produzido por uma reta de carga infinitamente longa em um ponto 
situado a distância r da reta.
Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar
Placa Não condutora
Exemplo 9: A figura mostra uma parte de uma 
placa fina, infinita, não condutora, com uma 
densidade superficial de cargas positivas σ.
Uma folha de plástico, com uma das 
superfícies uniformemente carregada, pode ser 
um bom modelo.
Vamos calcular o campo elétrico E a 
uma distância r da placa.
Duas Placas Condutoras
Exemplo 10: A figura (a) mostra uma vista de perfil de uma placa condutora, fina, 
infinita, com excesso de cargas positivas na sua superfície. (c) Como as placas são 
condutoras, quando as aproximamos as cargas em excesso de uma placa atraem as 
cargas em excesso da outra, e todas as cargas em excesso se concentram nas 
superfícies internas das placas. Agora a quantidade de cargas é duas vezes maior 
nas superfícies internas. O campo elétrico do lado de fora das placas é zero.
Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Esférica
Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma partícula carregada situada ao 
lado de fora da casca como se toda a carga da casca estivesse situada no centro.
Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca uniforme de 
cargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula.
- S2
Casca esférica, campo em r ≥ R:
- S1
Casca esférica, campo em r < R:
Distribuição esférica, campo em r ≥ R:
Distribuição esférica, campo em r < R:
Distribuição uniforme de cargas: