SCTP Ebook - Concreto Armado (1)

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1. CONCEITOS BÁSICOS 
 
Ao se calcular uma estrutura de concreto é necessário determinar os seguintes itens: 
• Cargas Características; 
 
• Reações; 
 
• Esforços Solicitantes; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Cargas Características 
 
Dividem-se em cargas permanentes e variáveis (ou acidentais). 
 
- Cargas Permanentes: são aquelas que ocorrem com valores praticamente constantes durante 
toda a vida da construção, além daquelas que aumentam com o tempo, mas tendem a um valor 
limite constante, podendo ser diretas ou indiretas. 
São cargas constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos pesos de todos os elementos fixos e 
instalações permanentes. Abaixo estão alguns exemplos de cargas de alguns dos materiais mais 
conhecidos, fornecidas por peso específico: 
 
 Concreto simples = 24 KN/m³; 
 Concreto armado = 25 KN/m³; 
 Argamassa = 19 KN/m³; 
 Alvenaria de tijolo maciço = 16 KN/m³; 
 Alvenaria de tijolo furado = 10 KN/m³; 
 Alvenaria de blocos de concreto = 13 KN/m³. 
 
- Cargas Variáveis ou Acidentais (NBR 6120/6123): são as cargas que podem atuar sobre as 
estruturas de edificações em função de seu uso. Abaixo estão alguns exemplos de cargas acidentais 
verticais atuando nos pisos das edificações, devidas a pessoas, móveis, utensílios, etc., e são 
supostas uniformemente distribuídas: 
 
 Salas, quartos, cozinhas e WC’s = 1.5 KN/m³; 
 Escadas, corredores e terraços = 3.0 KN/m³; 
 Restaurantes e salas de aula = 3.0 KN/m³; 
 Auditórios = 3.0 KN/m³; 
 Bibliotecas (estantes) = 6.0 KN/m³; 
 Cinemas (platéia) = 4.0 KN/m³. 
 
- Ações excepcionais 
As ações excepcionais são aquelas que não podem ser controladas, como é o caso de furacões e 
terremotos. 
 
 
• Esforços Solicitantes e Reações 
 
Nas figuras abaixo estão representados os esforços solicitantes e reações de algumas situações em 
vigas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esforços Máximos na Viga Biapoiada 
 
 
 
 Esforços Máximos na Viga em Balanço 
 
 
 Esforços Máximos na Viga com três apoios 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estados Limites 
 
No dimensionamento do elemento estrutural, é importante atentar-se aos valores limites 
preestabelecidos pela norma, que garantam sua segurança e sua adequação quanto ao uso. 
A NBR 6118 estabelece a verificação das estruturas quanto a dois estados limites: o ESTADO LIMITE 
DE SERVIÇO (ELS) e o ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU). 
 
• ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS) 
 
O Estado Limite de Serviço é quando a estrutura torna-se inadequada para o uso, ou seja, ela não 
atende ao usuário, seja por desconforto em função de vibrações ou por apresentar fissuras com 
aberturas excessivas ou, ainda, devido a grandes flechas (deformações) que causam insegurança ao 
usuário. O ELS está relacionado ao conforto, durabilidade, aparência e desempenho das estruturas. 
Uma estrutura não atende ao ELS se ocorrerem: 
 - Fissuras maiores que as estabelecidas por norma. 
 - Deslocamentos excessivos. 
 - Deformações visíveis. 
 - Movimentação excessiva. 
 
• ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU) 
 
O Estado Limite Último é quando existe o esgotamento da capacidade de uma estrutura e ela deixa 
de ser segura. Quando uma estrutura está em ruína, independente do motivo, dizemos que ela 
atingiu seu ELU. 
Quando acontece a ruína de uma estrutura, seja por colapso progressivo, esforços dinâmicos 
excessivos, exposição ao fogo, efeito de segunda ordem acima da norma, abalos sísmicos e outros, 
significa que essa estrutura atingiu seu ELU. 
 
 
2. REGRAS DE PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS 
 
Ao se pré-dimensionar uma peça de concreto deve-se seguir os seguintes passos lógicos: 
 
 - Determinação das ações; 
 - Determinação das resistências; 
 - Verificação da segurança. 
 
As ações são as solicitações à peça, as resistências levam em conta a seção transversal e as 
características mecânicas dos materiais, e a segurança deve ser garantida com um 
dimensionamento que supere os esforços que incidam sobre a peça com uma certa “folga”. 
 
Algumas hipóteses básicas devem também ser adotadas: 
 
 
 
 
 
 
- Manutenção da seção plana: as seções transversais da peça, quando fletidas, não perdem a 
configuração plana; 
 
- Aderência perfeita entre o concreto e armadura: não há escorregamento entre os materiais; 
 
- A tensão do concreto é nula na região da seção transversal sujeita à deformação de alongamento. 
 
 FLEXÃO SIMPLES 
 
Na flexão simples, a ação pode ser admitida como sendo representada apenas pelo Momento de 
Projeto = Md ; são adotadas como resistências aquelas oferecidas pelo concreto (fck), pelo aço (fyk) 
e pela seção transversal (Mud); e a segurança adequada é quando é verificada a condição: Md ≤ Mud. 
Por razão de economia, faz-se Md = Mud. 
 
O concreto mais utilizado tem como característica um fck entre 20 e 30 MPa (KN/cm²), enquanto 
que o aço mais utilizado, o CA50, tem como fyk um valor de 50 KN/cm². 
 
Além da resistência, existem ainda outras características inerentes ao concreto e ao aço, que serão 
utilizadas para efeito de cálculo, a saber: 
 
Concreto 
fck = 20 a 30 MPa 
γc = 1,4 
 
Aço 
fyk = 50 KN/cm² 
γs = 1,15 
Onde: 
fck é o valor característico da resistência do concreto; 
fyk é o valor característico de resistência da armadura correspondente ao patamar de 
escoamento; 
γc é o coeficiente de ponderação de resistência do concreto (coeficiente de segurança); 
γs é o coeficiente de ponderação de resistência da armadura (coeficiente de segurança); 
Módulo de elasticidade do concreto 
 
Segundo a NBR 6118/2018 – Projeto de estruturas de concreto - Procedimento, o 
módulo de elasticidade (Eci) deve ser obtido segundo o método de ensaio estabelecido 
na NBR 8522/2017 – Determinação dos módulos estáticos de elasticidade e de 
deformação à compressão, sendo considerado nesta Norma o módulo de deformação 
tangente inicial, obtido aos 28 dias de idade. 
Quando não forem realizados ensaios, pode-se estimar o valor do módulo de 
elasticidade inicial usando as expressões a seguir: 
 
Eci = αE . 5600 ���� para fck de 20 MPa a 50 MPa; 
 
Eci = 21,5 . 10³ . αE . (
���
�	
 + 1,25)1/3, para fck de 55 MPa a 90 MPa; 
 
 
 
 
 
 
Sendo 
αE = 1,2 para basalto e diabásio; αE = 1,0 para granito e gnaisse; 
 
αE = 0,9 para calcário; αE = 0,7 para arenito. 
 
Onde Eci e fck são dados em megapascal (MPa). O módulo de deformação secante pode 
ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na NBR 8522, ou estimado pela 
expressão: 
Ecs = αi . Eci 
 
Sendo αi = 0,8 + 0,2 . 
���
	
 ≤ 1,0. 
 
A tabela abaixo apresenta os valores estimados arredondados que podem ser utilizados 
no projeto estrutural. 
 
Classe de 
resistência 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 
Eci (GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47 
Ecs (GPa 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47 
αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 
 
 
Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal 
 
Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o 
coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade 
transversal G igual a Ecs / 2,4. 
 
Módulo de elasticidade do aço 
 
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do 
aço pode ser admitido igual a 210 GPa. 
 
 
Diagrama Tensão - Deformação (de Cálculo) da Armadura: 
 
- Aço de dureza natural (com patamar de escoamento) 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama Tensão - Deformação (de Cálculo) do Concreto: 
 
- Diagrama parábola-retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama retangular simplificado 
 
x = altura da zona comprimida, medida a partir de borda comprimida; 
k = 0,85, quando a altura de zona comprimida não diminui em direção à borda 
comprimida (seção retangular). 
 
No caso do concreto armado, a armadura que integra um elemento estrutural é passiva, 
ou seja, ela irátrabalhar e se deformar somente após a aplicação dos carregamentos 
que a estrutura estará sujeita. 
 
 
As armaduras da viga da figura abaixo estão absorvendo junto com o concreto os 
esforços provenientes dessa carga distribuída, com isso, ocorrerá o aparecimento de 
fissuras, até o instante que as armaduras atingirão seu limite de deformação (10‰). 
Caso o carregamento aumente continuamente, haverá o rompimento da peça estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Estado limite último convencional na flexão 
 
É atingido quando ocorre uma das seguintes situações: 
 
- A deformação de encurtamento no concreto (E) atinge 0,0035; denomina-se estado 
limite último (ELU) por esmagamento do concreto: 
 
 
 
 
 
 
- A deformação de alongamento na armadura mais tracionada (E) atinge 0,010; 
denomina-se estado limite último (ELU) por alongamento plástico excessivo da 
armadura: 
 
 
 
 ESTÁDIOS DE CÁLCULO 
Os estádios são as fases que uma estrutura de concreto passa quando submetida a um 
carregamento e que foram divididas em três estágios, iniciando do zero até chegar à 
ruptura. São eles: 
 
- ESTÁDIO I 
O estádio I é definido pelo intervalo entre o início da aplicação do carregamento até o 
momento que se inicia a fissuração da viga, ou seja, nesse momento o concreto ainda 
consegue resistir às tensões de tração. 
Tem-se o diagrama linear de tensões e é válida a Lei de Hooke para as deformações. O 
estádio I termina quando inicia o aparecimento das fissuras. 
A figura abaixo apresenta o comportamento de uma viga simplesmente apoiada, 
submetida a um carregamento externo, e que se encontra no estádio I. A linha neutra 
(LN) da seção indica a região em que a tensão é zero. 
Os esforços produzidos nesse estádio são utilizados para determinar a armadura mínima 
do elemento estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
- ESTÁDIO II 
Assim que se inicia a fissuração da viga, se há continuidade e aumento do carregamento, 
as fissuras continuarão aparecendo. O estádio II será o intervalo entre o início do 
aparecimento das fissuras até a fissuração de toda parte tracionada (trecho abaixo da 
linha neutra) da viga. Nesse caso, a parte comprimida se mantém num diagrama linear 
de tensões. O concreto não resiste mais à tração. 
O estádio II é usado para realizar a verificação das estruturas no estado limite de serviço 
(ELS). Nele, com a continuidade do carregamento, as fissuras caminharão para a borda 
comprimida (acima da linha neutra) da viga, assim como a linha neutra (ponto onde as 
tensões de tração e compressão se anulam). 
Nesse caso, as tensões de tração aumentam tanto que as armaduras podem atingir o 
escoamento. O estádio II termina quando se inicia a plastificação do concreto 
comprimido. 
 
 
- ESTÁDIO III 
O estádio III é quando a região mais comprimida da viga está plastificada, ou seja, está 
no estado limite último (ELU) ou na iminência da ruptura. Nesse estádio, não tem mais 
um diagrama linear de tensões. O diagrama no estádio III é chamado de parábola-
retângulo. 
A norma brasileira NBR 6118 permite que seja utilizado um diagrama retangular 
equivalente, de altura 0,8.X, de modo a simplificar os cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO 
 
O estado limite último convencional ocorre quando o diagrama de deformação passa 
por limites, representados na figura seguinte: 
 
d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida; 
x = altura de zona comprimida. 
 
- Diagrama D2: o concreto é pouco solicitado e a armadura está em escoamento: a 
ruptura é do tipo “dútil” (com aviso). 
Ocorre na flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (Ɛc ≤ Ɛcu 
e com o máximo alongamento da armadura permitido). 
Neste caso, temos flexão com o máximo alongamento do aço de 10 ‰ e o encurtamento 
do concreto (compressão) varia de zero até a ruptura de 3,5 ‰. 
A LN passa dentro da seção da viga, o que corresponde a flexão simples ou flexão 
composta. 
O domínio 2 é um domínio de dimensionamento de estruturas de concreto armado com 
total aproveitamento do aço. A linha neutra (LN) que separa o domínio 2 do domínio 3 
está posicionada a x2,3 = 0,259.d da face superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Diagrama D3: o concreto está adequadamente solicitado e a armadura em 
escoamento: a ruptura também é dúctil. As seções são ditas subarmadas ou 
normalmente armadas. 
Ocorre na flexão simples ou composta com ruptura à compressão do concreto e com 
escoamento do aço (Ɛs ≥ Ɛyd). 
O domínio 3 é um domínio de dimensionamento de estruturas de concreto armado com 
total aproveitamento do aço e do concreto. Ambos estão trabalhando nos seus limites 
de deformação. Em caso de ruína, existe um aviso da estrutura, havendo fissuração 
aparente e flechas significativas. 
A linha neutra, para o aço mais usual, CA-50, corresponde a x3,4 = 0,628.d. 
 
 
 
 
 
 
 
- Diagrama D4: o concreto é muito solicitado e a armadura pouco solicitada. 
a ruptura é do tipo “frágil” (sem aviso). A seção é dita superarmada e é uma solução 
antieconômica pois a armadura não é explorada ao máximo. 
 
Ocorre na flexão simples ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço 
tracionado sem escoamento (Ɛs < Ɛyd). Embora no domínio 4, o ELU seja atingido pelo 
concreto na compressão máxima, a armadura está trabalhando em estado elástico, ou 
seja, não atingiu seu patamar de escoamento. 
Dessa forma, em caso de ruína da estrutura, não haverá aviso, pois há pouca fissuração 
e os deslocamentos são pequenos. 
Por não utilizar todo o potencial do aço e pela falta de aviso em caso de ruína, não 
utilizamos o domínio 4 no dimensionamento das estruturas de concreto armado. 
Caso se obtenha o domínio 4 em um dimensionamento, algumas soluções possíveis são: 
- aumentar a seção da peça; 
- alterar a resistência do concreto (fck); 
- utilizar armadura dupla. 
 
 
3. LAJES RETANGULARES MACIÇAS 
 
Lajes são elementos estruturais planos de concreto armado sujeitos a cargas 
transversais a seu plano. Os apoios das lajes são, geralmente, constituídos por vigas. 
Nestes casos, o cálculo das lajes é feito, de maneira simplificada, como se elas fossem 
isoladas das vigas, com apoios livres à rotação e indeslocáveis à translação, 
considerando, contudo, a continuidade entre lajes contíguas. 
 
Espessuras mínimas das lajes: segundo a NBR-6118, item 13.2.4.1: 
- 7 cm: lajes de cobertura não em balanço. 
- 8 cm: lajes de piso não em balanço. 
- 10 cm: lajes em balanço. 
- 10 cm: lajes que suportam veículos até 30 kN. 
- 12 cm lajes que suportam veículos com mais que 30 kN. 
- 15 cm: lajes com protensão apoiada em vigas. 
- 16 cm: lajes lisas. 
- 14 cm: lajes cogumelo, fora do capitel. 
 
Do ponto de vista de comportamento à flexão, as lajes retangulares maciças podem ser 
classificadas em: 
 
- Lajes armadas em uma direção: quando a flexão (curvatura) é bastante predominante 
segundo a direção paralela a um dos lados; correspondem às lajes apoiadas em lados 
opostos (isoladas e contínuas, com ou sem balanços laterais), e às lajes “alongadas” 
apoiadas em todo o perímetro. 
 
 
 
 
 
 
- Lajes armadas em duas direções ou em cruz: quando as curvaturas paralelas aos lados 
são valores comparáveis entre si, são lajes apoiadas em todo seu contorno e com lados 
não muito diferentes entre si (l ≤ (ly / lx) ≤ 2). 
 
 
• LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO 
 
Considere-se a laje esquematizada na figura a seguir: 
 
 
 
Sejam, lx, o vão teórico da laje, normalmente, igual à distância entre os eixos das vigas 
de apoio, e ly o seu comprimento. Os cortes AA e BB mostram, de forma esquemática, 
os deslocamentos apresentados pela laje ao ser submetida à uma carga distribuída 
uniforme de valor p. Constata-se a presença de curvatura de momento fletor segundo 
o corte AA, e segundo o corte BB ocorre, praticamente uma translação com curvatura e 
flexão desprezíveis. 
Considere-se, agora, faixas isolados de larguras unitárias paralelos ao corte AA: 
o carregamento de uma dessasfaixas é constituído de carga uniforme de valor p. Cada 
uma dessas faixas tem, aparentemente, o comportamento de uma viga isostática e o 
diagrama de momento fletor é uma parábola de ordenada igual a MF = q 
��
. 
 
Representa-se este momento fletor por mx, com mx = q 
��
, na unidade kN ⋅ m / m. 
 
Analogamente, a força cortante tem diagrama linear e seu valor máximo vx = q 
�
�
. 
 
Para que as faces superior e inferior mantenham-se paralelas entre si aparece um 
momenfo fletor my = υ ⋅ mx atuando no plano paralelo ao lado ly, também por unidade 
de largura, sendo my = 0,2 ⋅ mx, pois no concreto υ = 0,2. 
 
O momenfo fletor mx é chamado de momento fletor principal e my de secundário. 
 
 
 
 
 
Esforços Solicitantes 
 
- Laje Isolada: nesse caso, a faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga 
isolada sujeita a carga distribuída uniforme; 
 
 
 
mx = �.
���
 
 
my = ʋ.mx 
 
vx = q. ��� 
 
 
 
- Laje em balanço: nesse caso, a faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga 
em balanço e o carregamento consiste numa carga uniforme distribuída q mais uma 
concentrada P aplicada junto à extremidade do balanço. 
 
 
 
m’x = �. ��
�
 
 
vx = q.lx + P 
 
- Laje contínua: nesse caso, a faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga 
contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento à Flexão (Estado Limite Último - ELU) 
 
O dimensionamento é feito para uma seção retangular de largura unitária 
(normalmente, b =1 m = 100 cm) e altura igual à espessura total da laje, h. 
 
Altura útil 
 
A armadura de flexão será distribuída no largura de 100 cm. Em geral, tem-se nos vãos, 
num mesmo ponto, dois momentos fletores (mx e my positivos) perpendiculares entre 
si. 
Desta forma, a cada um desses momentos corresponde uma altura útil; dx para o 
momento fletor mx e dy para o momento fletor my. 
Normalmente, mx é maior que my; por isso costuma-se adotar dx > dy; para isto, a 
armadura correspondente ao momento fletor my (Asy) é colocada sobre a armadura 
correspondente ao momento fletor mx (Asx): 
 
Conforme a figura acima, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
dx = h - c - φx /2 e dy = h - c - φx - φy /2 
 
onde 
 
c = cobrimento mínimo de armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes protegidas 
com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR 6118); 
 
φx = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx; 
 
φy = diâmetro da armadura Asy correspondente a my; 
 
 
 
Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios, pode-se adotar aproximadamente: 
 
dx = h - c - 0,5 cm e dy = h - c - 1,0 cm 
 
 
Cálculo das Armaduras 
 
 
Nas lajes, normalmente, a flexão conduz a um dimensionamento como peça subarmada 
com armadura simples. 
Assim, conforme a figura acima, a equação de equilíbrio conduz a 
 
md = 0,68 ⋅⋅⋅⋅ b ⋅⋅⋅⋅ x ⋅⋅⋅⋅ fcd ⋅⋅⋅⋅ (d - 0,4 ⋅⋅⋅⋅ x) com md = γc ⋅⋅⋅⋅ mk = 1,4 ⋅⋅⋅⋅ mk 
 
Resultando, para a altura de zona comprimida o valor 
 
e a armadura 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 
As = Asx para m = mx e As = Asy para m = my 
 
Escolha das barras 
 
Segundo a NBR 6118, qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no 
máximo igual a h/8. As barras da armadura principal de flexão devem apresentar 
espaçamento no máximo igual a 2.h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois 
valores na região dos maiores momentos fletores. 
 
Nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções, em que seja dispensada 
armadura transversal de acordo com o item 19.4.1, e quando não houver avaliação 
explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos momentos 
volventes nas lajes, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios, não se 
permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolongada no 
mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio. 
A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20 % da armadura principal, 
mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm. 
 
Os diâmetros ou bitolas comerciais mais utilizados nas estruturas de concreto armado 
são: 
φ 5 mm; φ 6,3 mm; φ 8 mm; φ 10 mm; φ 12,5 mm; φ 16 mm; φ 20 mm; φ 25 mm; 
 
 
• LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES (EM CRUZ) 
 
Considere-se a laje esquematizada na figura a seguir, apoiada em todo o seu contorno 
sobre vigas, sujeita à carga distribuída p e sejam: 
 
 
 
 
 
 
lx = o menor vão teórico; ly = o maior vão teórico (ly ≥ lx). 
 
Normalmente consideram-se as hipóteses simplificadoras: 
- vigas rígidas à flexão; 
- continuidade de lajes vizinhas quando no mesmo nível. 
 
A deformada da laje segundo os cortes A (paralela a lx) e B (paralela a ly) estão 
esquematizadas na figura a seguir: 
 
 
Pode-se notar a presença de curvaturas comparáveis segundo os dois cortes, sugerindo 
a presença de momentos fletores comparáveis: 
 
mx = momento por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx; 
 
my = momento por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly. 
 
 
 
 
 
 
Considere-se o corte genérico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se também a 
presença de momento, podendo este ser expresso por: 
 
mx = mx ⋅⋅⋅⋅ cos²α + my ⋅⋅⋅⋅ sen²α 
 
 
Esforços nas lajes isoladas 
 
Nas lajes interessam, particularmente, os momentos fletores máximos nos vãos e sobre 
os apoios (quando engastados). 
Existem tabelas que nos fornecem estes momentos máximos para alguns casos usuais 
de lajes maciças. Nos edifícios, onde o carregamento usual é constituído de carga 
distribuída uniforme, são muito úteis as tabelas de Czèrny preparadas com coeficiente 
de Poisson 0,2 (admitido para o concreto). 
Os momentos fletores extremos são dados por: 
 
 
 
onde as variáveis e estão tabeladas de em função dos seguintes parâmetros: 
- Tipo de carga (por ex. distribuída uniforme); 
- Condições de apoio da laje (tipo de apoio); 
- Relação (ly / lx). 
 
Particularmente, interessa-nos o tipo de carga distribuída uniforme, e os tipos de apoio 
indicados a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Método simplificado 
 
Pode ser aplicado o método simplificado exposto a seguir: 
 
Lajes isoladas: inicialmente separam-se as lajes admitindo-se, para cada uma delas, as 
seguintes condições de apoio: 
- Apoio livre, quando não existir laje vizinha a este apoio; 
- Apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível, permitindo assim a 
continuidade da armadura negativa de flexão de uma laje para a outra; 
- Vigas rígidas de apoio da laje; 
 
e, calculam-se os momentos fletores máximos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas 
(mx, my, m’x, m’y). 
 
Correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajes vizinhas: 
 
- Momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota-se para o momento 
fletor de compatibilização, o maior valor entre 0,8 m’> e (m’1 + m’2) / 2, onde m’1 e m’2 
são os valores absolutos dos momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio 
considerado, e m’> , o maior momento entre m’1 e m’2. 
 
- Momentos nos vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem ser adotados os 
momentos fletores obtidos nas lajes isoladas; portanto, sem nenhuma correção devido 
à continuidade. Para sobrecargas maiores convém efetuar essas correções. 
 
Altura útil 
 
Da mesma forma que para as lajes armadas em uma só direção, as alturas úteis são 
dadas por: 
 
dx = h - c - φx / 2 e dy = h - c – φx - φy / 2 
 
podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por 
 
dx = h - c – 0,5 cm e dy = h - c – 1,0 cm 
 
 
Cálculo de As 
 
 
 
 
 
 
 
e a armadura 
 
Onde 
 
As = Asx para m = mx 
As = Asy para m = my 
As = A’s para m = m’ 
 
Armaduras mínimas 
 
As armaduras longitudinais mínimas devem ser consideradas, de modo que, não haja a 
ruptura frágil do elemento estrutural e sejam atendidas as condições de abertura de 
fissuras da norma. 
A NBR 6118, item 17.3.5.2.1 apresenta uma formulaçãopara determinar a armadura 
mínima de tração na flexão das lajes. 
 
 
 
- Armadura de vão: 
 
- Armaduras sobre os apoios de continuidade: 
 
 
Escolha das barras 
 
- Diâmetro: φ ≤ h / 8; 
 
- Espaçamento entre as barras: 
 
 
 
 
 
 
 armadura nos vãos: As 
 
 
armadura nos apoios: A’s 
 
 
LAJES NERVURADAS 
 
As lajes maciças podem ser recomendadas para vãos até cerca de 5m. Para vãos maiores, 
ela se torna antieconômica devido ao seu grande peso próprio. Uma opção melhor para 
este caso pode ser conseguida através das lajes nervuradas. 
As nervuras têm a função de garantir a altura necessária para a armadura de tração 
resistir à flexão. 
 
 
Para estas lajes tem-se as seguintes recomendações: 
 
- Os esforços solicitantes podem ser obtidos pela teoria das placas para faixas de largura 
unitária; multiplicando estes esforços pelos espaçamentos entre nervuras tem-se os 
esforços atuantes em cada nervura; 
 
- A mesa deve ser verificada à flexão se b’ > 50 cm ou se houver carga concentrada 
atuando diretamente sobre ela; 
 
- A verificação do cisalhamento nas nervuras pode ser feita como laje se b’ ≤ 50 cm e, 
como viga em caso contrário. 
 
VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
 
Tem as seguintes características: 
 
- A zona comprimida da seção sujeita à flexão tem forma retangular; 
 
 
 
 
 
 
- A armadura é constituída por barras agrupadas junto à borda tracionada e pode ser 
imaginada concentrada no seu centro de gravidade. 
 
 
Resultante das tensões 
 
No Concreto: Rcd = 0,85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ 0,8 ⋅ x = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd 
 
Na Armadura: Rsd = As ⋅ σsd 
 
Equações de equilíbrio 
 
De Força: Rcd = Rsd ou 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd = As . σsd (1) 
 
De Momento: Mud = Rcd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) ou Mud = Rsd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) 
 
substituindo o valor das resultantes de tensão vem: 
 
Mud = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) ou (2) 
 
Mud = As ⋅ σsd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) (3) 
 
Nos casos de dimensionamento, tem-se b, fck e faz-se Mud = Md, (momento fletor 
solicitante em valor de cálculo). 
 
Desta forma, a equação 2 nos fornece o valor de x: 
 
 
Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer 
as seguintes situações: 
 
- Domínio 2, onde X ≤ X23 = 0,269 ⋅⋅⋅⋅ d; e σsd = fyd; 
 
 
 
 
 
 
- Domínio 3, onde X23 ≤ X ≤ X34 = 0,0035 ⋅⋅⋅⋅ d / (0,0035 + εyd); e σsd = fyd; 
 
- Domínio 4, se X ≥ X34, neste caso convém alterar a seção para se evitar a peça 
superarmada, aumentando-se h ou adotando-se armadura dupla. 
 
Para a situação adequada de peça subermada tem-se σsd = fyd. 
 
Assim, a equação 3 nos fornece: 
 
 
 
ESPAÇAMENTO VERTICAL E HORIZONTAL 
 
A armadura longitudinal que se encontra na parte tracionada da viga abaixo é a 
responsável por absorver os esforços de tração na flexão. 
 
 
Após o cálculo da armadura longitudinal principal de uma viga, é necessário transformar 
a área de aço calculada em barras de aço, que serão dispostas dentro da seção 
transversal da viga. 
A disposição da armadura na seção transversal, deve ser tal que, permita que o concreto 
entre pela forma e envolva todas as barras, para isso deve-se atender aos espaçamentos 
mínimos entre as faces das barras. 
A norma NBR 6118, item 18.3.2.2, define que o espaçamento mínimo livre entre as faces 
das barras longitudinais deve ser: 
 
• Espaçamento mínimo na direção horizontal (eh): 
≥ 20 mm ou 2 cm; 
≥ diâmetro da barra (φL); 
≥ 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo (brita). 
 
 
 
 
 
 
• Espaçamento mínimo na direção vertical (ev) 
≥ 20 mm ou 2 cm; 
≥ diâmetro da barra (φL); 
≥ 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo (brita). 
 
 
A norma brasileira NBR 6118, item 17.3.5.2, estabelece uma taxa de armadura 
longitudinal mínima (ρmin) para as vigas em função da resistência à compressão do 
concreto. 
Conhecendo a taxa e a área da seção de concreto, pode-se dimensionar a armadura 
mínima. A principal função da armadura mínima é evitar rupturas frágeis (bruscas) na 
peça estrutural, fazendo com que ela apresente uma deformação razoável antes de 
entrar em colapso. 
Quando calcula-se uma viga, é necessário verificar se a área de aço obtida no cálculo é 
maior ou igual a armadura mínima estabelecida pela norma. Caso seja menor, deve-se 
utilizar a armadura mínima. 
portanto a armadura mínima equivale a 
 
 
Sendo a taxa de aço ρmin, pode ser obtida em função do valor do equivale a área de 
função do valor do fck 
Ac = equivale a área de concreto da seção transversal; 
 
Ac = bw . h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARMADURA DE PELE 
 
A armadura de pele ou costela é aquela colocada na lateral das vigas e é utilizada para 
prevenir a fissuração nessa região. A norma brasileira NBR 6118, item 17.3.5.2.3, 
estabelece que armadura de pele seja utilizada em vigas com altura maiores que 60 cm. 
A armadura mínima de pele deve ser 0,10% da área de concreto da seção transversal 
(Ac) em cada face (lateral) da viga. 
As barras de aço devem ser CA-50 ou CA-60 e o espaçamento (e) entre as barras não 
devem ser maiores que 20 cm. 
 
Asp,face = 0,10% . bw . h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VIGA DE SEÇÃO “T” COM ARMADURA SIMPLES 
 
As vigas com seção T, são aquelas que recebem contribuição da laje de ambos os lados 
e a parcela de laje que contribui no cálculo da viga é determinada pelo que chamamos 
de largura colaborante (bf) ou mesa colaborante. 
 
Existem dois casos em que pode-se contar com a laje no cálculo das vigas. Um deles é 
quando a LN (linha neutra) está localizada na mesa, nesse caso, diz-se que há 
compressão parcial da mesa. O outro caso é quando a LN está localizada na alma da viga, 
diz-se que há compressão total da mesa. 
 
A análise de uma seção “T” pode ser feita como se indica a seguir: 
 
 
O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1 e 
2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem: 
 
Rcfd = 0,85 ⋅ fcd ⋅ (bf - bw) ⋅ hf e Rcwd = 0,85 ⋅ fcd ⋅ bw (0,8 ⋅ x) 
 
A equação de equilibro de momento fornece: 
 
Mud = Md = Mcfd + Mcwd = Rcfd ⋅ (d - hf / 2) + Mcwd 
 
 
 
 
 
 
Este momento deve ser resistido pela parte 2 que é uma seção retangular bw por 
d, portanto: 
 
 
A equação de equilíbrio de força permite escrever: 
 
Rcd = Rcfd + Rcwd As ⋅ σsd = Rcfd + Rcwd 
 
 
Portanto 
 
 
Uma viga contínua (com mais de um vão) apresenta momentos positivos e negativos, o 
esquema estático de uma viga genérica mostra que para uma viga padrão, ou seja, 
aquela em que a face superior é nivelada com a laje, haverá contribuição da laje nos 
trechos de momentos positivos. 
Lembrando que, para os momentos positivos, a armadura tracionada está na região 
inferior da viga, logo, a região superior é a região comprimida e está no mesmo nível da 
laje, podendo (a laje) colaborar no dimensionamento da armadura tracionada dessa viga. 
 
Na análise da mesma viga mas agora em que o momento é negativo, verifica-se que não 
haverá colaboração da laje no cálculo da armadura negativa, pois a região comprimida 
não está no mesmo nível da laje. Quando há momento negativo, a armadura tracionada 
é posicionada na face superior da viga. 
 
 
 
 
 
 
 
VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA 
 
Quando se tem, além da armadura de tração As, outra A’s posicionada junto à borda 
comprimida, temos uma seção com armadura dupla. Isto é feito para se conseguir uma 
seção subarmada sem alterar as dimensões de seção transversal. 
A armadura comprimida introduz uma parcela adicional na resultante de compressão, 
permitindoassim, aumentar a resistência da seção. Vejamos as equações de equilíbrio: 
 
De Força: Rsd = Rcd + R’sd (4) 
 
 As ⋅ σsd = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd + c 
 
 
De momento: Md = Rcd ⋅ (d – 0,4 ⋅ X) + R’sd ⋅ (d – d’) (5) 
 
 Md = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) + A’s ⋅ σ’cd ⋅ (d – d’) 
 
Temos assim duas equações (4 e 5) e três incógnitas: x, As e A’s (pois as tensões na 
armadura depende de x). 
Costuma-se adotar um valor de x, por exemplo x = d/2. Dessa forma podem ser 
determinadas as armaduras As e A’s como se indica a seguir. 
As equações 4 e 5 sugerem a decomposição mostrada na figura seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conforme se indica na figura acima, pode ser determinada a primeira parcela do 
momento resistente, designada por Mwd: 
 
Mwd = 0,68 ⋅ b ⋅ x ⋅ fcd ⋅ (d - 0,4 ⋅ x) e Rsd1 = Mwd / (d - 0,4 ⋅ x) 
 
Como σsd = fyd (peça subarmada), tem-se: 
 
As = Rsd1 / fyd 
 
 
Assim, fica conhecida a parcela restante do momento resistente: 
 
∆Md = Md - Mwd 
 
Também, 
 
∆Md = R’sd ⋅ (d - d’) = A’sd ⋅ σ’cd ⋅ (d - d’) e ∆Md = R’sd2 ⋅ (d - d’) = A’s2 ⋅ σ’cd ⋅ (d - d’) 
 
Que permitem determinar as áreas restantes de armadura As2 e A’s. De fato, 
 
R’sd = Rsd2 = ∆Md / (d - d’) e As2 = Rsd2 / fyd 
 
O cálculo de A’s , requer a determinação de tensão σ’sd. Com X ≤ Xlim, tem-se, no domínio 
3, εc = 0,0035 e, no domínio 2: 
 
εc = 0,010 ⋅ x / (d - x) (por semelhança de triângulos) 
 
Logo, 
 
ε’s = εc ⋅ (x - d’) / x 
 
que permite obter σ’sd (no diagrama σ x ε de armadura) 
 
Finalmente, 
 
A’s = R’sd / σ’s e As = As1 + As2 
 
 
 
 
 
DEFORMAÇÕES (FLECHAS) LIMITES DE NORMA 
 
A norma brasileira NBR 6118 estabelece alguns limites de deslocamentos que são 
valores práticos utilizados para verificar o ELS. 
Esses valores são classificados em quatro grupos, segundo o item 13.3 da NBR 6118: 
a) aceitabilidade sensorial: a limitação visa prevenir vibrações indesejáveis ou 
efeito visual indesejável; 
b) efeitos específicos: deslocamentos que podem impedir a utilização adequada da 
construção; 
c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais que podem 
afetar o funcionamento de elementos não estruturais por estar ligados a eles; 
d) efeitos em elementos estruturais: deslocamentos que podem afetar o 
comportamento estrutural. 
 
 
 
PILARES 
 
Pilares são estruturas de concreto armado que transmitem as cargas para a fundação. A 
carga principal, nos edifícios, tem o sentido vertical (peso). 
Por isso, o esforço solicitante nos pilares é constituído essencialmente pela força normal 
de compressão. Ações outras como, por exemplo, a do vento, introduzem solicitações 
transversais nos pilares. Como a força normal de compressão é grande, deve-se ainda 
considerar os efeitos provenientes do desaprumo construtivo, da indefinição do ponto 
de aplicação das reações das vigas e dos deslocamentos apresentados pelos pilares 
(efeito de segunda ordem). 
De fato, considere-se o pilar e seus esforços solicitantes usuais: 
 
 
 
 
 
 
Conforme a figura acima, tem-se que Mh = momento fletor devido a H, com l = 4 m; 
P = 800 kN e H = 10 kN. Assim, o momento máximo na base do pilar vale: 
 
Mh = H ⋅ l = 10 ⋅ 4,0 = 40 kN ⋅ m 
 
A força normal N (de compressão) vale 800 kN. 
 
Considere-se agora, como mostra a figura seguinte, o efeito de um eventual desaprumo 
(a) do pilar de, digamos, 2 cm. O deslocamento transversal da carga P produz um 
momento fletor adicional no pilar, o momento adicional máximo vale: 
 
Ma = P ⋅ a = 800 ⋅ 0,02 = 16 kN ⋅ m 
 
 
 
Para se ter uma idéia do efeito dos deslocamentos (efeito de segunda ordem), 
considere-se, no momento, o comportamento elástico linear do concreto com Eo = 3000 
kN / cm² e seção transversal de 25 x 25 cm (seção quadrada). 
 
 
 
 
 
 
O deslocamento (usual) do topo do pilar devido a H vale: 
�� � � . � 
�
� . �� . ��
� �	 .�		
�
� .�			 .���
�
�� 
� 2,18 %& 
 
A consideração do equilíbrio do pilar na sua configuração deformada, acarreta um 
momento fletor adicional devido ao deslocamento transversal da força P. O 
deslocamento transversal final pode ser estimado através da expressão: 
� � �� ' �� � �� .
1
1 ( ))��
 
sendo 
 lθ = comprimento de flambagem do pilar 
 lθ = 2 ⋅ l no pilar em balanço; 
 lθ = l no pilar biarticulado com alongamento livre; 
 lθ = l, biengastado com deslocamento transversal livre; 
 lθ = 0,7 ⋅ l, engastado de um lado e articulado do outro; 
 io = raio de giração da seção do pilar 
 
Assim, 
 
 
O momento fletor adicional máximo vale M2 = P ⋅ a, então M = 800 ⋅ 0,0466 = 37,3 kN⋅m. 
A figura a seguir representa M2: 
 
 
 
 
 
 
 
O momento máximo na base do pilar vale: 
 M = Mh + Ma = M2 = (1 + M1/Mh + M2/Mh) 
 M = 40 ⋅ ( 1 + 16 / 40 + 37,3 / 40) 
 M = 40 ⋅ (1 + 0,40 + 0,93) 
 
Portanto, nesse caso, Ma representa 40% de Mh e, M2, 93%, mostrando a importância 
do desaprumo e do deslocamento (efeito de segunda ordem) no esforço solicitante final. 
 
Convém lembrar que ainda existem solicitações adicionais provenientes do 
comportamento não linear com concreto armado e da fluência que age sobre o efeito 
da carga permanente. 
 
Outro fator de grande importância é a esbeltez do pilar (índice de esbeltez (λ)), que pode 
ser notado através da expressão a2, pois quanto maior for o λ, maior será o momento 
de segunda ordem M2. 
 
Considere-se, no exemplo visto anteriormente, o efeito da variação da seção transversal 
de 25 x 25 cm até 90 x 90 cm. 
 
A figura a seguir apresenta os resultados obtidos: 
 
 
 
 
 
 
 
Nota-se que o efeito de segunda ordem é desprezível para valores de l até em torno de 
40 e que a partir deste valor a sua influência é cada vez maior. Assim, para efeito de um 
método de verificação e de cálculo, a NBR 6118 propõe a seguinte classificação dos 
pilares em função do índice de esbeltez: 
 
- Pilar Curto: para λ ≤ 40; pode-se desprezar o efeito de segunda ordem e fluência; 
 
- Pilar Medianamente Esbelto: para 40 ≤ λ ≤ 80; o efeito de segunda ordem deve der 
considerado (podendo-se utilizar o método do pilar padrão) e pode-se desprezar o 
efeito da fluência; 
 
- Pilar Esbelto: para 80 ≤ λ ≤ 140; o efeito de segunda ordem deve der considerado 
(podendo-se utilizar o método do pilar padrão) e deve-se considerar o efeito da fluência 
(podendo ser estimada através de uma excentricidade complementar equivalente); 
 
- Pilar Muito Esbelto: para 140 ≤ λ ≤ 200; o efeito de segunda ordem e a fluência devem 
ser considerados e calculados de forma “rigorosa”, além disso o coeficiente de 
ponderação das ações deve der majorado, passando a valer. 
 
 
Tipos de Pilares 
 
Normalmente, os pilares podem ser agrupados em dois conjuntos: 
 
- Pilares de Contraventamento: são aqueles que, devido à sua grande rigidez, permitem 
considerar os diversos pisos do edifício como, praticamente, indeslocáveis (caixas de 
elevadores, pilares enrijecidos); o seu cálculo exige sua consideração como um todo; 
 
 
 
 
 
 
- Pilares contraventados: são constituídos pelos pilares menos rígidos, onde as 
extremidades de cada lance podem ser consideradas indeslocáveis, graças aos pilares 
de contraventamento; seu cálculo pode ser feito de feito de forma isolada em cada lance. 
 
Os pilares contraventados podem ser agrupados nos seguintes tipos: 
 
- Pilares internos: situados internamente ao piso; para situação de projeto considera-se 
como esforço solicitante a força normal (N) de compressão; 
 
- Pilares de extremidade: situados nas bordas do piso; para situação de projeto, 
considera-secomo esforços solicitantes a força normal (N) de compressão e o momento 
fletor (M), atuando segundo o plano constituído pelo pilar e pela viga; este par de 
esforços normalmente é substituído por (N) e (ei = M / N). 
 
- Pilares de canto: situados junto aos cantos do piso; para situação de projeto considera-
se como esforços solicitantes a força normal (N) de compressão e dois momentos 
fletores (Mx e My), atuando segundo os planos constituídos pelo pilar e por cada uma 
das vigas nele apoiadas; normalmente o conjunto de valores (N, Mx e My) é substituído 
por (N), (eix = Mx / N) e (eiy = My / N). 
 
Situação de cálculo 
 
A situação de cálculo corresponde à verificação do estado limite último (ELU) de cada 
seção do pilar; aos esforços provenientes da situação de projeto são acrescentados os 
seguintes efeitos: 
 
- A indefinição do ponto de aplicação da força normal e o desaprumo do pilar que podem 
ser considerados através da chamada excentricidade acidental ea estimada, conforme a 
NBR 6118 por ea ≥ 2 cm ou h/30, com h sendo a dimensão do pilar segundo a dimensão 
considerada; 
 
- Os efeitos de segunda ordem quando λ ≥ 40 que podem ser considerados através da 
excentricidade e2. Esta excentricidade pode ser estimada, para pilares medianamente 
esbeltos, através do método do pilar padrão. 
 
As hipóteses admitidas neste método são: 
 
- Seção constante do pilar (inclusive armadura); 
 
- Configuração fletida de forma senoidal. 
 
 
 
 
 
 
 
Conforme a figura anterior, temos: 
 
* � +�. ,+- .��/ ; *′ � +�. ,+-
.�
�/
; ÿ � ( 2.�/3
�
. +�. ,+- .��/ � (�
.
�/
 �*; 
 
 
Com 
�
4 � (ÿ tem-se, para a seção do meio do vão 
�
4 � 2
.
�/
3
�
. +� 
 
Ou +� �
�
5
� 67/ 
� �
�/�
.� .
�
4 
 
Por outro lado, sendo 1/r = (εco + εo) / d, a NBR 6118 permite considerar pilares 
medianamente esbeltos e esbeltos: 
 
1
8 �
0,0035 ' �<= / >?
ℎ . A�B= ' 0,5 C D 1
 
 
 
onde Es = 21000 kN/cm² e υd = Nd / Ac ⋅ fcd 
O comprimento de flambagem do pilar (lo) é tomado aproximadamente igual ao pé 
direito, pois as extremidades de cada lance do pilar podem ser consideradas 
indeslocáveis. Os efeitos de fluência (quando λ > 80) podem der considerados através 
da excentricidade complementar equivalente e 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento da Seção Retangular (armadura simétrica) 
 
Costuma-se dimensionar uma seção retangular com armadura simétrica considerando-
se a mais crítica entre as situações de projeto indicadas na figura a seguir. 
No caso geral (pilar de canto), tem-se duas situações de cálculo sujeitas a flexão 
composta oblíqua (FCO); da situação 1 resulta a taxa mecânica ω1 e da situação 2, ω2; a 
maior destas taxas define a armadura da seção. 
Estas situações de cálculo são obtidas através do “deslocamento máximo” do ponto de 
aplicação da força normal segundo hx (situação 1) e, segundo hy (situação 2). 
Para pilares internos, tem-se duas situações de cálculo sujeitas a flexão composta 
normal (FCN). Nos pilares de extremidade resultam uma FCN e uma FCO. Nesta última 
situação, pode-se, em geral, desprezar a excentricidade inicial resultando, então, dois 
dimensionamentos a FCN. 
 
 
 
Dimensões Mínimas 
 
Segundo a NBR 6118, a seção transversal de pilares, qualquer que seja a sua forma, não 
pode apresentar dimensão menor que 19 cm. 
 
 
 
 
 
Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde 
que se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados no 
dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na Tabela 
abaixo. 
Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm². 
 
Valores do coeficiente adicional γn para pilares e pilares-parede 
 
b (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 
ƴn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 
Onde: 
γn = 1,95 – 0,05 . b 
b é a menor dimensão da seção transversal, expressa em centímetros (cm). 
 
Nota: O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo quando de 
seu dimensionamento. 
 
Valores mínimos 
A armadura longitudinal mínima deve ser: 
E?,FGH � �0,15.
I=
�<=
 D 0,004. E� 
O diâmetro das barras longitudinais não pode ser inferior a 10 mm nem superior a 1/8 
da menor dimensão transversal. 
 
Valores máximos 
A máxima armadura permitida em pilares deve considerar inclusive a sobreposição de 
armadura existente em regiões de emenda, devendo ser também respeitado o disposto 
em 18.4.2.2. 
 
E?,FK� � 0,08. E� 
 
Disposições Construtivas, Bitolas e Espaçamentos 
 
As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal, de forma a 
garantir a resistência adequada do elemento estrutural. 
Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções 
circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano 
da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior 
dos seguintes valores: 
 — 20 mm; 
 — diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
 — 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo. 
 
 
 
 
 
O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve 
ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado, sem 
exceder 400 mm. 
 
Armaduras transversais 
 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por 
grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória 
sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. 
O diâmetro dos estribos em pilares não pode ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do diâmetro 
da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura 
longitudinal. 
O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para 
garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a 
costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior 
ao menor dos seguintes valores: 
 — 200 mm; 
 — menor dimensão da seção; 
 — 24 φ para CA-25; 12 φ para CA-50. 
 
Pode ser adotado o valor φt < φ/4, desde que as armaduras sejam constituídas do 
mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação: 
 
,FK� � 90000 2∅N
�
∅ 3 .
�
�O�
 com fyk em megapascal. 
 
 
 
 
 
 
 
Travamentos Adicionais na Seção transversal 
 
Segundo a NBR 6118 em seu item 18.2.4 especifica que sempre que houver possibilidade 
de flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície do elemento 
estrutural, devem ser tomadas precauções para evitá-la. 
 
Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em 
seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20.φt do canto, 
se nesse trecho de comprimento 20.φt não houver mais de duas barras, não contando a 
de canto. 
 
Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos 
suplementares. 
 
 
Figura (a): neste caso, as duas barras localizadas no centro da seção do pilar está a uma 
distância menor de 20.Øt do canto do estribo poligonal. Desta maneira, ela se encontra 
assegurada contra a flambagem. 
 
Figura (b): perceba que neste caso, todas as barras encontram-se a uma distância menor 
do que 20.Øt do canto do estribo poligonal. Todavia, perceba que nesta distância há 
mais de duas barras, sendo que a terceira barra na seção deverá ser travada por um 
estribo suplementar. 
 
 
 
 
 
 
Figura (c): neste caso, as barras no centro da seção estão a uma distância maior do que 
20.Øt , sendo necessário prever o estribo suplementar. 
 
AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE 
 
As armaduras utilizadas no concreto armado são barras de aço que quando expostas a 
ambientes úmidos ou agentes agressivos podem sofrer um processo de corrosão. 
Quando há corrosão da armadura, ela perde seção transversal, diminuindosua área e 
consequentemente sua resistência. 
É importante que as armaduras utilizadas nos elementos estruturais estejam protegidas 
pelo concreto. A proteção das armaduras é feita por meio do cobrimento (C), que é uma 
espessura de concreto deixada nas faces do elemento estrutural, durante a 
concretagem, com a função de garantir a sua vida útil e evitar patologias. 
A norma brasileira NBR 6118, item 6.4.2, tabela 6.1, estipula as espessuras dos 
cobrimentos das armaduras em função do grau de agressividade do meio ambiente. 
Quanto maior a agressividade do ambiente, maior deverá ser o cobrimento. 
 
 
 
Após a determinação da classe de agressividade ambiental (CAA), deve-se verificar qual 
o cobrimento a ser utilizado. Para isso, utiliza-se o Quadro 1.2, a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deve-se ficar atento à resistência do concreto a ser especificada no projeto, a classe do 
concreto também varia com o grau de agressividade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
• Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 6118 – Projeto de estruturas de 
concreto – Procedimento. Rio de Janeiro. 2014; 
 
• Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 6120 – Ações para o cálculo de 
estruturas de edificações. Rio de Janeiro. 2019; 
 
• Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 8522 – Concreto – Determinação dos 
módulos estáticos de elasticidade e de deformação à compressão. Rio de Janeiro. 2017; 
 
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