Sistemas lineares - Escalonamento

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Matemática & Cia 
1 Escalonamento de sistemas lineares – Prof. Dagoberto 
01. A soma dos quadrados das soluções do sistema





923
132
yx
yx
 é: 
Solução. Escalonando o sistema, temos: 
 
.34259)5()3(
.5
2
10
1021921)3(32:ª1
3
5
15
155
132
23
923
132
22
212
















S
xxxxlinha
y
y
yx
LLL
yx
yx
 
 
02. A solução do sistema








1323
524
6
zyx
zyx
zyx
 é: 
 
Solução. Escalonando o sistema, temos: 
 








1323
524
6
zyx
zyx
zyx
  








72
1952
6
zy
zy
zyx
  








3124
1952
6
zz
zy
zyx
 
1632
2
2
4
1519219)3(52


xx
yyy
  )}3,2,1{(S 
 
 
03. Se a, b, e c são as soluções do sistema 








172
152
162
zyx
zyx
zyx
, então a.b.c vale: 
 
Solução. Escalonando o sistema, temos: 
 
 








172
152
162
zyx
zyx
zyx
  








1
173
16
zy
zy
zyx
  








5204
1752
16
zz
zy
zyx
 
3165)4(2
4
3
12
51731753


xx
yyy
  .605.4.3..  cbaS 
 
04. Se 








21947
12834
7952
zyx
zyx
zyx
 então encontre a solução: 
Solução. Escalonando o sistema, temos: 
 
 
 
4L1 – L2 
 
L1 – L3 
 
L2 + L3 
2L1 – L2 
 
L1 – L3 
 
L2 - 3L3 
 
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2 Escalonamento de sistemas lineares – Prof. Dagoberto 








21947
12834
7952
zyx
zyx
zyx
  








918143
262613
7952
zy
zy
zyx
  








16565
262613
7952
zz
zy
zyx
 
2
2
4
71127)1(9)4(52
4
13
52
26261326)1(2613





xxx
yyy
  )}.1,4,2{(S 
 
 05. Dado o sistema 








923
93
23
zy
zx
zyx
, podemos afirmar que x.y.z é: 
Solução. Escalonando o sistema, temos: 
 








923
93
23
zy
zx
zyx
  








923
15103
23
zy
zy
zyx
  








3248
15103
23
zz
zy
zyx
 
2422)3(35
5
3
15
1530315)3(103




xx
yyy
  .303).5).(2(..  zyxS 
 
06. Sendo a ≠ 1 o valor de y - x no sistema





12
2
ayx
ayax
 é: 
 
Solução. Escalonando o sistema, temos: 
 





12
2
azx
ayax
  






)2( 22
2
aaaayy
ayax
  
a
a
aa
y
aaaay





1
)1(
2)1( 22
 
.11)1(
1
)1(
)1(2




aaaaxyS
a
a
aa
xaaaxaaax
 
 
 
07. Sendo |a| ≠ |b| o par (x, y) solução do sistema





22
2
baaybx
abbyax
é: 
 
Solução. Escalonando o sistema, temos: 
 





22
2
baaybx
abbyax
  





23222 2)(
2
abaabyab
abbyax
  
a
ab
aba
y
ab
aab
y







22
22
22
32
)(
 
)},{(
22)(
abS
b
a
ab
xababaxababax


 
3L1 – L2 
 
L2 - L3 
 
L1 – aL2 
bL1 – aL2 
 2L1 + L2 
 
 
 7L1 – 2L3 
 
43L2 - 13L3 
 
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3 Escalonamento de sistemas lineares – Prof. Dagoberto 
 
 
08. Resolvendo o sistema








11
32
2
zyx
zy
yx
 vemos que x + 2y + 3z vale: 
 
Solução. Substituindo os termos na 3ª equação do sistema, temos: 
 








11
32
2
zyx
zy
yx
 
.18)3(2)3(2632
3
11
33
3323611
3
2
2


zyx
yyyy
y
yy
 
 
 
09. Os valores de x , y e z solução do sistema








azyx
zyx
zyx
987
32654
1432
 formam, nessa ordem, uma PA de razão 1. 
O valor de a é: 
 
 Solução. Escolhendo x = k; y = k + 1 e z = k + 2, temos: 
 
 
 








azyx
zyx
zyx
987
32654
1432
  
5027167)3(9)2(8)1(7
1
15
15
17321532126554


aa
kkkkk
 
 
 
10. O valor de 
y
x
no sistema 





4
102
yx
yx
é: 
 Solução. Escalonando o sistema, temos: 
 





4
102
yx
yx
  





63
102
y
yx
  
641010)2(2
2
3
6


xx
y
  .2
3
6

y
x
S 
 
 
 
 
 
x = 1 
y = 2 
z = 3 
L1 – L2