Funções de Várias Variáveis - Cálculo III

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28/02/2021

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Cálculo III Aula: Funções de Várias Variáveis
Cálculo III
Aula: Funções de Várias Variáveis
Prof. Rafael Rodrigo Ottoboni
Departamento de Matemática - ICENE/UFTM
Cálculo III Aula: Funções de Várias Variáveis
Sumário
Função de duas variáveis reais a valores reais: Definições
Função de três variáveis reais a valores reais: Definições
Exerćıcios
Bibliografia
Cálculo III Aula: Funções de Várias Variáveis
Função de duas variáveis reais a valores reais: Definições
Definição de função de duas variáveis reais a valores reais,
doḿınio e imagem
Considere um subconjunto A ⊂ R2 e B ⊂ R. Toda função
f : A −→ B é chamada de função de duas variáveis real a valores
real. Uma função deste tipo associa um par (x , y) ∈ A, um único
f (x , y) ∈ B.
O Doḿınio de f é definido por:
Df = A ⊂ R2
A imagem da função de f é definida por:
Imf = {f (x , y), (x , y) ∈ A} ⊂ R
Cálculo III Aula: Funções de Várias Variáveis
Função de duas variáveis reais a valores reais: Definições
Definição de gráfico e curvas de ńıvel de funções de duas
variáveis a valores reais
O gráfico de f é definido por:
Grf =
{(
x , y , f (x , y)
)
, (x , y) ∈ A
}
⊂ R3
A curva de ńıvel K de f é definida por:
NK = {(x , y) ∈ A | f (x , y) = K} ⊂ R2
Cálculo III Aula: Funções de Várias Variáveis
Função de três variáveis reais a valores reais: Definições
Definição de função de três variáveis reais a valores reais,
doḿınio e imagem
Considere um subconjunto A ⊂ R3 e B ⊂ R. Toda função
f : A −→ B é chamada de função de três variáveis real a valores
real. Uma função deste tipo associa uma tripla (x , y , z) ∈ A, um
único f (x , y , z) ∈ B.
O Doḿınio de f é definido por:
Df = A ⊂ R3
A imagem da função de f é definida por:
Imf = {f (x , y , z), (x , y , z) ∈ A} ⊂ R
Cálculo III Aula: Funções de Várias Variáveis
Função de três variáveis reais a valores reais: Definições
Definição de gráfico e curvas de ńıvel de funções de três
variáveis a valores reais
O gráfico de f é definido por:
Grf =
{(
x , y , z , f (x , y , z)
)
, (x , y , z) ∈ A
}
⊂ R4
A superf́ıcie de ńıvel K de f é definida por:
NK = {(x , y , z) ∈ A | f (x , y , z) = K} ⊂ R3
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Exerćıcios
Exerćıcio 1
Seja f (x , y) =
√
x2 − y . Calcule a imagem dos pontos abaixo:
a) (3, 5)
b) (−4,−9)
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Exerćıcios
Exerćıcio 2
Determine e esboce os doḿınios das funções dadas:
a) f (x , y) =
√
y − x ln(x + y)
b) f (x , y) =
1
x − y2
c) f (x , y , z) = ln(16− 4x2 − 4y2 − z2)
d) f (x , y , z) = e
√
z−x2−y2
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Exerćıcios
Exerćıcio 3
Determine o doḿınio, a imagem, algumas curvas de ńıvel e o
gráfico das funções
a) f (x , y) = x2 + y2
b) f (x , y) = 2x + 3y + 3
c) f (x , y) = x2 − y
d) f (x , y) =
√
16− x2 − 16y2
e) f (x , y) = cos(x)
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Exerćıcios
Exerćıcio 4
Faça uma correspondência entre a funçao e seu gráfico. Dê razões
para sua escolha.
a) f (x , y) = sen(x2 + y2)
b) f (x , y) =
√
x2 + y2
c) f (x , y) = ex
2+y2
d) f (x , y) = cos(x2 + y2)
e) f (x , y) =
1√
x2 + y2
f) f (x , y) = ln(x2 + y2)
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Exerćıcios
Exerćıcio 5
Descreva as superf́ıcies de ńıvel da função
a) f (x , y , z) = x + 3y + 5z
b) f (x , y , z) = x2 + 3y2 + 5z2
c) f (x , y , z) = x2 − y2 + z2
d) f (x , y , z) = x2 − y2
Cálculo III Aula: Funções de Várias Variáveis
Bibliografia
Bibliografia
• Paulo Cupertino de Lima, Cálculo de Várias Variáveis, 2009.
Livro dispońıvel em
https://www.matematicapremio.com.br/
30-livros-de-matematica-para-download-em-pdf-ufmg/
• Raimundo Merval Morais Gonçalves, Notas de Aula de
Funções de Várias Variáveis, 2011. Material dispońıvel em
http://www.academico.uema.br/DOWNLOAD/C%C3%
A1lculodeFun%C3%A7%C3%B5esdeV%C3%A1riasVari%C3%
A1veis.pdf
• James Stewart, Cálculo volume 2. Tradução da 6a edição
Norte-Americana. São Paulo-SP: Cengage Learning, 2012.
 https://www.matematicapremio.com.br/30-livros-de-matematica-para-download-em-pdf-ufmg/
 https://www.matematicapremio.com.br/30-livros-de-matematica-para-download-em-pdf-ufmg/
http://www.academico.uema.br/DOWNLOAD/C%C3%A1lculodeFun%C3%A7%C3%B5esdeV%C3%A1riasVari%C3%A1veis.pdf
http://www.academico.uema.br/DOWNLOAD/C%C3%A1lculodeFun%C3%A7%C3%B5esdeV%C3%A1riasVari%C3%A1veis.pdf
http://www.academico.uema.br/DOWNLOAD/C%C3%A1lculodeFun%C3%A7%C3%B5esdeV%C3%A1riasVari%C3%A1veis.pdf
	Função de duas variáveis reais a valores reais: Definições
	Função de três variáveis reais a valores reais: Definições
	Exercícios 
	Bibliografia