geometria e seu ensino

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MÓDULO DE: 
 
TÓPICOS DE GEOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
AUTORIA: 
 
WALDEK ROCHA NOBRE 
 
 
 
 
 
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Módulo de: Tópicos De Geometria 
Autoria: Waldek Rocha Nobre 
 
Primeira edição: 2009 
 
 
CITAÇÃO DE MARCAS NOTÓRIAS 
 
Várias marcas registradas são citadas no conteúdo deste módulo. Mais do que simplesmente listar esses nomes 
e informar quem possui seus direitos de exploração ou ainda imprimir logotipos, o autor declara estar utilizando 
tais nomes apenas para fins editoriais acadêmicos. 
Declara ainda, que sua utilização tem como objetivo, exclusivamente a aplicação didática, beneficiando e 
divulgando a marca do detentor, sem a intenção de infringir as regras básicas de autenticidade de sua utilização 
e direitos autorais. 
E por fim, declara estar utilizando parte de alguns circuitos eletrônicos, os quais foram analisados em pesquisas 
de laboratório e de literaturas já editadas, que se encontram expostas ao comércio livre editorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os direitos desta edição reservados à 
ESAB – ESCOLA SUPERIOR ABERTA DO BRASIL LTDA 
http://www.esab.edu.br 
Av. Santa Leopoldina, nº 840/07 
Bairro Itaparica – Vila Velha, ES 
CEP: 29102-040 
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Apresentação 
A geometria é um ramo importante tanto como objeto de estudo como instrumento para 
outras áreas. No entanto, os professores apontam a geometria como um dos problemas de 
ensino/aprendizagem e quando solicitados a indicar os cursos de extensão que gostariam 
fazer, em sua maioria, indicam um curso de geometria. 
O diagnóstico dessa situação vem sendo discutido nos meios acadêmicos, em alguns 
segmentos da sociedade e inclusive, em algumas instancias governamentais. A Secretaria 
de Ensino Fundamental do MEC colocou em discussão nacional e aponta a necessidade de 
revisão na formação de professores para a efetiva implantação de novas alternativas. 
 
Objetivo 
O ensino de Geometria tem adquirido, nos últimos anos, importância maior no cenário das 
reformas educacionais no país. Objeto de pesquisa privilegiado dos educadores 
matemáticos, o ensino de Geometria tem sido proposto como fator fundamental para o 
desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas nos níveis do Ensino 
Fundamental e Médio. 
Aparece como elemento constitutivo fundamental em todas as diretrizes curriculares para a 
formação de professores de Matemática. Está presente em todos os atuais parâmetros 
curriculares nacionais para o ensino de Matemática nos níveis Fundamental e Médio. 
Surgem nos programas de avaliação dos níveis de ensino, como o SAEB e o ENEM. Sua 
abordagem tem sido apontada como definidora da qualidade dos textos avaliados pelos 
programas nacionais de livros didáticos. Sua abordagem tem sido também indicada como 
 
 
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condição referencial nas recomendações das comissões de especialistas para a avaliação 
das condições de oferta dos cursos de Licenciatura em Matemática. 
A valorização do ensino da Geometria não é fenômeno nacional, mas está amparada em 
pesquisas em diversos países. Apontada como uma das grandes falhas da proposta de 
reforma do ensino das décadas de 60 e 70, conhecida como Movimento da Matemática 
Moderna (MMM), a ausência da Geometria e sua redução a mero enfeite dos currículos foi 
apontada como um dos fatores principais do fracasso do MMM. Relegada ao final dos textos 
didáticos, com a consequência de raramente ser abordada, e tratada muitas vezes como 
mera linguagem formalizada com base na Teoria dos Conjuntos, a Geometria tinha perdido a 
posição privilegiada que a cultura clássica lhe atribuía. Com esse trabalho espero ajudar 
essa valorização. 
 
Ementa 
Conceitos geométricos primitivos; Circunferência e círculo; Ângulo; Ângulos no Círculo e 
Triângulos; Triângulos – Cevianas; Triângulos – Classificação; Triângulos - Semelhança de 
triângulos; Triângulos – Área; Trigonometria básica; Quadrilátero; Polígonos; Geometria 
espacial de posição; Poliedros 
Prismas; Cubos; Cilindros; Pirâmide; Cone; Sólidos Semelhantes – Troncos 
Esfera; O Plano Cartesiano; Vetores – Introdução; Vetores – Operações 
Vetores – Coordenadas; Vetores – Operações; Vetores – Operações; Reta 
Circunferência e Círculo; Cônicas; Equação do Plano. 
 
 
 
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Sobre o Autor 
Meu nome é Waldek Rocha Nobre, nasci no Rio de Janeiro em 19/09/1961. 
Sou formado em matemática desde 1985 – Licenciado pela extinta FAHUPE e Bacharel (com 
especialização em Ensino de Matemática) pela Universidade Federal Fluminense. 
Leciono desde 1982, trabalhei com preparação para as Escolas Militares – IME, ITA, 
ESCOLA NAVAL, AMAN, AFA, COLÉGIO NAVAL, EsPCEx, EPCAr – e ainda trabalho com 
preparação para Vestibulares;em Escolas Particulares de Ensino Médio; na Marinha do 
Brasil – Tecnólogos em Eletrônica, Mecatrônica e Telemática; além de dirigir uma das 
Escolas da Rede FAETEC de Ensino Fundamental, Médio Profissionalizante e Pós-Médio. 
 
 
 
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SUMÁRIO 
UNIDADE 1 ........................................................................................................... 9 
Conceitos Geométricos Primitivos ..................................................................... 9 
UNIDADE 2 ......................................................................................................... 16 
Circunferência e círculo ................................................................................... 16 
UNIDADE 3 ......................................................................................................... 21 
Ângulo .............................................................................................................. 21 
UNIDADE 4 ......................................................................................................... 27 
Ângulos no Círculo e Triângulos ...................................................................... 27 
UNIDADE 5 ......................................................................................................... 34 
Triângulos - Cevianas ...................................................................................... 34 
UNIDADE 6 ......................................................................................................... 39 
Classificação dos Triângulos ........................................................................... 39 
UNIDADE 7 ......................................................................................................... 45 
Triângulos (II) - Semelhança de triângulos ...................................................... 45 
UNIDADE 8 ......................................................................................................... 49 
Área de Triângulos ........................................................................................... 49 
UNIDADE 9 ......................................................................................................... 54 
Trigonometria ................................................................................................... 54 
UNIDADE 10 ....................................................................................................... 61 
Quadrilátero ...................................................................................................... 61 
UNIDADE 11 ....................................................................................................... 69 
Polígonos .........................................................................................................69 
UNIDADE 12 ....................................................................................................... 74 
GOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO ............................................................ 74 
UNIDADE 13 ....................................................................................................... 82 
 
 
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Poliedros .......................................................................................................... 82 
UNIDADE 14 ....................................................................................................... 89 
Prismas ............................................................................................................ 89 
UNIDADE 15 ....................................................................................................... 95 
Cubos ............................................................................................................... 95 
UNIDADE 16 ..................................................................................................... 101 
Cilindros ......................................................................................................... 101 
UNIDADE 17 ..................................................................................................... 107 
Pirâmide ......................................................................................................... 107 
UNIDADE 18 ..................................................................................................... 114 
Cone ............................................................................................................... 114 
UNIDADE 19 ..................................................................................................... 120 
Sólidos Semelhantes – Troncos .................................................................... 120 
UNIDADE 20 ..................................................................................................... 126 
Esfera ............................................................................................................. 126 
UNIDADE 21 ..................................................................................................... 135 
O Plano Cartesiano (ℝ2) ................................................................................ 135 
UNIDADE 22 ..................................................................................................... 141 
Introdução ao estudo dos Vetores ................................................................. 141 
UNIDADE 23 ..................................................................................................... 144 
Operações com vetores (I)............................................................................. 144 
UNIDADE 24 ..................................................................................................... 148 
Coordenadas de Vetores nos Espaços Vetoriais .......................................... 148 
UNIDADE 25 ..................................................................................................... 154 
Operações com Vetores (II) ........................................................................... 154 
UNIDADE 26 ..................................................................................................... 160 
Operações com vetores (III) .......................................................................... 160 
UNIDADE 27 ..................................................................................................... 165 
 
 
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Reta no ℝ2 ...................................................................................................... 165 
UNIDADE 28 ..................................................................................................... 172 
Circunferência e Círculo no ℝ2 ...................................................................... 172 
UNIDADE 29 ..................................................................................................... 177 
Cônicas no ℝ2 ................................................................................................ 177 
UNIDADE 30 ..................................................................................................... 184 
Equação do Plano .......................................................................................... 184 
GLOSSÁRIO ..................................................................................................... 192 
REFERÊNCIAS ................................................................................................. 193 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 1 
Conceitos Geométricos Primitivos 
Objetivo: Reconhecer através da leitura desta unidade os elementos primitivos da geometria, 
os subconjuntos da reta, a circunferência e o círculo . 
 
A Geometria Plana e a Geometria Espacial baseiam-se nos chamados conceitos 
geométricos primitivos. Define-se como conceito primitivo todo aquele que não admite 
definição, isto é, o conceito que é aceito por ser óbvio ou conveniente para uma determinada 
teoria. Normalmente, em Matemática, os conceitos primitivos servem de base para a 
construção de postulados (ou axiomas) que formarão, por sua vez, a estrutura lógica e formal 
da teoria. Os conceitos geométricos primitivos são os seguintes: 
1) Ponto: 
É o conceito geométrico primitivo fundamental. Euclides o definiu como "aquilo que não tem 
parte". Ou seja, para Euclides é o conceito de "parte", e não de "ponto", que é primitivo. 
Diz-se que o ponto não tem dimensão (é adimensional), ou seja, ele é tão ínfimo quanto 
quisermos, e não faz sentido mencionar qualquer coisa sobre tamanho ou dimensão do 
ponto. A única propriedade do ponto é a localização. Representa-se o ponto por uma letra 
maiúscula qualquer do alfabeto latino (A, B, C,...). 
 
2) Reta: 
É unidimensional (somente a grandeza distância pode ser medida a partir de dois pontos 
quaisquer da reta). Representa-se a reta por uma letra minúscula qualquer do alfabeto latino 
(r, s, t,...). 
 
 
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3) Plano: 
É bidimensional. Podemos medir superfícies (regiões) limitadas do plano. Representa-se o 
plano por uma letra grega (α, β, γ,...). 
Uma atividade bastante interessante em aula consiste em mostrarmos uma folha de papel 
aos alunos e perguntarmos quantas dimensões possui. A maioria responderá “duas”. 
Momento interessante para fortalecermos a noção de dimensão. 
 
Subconjuntos da reta 
1) Semirreta: 
Considere um ponto A de uma reta r. O conjunto de todos os pontos da reta r, a partir de A é 
dito semirreta de r. É fácil perceber que um único ponto A determina duas semirretas em r. O 
ponto A chamado origem do segmento. 
A -------------> r 
Alguns autores consideram errado o uso de seta para representação de reta ou semirreta. 
 
2) Segmento de reta: 
Considere dois pontos A e B, distintos, de uma reta r. O conjunto de todos os pontos de r 
situados entre A e B é dito segmento de reta AB. 
A ------------- B 
Obs.: A e B são chamados extremidades dos segmentos. 
O professor precisa ter muito cuidado com definições. Em geometria alguns livros 
apresentam incorreções sérias. 
 
 
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 ATIVIDADE 1: Pesquise em livros de educação fundamental (6º ao 9º ano) “definições” dos 
conceitos primitivos. 
 
 
 
Lugar Geométrico 
Lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfazem uma determinada propriedade 
(circunferência, bissetriz de um ângulo, mediatriz de um segmento,...). 
No contexto da geometria analítica, a propriedade geralmente pode ser descrita por uma 
equação. Um estudo mais aprofundado dos conjuntos de pontos dados por uma equação,a 
relação entre conjuntos deste tipo, e outros problemas similares são estudados em uma área 
da matemática denominada geometria algébrica (impagável legado de René Descartes). 
 
 ATIVIDADE 2: Faça uma leitura da obra de René Descartes (Sugiro Wikipédia). 
 
 
Podemos usar a Teoria dos Conjuntos para definições em geometria, assim: 
 
1) Circunferência: 
É o conjunto (ou o lugar geométrico) de todos os pontos equidistantes (essa distância é 
chamada RAIO) de um ponto dado que chamamos CENTRO. 
 
 
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COMPRIMENTO DE UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA 
O comprimento de um arco de circunferência AB é proporcional à medida do ângulo central 
AÔB. 
 
 ATIVIDADE 3: Faça uma leitura sobre o número π. (Sugiro Apostila de Fundamentos de 
Matemática Elementar – ESAB 
 
 
 
2) Círculo: 
É a região ou superfície formada pela circunferência e seu interior. 
 
É possível calcularmos o perímetro ou comprimento de 
uma circunferência pela fórmula: C = 2πR, onde R é a 
medida do seu rBA 
2πr --- 360° 
AB ---- AÔB 
É possível calcularmos a área ou a superfície de um circulo 
pela fórmula: S = πR2, onde R é a medida do raio de sua 
circunferência. 
 
 
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Obs.: É muito comum o aluno confundir círculo e circunferência. Não se pode calcular a “área 
de uma circunferência”. 
 
Teorema sobre áreas 
A razão entre as áreas de dois círculos é igual ao quadrado da razão de seus raios. 
 
Exercícios 
1) Considere a reta r e os pontos A, B e C. Quantas semirretas de r esses pontos 
determinam? E quantos segmentos de reta? 
 
2) Observe a figura e complete com os símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊂ 
 
3) O perímetro da figura não pontilhada a seguir é 8π, onde os arcos foram obtidos com 
centros nos vértices do quadrado cujo lado mede: 
a) A r b) B r c) r α d) c α 
e) t α f) D t g) A m 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 6 e) 8 
 
 
 
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4) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos 
diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370 km, 
pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as 
paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: 
a)) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas. 
 
5) Deseja-se construir um anel rodoviário circular em torno da cidade de São Paulo, distando 
aproximadamente 20 km da Praça da Sé. 
a) Quantos quilômetros deverão ter essa rodovia? 
b) Qual a densidade demográfica da região interior do anel (em habitantes por km2), 
supondo que lá residam 12 milhões de pessoas, adote o valor π = 3. 
 
6) Aumentando-se 1m no raio r de uma circunferência, o comprimento e a área, 
respectivamente, aumentam: 
a) 2π m e 2 (r + 1) π m2 
b) 2π m e (2r + 1) π m2 
c) 2π2 m e (2r + 1) π m2 
d) 2π m e (2r2 + 1) π m2 
e) 2π m e (r2 + 1) π m2 
 
7) Na figura, as três semicircunferências têm centros nos pontos médios dos lados do 
triângulo retângulo e área de um triângulo retângulo pode ser calculada dividindo-se por 2 o 
 
 
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produto dos catetos. Mostre que a soma das áreas das regiões circulares hachuradas 
(lúnulas de Hipócrates) é igual à área do triângulo. 
 
 
 
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UNIDADE 2 
Circunferência e círculo 
Objetivo: Reconhecer através da leitura desta unidade as posições relativas entre retas e 
circunferências e regiões do círculo determinadas por cordas e raios. 
 
I) Entre retas coplanares (situadas em um mesmo plano): 
a) Paralelas: Possuem a mesma direção. 
Obs.: Uma relação R sobre um conjunto não vazio E é chamada relação de equivalência 
sobre E quando R é: 
i) Reflexiva: ∀x (x ∈ E ==> x R x) 
ii) Simétrica: ∀x, y (x R y ==> y R x) 
iii) Transitiva: ∀ x, y, z (x R y e y R z ==> x R z) 
O paralelismo é uma relação de equivalência, assim é necessário considerarmos retas 
coincidentes como paralelas (propriedade Reflexiva). 
 
b) Concorrentes: Não possuem a mesma direção. Podem ser classificadas em: 
i) Oblíquas: ii) Perpendiculares 
 
 
 
 
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II) Entre reta e circunferência coplanares: 
a) Reta exterior 
 
b) Reta tangente: 
 
 
 
 
Teorema 1: O raio traçado no ponto de tangência é perpendicular à tangente. 
 
Teorema 2: Por um ponto P, exterior a uma circunferência, podem ser traçadas duas 
semirretas tangentes. Os segmentos de retas definidos por P e os pontos de tangência têm 
as mesmas medidas (são congruentes). 
 
O ponto T é chamado 
Ponto de Tangência. 
 
 
 
 
 
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c) Reta Secante: 
 
Teorema: O raio perpendicular à corda a divide ao meio. 
 
Regiões do círculo 
1) Setor circular: 
 
2) Segmento circular: 
 
 
 
O segmento de reta AB é chamado 
A maior corda de uma circunferência é chamada 
DIÂMETRO e passa pelo seu centro. 
A área do setor circular é 
proporcional ao ângulo 
central AÔB. 
A área de o segmento 
circular é igual à diferença 
entre as áreas do setor e do 
triângulo AOB. 
 
 
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Exercícios 
1) Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso: 
a) ( ) Se uma reta é perpendicular a um raio de um círculo, ela é tangente a esse círculo. 
b) ( ) Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular a qualquer raio 
c) ( ) Toda reta perpendicular a uma corda, passando pelo médio dela, passa pelo centro 
do círculo 
d) ( ) Toda reta que passa pelo ponto médio de uma corda, passa pelo centro da 
circunferência que contém essa corda 
e) ( ) Por qualquer ponto podemos conduzir uma reta tangente a uma circunferência. 
 
2) Na figura a seguir, PA e PB são segmentos tangentes à circunferência. 
 
Determine: 
a) as medidas dos segmentos PA e PB. 
b) o perímetro do quadrilátero PAOB, sabendo que o raio do círculo vale 7. 
 
 
 
 
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3) Observando a figura a seguir, determine (em cm): 
a) o valor de x 
b) a medida do segmento AN, sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 46 cm. 
 
4) Calcular a área e o perímetro do setor circular se o raio da circunferência mede 12cm e o 
arco 60°. 
5) AB e CD são dois diâmetros perpendiculares de um círculo de raio 1dm. Calcular a área 
da superfície comum a esse círculo e ao círculo de centro A e raio AC. Resposta em dm2 
a) π + 2 b) π – 2 c) π + 1 d) π – 1 e) π 
6) Seja um triângulo equilátero cujo lado mede 2a. Ao traçar arcos de circunferências de raio 
a, centrados nos três vértices do triângulo, obtemos a região colorida como a da figura ao 
lado. Calcular a área desta região sabendo que a área do triângulo é a2 
 
 
 
 
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UNIDADE 3 
Ângulo 
Objetivo: Definir ângulo; reconhecer seus sistemas de medidas assim como os de valores 
notáveis.. 
 
É a abertura determinada por dois segmentos de reta ou duas semirretas de mesma origem. 
 Notação: Â ou BÂC 
Obs.: O ângulo divide o plano em duas regiões, uma convexa e outra não convexa. 
Região não convexa Região convexa 
 
Obs.: Outra definição usada para ângulo é: 
 “Qualquer uma das quatro regiões determinadas por duas retas concorrentes” 
 
 
 
Dois a dois esses ângulos possuem as 
mesmas medidas e são chamados 
Opostos pelo vértice. 
 
 
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Ângulos Adjacentes 
Possuem o vértice e um dos lados comuns. 
 
Bissetriz de um Ângulo 
É o segmento de reta ou a semirretade mesma origem do ângulo que o divide em ângulos 
de mesma medida. 
 
Ângulos notáveis 
1) Ângulo Cheio (uma volta) 
2) Ângulo raso (meia volta) 
3) Ângulo reto (1/4 de volta) 
 
Sistemas de medidas de ângulos 
1) Sistema Sexagesimal (base 60): Unidade Fundamental: GRAU. 
Ângulo cheio: 360° ↔ 1° ≡ 1/360 do ângulo cheio. 
 
Obs.: A bissetriz é um lugar geométrico porque 
todos os seus pontos possuem a propriedade de 
serem equidistantes dos lados do ângulo. 
 
 
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Submúltiplos: 
a) Minuto(‘): 1’ ≡ 1/60 do grau. 
 b) Segundo(“): 1” ≡ 1/60 do minuto. 
Obs.: Existem exercícios clássicos sobre ângulos que envolvem seis expressões, a saber: 
NOMES DEFINIÇÃO EXPRESSÃO ALGÉBRICA 
Ângulos Replementares Somam 360° x + y = 360° 
Ângulos Suplementares Somam 180° x + y = 180° 
Ângulos Complementares Somam 90° x + y = 90° 
Replemento de um ângulo É o que falta para 360° 360° - x 
Suplemento de um ângulo É o que falta para 180° 180° - x 
Complemento de um ângulo É o que falta para 180° 90° - x 
 
2) Sistema Circular: Unidade Fundamental: RADIANO. 
Ângulo cheio: 2π rad. 
Um radiano é equivalente ao ângulo central cujo arco retificado tem a medida do raio. 
 
Obs.: Essa relação entre arco e ângulo é responsável pela estrutura funcional da 
trigonometria, ou seja, das funções: seno, cosseno e tangente. 
A retificação do arco AB 
determina um segmento cuja 
medida é igual à do raio. 
 
 
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As transformações entre esses sistemas podem ser estabelecidas por Regra de Três usando 
a equivalência: 180° ≡ π rad. 
Obs.: Um radiano mede aproximadamente 57,3°. 
π rad ----- 180° 
 
π.x = 180.1 ↔ x = 180/ π ↔ x ≅ 180/3,14 ≅ 57,3° 
1 rad ----- x 
 
Retas paralelas cortadas por uma transversal 
Feixe de retas paralelas: 
Um feixe de retas paralelas são um conjunto de 3 ou mais retas paralelas. 
Transversal 
Transversal é o nome dado à reta que cruza as retas paralelas. 
OBS: Pode haver mais de 1 transversal. 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal 
Sempre que duas retas paralelas são cortadas por uma transversal nós formamos oito 
ângulos, como na figura: 
 
 
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Exercícios 
1) Na figura abaixo, ED é paralelo a BC. Sendo BÂE igual a 80o e ABC igual a 35o, calcule a 
medida de AÊD. 
 
2) Determine x, y, z nas figuras a seguir: 
 
3) Determine o valor de: 
a) 4° 39' 45" + 18° 32' 43" + 8° - 7° 49" 
b) (12° 15' 4" ) : 8 
 
 Os ângulos agudos são congruentes 
 Os ângulos obtusos são congruentes 
 A soma de qualquer agudo com qualquer obtuso é 180° 
 
 
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4) Responda: 
a) A metade de um ângulo menos a quinta parte do seu complemento mede 38°. Qual é esse 
ângulo? 
b) 2/3 do complemento de um ângulo mais 1/5 do suplemento do mesmo ângulo perfazem 
70°. Qual é esse ângulo? 
 
5) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo X é: 
 
6) Na figura, AB é paralelo a CD. O valor de x é: 
 
(a) 30º (b) 45º (c) 50º (d) 65º (e) 75º 
 
(a) 30º (b) 40º (c) 50º 
(d) 60º (e) 70º 
 
 
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UNIDADE 4 
Ângulos no Círculo e Triângulos 
Objetivo: Identificar os ângulos no círculo, condição de existência de triângulos e teoremas 
básicos sobre ângulos do triângulo . 
 
1) Ângulo Central: O vértice do ângulo coincide com o centro do círculo. 
 
2) Ângulo Inscrito: O vértice do ângulo está sobre a circunferência. 
 
3) Ângulo Excêntrico Interno: É formado por duas retas secantes que se cruzam no 
interior da circunferência. 
Existe uma correspondência biunívoca 
entre o ângulo central e o arco ab, ou 
seja, a abertura do ângulo é igual à 
curvatura do arco. 
A medida do ângulo é metade da medida do 
arco AB. 
A medida do ângulo é igual à metade da soma dos arcos 
AC e BD. 
 
 
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28
4) Ângulo Excêntrico Externo: É formado por duas retas secantes que se 
cruzam no exterior da circunferência. 
 
5) Ângulo Circunscrito: É formado por duas retas tangentes. 
 
Triângulo 
É o polígono de três lados. 
 
Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua 
obra Elementos aproximadamente em 300 a.C. 
 
 
A medida do ângulo é iguala metade 
da diferença dos arcos AB e CD. 
A medida do ângulo pode ser obtida e duas 
maneiras: 
a) é igual à diferença entre 180° e o menor 
arco AB; ou 
b) é igual à diferença entre o maior arco AB e 
180°. 
 
A B e C: Vértices 
â: ângulo interno 
ê: ângulo externo 
 
 
 
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Condição de existência 
Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos 
lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da 
diferença entre essas medidas. 
Teorema angular de Tales 
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. 
 
Teorema do ângulo externo 
Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a 
ele. 
 
Exercícios 
1) O ângulo x, na figura a seguir, mede: 
 a) 60° 
b) 80° 
c) 90° 
d) 100° 
 e) 120° 
 
 
 
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30
 
2) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: 
 
a) 125° 
b) 110° 
 c) 120° 
 d) 100° 
 e) 135° 
 
3) Calcule o valor de x na figura a seguir. 
 
4) Seja o pentágono PQRST da figura inscrito na circunferência de centro 0. Sabe-se que 
POQ mede 70°. Chamando de x e y o ângulo PTS e QRS, respectivamente, determine x + y. 
 
 
 
 
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31
 
5) Na figura adiante, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo A mede 40°, então o ângulo 
XYZ mede: 
 
a) 40° 
b) 50° 
c) 60° 
d) 70° 
e) 90° 
 
6) Um triângulo ABC é retângulo em A. A altura AH forma com a mediana AM um ângulo de 
28°. Calcule os ângulos agudos do triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
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32
7) Na figura abaixo, tem-se que AD=AE, CD=CF e BA=BC. Se o ângulo EDF mede 80°, 
então o ângulo ABC mede: 
 
a) 20° 
 b) 30° 
c) 50° 
 d) 60° 
 e) 90° 
 
8) A área máxima que pode ter um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10 cm é: 
 
a) 50 
b) 70 
 
 
 
 
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33
 c) 35 
 d) 57 
 e) 25 
 
9) Na figura abaixo, o valor de a em função de c, em graus é: 
 
a) 100 – c 
 b) c -20 
 c) c/2 
d) c - 40 
 
 
 
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34
UNIDADE 5 
Triângulos - Cevianas 
Objetivo: Identificar as cevianas e as propriedades relativas de seus encontros. 
 
São segmentos de retas cujas extremidades são um dos vértices e um ponto qualquer do 
lado oposto. O nome vem do matemático italiano Giovanni Ceva. 
 
Teorema de Ceva 
O teorema de Ceva é um teorema de geometria elementar que estabelece uma condição 
necessária e suficiente para que três cevianas sejam concorrentes. Este teorema, provado 
em 1678 na obra De lineis rectis, afirma que três cevianas de um triângulo concorrem em um 
ponto se, e somente se, 
 
Teorema de menelaus 
Considere ABC o triângulo principal e X, Y e Z pontos de uma reta 
que não passa pelos vértices de ABC. 
Os segmentos a serem considerados são formados por um ponto 
da reta e um vértice do triângulo. Assim, 
 
 
 
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35
XA.YB.ZC = XB.YC.ZA 
 
Existem 3 cevianas notáveisem um triângulo: 
 
a) Mediana: Vértice ao ponto médio do lado oposto. As três medianas de um triângulo são 
concorrentes e se encontram no centro de massa, ou baricentro do triângulo. 
Teorema: A medida do BARICENTRO ao vértice e o dobro da medida do BARICENTRO ao 
ponto médio. 
Obs.: Esse Teorema pode ser demonstrado a partir do Teorema de Menelaus 
b) Bissetriz: Divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Um triângulo possui dois tipos 
de bissetrizes: bissetrizes internas e bissetrizes externas. 
As três bissetrizes internas do triângulo são concorrentes, e o ponto de encontro delas é o 
incentro, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo, e este ponto também é 
equidistante de todos os lados do triângulo. 
O teorema da bissetriz interna diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz 
interna do ângulo A que determina sobre o segmento BC um ponto D, tem-se que os 
segmentos BD e CD formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e 
AC, respectivamente. 
 
 
 
 
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36
 
 
Obs.: Esse Teorema é demonstrado a partir do Teorema de Tales (Feixe de paralelas e 
segmentos proporcionais) 
c) Altura: de um triângulo é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao 
seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o 
ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura. 
O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro. No triângulo 
acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo 
reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. 
Mediatriz 
A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As 
três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o 
centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. 
O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos 
 
 = 
 
 
 
 
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O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. 
Obs.: A mediatriz é um lugar geométrico, pois seus pontos são equidistantes das 
extremidades do segmento. 
 
Exercícios 
1) Considere o triângulo ABC da figura. Se a bissetriz interna do ângulo B forma com a 
bissetriz externa do ângulo C um ângulo de 50°, determine a medida do ângulo interno A. 
 
2) O triângulo ABC da figura, tem CM como bissetriz. Determine os lados do triângulo. 
 
3) Na figura a seguir, AD é a bissetriz inteira de Â. Calcule as medidas de BD e CD, sabendo 
que mede BC = 8 cm. 
 
 
 
 
 
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38
 
 
4) Sabe-se que, em um triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma dos 
comprimentos dos outros dois lados. Uma afirmativa equivalente a essa é: 
 a) A menor distância entre dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta que os 
une. 
b) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior dos lados 
c) Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo 
d) Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo 
comprimento. 
 
5) Na figura, AQ e AP são, respectivamente, bissetrizes interna e externa do triângulo ABC. 
Se BQ = 8 m e QC = 6 m, então, a medida de QP, em metros, é: 
 
a) 32 b) 36 c) 42 d) 48 
 
 
 
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UNIDADE 6 
Classificação dos Triângulos 
Objetivo: Classificar os triângulos em relação a seus lados e ângulos . 
 
I) Quanto aos lados 
a) Equilátero: 
Possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais. Um triângulo equilátero é também 
equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, 
classificado como um polígono regular. 
 
Obs.: No triângulo eqüilátero as medianas, bissetrizes e alturas são coincidentes, assim 
como o baricentro, incentro e ortocentro. 
 
b) Isósceles: 
Possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. O triângulo 
equilátero é, consequentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que apresenta 
não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos, que medem todos 
60º. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo 
 
 
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40
do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes. 
Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-
se base o lado de medida diferente. 
 
c) Escaleno: 
As medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno 
também possuem medidas diferentes. 
 
II) Quanto aos ângulos 
a) Retângulo: 
Possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao 
ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os ângulos agudos de um triângulo 
retângulo são complementares. 
 
b) Obtusângulo: 
Possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. 
 
 
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41
 
c) Acutângulo: 
Os três ângulos são agudos (formando 180°). 
 
Síntese de Clairaut 
Determina a natureza de um triângulo ABC quanto aos ângulos. 
Considere “a”, “b” e “c” os lados de um triângulo qualquer sendo “a” o maior. Se: 
a2 < b2 + c2 → ABC é Acutângulo 
a2 = b2 + c2 → ABC é Retângulo 
a2 > b2 + c2 → ABC é Obtusângulo 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
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42
1) No quadrado ABCD de lado 12 temos: AE = 13 e CF = 3.O ângulo AÊF é agudo, reto ou 
obtuso? Justifique. 
 
2) Observe a figura. Nessa figura, o segmento BE é perpendicular ao segmento AE, BE = ED 
e o triângulo BCD é equilátero. A diferença BÔE - BÂE, em graus, é: 
 
 a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
 e) 30 
 
 
 
 
 
 
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43
3) Observe a figura a seguir. Nessa figura, AD = BD, C = 60° e DÂC é o dobro de ABD A 
razão AC/BC é igual a: 
 
a) 1/3 
b) ½ 
c) /3 
d) /2 
e) /2 
 
4) Acerca da figura a seguir podemos afirmar que: ( ) O triângulo ABC é equilátero. ( ) O 
triângulo ACD é isósceles. ( ) α – (γ + β) é divisível por 2. ( ) AD = l. ( ) Os triângulos 
ABC e ACD têm áreas iguais. 
 
 
 
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44
5) A diferença entre as medidas de dois lados de um triângulo isósceles é 75 cm. Sabendo 
que estes lados estão na razão de 8 para 5 e admitindo-se que o lado desigual é o de maior 
medida, calcular o perímetro desse triângulo. 
 
6) O triângulo cujos lados medem 10 cm, 24 cm e 26 cm é: 
a) acutângulo 
 b) retângulo 
 c) equilátero 
 d) isósceles 
e) obtusângulo 
 
7) Sabe-se que, em um triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma dos 
comprimentos dos outros dois lados. Uma afirmativa equivalente a essa é: 
a) A menor distância entre dois pontos é igual ao comprimento do segmento de reta que os 
une. 
b) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior dos lados. 
c) Ao lado menor de um triângulo, opõe-se o menor ângulo. 
d) Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo 
comprimento. 
 
 
 
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45
UNIDADE 7 
Triângulos (II) - Semelhança de triângulos 
Objetivo: Identificar triângulos semelhantes e aplicar as relações métricas no triângulo 
retângulo. 
 
Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do 
outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato 
crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus ladossão proporcionais. 
 
Relações métricas no triângulo retângulo 
Um Triângulo retângulo é composto por 4 principais elementos; são eles: Catetos, 
Hipotenusa, Altura relativa à hipotenusa e Projeções dos Catetos. 
 
Aplicações do Teorema de Pitágoras 
Exercícios 
1) Responda os itens corretamente: 
b2 = a.m (I) 
c2 = a.n (II) 
h2 = m.n 
Teorema de Pitágoras 
Somando-se as equações 
(I) e (II) podemos concluir 
que a2 = b2 + c2 
 
 
 
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46
a) Dois círculos concêntricos têm raios 3 e 5 centímetros. Faça um desenho desses círculos 
de maneira a representar adequadamente seus tamanhos relativos. 
 b) Desenhe, na figura obtida, e inteiramente contida na região anular interna ao 
 
círculo maior e externa ao círculo menor, um segmento de reta de maior comprimento 
possível. 
c) Calcule o comprimento desse segmento. 
 
2) Sabe-se que o arco mostrado na figura adiante é o arco de uma circunferência de centro e 
raio desconhecidos. Sobre a circunferência marca-se uma corda AB de 4 cm de 
comprimento. Sendo D o ponto médio do arco AB e C o pé da perpendicular baixada de D 
sobre AB, verifica-se que o segmento de reta CD mede 1,2 cm. Considerando esses dados, 
calcule a medida do raio da circunferência. 
 
 
a) Diagonal de Quadrado: 
 
d2 = a 
b) Altura do Triângulo Equilátero: 
 
h = 
 
 
 
 
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47
3) Um triângulo tem lados a = 20, b = 25 e c = 15. Determine a projeção do lado c sobre a. 
4) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio 2 
cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em centímetros, 
é: 
 
a) 2 
b) 2 
c) 3 
d) 5 
e) 
5) Na figura a seguir, os ângulos assinalados têm as medidas indicadas. Se XY = 5m, então 
a medida de AB, em metros, é igual a: 
 
a) (5 )/2 
 
 
 
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48
b) (5 )/2 
c) 5 
d) 5 
e) 5 
 
6) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8 m de 
extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar 
do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na 
sombra. 
7) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 
metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura 
adiante. 
a) Exprima y em função de x. 
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima? 
 
8) Um homem sobe numa escada de 5 metros de comprimento, encostada em um muro 
vertical. Quando ele está num degrau que dista 3 metros do pé da escada, esta escorrega, 
de modo que a extremidade A se desloca para a direita, conforme a seta da figura a seguir e 
a extremidade B desliza para baixo, mantendo-se aderente ao muro. Encontre a fórmula que 
expressa a distância h, do degrau em que está o homem até o chão em função da distância 
x, do pé da escada ao muro. 
 
 
 
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49
UNIDADE 8 
Área de Triângulos 
Objetivo: Aprender a calcular área de um triãngulos. 
a) Produto Base Altura: 
S = 
 
b) Triângulos equiláteros: 
S = 
 
c) Semiperímetro (Radical de Heron ou Herão): 
S = 
 
d) Trigonométrica: 
h é a altura do triângulo e b a medida da base. 
 a é o lado do triângulo 
p é o semiperímetro e a, b e c são as medidas dos lados 
 
 
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50
S = 
 
Teorema: A razão entre as áreas de regiões semelhantes é igual ao quadrado da razão de 
semelhança. 
 
Exercícios 
1)Considere um triângulo ABC tal que a altura BH seja interna ao triângulo e os ângulos BÂH 
e HBC sejam congruentes. 
a) Determine a medida do ângulo ABC. 
b) Calcule a medida de AC, sabendo que AB = 4 cm e a razão entre as áreas dos triângulos 
ABH e BCH é igual a 2. 
 
2) O lado de um triângulo equilátero T1 mede 10 cm. Qual deve ser a medida do lado de 
outro triângulo equilátero T2 que possui o: 
I) dobro da área de T1? 
II) triplo da área de T1? 
III) quádruplo da área de T1? 
 
3) Na figura ao lado D e E são, respectivamente, os pontos médios dos lados do triângulo AC 
e BC. Qual é a razão entre as áreas dos triângulos DEC e ABC? 
B e c são dois lados e  o ângulo entre 
 
 
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51
 
4) O quadrilátero ABCD é um retângulo cuja a área é obtida pelo produto das medidas da 
base e da altura. Os pontos E, F e G dividem a base AB em quatro partes iguais. Qual é a 
razão entre a área do triângulo CEF e a área do retângulo? 
 
5) A área máxima que pode ter um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10 cm é: 
a) 50 
 b) 70 
c) 35 
d) 57 
e) 25 
6) A, B e C são pontos de uma circunferência de raio 3cm, AB = BC e o ângulo ABC mede 
30º. 
a) Calcule, em cm, o comprimento do segmento AC. 
b) Calcule, em cm2, a área do triângulo ABC. 
 
 
 
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52
7) A área A de um triângulo pode ser calculada pela 
fórmula: onde a, b, c são os comprimentos dos lados e p é o 
semi-perímetro. 
a) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros 
 b) Calcule o comprimento da altura relativa ao lado que mede 21 centímetros. 
 
8) Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram moldados: uma na forma de um 
quadrado, outro na forma de um triângulo equilátero e outro na forma de um círculo. Se Q, T 
e C são, respectivamente, as áreas das regiões limitadas por esses arames, então é verdade 
que: 
a) Q < T < C 
b) C < T < Q 
c) C < Q < T 
d) T < C < Q 
e) T < Q < C 
9)Na figura a seguir P é o ponto médio do segmento AD do paralelogramo ABCD. Calcule a 
área, em m2, do triângulo APB sabendo-se que a área do paralelogramo é 136 m2. 
 
 
 
 
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53
10) Na figura a seguir, o segmento BD é a mediana relativa ao lado å é do triângulo ABC, E e 
F são pontos médios dos segmentos AD e BD, respectivamente. Se S é a área do triângulo 
ABC, então a área da região hachurada é: 
 
a) (1/8).S 
 b) (3/16).S 
 c) (1/4).S 
d) (5/16).S 
 e) (3/8).S 
 
11) Em um quadrilátero convexo ABCD, a diagonal AC mede 12 cm e os vértices B e D 
distam, respectivamente, 3 cm e 5 cm da diagonal AC. 
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita 
b) Calcule a área do quadrilátero. 
 
12) Prove que a soma das distâncias de um ponto qualquer do interior de um triângulo 
eqüilátero a seus três lados é igual à altura desse triângulo. 
 
 
 
 
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54
UNIDADE 9 
Trigonometria 
Objetivo: Identificar as razões trigonométricas e suas aplicações no cálculo de lados de um 
polígono. 
 
Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática 
que estuda os triângulos, particularmente triângulos em um plano onde um dos ângulos do 
triângulo mede 90 graus (triângulo retângulo). Também estuda especificamente as relações 
entre os lados e os ângulos dos triângulos; as funções trigonométricas, e os cálculos 
baseados nelas. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o 
estudo de esferas usando a trigonometria esférica. A trigonometria tem aplicações 
importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática 
aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. 
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo 
retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: 
seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x. 
Função NotaçãoDefinição 
Seno sen(x) 
cossenocos(x) 
 
tangentetan(x) 
 
 
 
 
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55
Relação fundamental 
Para todo ângulo x vale a importante relação: cos²x + sen²x = 1 
No estudo da trigonometria, os ângulos e suas reações trigonométricas com o triângulo 
retângulo são muito trabalhados. Existem alguns ângulos que são trabalhados com mais 
frequência, são chamados ângulos notáveis. 
Esses ângulos são de 30°, 45° e 60°. Os valores dos seus senos, cossenos e tangentes são 
obtidos a partir do triângulo equilátero (com uma de suas alturas) e do quadrado (com uma 
de suas diagonais). 
 Seno Cosseno Tangente 
Ângulos Suplementares: 
sen x = sen (180° – x) 
cos x = - cos (180° - x) 
tan x = - tan (180° - x) 
30° 
 
45° 
 
1 
60° 
 
 
 
 
 
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56
 
Leis dos cossenos 
A lei dos cossenos estabelece uma relação entre um lado do triângulo, seu ângulo oposto e 
os lados que definem este ângulo através da trigonometria. Este teorema é atribuído ao 
matemático persa Ghiyath al-Kashi. 
 
a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cos 
 
 
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Leis dos senos 
A lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos 
arbitrários em um plano. Em um triângulo ABC qualquer, inscrito em uma circunferência de 
raio r. 
 
Exercícios 
1) Complete com (=) , (>) ou (<). 
a) sen 30º ...... sen 45º 
b) cos 30º ...... cos 45º 
c) sen 70º ...... sen 110º 
d) cos 70º ........cos 110º 
e) sen 70º ..... cos 20º 
f) cos 30º ........ sen 60º 
g) cos 120º .......... cos 150º 
h) sen 130º .......... sen 100º. 
 
 
 
 = = = 2r 
 
 
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58
2) Encontre o valor de x em cada caso: 
 
3) A medida x de um ângulo é igual ao triplo da medida do seu suplemento. Nestas 
condições, tg x é igual a: 
a) 1 
 b) /2 
c) 0 
d) - /2 
e) – 1 
 
4) Considere um triângulo de lados p, q e r, sendo que o comprimento de p é 2 metros e o 
comprimento de q é metros. Os lados p e q definem um ângulo de 30º. Calcule o 
comprimento de r. 
 
5) Prove por Lei dos Cossenos que o triângulo equilátero também é eqüiângulo 
 
6) Determine a medida do lado BC de um triângulo em que AB = 8, BAC = 60° e ACB = 45°. 
 
 
 
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59
7) Os lados de um triângulo medem 3 cm, 7 cm e 8 cm. Um de seus ângulos mede: 
 a) 30° 
b) 45° 
c) 60° 
d) 75° 
e) 90° 
 
8) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O co-seno do maior ângulo interno desse triângulo 
vale: 
a) 11/24 
b) - 11/24 
 c) 3/8 
d) - 3/8 
e) - 3/10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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60
 
 
 Tema 1 
Sabemos que a Geometria está presente em diferentes campos da vida humana, seja nas 
construções, nos elementos da natureza ou nos objetos que utilizamos. Por este motivo, os 
Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) e pesquisadores da área da Educação 
Matemática (GÁLVEZ, 1996; SANTALÓ, 1996), de modo geral, recomendam que a escola 
proporcione às crianças o acesso a esse conhecimento, visando à compreensão e à 
interação das mesmas com o mundo em que vivem. 
Suponha que um aluno da 1ª série do ensino médio nunca tenha estudado geometria de 
maneira formal. De que maneira você recuperaria o “tempo perdido”? 
 
 
 
 
 
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61
UNIDADE 10 
Quadrilátero 
Objetivo: Classificar quadriláteros e calcular suas áreas 
 
São polígonos de 4 lados. 
Elementos 
 
Obs.: Uma diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos não sobrepostos, logo podemos 
afirmar que a soma de seus ângulos internos vale 360°. 
 
Classificação 
São classificados a partir do paralelismo entre seus lados opostos. 
I) Trapezóides: Não possuem lados paralelos. 
II) Trapézios: Possuem apenas dois lados paralelos. 
 
 
a) Diagonal: (BD) Une vértices opostos 
b) Ângulo interno: Â 
c) Ângulo externo: Ê 
 
 
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62
 
 
AB: Base maior 
CD: Base menor 
AD e BC: Lados oblíquos (não paralelos) 
MN: Base média (M e N: pontos médios) 
 MN = 
 
Os trapézios são classificados em: 
 
a) Escaleno: Os lados oblíquos não são congruentes. 
A + D = B + C = 180° 
b) Isósceles: Os lados oblíquos são congruentes. 
 
 
 
 
 
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63
A = B e C = D e as diagonais são congruentes. 
c) Retângulo: Um dos lados oblíquos é perpendicular às bases. 
III) Paralelogramos: Possuem lados opostos paralelos. Os paralelogramos são classificados 
em: 
a) Paralelogramo (propriamente dito) ou Rombóide: 
 As diagonais cortam-se ao meio. 
Os lados opostos são congruentes. 
Os ângulos opostos são congruentes. 
 
b)Retângulo: 
As diagonais cortam-se ao meio e são congruentes. 
A = B = C = D = 90° 
c) Losango: 
As diagonais cortam-se ao meio, são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos. 
Os ângulos opostos são congruentes. 
Os lados são todos congruentes. 
d) Quadrado: 
Possui todas as propriedades citadas nos outros paralelogramos. É um polígono 
regular. 
 
 
 
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64
 
Áreas 
Quadrilátero Área 
Retângulo Comprimento x largura 
Quadrado Lado x lado 
Paralelogramo Base x altura 
Trapézio Base média x altura 
Losango Metade do produto das diagonais 
 
Exercícios 
1) Seja ABCD um retângulo cujos lados têm as seguintes medidas: AB = CD = 6 cm e AC = 
BD = 1,2 cm. Se M é o ponto médio de AB, então o raio da circunferência determinada pelos 
pontos C, M e D mede: 
a) 4,35 cm 
b) 5,35 cm 
c) 3,35 cm 
d) 5,34 cm 
e) 4,45 cm 
 
 
 
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65
2) O retângulo a seguir de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da 
razão a/b? 
 
a) 5/3 
b) 2/3 
c) 2 
d) 3/2 
e) 1/2 
 
3) No retângulo ao lado, o valor de α + β é: 
 
a) 50° 
b) 90° 
c) 120° 
 
 
 
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66
 d) 130° 
e) 220° 
 
4) No losango calcule x. 
 
5) Assinale a afirmativa incorreta: 
a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é 
menor do que a outra; 
b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um 
paralelogramo; 
c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas. 
d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em 
quatro triângulos congruentes. 
e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. 
 
6) As bases de um trapézio são 80 cm e 60 cm e sua altura 40 cm. A 10 cm da base maior, 
traça-se uma paralela às bases, que determina dois trapézios. Qual é a área de cada um? 
 
 
 
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67
7) O trapézio isósceles ABCD no qual as bases medem 15 cm e 27 cm. Os lados oblíquos 
AB e CD foram divididos em 4 partes iguais, e pelos pontos de divisão, foram traçados 3 
segmentos paralelos às bases. A soma das medidas dos três segmentos traçados é, em 
centímetros, 
a) 52 
b) 58 
c) 59 
d) 61 
e) 63 
 
8) O quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também 
um quadrado. 
a) Faça uma figura e justifique a afirmação anterior. 
b) Supondo que a área do quadrado menor seja de 72 cm2, calcule o comprimento do 
lado do quadrado maior 
 
9) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um 
ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponha que, em tal trapézio, a medida de β seja 
igual a cinco vezes a medida de α. 
a) Calcule a medida de α, em graus. 
b) Mostreque o ângulo formado pelas bissetrizes de α e β é reto. 
 
 
 
 
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10) A área máxima de um paralelogramo com lados a, b, a, b é: 
a) a2 + b2 
b) 2 ab 
 c) ab 
d) a + b 
e) a/b 
 
 
Antes de dar continuidades aos seus estudos é fundamental que você acesse sua 
SALA DE AULA e faça a Atividade 1 no “link” ATIVIDADES. 
 
 
 
 
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69
UNIDADE 11 
Polígonos 
Objetivo: Identificar os polígonos, calcular ângulos, diagonais, apótemas e áreas 
 
Para um polígono convexo qualquer de n lados: 
Soma dos ângulos Internos 
Si = (n - 2). 180º 
Soma dos ângulos Externos 
Se = 360º 
Número de Diagonais 
D = n(n-3) / 2 
 
 
 
 
 
 
 
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70
Polígonos regulares 
Um polígono é dito regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais. Os polígonos 
regulares são inscritíveis e circunscritíveis. 
 
Apótema 
É a distância do centro ao lado do polígono regular. 
A seguir apresentamos as fórmulas para calcular os lados e os apótemas dos principais 
polígonos regulares inscritos em um círculo de raio r. 
POLÍGONOS APÓTEMAS LADOS 
Triângulo Equilátero r/2 r 
Quadrado (r )/2 r 
Hexágono regular (r )/2 r 
 
Áreas 
De maneira geral, a área de um polígono regular é determinada multiplicando-se o apótema 
pelo semiperímetro. 
Ai + Ae = 180º 
Ângulo interno: Ai = (n – 2). 
180º /n 
 
 
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Obs.: O hexágono regular fica decomposto em 6 triângulos equiláteros quando traçamos 
três diagonais de vértices opostos. Assim, podemos calcular sua área a partir desses 
triângulos. 
 
EXERCÍCIOS 
1) ABCDE é um pentágono regular convexo. O ângulo entre as diagonais AC e AD vale: 
a) 30° 
b) 36° 
c) 45° 
d) 60° 
e) 72° 
 
2) Os lados correspondentes de dois pentágonos semelhantes estão na razão 1/2. Qual é a 
razão entre as suas áreas? Qual é a razão entre os seus perímetros? 
 
3) Dois hexágonos semelhantes possuem áreas iguais a 36 cm² e 64 cm², respectivamente. 
Qual é a razão entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada 
hexágono)? 
 
 
 
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72
4) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 2 cm. A medida 
do lado desse hexágono, em centímetros, é: 
a) 
b) 2 
c) 2,5 
d) 3 
e) 4 
 
5) O ângulo interno de um polígono regular é o triplo do ângulo externo. Qual é esse 
polígono? 
 
6) O apótema de um triângulo equilátero mede 3 cm. Determine o lado do triângulo. 
 
7) Sejam r e R, respectivamente, os raios das circunferências inscrita e circunscrita a um 
polígono regular de n lados. Então, qualquer que seja n, r/R vale: 
a) sen (2π/n) 
b) tg (π/n) 
c) cos (π/n) 
d) sen (π/n) 
e) cos (2π/n) 
 
 
 
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73
8) Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas 
são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede em graus: 
a) 140 
b) 150 
c) 155 
d) 160 
e) 170 
 
9) Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo lado mede 
1,5 cm. Calcule: 
a) O comprimento de cada lado do triângulo. 
b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo. 
 
 
 
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74
UNIDADE 12 
GOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO 
Objetivo: Reconhecer através da leitura desta unidade as posições relativas entre retas e 
planos 
 
A Matemática é a Ciência que estuda os movimentos quantitativos e das formas do Universo. 
Para os movimentos quantitativos se desenvolveu a linguagem numérica. Para as formas do 
Universo, criou-se a linguagem geométrica. 
A Geometria surgiu quando o homem tentou lidar com as formas da natureza, buscando 
representá-las simbolicamente. Já a Geometria Espacial começa quando o homem produz o 
tijolo (ou os blocos de pedra) usado em construções. É quando ele descobre aspectos da 
natureza que até aquele momento não tinha percebido, como o espaço e a sua grandeza, o 
volume. Foi na Grécia Antiga (do século V ao século II a.C.) que grandes pensadores, entre 
eles Pitágoras (570 a.C. a 480 a.C.), iniciaram a grande sistematização e o desenvolvimento 
lógico da linguagem geométrica. 
 
Espaço 
É o marco físico que nos rodeia e em que vivemos. Uma casa, uma poltrona e uma maçã, 
por exemplo, não são corpos geométricos, mas estão no espaço. Os prismas, as pirâmides, 
o cilindro e a esfera são corpos geométricos no espaço. 
 
 
 
 
 
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75
Posições relativas de dois planos no espaço 
Dois planos no espaço podem ser: paralelos ou concorrentes. São paralelos se não têm 
nenhum ponto em comum; e são concorrentes se têm uma reta em comum 
 
Obs.: Podemos considerar planos coincidentes como paralelos pelo mesmo motivo que 
consideramos retas coincidentes como paralelas (relação de equivalência). 
 
Retas reversas: São retas não coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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76
Ângulo diedro 
Se observarmos dois planos concorrentes, veremos que se formam quatro semiplanos. Cada 
uma dessas quatro porções do espaço é um ângulo diedro. Cada semiplano chama-se face e 
a reta de interseção das faces do diedro recebe o nome de aresta. 
 
Sejam n (n > 3) semirretas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo 
semiplano. Essas semirretas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as 
outras semirretas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o 
ângulo poliédrico. 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
 
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1) Sejam π’e π" as faces de um ângulo diedro de 45° e P um ponto interior a esse diedro. 
Sejam P' e P" as projeções ortogonais de p sobre π' e π". Então a medida, em graus, do 
ângulo P'PP" é: 
 
a) 30 
 b) 45 
c) 60 
d) 90 
e) 135 
 
 
2) No cubo da figura, o ângulo entre AD e AF vale: 
a) 15° 
b) 30° 
 
 
 
 
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78
c) 45° 
d) 60° 
e) 90° 
 
3) Considere o cubo da figura adiante. Das alternativas a seguir, aquela correspondente a 
pares de vértices que determinam três retas, duas a duas reversas, é: 
 
a) (A,D); (C,G); (E,H) 
b) (A,E); (H,G); (B,F). 
c) (A,H); (C,F); (F,H). 
d) (A,E); (B,C); (D,H). 
e) (A,D); (C,G); (E,F). 
 
4) É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, 
balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. 
Explique usando argumentos de geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 
pernas. 
 
 
 
 
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79
5) A é um ponto não-pertencente a um plano P. O número de retas que contêm A e fazem 
um ângulo de 45° com P é igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 4. 
e) infinito. 
 
6) Em quantas regiões quatro retas distintas dividem o plano, sabendo-se que não há duas 
retas paralelas nem três concorrentes no mesmo ponto? 
 
7) Considere as afirmações a seguir. 
I. Duas retas distintas determinam um plano. 
II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. 
III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a alguma reta 
do outro. 
É correto afirmar que são verdadeiras: 
a) apenas II 
b) apenas III 
 c) apenas I e II 
 d) apenas I e III 
 
 
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e) I, II e III 
 
8) A soma dos valores das proposições CORRETAS, é: 
 [01]. Dois planos que possuem 3 pontos em comum são coincidentes. 
 [02]. Se duas retas r e s, no espaço, são ambasperpendiculares a uma reta t, então r 
e s são paralelas. 
 [04]. Duas retas concorrentes determinam um único plano. 
 [08]. Se dois planos A e B são ambos perpendiculares a outro plano C, então A e B 
são planos paralelos. 
 [16]. Se duas retas r e s são a um plano A, então r e s são paralelas. 
9) Duas retas são reversas quando: 
a) não existe plano que contém ambas 
b) não são paralelas 
c) existe um único plano que as contém 
 d) não se interceptam 
 e) são paralelas, mas pertencem a planos distintos 
 
10) Sobre pontos, retas e planos, pode-se afirmar: 
(01) Por três pontos, passa uma única reta. 
(02) Por três pontos, passa um único plano. 
(04) Por um ponto fora de um plano, passa uma única reta perpendicular a esse plano. 
 
 
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(08) Planos paralelos interceptam duas retas distintas quaisquer, determinando sobre 
elas segmentos proporcionais. 
(16) O plano que contém uma perpendicular a outro plano é perpendicular a esse 
segundo plano. 
(32) Toda reta paralela a um plano é paralela a qualquer reta desse plano. 
Soma ( ) 
 
 
 
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UNIDADE 13 
Poliedros 
Objetivo: Reconhecer poliedros convexos e suas propriedades; Poliedros de Platão e 
regulares; Identificar planificações de sólidos. 
 
Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço. As regiões planas que 
limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do 
poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região 
poligonal contendo n lados. 
 
Relação de Euller 
Nos poliedros convexos vale a relação: V + F = A + 2. 
É possível calcular o número de arestas de um poliedro a partir dos tipos de faces ou dos 
tipos de vértices que ele possui. Para tal é necessário perceber que toda aresta é comum a 
duas faces e a dois vértices. 
Ex.: Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares , 1 
face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 
 
 
 
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83
A = = 15 
F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7 
V + F = A + 2 ∴ V + 7 = 15 + 2 ∴ V = 10 
 
Soma dos ângulos das faces 
É dada pela fórmula: S = (V – 2). 360° 
Poliedros de Platão 
Possuem duas propriedades: 
a) Em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas; e 
b) Todas as faces possuem o mesmo número de arestas. 
Existem apenas 5 poliedros de Platão: 
Nome Nº de faces Tipo de face Nº de arestas Nº de vértices 
Tetraedro 4 Triângulo 6 4 
Hexaedro 6 Quadrado 12 8 
Octaedro 8 Triângulo 12 6 
Dodecaedro 12 Pentágono 30 20 
Icosaedro 20 Triângulo 30 12 
 
Poliedros regulares 
São os poliedros de Platão cujas faces são polígonos regulares. 
 
 
 
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84
Exercícios 
1) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir, obteremos três 
modelos de figuras espaciais cujos nomes são: 
 
a) tetraedro, octaedro e hexaedro. 
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro. 
c) octaedro, prisma e hexaedro. 
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro. 
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro. 
2) A soma S das áreas das faces de um tetraedro regular em função de sua aresta é: 
a) a2 
b) a2 
c) 4 a2 
d) a2 
e) a2 
 
3) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o 
número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale. 
 
 
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85
a) 6 
b) 4 
c) 5 
d) 12 
e) 9 
 
4) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 
desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número 
de faces desse poliedro é igual a: 
a) 16 
b) 18 
c) 24 
d) 30 
e) 44 
 
5) Unindo-se o centro de cada face de um cubo, por segmentos de reta, aos centros das 
faces adjacentes, obtém-se as arestas de um poliedro regular. Quantas faces tem esse 
poliedro? 
 
6) Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face 
com dez lados. Determine o número de vértices deste poliedro. 
 
 
 
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86
7) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um 
poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices 
deste cristal é igual a: 
a) 35 
b) 34 
c) 33 
d) 32 
e) 31 
 
8) Sobre as sentenças: 
I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas. 
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais. 
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares. 
É correto afirmar que APENAS 
a) I é verdadeira 
b) II é verdadeira 
c) III é verdadeira. 
d) I e II são verdadeiras 
e) II e III são verdadeiras. 
 
 
 
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9) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 
pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta 
do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as 
figuras. 
 Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada 
gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm 
de linha. 
 
Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a: 
a) 7,0 m 
b) 6,3 m 
c) 4,9 m 
d) 2,1 m 
 
10) Em qual das alternativas está a planificação do cubo representado abaixo? 
 
 
 
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88
11) O poliedro acima, com exatamente trinta faces quadrangulares numeradas de 1 a 30, é 
usado como um dado, em um jogo.Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e 
que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada. 
Calcule: 
 
a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 5, ao lançar esse dado 
uma única vez; 
b) o número de vértices do poliedro. 
 
12) Considere o poliedro cujos vértices são os pontos médios das arestas de um cubo. O 
número de faces triangulares e o número de faces quadradas desse poliedro são, 
respectivamente: 
 
a) 8 e 8 b) 8 e 6 c) 6 e 8 d) 8 e 4 e) 6 e 6 
 
 
 
 
 
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UNIDADE 14 
Prismas 
Objetivo: Reconhecer prismas regulares ou não, seus elementos, área e volume; identificar 
Paralelogramos e seus elementos 
 
Um prisma é todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferior paralela e 
congruente (também chamada de base) ligada por arestas. As laterais de um prisma são 
paralelogramos. A nomenclatura dos prismas é dada de acordo a forma das bases. Assim, 
se temos hexágonos nas bases, teremos um prisma hexagonal. O prisma pode ser 
classificado em reto quando suas arestas laterais são perpendiculares às bases, e oblíquo 
quando não são 
Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo 
 
Bases são regiões poligonais congruentes 
 
A altura é a distância entre as bases 
 
Arestas laterais são paralelas com as 
mesmas medidas 
 
Faces laterais são paralelogramos 
 
Objeto Prisma reto Prisma oblíquo 
Arestas laterais Têm a mesma medida Têm a mesma medida 
Arestas laterais São perpendiculares ao plano da base 
São oblíquas 
ao plano da base 
Faces laterais São retangulares Não são retangulares 
 
 
 
 
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90
Área 
Para calcular a área da superfície de um prisma, calcularemos a área das bases e a área das 
laterais (para calcular a área das laterais, calcularemos a área de todos os polígonos laterais 
e somaremos a área de todos eles), e somaremos a duas, formando a área total At ou St. 
 
VolumeJá para calcular o volume, usaremos a seguinte fórmula V = Bh, onde B é a área da base e h 
é a altura do prisma, que corresponde a aresta lateral do prisma. 
 
Prisma regular 
É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. 
 
Planificação 
 
Paralelepípedos 
Paralelepípedo ou bloco retangular é a designação dada a um prisma cujas faces são 
paralelogramos. Um paralelepípedo tem seis faces, sendo que duas são idênticas e paralelas 
Planificação de um prisma hexagonal 
 
 
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entre si. Os paralelepípedos podem ser retos ou oblíquos, desde que as suas faces laterais 
sejam perpendiculares ou não à base. 
 
Em geometria um 'paralelepípedo' é uma forma tridimensional cujas 6 faces são 
paralelogramos. O paralelepípedo pode ser definido de três formas distintas: 
É um prisma cuja base é um paralelogramo; 
É um hexaedro do qual cada face é um paralelogramo; 
É um hexaedro com três pares de faces paralelas. 
 
Paralelepípedo reto 
 
I) Diagonal: D2 = a2 + b2 + c2 
II) Área total: St = 2(ab + ac + bc) 
III) Volume: V = abc 
 
 
Paralelepípedo 
oblíquo 
a, b e c são chamados 
dimensões 
 
 
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Exercícios 
1) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área 
lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em cm2, é: 
a) 27 
b) 13 
c) 12 
d) 54 
e) 17 
 
2) Uma piscina de forma retangular tem 8 m de largura, 15 m de comprimento, 0,9 m de 
profundidade num de seus extremos e 2,7 m de profundidade no outro extremo, sendo seu 
fundo um plano inclinado. Calcule o volume da água da piscina quando a altura do nível da 
água é de 0,6 m na extremidade mais funda. 
 
3) Uma caixa d'água com a forma de um paralelepípedo reto de 1 m x 1 m de base e /2 m 
de altura, está sobre uma laje horizontal com água até a altura h. Suponhamos que a caixa 
fosse erguida lateralmente, apoiada sobre uma das arestas da base (que é mantida fixa), 
sem agitar a água. Assim sendo, a água começaria a transbordar exatamente quando o 
ângulo da base da caixa com a laje medisse 30°. Calcular a altura h. 
 
4) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são 
levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo 
reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é: 
 
 
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a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
 
5) De uma viga de madeira de seção quadrada de lado 10 cm extrai-se uma cunha de altura 
15 cm, conforme a figura.O volume da cunha é, em cm2 
a) 250 
 b) 500 
c) 750 
d) 1000 
 e) 1250 
 
6) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. 
Na figura a seguir, são dadas as dimensões, em metros, do prisma. (O volume desse tanque, 
em metros cúbicos, é 
 
 
 
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a) 50 
 b) 60 
 c) 80 
d) 100 
 e) 120 
7) Uma chapa metálica retangular com 500 cm de comprimento e 120 cm de largura deve 
ser dobrada, conforme a figura, para obter-se uma calha. Quais devem ser as medidas a e b 
para que a vazão nessa calha seja a maior possível? 
a)a= 60 cm, b = 60 cm 
b) a = 50 cm, b = 35 cm 
c) a = 40 cm, b = 40 cm 
d) a = 80 cm, b = 25 cm 
e) a = 60 cm, b = 30 cm 
 
 
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UNIDADE 15 
Cubos 
Objetivo: Reconhecer o cubo e seus elementos; cubo inscrito e circunscrito a esferas 
É o paralelepípedo de faces quadradas. 
Planificações do cubo 
 
Seções 
Atividade 1: Completar a tabela abaixo 
Polígonos que resultam de cortes planos num cubo 
Secção Posição do plano de corte 
Triângulo Corta apenas 3 faces do cubo 
Triângulo equilátero 
Triângulo isósceles 
Triângulo escaleno 
D = a 
St = 6 a2 
V = a3 
 
 
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Quadrilátero Corta... 
Trapézios isósceles Paralelo a uma diagonal facial 
Trapézios retângulos Não existem, a não ser dando retângulos 
Paralelogramo 
Retângulos 
Quadrado 
Losango Paralelo a uma diagonal facial e ... 
Pentágono Corta... 
Hexágono Corta... 
Hexágono regular 
 
Cubo inscrito em uma esfera 
A diagonal do cubo (a) é igual ao diâmetro da esfera de raio r (a = 2r) 
 
Cubo circunscrito a uma esfera 
A aresta do cubo (a) é igual ao diâmetro da esfera de raio R (a = 2R) 
 
 
 
 
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Exercícios 
1) Um paralelepípedo reto retângulo e um cubo possuem o mesmo volume. Qual a medida 
da aresta do cubo se as dimensões do paralelepípedo estão em PG de razão 2 e a menor 
dimensão mede 2dm? 
a)4 dm 
b) 6 dm 
c) 8 dm 
d)2 dm 
e)3 dm 
 
2) Ao serem retirados 128 litros de água de uma caixa d'água de forma cúbica, o nível da 
água baixa 20 centímetros. 
a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa. 
b) Calcule sua capacidade em litros (1 litro equivale a 1 decímetro cúbico). 
 
 
3) Sendo ABCDA'B'C'D' um cubo, calcular o seno do ângulo α 
 
 
 
 
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4) O sólido representado na figura a seguir é formado por um cubo de aresta de medida x/2 
que se apóia sobre um cubo de aresta de medida x. O volume de sólido representado é 
dado por: 
 
a) 9x3/8 
b) x3/8 
c) 3x3 
d) 3x3/2 
e) 7x3 
 
5) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros, é: 
a) 0,8 
b) 6 
c) 60 
d) 60 
e) 900 
 
 
 
 
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6) Empilham-se cubos A para formar um cubo maior B, parte do qual está representada na 
figura a seguir. Pessoas querem calcular o volume de B tomando o volume de A como 
unidade. Uma delas procede corretamente. 
A outra conta com o número maior de quadrados que aparecem em cada uma das faces de 
B e diz que o volume é a soma dos números que obteve. Sabe-se que ambas acharam o 
mesmo resultado. Qual é a relação dos volumes dos cubos A e B? 
 
7) Na figura a seguir, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + 
) cm. Calcule o volume do cubo em cm2. 
 
8) Uma empresa produz embalagens para cosméticos. A embalagem deve ter a forma cúbica 
com volume de 68,94 centímetros cúbicos. A dimensão das arestas da embalagem (em cm) 
é: [Dados: log 68,94 = 1,838 ; 10a = 4,1 e a = 0,613] 
a) 1,8 
b) 4,1 
c) 4,5 
 
 
 
 
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100
d) 3,5 
e) 5,0 
 
9) Seja C um cubo cujo lado mede 5 cm e α um plano contendo duas diagonais de C. 
Particiona-se C em 125 cubos com lado medindo 1 cm através de planos paralelos às faces 
de C. O plano α contém o centro de quantos destes 125 cubos com lado medindo 1 cm? 
10) Dobrando-se a planificação abaixo, reconstruímos o cubo que a originou. A letra que fica 
na face oposta à que tem um X é: 
 
a) V 
 b) O 
 c) B 
 d) K 
 
 
 
 
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101
UNIDADE 16 
Cilindros 
Objetivo: Reconhecer cilindros retos e oblíquos, calcular áreas e volumes; identificar as 
seções planas. 
 
São os sólidos determinados por dois círculos de mesmo raio situados em planos paralelos. 
Em um cilindro, podemos identificar vários elementos: 
a) Base: É um círculo. Num cilindro existem duas bases. 
b) Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do cilindro. No cilindro 
reto esse eixo recebe o nome de eixo de rotação. 
c) Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que 
contêm as bases do cilindro. 
d)