Aula 5 - Cap05 - Carregamento transversal

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CAPÍTULO
Terceira Edição
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Terceira Edição
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Terceira Edição
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
Carregamento 
Transversal
R
esistên
cia
d
o
s M
ateriais
5 - 2
Capítulo 5 – Carregamento Transversal
5.1 – Introdução
5.2 – Carregamento Transversal
5.3 – Distribuição de Tensões Normais
5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal 
5.5 – Tensões de Cisalhamento τxy em uma Viga
5.6 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas de Seções 
Transversal Retangulares
5.7 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas com Perfil em 
forma de I ou de Abas Largas
5.8 – Tensões Combinadas
R
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5.1 – Introdução
• Serão analisadas tanto as tensões normais quanto as tensões de 
cisalhamento em barras prismáticas sujeitas a carregamentos transversais.
• As cargas podem ser:
 Concentradas;
 Distribuídas; ou
 Uma combinação de ambas. 
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5.2 – Carregamento Transversal
 Flexão simples: quando o carregamento transversal produz, ao 
mesmo tempo, momento fletor e esforço cortante em seções 
transversais da viga.
 Flexão pura: há apenas o momento fletor (Cap. 04).
• Cargas transversais aplicadas em barras, produzem tensões normais 
e de cisalhamento nas diversas seções transversais. 
• Seja a viga AB em balanço:
Da estática, em C: 
0N
V P
M Px



R
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5.2 – Carregamento Transversal
 
 
0 0
0
0
x x x xz xy
y xy y x
z xz z x
F dA M y z dA
F dA V M z dA
F dA M y dA M
  
 
 
    
    
    
 
 
 
• A distribuição das tensões normais e de cisalhamento satisfazem as 
condições: 
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5.2 – Carregamento Transversal
• Seja um cubo elementar localizado no plano vertical de simetria (τxz = 0)
• Quando tensões de cisalhamento atuam 
nas faces verticais de um elemento, 
tensões iguais devem atuar nas faces 
horizontais, para que haja o equilíbrio 
• Tensões de cisalhamento longitudinal
devem atuar em qualquer elemento 
submetido a cargas transversais.
Flexão pura: não há τ
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5.3 – Distribuição de Tensões Normais
• Considerando que a distribuição de tensões normais em uma certa seção 
transversal não fica afetada pelas deformações provocadas pelas tensões 
de cisalhamento.
• Do Cap. 4:
x
z z
My Pxy
I I
    
R
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• Seja a viga prismática:
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5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal 
Forças que atuam 
numa porção da viga 
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5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal 
• Para o equilíbrio do elemento: 
 0x C D
a
D C
z a
F H dA
M M
H y dA
I
     

 
 

S
a
M y dA ay 
A integral representa o momento estático 
da área acima da linha y = y1, em relação à 
L.N.
a - área sombreada da seção 
transversal;
- distância do seu centróide a L.N.y
O raciocínio também poder ser feito para a área abaixo da linha y = y1.
• Seja a viga prismática:
R
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5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal 
• Logo:
Chamando:
.
S
z
S S
z z
M
H M
I
dH dM M V M
dx dx I I

 
 
• Seja a viga prismática:
.
fluxo de cisalhamento (N/m)
S
z
H V M
q
x I
q

 


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S
z
H VM
q
x I

 

• Fluxo de cisalhamento
Com:
2
'
S
a
z
a a
M y dA ay
I y dA

 



• O mesmo resultado é encontrado para a área abaixo
0
S
z
S S
H VM
q q
x I
M M
H H
     

 
  
5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal 
R
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Exemplo 5.1
Uma viga de madeira é construída de três peças de seção transversal 
20mm × 100mm, que são fixadas umas às outras por meio de pregos. 
O espaçamento entre os pregos, ao longo do comprimento da viga, é 
de 25mm. Sabendo-se que a viga está submetida a uma força cortante 
V = 500 N, determinar a força de corte em cada prego. 
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5.5 – Tensões de Cisalhamento τxy em uma Viga
• A tensão média de cisalhamento na face 
horizontal do elemento
S S
med
z z
H q x VM x VM
A A I t x I t
      
  
• As tensões de cisalhamento em um plano 
transversal são iguais as tensões em um 
plano horizontal (xy=yx).
• Se a largura da viga é bem maior que sua 
altura, a tensão de cisalhamento em D1 e
D2 é significativamente maior que em D.
R
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• Seja uma viga retangular, ;
4
S S
xy
z z
h VM VM
b
I t I b
  
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5.6 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas de Seções 
Transversal Retangulares
2
2
max
3
1
2
3
0
2
xy
V y
A c
V
y
A


 
  
 
  
 
 
 
2 2
33
3
e
2 2
2
2 2
12 12 3
S
z
c y y c
y y A b c y
b c y
M A y
b cbh
I bc
      

 
  
Tem-se que,
Fazendo substituições, e para 2A bc
S.N.
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5.7 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas com Perfil em 
forma de I ou de Abas Largas
• Considerando novamente a equação:
 Em pontos da seção aa’, a largura t é a largura da aba;
 Em pontos da seção bb’, a largura t é a largura da alma;
S
med
z
VM
I t
 
L.N.
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Exemplo 5.2
A viga AB é constituída por três peças coladas e está submetida ao 
carregamento indicado, que atua no seu plano de simetria. Determinar 
a tensão de cisalhamento média nas juntas da seção nn da viga. A 
figura indica a posição do centróide da seção transversal. 
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Exemplo 5.3
Uma peça de máquina com perfil em forma de T fica submetida ao 
carregamento indicado em seu plano de simetria. Determinar: (a) a 
máxima tensão de compressão na seção nn; (b) a máxima tensão de 
cisalhamento. 
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5.8 – Tensões Combinadas
• Nos capítulos anteriores analisamos as tensões causadas em barras sob 
carga axial, em eixos circulares sob torção e em vigas sob flexão com 
esforço cortante. 
• Veremos agora a determinação das tensões em estruturas ou elementos 
de máquinas sob a ação combinada dos carregamentos estudados.
• Seja a barra encurvada submetida à ação de várias força.
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5.8 – Tensões Combinadas
Tensões em um ponto K:
1. Passar uma seção transversal em K;
2. Determinar o sistema de forças e momentos em relação ao centróide C
da seção.
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5.8 – Tensões Combinadas
Princípio da Superposição:
tensões normais: P, My e Mz
tensões de cisalhamento: T, Vy e Vz.
Condições de aplicabilidade do princípio:
a) Tensões devem estar dentro do limite de proporcionalidade do material;
b) A deformação provocada por um certo carregamento não deve afetar a 
determinação das tensões devidas a outro carregamento;
c) Seção em estudo não deve estar muito próxima de nenhum ponto de 
aplicação das cargas.
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Exemplo 5.4
Duas forças P1 e P2 são aplicadas nas extremidades A da barra AB. 
Essa barra é soldada à peça cilíndrica BD de raio c = 20 mm. 
Determinar a tensão normal e a tensão de cisalhamento nos pontos H
e K do cilindro.
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Exemplo 5.5
Três forças são aplicadas 
nos pontos A, B e D de uma 
peça metálica. A seção 
transversal horizontal é 
retangular medindo 40x140 
mm. Determinar a tensão 
normal e a tensão de 
cisalhamento no ponto H da 
seção.