Funções Compostas e Inversas - Resumo Teórico

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Davi Lopes
assunto: Funções compostas e Funções inversas
frente: matemática ii
005.031 – 131044/18
AULAS 20 A 23
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Função Composta
Sejam f : A → B e g : B → C duas funções. Definimos a 
composta de f com g como sendo a função g º f : A → C, definida 
por (g º f)(x) = g(f(x)), para todo x ∈ A.
B
g o f
f(g(x))
CA
x
f g
f(x)
Note que, para que exista g º f, é necessário que o 
contradomínio de f seja igual ao domínio de g.
Fato útil: Se f (g(x)) = h(x) e h é uma função bijetora, então g é uma 
função injetora e f é uma função sobrejetora.
Função inversa
Seja f : A → B uma função i
x
: x → x a função identidade 
em x (ou seja, f(x) = x, para todo x em x). Se existir uma função 
g: B → A tal que:
g o f = i
A
 e f o g = i
B
A
x y
g
f
B
Dizemos que f é inversível e que g é a função inversa de f. 
Denominamos ainda g = f–1 (pode-se provar que a inversa, se existir, 
é única).
Fato útil 1: A função f é inversível se, e somente se, f é uma função bijetora.
Fato útil 2: Os gráficos de f e f–1 são simétricos em relação à reta y = x.
Exercícios
01. Se a função f definida por f(x) = 
cx
x2 3+
, x ≠ –
3
2
, c constante, 
satisfaz f(f(x)) = x, para todos os números reais x ≠ – 
3
2
, então c é:
A) –
3
2
 B) –3
C) 
3
2
 D) 3
E) NDA
02. Se f for uma função real tal que f
x
x
−
+






1
1
 = x + 3, então f(x) é 
definida por:
A) 
4 2
1
−
−
x
x
 B) 4 2
1
x
x
+
+
C) 
2 1
1
x
x
+
−
 D) 
2 1
1
x
x
−
−
E) 4 2
1
+
−
x
x
03. Determine a função inversa de f(x) = 
x
x
−1
.
A) 
1
1− x
 B) 
1
1+ x
C) 
1
1
−
+
x
x
 D) 
1
1
+
−
x
x
04. Sejam A, B, C subconjuntos não vazios do conjunto R. Sejam as 
funções f : A → B, g : C → A e f o g: E → K. Então, os conjuntos 
E e K são tais que:
A) E ⊂ A e K ⊂ D B) E ⊃ C, E ≠ C e K ⊂ B
C) E ⊂ B e K ⊃ A D) E ⊂ C e K ⊂ B
E) NDA
05. Seja f a função definida por f(x) = 
3 2
4 1
x
x
+
−
, onde x ≠ 
1
4
. Os valores 
de a e b tais que f–1(x) = 
x
ax b
+
+
2
 são:
A) a = 3, b = 4 B) a = –4, b = 3
C) a = 4, b = – 3 D) a = 4, b = 3
E) a = –4, b = – 3
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Módulo de estudo
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06. Se f e g são funções de R em R definidas por f(3x + 2) = 
3 2
5
x −
 
e g(x – 3) = 5x – 2, então (f º g)(x) é:
A) 
x − 4
5
 B) 
5 9
5
x +
C) 5x +13 D) 
5 11
5
x +
E) NDA
07. Sejam A e B subconjuntos não vazios de R e f : A → B, g : B → A 
duas funções tais que f o g = i
B
. Então, podemos afirmar que:
A) f é sobrejetora.
B) f é injetora.
C) f é bijetora.
D) g é injetora e par.
E) g é bijetora e ímpar.
08. Seja f : R → R dada por f(x) = 
3 3 0
4 3 02
x x
x x x
+ ≤
+ + >



,
,
. Então:
A) f é bijetora e (f º f) 
−





2
3
 = f–1 (21).
B) f é bijetora e (f º f) 
−





2
3
 = f–1 (99).
C) f é bijetora e (f º f) 
−





2
3
 = f–1 (3).
D) f é bijetora e (f º f) 
−





2
3
 = f–1 (–3)
E) NDA
09. Seja f : R → R uma função tal que 2f (x) + f(1 – x) = 1 + x, para 
todo x real. Então, f(x) é igual a:
A) 2x – 1 B) 2x – 
1
3
C) x D) 2x + 1
E) 2x + 
1
3
10. Seja f
1
(x) = 
1
1− x
 e f
n
(x) = f
1
(f
n–1
(x)), para todo inteiro n ≥ 2. O valor 
de f
1992
(1992) é:
A) –
1
1992
 B) – 
1
1991
C) 
1991
1992
 D) 1991
E) 1992
11. Seja f : R → R uma função tal que f(x) = x2 – 3x + 4. Quantas 
soluções reais tem a equação f (f(... f(x))) = 2, onde f é aplicada 
2002 vezes?
A) 0 B) 
C) 2 D) 2002
E) 4004
12. Seja f : R → R uma função dada por f(x) = x3 – 4x2 + 4. A soma 
das abscissas dos pontos de interseção dos gráficos dessa função 
e de sua relação inversa é:
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) Maior que 4
13. Sejam os conjuntos A = {x ∈ R  x ≥ 1} e B {y ∈ R  y ≥ 2} e a 
função de A em B definida por f(x) = x2 – 2x + 3. Assinale a opção 
que corresponde à inversa de f:
A) f–1: B → A, f–1(x) = 1 – x − 2
B) f–1: B → A, f–1(x) = 1 + x − 2
C) f–1: B → A, f–1(x) = 2 – x −1
D) f–1: B → A, f–1(x) = 2 + x −1
E) f–1: B → A, f–1(x) = 1 + x + 2
14. Para todo n natural definimos a função f por f(n) = n
2
, se n é par, 
e f(n) = 3n + 1, se n é ímpar. O número de soluções da equação 
f(f(f(f(n)))) = 16 é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
15. Se f : R → R é uma função tal que, para todo x ∈ R, 
f(x) (f(x) – x) = 0, então:
A) f é a função nula.
B) f é a função identidade.
C) f é a função nula ou a função identidade.
D) há 4 possíveis funções f.
E) há infinitas funções f.
16. Seja f : N → q uma função dada por f(x) = 
2 1
3 4
x
x
+
−
. Analise as 
afirmativas.
I. f é injetora;
II. f é sobrejetora;
III. f é inversível e f–1(x) = 
4 1
3 2
x
x
+
−
;
IV. f possui exatamente uma raiz.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
17. Suponha que f(x + 3) = 3x2 + 7x + 4 e f(x) = ax2 + bx + c. Qual é 
o valor de a + b + c?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
18. Considere as funções f, g : R → R tais que f é par e g é ímpar. 
Analise as afirmações:
I. f º g º f º g º ... º g º f (1006 f e 1005 g) é par;
II. f + g + f + g + ... + g + f (1006 f e 1005 g) é ímpar;
III. f · g · f · g ... g · f (1006 f e 1005 g) é ímpar;
IV. A inversa de g, se existir, é uma função ímpar.
Quantas são verdadeiras?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
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Módulo de estudo
19. Seja f(x) = senh x = 
e ex x− −
2
, definida em R. Se g for a função 
inversa de f, o valor de e
g
7
24






 será:
A) e
4
3 B) e
4
5
C) 
4
3
 D) 
4
5
E) NDA
20. Dizemos que ω é um ponto fixo de uma função f se ω pertence 
ao domínio e ao contradomínio de f, e se f(ω) = ω. Se f : R → R, 
f(x) = x2 – 1, então podemos afirmar que: 
A) 1 é ponto fixo de f.
B) Se ω é ponto fixo de f, então ω também é ponto fixo de f º f.
C) f possui infinitos pontos fixos.
D) Os pontos fixos de f º f são 0 e ± 2 .
E) NDA
21. Sabendo que f : R → R, f(x) = x3 – 3x2 + 5x – 1 é uma função 
estritamente crescente, o valor de a, tal que f–1 (a) = 1, é igual a:
A) 2
B) –2
C) 0
D) 1
E) NDA
22. Considere as funções reais f e g definidas por f(x) = 1 2
1 2
+
−
x
x
 
(x ≠ ± 1) e g(x) = x
x
x
1 2
1
2+
≠ −




 . O maior subconjunto de R 
onde pode ser definida a composta f º g tal que (f º g) (x) < 0 é: 
A) − −





1
2
1
3
; B) (1; + ∞)
C) (– ∞; –1) ∪ −






1
2
1; D) (–∞; – 1) ∪ − −





1
3
1
4
;
E) − −




 ∪ − −





1
1
2
1
3
1
4
; ;
23. Dizemos que uma função f é idempotente quando existe n > 1 
inteiro tal que fn(x) = f(x), sendo f1(x) = f(x) e fk(x) = f(fk–1(x)), 
para todo k > 1 inteiro. Qual das funções a seguir não é 
idempotente?
A) f(x) = x B) f(x) = 
1
1− x
C) f(x) = x
x
−
+
3
1
 D) f(x) = 
x
x1−
E) f(x) = 
1
x
24. Sejam as funções f : R → R e g : A ⊂ R → R tais que f(x) = x2 – 9 
e (f º g)(x) = x – 6, em seus respectivos domínios. Então, o domínio 
máximo A da função g é:
A) [–3, + ∞)
B) R
C) [–5, + ∞)
D) (–∞, –1)
E) [3, + ∞)
25. Considere as informações
I. Existe f : R → R função par e invertível;
II. Se f : R → R é uma função estritamente crescente e 
sobrejetoras, então f–1 : R → R é uma função estritamente 
crescente;
III. Se f, g : R → R são funções pares, enão a composição g º f é 
uma função par;
IV. Se f, g : R → R são funções tais que f º g é bijetora, então f é 
sobrejetora e g é injetora.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4 
26. Seja f(x) = 
x
x x
i
3
21 3 3− +
. Calcule:
A) f(x) + f(1 – x)
B) S
x
x x
i
i
i i
=
− +=∑ 0
2015
3
21 3 3
, sendo x
i
 = 
i
2015
27. Seja D o conjunto dos números complexos com módulo menor 
que 1. Considere a função f : D → C – {1} dada por f(z) = 
z i
z i
−
+
. 
Mostre que a parte imaginária de f º f é positiva. 
28. Seja f : R → R uma função estritamente crescente tal que 
f2018(x) = x, para todo x real. Prove que f(x) = x, para todo real x.
29. Determinar f sabendo que f(x) + f
1
1−





x
 = x,x ≠ 0,1.
30. Para x ≠ 1 real, seja f(x) = 
1
1 20112011 − x
. Calcule [f(f(...f(2011)))]2011, 
onde f aparece 2010 vezes. 
Gabarito
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
B A A D C B A B C E
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C E B C E B D D C B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
A E D A D * – – * *
*26.
A) 1
B) 1008
27. Demonstração
28. Demonstração
29. f(x) = x x
x
3 1
2 1
− +
−(x )
30. 20112011
SU
PE
RV
IS
O
R/
D
IR
ET
O
R:
 M
A
RC
EL
O
 P
EN
A
 –
 A
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S 
ED
U
A
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TH
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