Matrizes e Operações Básicas

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): Davi Lopes
assunto: Matrizes e operações Básicas
frente: MateMática ii
010.237 – 136004/19
AULAS 39-41
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Matrizes e Operações Básicas
1. Definição de Matrizes:
Matriz é a tabela em que cada elemento dela corresponde a 
um número. Em símbolos matemáticos, A
(m×n)
=(a
ij
) (ou [a
ij
], podemos 
usar tanto parênteses quanto colchetes para representar as matrizes) 
representa a matriz A, de m linhas e n colunas, cujo elemento na 
linha i e coluna j é a
ij
.
Ex.: A aij3 4 3 4
2 4 6 8
3 5 9
4 6 8 10
7× ×= ( ) =








, onde a
ij
 = i + 2j
Ex.: B bij3 2 3 2
2 1
1 2
1 1
× ×
= ( ) =








, onde b
se i j
se i jij
= =≠{21,,
Caso os elementos de uma matriz A pertençam a um conjunto 
numérico K e esta tenha m linhas e n colunas, escreve-se A∈M
m×n
 (K). 
Por exemplo, A∈M
2×3
 () significa que A é uma matriz 2×3 
cujos elementos (também chamados de entradas) são números 
complexos.
2. Operações Básicas Entre Matrizes:
• Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A
m×n
=(a
ij
) e B
p×q
=(b
ij
 ) são iguais se, e somente 
se, possuem a mesma quantidade de linhas e a mesma quantidade de 
colunas (m = p e n = q) e, além disso, os elementos de cada uma das 
respectivas linhas e colunas são iguais (a
ij 
= b
ij
, para todos 1 ≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n).
Ex: Se A = 


1 2 3
4 5 6
, B
m×n = (bij) e se A = B, então m = 2, n = 3 e b11 = 1, 
b
12 
= 2, b
13
 = 3, b
21
 = 4, b
22
 = 5, b
23
 = 26
• Soma de Matrizes
Dadas duas matrizes A
m×n
 = (a
ij
) e B
m×n
 = (b
ij
), com o mesmo 
número de linhas e colunas, definimos a soma de A e B sendo a 
matriz S
m×n
 = (s
ij
), em que s
ij 
= a
ij 
+ b
ij
, para todos 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. 
Representamos ainda S = A + B.
 De modo semelhante, definimos a subtração de A por B 
sendo a matriz D
m×n
 = (d
ij
 ), em que d
ij 
= a
ij 
– b
ij
, para todos 1 ≤ i ≤ m, 
1 ≤ j ≤ n. Representamos ainda D = A – B.
Ex.: A B=








=








⇒
1 4
9 16
25 36
1 2
3 4
5 6
;
 
⇒ + =
+ +
+ +
+ +








=








A B
1 1 4 2
9 3 16 4
25 5 36 6
2 6
12 20
30 42
;
 
A B− =
− −
− −
− −








=








1 1 4 2
9 3 16 4
25 5 36 6
0 2
6 12
20 30
• Multiplicação de Matriz por Escalar
Dada uma matriz A
m×n
 = (a
ij
) e um número complexo α (que 
será chamado escalar), definimos a multiplicação de A pelo escalar α, 
sendo a matriz αA = (αa
ij
)
m×n
.
Ex.: A A=








⇒ =
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅








=
1 4
9 16
25 36
3
3 1 3 4
3 9 3 16
3 25 3 36
3 12
27 448
75 108








• Multiplicação de Matriz por Matriz
Dadas duas matrizes A
m×n
 = (a
ij
) e B
n×p
 = (b
ij
) (a quantidade de 
colunas de A precisa ser igual à quantidade de linhas de B, para que 
a multiplicação entre matrizes tenha sentido), definimos o produto AB 
como uma matriz P
m×p
 = (p
ij
), em que:
p a bij
k
n
ik kj=
=
∑
1
Observe que p
ij
 é o produto escalar dos “vetores” formados 
pela i-ésima linha de A e pela j-ésima coluna de B.
Ex: A B=








= 


1 2
3 4
5 6
7 9
8 10
11 13
12 14
;
AB =
⋅ + ⋅( ) ⋅ + ⋅( ) ⋅ + ⋅( ) ⋅ + ⋅( )
⋅ + ⋅( ) ⋅ +
1 7 2 8 1 9 2 10 1 11 2 12 1 13 2 14
3 7 4 8 3 9 4 ⋅⋅( ) ⋅ + ⋅( ) ⋅ + ⋅( )
⋅ + ⋅( ) ⋅ + ⋅( ) ⋅ + ⋅( )
10 3 11 4 12 3 13 4 14
5 7 6 8 5 9 6 10 5 11 6 12 55 13 6 14⋅ + ⋅( )








AB =








23 29 35 41
67 81 95
83 105 127 149
53
2F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
010.237 – 136004/19
2. Matrizes Notáveis e Outras Definições:
• Matriz Linha
Denominamos matriz linha (ou vetor linha) toda matriz que 
possui apenas uma linha, ou seja, 1× n. 
Ex.: 1 2 4 11 6 17[ ] −[ ] −[ ]; ; ; .etc
• Matriz Coluna
Denominamos matriz coluna (ou vetor coluna) toda matriz que 
possui apenas uma coluna, ou seja, n × 1. 
Ex.: 1
2
4
11
6
17
[ ] −



−








; ; ; .etc
• Matriz Quadrada de Ordem n
Matriz Quadrada de ordem n é toda matriz que possui n linhas 
e n colunas.
Ex.: A matriz abaixo é quadrada de ordem 4.
2 2
3 4
1 6
6 3
0 5
1 5
8 3
7 9










• Matriz Nula
Matriz nula é qualquer matriz cujas entradas são todas iguais a 0. 
Representamos ainda O
n
 como a matriz nula quadrada de ordem n.
Ex.: 0
0
0
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 02 3[ ] 



[ ]








= 

 =; ; ; ; ,
00 0 0








• Matriz Identidade de Ordem n
Definimos a matriz identidade de ordem n como a matriz 
quadrada de ordem n, dada por I
n 
= (a
ij
 ), em que a
ij 
= 0, se i ≠ j e a
ij 
= 1, se i = j. 
Ex.: I I I1 2 31
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= ( ) = 

 =








; ;
Observe que I
n
 funciona como o elemento neutro da 
multiplicação de matrizes, ou seja, para todas as matrizes quadradas 
A
n×n
, temos AI
n 
= I
n
 A = A.
• Diagonal Principal e Diagonal Secundária
Dada uma matriz quadrada A = (a
ij
)
n×n
, definimos sua diagonal 
principal como o conjunto {a
11
, a
22
,…, a
nn
}, e sua diagonal secundária 
como o conjunto {a
n1
, a
(n–1)2
,…, a
1n
}. 
Ex.: A =








1 2 3
4 5 6
7 8 9
A diagonal principal é {1, 5, 9} e a diagonal secundária é {3, 5, 7}.
• Traço de uma Matriz Quadrada
Dada uma matriz quadrada A
n×n
 = (a
ij
), definimos o traço de A 
como Tr(A) = a
11 
+ a
22 
+... + a
nn
. 
Ex.: A Tr A=








( ) = + + =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
1 2 3 6;
• Matriz Transposta
Dada uma matriz A
m×n
 = (a
ij
), definimos a transposta de A como 
a matriz AT = (a’
ij
 )
n×m
, em que a’
ij
 = a
ji
, ou seja, na matriz transposta, 
trocamos as linhas por suas respectivas colunas e vice-versa. 
Ex.: A AT=








= 


1 2
3 4
5 6
1 3 5
2 4 6
;
• Matriz Simétrica
Uma matriz A é simétrica se A = AT. 
Ex.: 
4 1 2
1 5 3
2 3 6








• Matriz Antissimétrica
Uma matriz A é antissimétrica se A = –AT. 
Ex.: 
0 1 2
1 0 3
2 3 0
− −
−








Note que, em toda matriz antissimétrica, os elementos da diagonal 
principal são nulos.
• Matriz Diagonal
Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos 
fora da diagonal principal são todos nulos. 
Ex.: 
1 0 0
0 2 0
0 0 3








• Matriz Escalar
Uma matriz escalar é uma matriz quadrada cujos elementos 
fora da diagonal principal são todos nulos, e todos os elementos da 
diagonal principal são iguais entre si, ou seja, uma matriz diagonal é 
uma matriz da forma αI
n
, para um natural n e para uma constante α. 
Ex.: 
2 0 0
0 2 0
0 0 2








• Matrizes Comutativas
Duas Matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Observe que, 
em geral, duas matrizes não são comutativas.
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010.237 – 136004/19
Módulo de estudo
• Matrizes Anticomutativas
Duas Matrizes A e B são anticomutativas se AB = – BA. Observe 
também que, em geral, duas matrizes não são anticomutativas.
• Matriz Inversa
Dizemos que uma matriz quadrada A
n×n
 é inversível se existe 
uma matriz A–1 tal que AA–1 = A–1 A = I
n
. Nesse caso, chamamos A–1 a 
inversa de A. Por exemplo:
Ex.: A A= 

 = −










−1 3
2 0
0
1
2
1
3
1
6
1;
Observe que nem todas as matrizes são inversíveis.
• Matriz Ortogonal
Uma matriz quadrada A é ortogonal se sua transposta é igual 
à sua inversa, ou seja, AT = A–1 (ou AAT = I). Por exemplo, a matriz 
abaixo é ortogonal:
Ex.: 
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
−









 −










−








; . 

= 


1 0
0 1
• Matriz Involutiva
Uma matriz quadrada A é involutiva se ela é igual à sua inversa, 
ou seja, A = A–1 (ou A2 = I). 
Ex.: 
1 1
0 1
1 1
0 1
1 0
0 1
2−
−




−
−



 =


;
• Matriz Idempotente
Uma matriz quadrada A é idempotente se A2 = A. 
Ex.: 
1 0 0
0 0 0
0 0 1








• Matriz Periódica
Uma matriz quadrada A é periódica (de período k, ou até 
mesmo k-periódica) se Ak+1 = A. 
Por exemplo, a matriz abaixo é periódica, de período 4 (i2 = –1).
i
i
i
i
i
i
0 0
0 0
0 0 1
0 0
0 0
0 0 1
0 0
0 0
0 0 1
5
−








−








= −








;
• Matriz Nilpotente
Uma matriz quadrada A é nilpotente se existe um natural n 
tal que An = 0. 
Ex.: 
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
3
















=








;
4. Propriedades Úteis:
• Traço de Matrizes
1. Tr(aA + bB) = a · Tr(A) + b · Tr(B) (a, b ∈ C)
2. Tr(AB) = Tr(BA)
• Matrizes Simétricas
1. (AT )T = A
2. (A ± B)T = AT ± BT
3. (αA)T = αAT (α ∈ )
4. (αB)T = BT AT
• Inversas de Matrizes
1. (A–1)–1 = A
2. α
α
A A( ) =− −1 11 (α ∈*)
3. (AB)–1 = B–1 A–1 
Observações:
• Em geral, temos AB ≠ BA, ou seja, a propriedade comutativa 
do produto em geral não vale para as matrizes.
• Podemos ter AB = 0, mesmo quando A, B não são matrizes 
nulas (por exemplo, A = 


0 1
0 0
 e B = 


1 0
0 0
. Portanto, a 
propriedade do anulamento do produto nem sempre é válida 
em matrizes.
• Pode-se ter AC = BC mesmo com A ≠ B e C ≠ 0 (por exemplo, 
A B= 

 =




0 1
0 0
0 2
0 0
, , e C = 


1 0
0 0
. Portanto, a propriedade 
do cancelamento nem sempre vale em matrizes.
• Entretanto, se C é uma matriz inversível, AC = BC implica A = B, 
ou seja, a propriedade do cancelamento vale para matrizes 
inversíveis.
Exercícios
01. Se os elementos da matriz A
3×4
 são dados por a
ij 
= 2i – j, então 
o elemento da segunda linha e da terceira coluna da matriz 
B AAT= ( )1
2
 é
A) 1 
B) 7 
C) 10 
D) 13 
E) 17
02. Sejam as matrizes A = (a
ij
 )
4×7
, B = (b
ij
)
7×9
, C = (c
ij
 ), dadas por 
a
ij 
= i – j, b
ij 
= i, C = AB. O elemento c
63
 é:
A) –112 
B) –18 
C) 9 
D) 199 
E) não existe
4F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
010.237 – 136004/19
03. Encontre os produtos AB e BA, sabendo que A = −


1 0 1
2 1 0
 e
 B =
−
−








2 0
3 2
1 1
.
04. Sabendo que A, B, C são matrizes quadradas reais da mesma 
ordem, julgue como verdadeiros (V) ou falsos (F) os itens a seguir:
( ) AB = BA
( ) ∃ A, B | AB = BA
( ) Se AB = AC, então B = C
( ) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0
( ) (AB)C = A(BC)
( ) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
( ) A2 – B = (A + B ) (A – B)
05. Se A, B são matrizes reais quadradas n × n, tais que AB = – BA, 
então:
A) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
B) (A + B)2 = (A – B)2
C) A3 + B3 = (A2 – BA – B2) (A – B)
D) (A – B)(A + B) =A2 + BA – AB – B2
E) n.d.a.
06. Se A, B, I são matrizes quadradas reais de ordem n, I é a matriz 
identidade, então a equação AB – BA = I
A) nunca é satisfeita.
B) possui infinitas soluções.
C) possui solução se A e B comutam.
D) é satisfeita se A é inversível.
E) é satisfeita se B é inversível.
07. Uma matriz real 1×1 é um número real, ou seja, podemos 
escrever (a)
1×1
 = a, a ∈ . Dizemos que uma matriz quadrada 
A = (a
ij
 )
n×n
 é positiva definida se, para toda matriz linha v
1×n
, 
o produto vAvT ≥ 0, com a igualdade ocorrendo se, e somente se, 
v = (0, 0,…,0). Considere as afirmações:
I. A matriz identidade n×n é positiva definida;
II. Supondo A positiva definida e utilizando v = (1, 0, 0,…,0), 
concluímos que a
11
 ≥ 0;
III. O traço de uma matriz positiva definida é não negativo;
IV. A matriz A
n×n
 dada por a
ij 
= 1 é positiva definida.
Assim, quantas dessas afirmações são falsas?
A) 0 B) 1 
C) 2 D) 3 
E) 4
08. Cláudio anotou suas médias bimestrais de Matemática, Português, 
Ciências e Estudos Sociais em uma tabela com quatro linhas e 
quatro colunas, formando uma matriz, como mostrado a seguir:
Disciplina 1° Bim 2° Bim 3° Bim 4° Bim
Matemática 5,0 4,5 6,2 5,9
Português 8,4 6,5 7,1 6,6
Ciências 9,0 7,8 6,8 8,6
Est. Sociais 7,7 5,9 5,6 6,2
 Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, 
isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria, 
basta fazer a média aritmética de duas médias bimestrais. Para 
gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias 
anuais de Cláudio, na mesma ordem em que as matérias foram 
apresentadas na matriz inicial, bastará multiplicar essa matriz por:
A) 1 4/ 
B) 1 4 1 4 1 4 1 4/ / / /( ) 
C) 
1 4
1 4
1 4
1 4
/
/
/
/










D) 
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/










E) n.d.a.
09. Sejam as matrizes A = 


1 0
2 1
 , B = 


1 2
0 4
 , Z = 


0 0
0 0
 e 
 I = 


1 0
0 1
. Então, temos:
A) BA = I 
B) BA = AB 
C) A = 2B 
D) AI = BZ 
E) n.d.a.
10. Dadas as matrizes A
x y
x
= −




1
1 1
 e B = −


1 1 0
0 1 0
, sendo 
BAT = − −


4 2
8 1 , pode-se afirmar que:
A) x = 2y 
B) y = 2x 
C) x = y = 8 
D) x – y = –2 
E) x = y + 4
11. Uma matriz X tem elementos cuja soma vale 1. Sabendo que, 
X XT⋅ −−




⋅ = [ ]1 11 1 1 podemos afirmar que o produto dos 
elementos de X vale:
A) 0 B) 0,25 
C) 0,5 D) –2 
E) –6
12. Com relação à matriz A = − − −








0 1 1
1 1 1
0 0 1
, a alternativa correta é:
A) A2010 = A B) A2011 = A 
C) A2011 = I D) A2012 = A 
E) A2012 = I
13. Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n. Definimos 
o produto de Jordan como AoB AB BA= +( )1
2
. Analise as 
afirmações:
I. AoB = BoA;
II. Ao(B + C) = AoC + BoC;
III. 0oA = Ao0 = 0;
IV. IoA = AoI = A;
V. (AoB)T = AT oBT;
VI. (AoA)n = A2n.
5 F B O N L I N E . C O M . B R
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010.237 – 136004/19
Módulo de estudo
Quantas são verdadeiras?
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) mais de 4
14. Se A
ab b
a ab
=
− −




2
2 , então A é:
A) idempotente. 
B) involutiva. 
C) nilpotente.
D) escalar. 
E) ortogonal.
15. Considere a matriz X
2×2
. A respeito da(s) solução(ões) da equação 
matricial X2 = 5X, podemos afirmar que
A) é única com X = 0
2
.
B) existem apenas duas soluções: X = 0
2
 e X = 5I
2
.
C) existem apenas 3 soluções.
D) um possível valor de X é 
5
5 2
+
−










α β
α α
β
α , ∀ ∈ ∈α βR R,
* .
E) um possível valor de X é 
6
6
1
β
β
− −








, ∀ ∈β R* .
16. Sendo A = (a
ij
) e B = (b
ij
) matrizes quadradas de ordem n > 1, 
analise as afirmativas:
I. Tr(A)=Tr(AT ); 
II. Tr(aA + bB) = aTr(A) + bTr(B), ∀a, b ∈ R;
III. Se A é uma matriz antissimétrica, então Tr(A) = 0;
IV. Tr(AB) = Tr(BA) se, e somente se, A e B comutam em relação 
ao produto;
V. Se a
ij 
= 1 + j e b
ij 
= i –1, então Tr(AB)>0.
Quantas são verdadeiras?
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5
17. Seja A
a b
c d
= 

 com a + d = 2 e ad – bc = 1. Analise as assertivas:
I. A2019 = 2019A – 2018I
2
;
II. Se A é idempotente, então A = I
2
;
III. Se A é nilpotente, então A é escalar.
Então:
A) Todas são falsas.
B) Apenas I e II são verdadeiras.
C) Apenas II é verdadeira.
D) Apenas II e III são verdadeiras.
E) Todas são verdadeiras.
18. Determine todas as matrizes M ∈ M
2×2
 (), tais que MN = NM, 
∀ NM
2×2
 ().
19. Sejam A e B duas matrizes n × n que comutam entre si e tais que 
A2 = B3 = 0
n
. Mostre que (A + B)4 = 0.
20. 
A) Demonstre que as matrizes 
1 1
2 1
−
−



 e 
1 1
4 1−



 são 
anticomutativas.
B) Se A e B são matrizes anticomutativas quaisquer, demonstre 
que (A + B)2 = A2 + B2.
21. Considere as matrizes reais 2 × 2, que são da forma 
A x
x x
x x( ) = −




cos
cos
sen
sen
A) Prove que A(x) · A(y) = A(x + y)
B) Determine todos os x ∈  tais que A(x)2 = A(x)
22. 
A) Defina A = 


1 1
1 0
. Demonstre que A
F F
F F
n n n
n n
= 


+
−1
1
, para 
todo n ≥ 2, onde (F
n
) é a sequência de Fibonacci (F
1 
= F
2 
= 1 e 
F
n+2
 = F
n+1
 + F
n
, para todo n ≥ 1).
B) Usando que Am+n = Am An para demonstrar que F
m+n
 = F
m+1
 F
n 
+ F
m
 F
n-–1
, para todos m, n ≥ 1.
23. Demonstre que toda matriz M pode ser escrita como M = S + A, 
onde S é uma matriz simétrica e A é uma matriz antissimétrica.
24. No conjunto das matrizes de ordem 2 × 2, sejam as matrizes 
do tipo A
a c
b d
= 



com a + d = –1 e ad – bc = –2. Considere o 
conjunto Γ = = + ( ) ∈{ }MM A I| α β α β2 2, , R
A) Verifique que A A I2 22= − + e deduza que A A I− = +1 2
1
2
1
2
é 
elemento de Γ.
B) Demonstre que o produto de dois elementos de Γ é também 
um elemento de Γ.
25. Seja M = (m
ij
) uma matriz quadrada real n × n de termos positivos. 
Define-se o permanente de M como:
perm M m m m
S
n n= …
∈
( ) ( ) ( )∑
σ
σ σ σ1 1 2 2
 Onde S é o conjunto de todas as permutações de n elementos 
σ : , , , , , ,1 2 1 2…{ } → …{ }n n . A matriz 
1 2 3
4 5 6
7 8 9








 , por exemplo, 
tem permanente: 
m
11
m
22
m
33 
+ m
12
m
23
m
31 
+ m
13
m
21
m
32
+
m
11
m
23
m
32 + m12 m21m33 + m13m22m31=
= 1 × 5 × 9 + 2 × 6 × 8 + 3 × 4 × 8 +
1 × 6 × 8 + 2 × 4 × 9 + 3 × 5 × 7 = 462
 Seja a matriz H
n×n
 = (h
ij
), onde h
ij 
= i (j + 1). Calcule o permanente 
de H.
6 F B O N L I N E . C O M . B R
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010.237 – 136004/19
Módulo de estudo
Gabarito
01 02 03 04 05
D E ** *** B
06 07 08 09 10
A B C E B
11 12 13 14 15
A B E C E
16 17 18 19 20a
D D + * *
20b 21a 21b 22a 23
* * ++ * +++
24a 24b 25
* * $
*: Demonstração
**: AB = − −−




1 1
1 2
 e BA =
−
−








2 0 2
7 2 3
1 1 1
***: F – V – F – F – V – F – F
+: M = xI
2
, k ∈ 
++: x = 2kπ, k ∈ 
+++: A
M M
S
M MT T= + = −
2 2
;
$: (n!)2 · ((n + 1)!)
Anotações
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: DAVI LOPES 
 DIG.: Zilmar – REV.: CAMILLA