bx_03_CURSO_ER21_EXT_MATCN_MAT_2C

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1
Matrizes: adição, subtração 
e multiplicação por número
2C
Matemática
05
Aula 
Introdução
Operações com matrizes
As operações com matrizes têm ampla aplicação em 
problemas práticos e são indispensáveis em inúmeras 
áreas.
Nas engenharias, simuladores usados para modela-
gem – estudo de tensões e resistência, por exemplo – não 
raramente geram matrizes com milhares (ou milhões) de 
variáveis que possibilitam resolver, computacionalmente, 
os sistemas lineares resultantes das análises.
Na criptografia, que foi largamente usada em épocas 
de guerra, possibilita maior segurança nas transações 
via internet.
Na Biologia, modelos matriciais possibilitam deter-
minar os prováveis genótipos de descendentes e acom-
panhar a distribuição genotípica através das gerações. 
Imagens processadas digitalmente – fotos tiradas 
por celulares, imagens visualizadas em páginas da in-
ternet e animações cinematográficas, por exemplo – são 
convertidas em matrizes.
Imagens binárias usam apenas duas cores e cada ele-
mento da matriz correspondente é igual a zero ou um: 1 
indica que o pixel assume a cor branca e 0, a cor preta 
(pixel é o menor elemento gráfico de uma imagem). Nas 
imagens coloridas, um dos sistemas adotado é o RGB 
(Red, Green e Blue), que usa três matrizes para especi-
ficar a intensidade de vermelho, verde e azul em cada 
pixel que compõe a imagem. O sistema RGB possibilita 
que sejam representadas 2563 cores diferentes (quase 
17 milhões de cores).
Operando com matrizes damos movimentos às ima-
gens, aceleramos análises diversas e obtemos resultados 
cada vez mais precisos e confiáveis.
Nesta aula, depois de apresentarmos mais três tipos de 
matrizes – matriz triangular, matriz diagonal e matriz iden-
tidade – iniciaremos o estudo das operações com matrizes.
Matriz triangular
Uma matriz quadrada é denominada matriz trian-
gular quando todos os elementos situados abaixo ou 
acima da diagonal principal são nulos.
Quando, na matriz quadrada, são nulos os elementos 
acima da diagonal principal, essa é chamada de matriz 
triangular inferior. Quando são nulos os elementos 
abaixo da diagonal principal, ela é denominada matriz 
triangular superior.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/d
8n
n
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Im
 st
oc
ke
r
©
Sh
ut
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rs
to
ck
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av
or
an
a
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Z
ur
ije
ta
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/c
ai
m
ac
an
ul
2 Extensivo Terceirão
Exemplos:
A = − →
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 0 0
6 3 0
1 5 9
 Matriz triangular inferior
B = − →
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
4 12 7
0 5 1
0 0 0
Matriz triangular superior
Matriz diagonal
Matriz diagonal é toda matriz quadrada em que os 
elementos fora da diagonal principal são iguais a zero.
Exemplos:
A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ →
3 0
0 2
Matriz diagonal de ordem 2 
B =
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ →
1 0 0
0 5 0
0 0 7
Matriz diagonal de ordem 3
Matriz identidade
Matriz identidade é o nome dado a toda e qualquer 
matriz quadrada em que os elementos da diagonal 
principal são iguais a um, e os demais são todos iguais 
a zero.
Notação: 
In = matriz identidade de ordem n
Portanto, 
I an ij n n= ×( ) tal que a
se i j
se i jij
=
=
≠
⎧
⎨
⎩
1
0
,
,
Exemplos:
I2
1 0
0 1
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ I3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 I 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
Note que uma matriz identidade é, na verdade, uma 
matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal 
são todos iguais a 1.
Operações com matrizes
Adição e subtração de matrizes
Sendo A e B matrizes, será possível determinar a 
soma A + B e a diferença A – B se, e somente se, A e B 
forem matrizes do mesmo tipo, ou seja, se o número de 
linhas e de colunas de A for igual ao número de linhas e 
colunas de B, respectivamente. 
Definição: Considerando as matrizes A aij m n= ×( ) e 
B b ij m n= ×( ) ,
 • se A B C+ = , então C c ij m n= ×( ) tal que c a bij ij ij= + , 
para todo i e todo j; 
 • se A B C− = , então C c ij m n= ×( ) tal que c a bij ij ij= − , 
para todo i e todo j.
Para somar, ou subtrair, as matrizes Am × n e Bm × n 
basta somar, ou subtrair, os elementos correspon-
dentes dessas matrizes
Exemplos:
 •
a b
c d
x y
z w
a x b y
c z d w
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥+ =
+ +
+ +
 •
2 5 1
3 0 2
1 6 0
1 3 2
3 11 1
2 3 4−
+
− −
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 •
2 5 1
3 0 2
1 6 0
1 3 2
1 1 1
4 3 0−
−
− −
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Propriedades da adição de matrizes
Sendo A, B, C e O matrizes do tipo m n × , onde 
O denota a matriz nula, valem as seguintes proprie-
dades:
 • A + B = B + A (comutatividade da adição)
 • (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade da adição)
 • A + O = O + A = A (elemento neutro da adição) 
 • A + (– A) = (–A) + A = O (existência do oposto)
 • A + C = B + C ⇔ A = B (cancelamento) 
Atenção
A – B = B – A se, e somente se, A = B. 
Multiplicação de uma matriz por 
um número
Multiplicando-se uma matriz A aij m n= ×( ) por um 
número k obtém-se o produto k A. , que é a matriz 
m n× formada pelos elementos de A todos multipli-
cados por k.
01. Dadas as matrizes A = 
4 2
1 3
2 0
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 e B = 
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4 2 5
9 9 12
, a matriz X = At + B é:
a) 
0 3 7
7 6 12
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 b) 
0 3 7
7 2 12
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 c) 
0 3 7
7 2 12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
d) 
0 3 7
7 6 12−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 e) 
0 7
3 6
7 12
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Situações para resolver
Aula 05
3Matemática 2C
Ou seja,
 • se A aij m n= ×( ) é uma matriz, k é um número e 
B k A= . , então B b ij m n= ×( ) tal que b k aij ij= . , para 
todo i e todo j.
Exemplo:
 • 10
1
1
2
2 3
1 5 0 1 25 10
10 5 20 30
15 0 12 5 100
. −
−
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
, , ,
Propriedades da multiplicação de 
matriz por número
Se p e q são números e as matrizes A e B são do mes-
mo tipo m n× , então valem as seguintes propriedades:
 • p ∙ (A + B) = p ∙ A + p ∙ B
 (distributividade) 
 • (p + q) ∙ A = p ∙ A + q ∙ A
 (distributividade) 
 • p ∙ (q ∙ A) = (p ∙ q) ∙ A
 (associatividade) 
02. Sendo A = 
8 0 4
1 1 2−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ e B =
2 2
0 2
4 4
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, a matriz X tal que 3X – At + 2B = 0, onde 0 é a matriz nula, é:
a) 
2 1
0 1
0 2
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
b) 
0 2
1 3
6 2
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
c) 
3 2
1 3
6 1
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 d) 
0 2
1 3
6 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
e) 
0 2
1 3
0 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
03. Se A B e I=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥−
1 1
0 1
3 1
2 5
1 0
0 1
, , as matrizes X e Y que satisfazem o sistema 
X Y A
X Y B
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
 . Então, o traço 
da matriz X+I é igual a:
a) 8 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
4 Extensivo Terceirão
Aula 05
5Matemática 2C
Assimilação
05.01. Calcule A – B, sabendo que A =
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 2
5 1
e
B =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
5 0
7 4
 
a) 
8 2
2 5−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ b) 
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 2
2 5
 c) 
8 2
2 5
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
d) 
− −
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 2
2 5
 e) 
8 2
2 3− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Para responder as questões 05.02, 05.03 e 05.04, considere 
as matrizes A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 5
4 3
B e C=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 2
5 1
2 2
0 4
05.02. Qual é a matriz resultante da operação 3A + B – 2C? 
a) 
4 21
17 16−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ b) 
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4 21
17 16
 c) 
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4 21
17 16
d) 
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4 21
17 18
 e) 
4 21
17 16
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
05.03. Sabendo que D A B C t− + = , qual é a matriz D?
a) 
6 3
3 0−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ b) 
6 3
3 0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ c) 
6 3
3 0
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
d) 
6 1
1 0−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ e) 
0 5
9 6−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
05.04. A matriz E tal que E A B+ =2 5 é:
a) 
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
17 11
17 0
 b) 
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
17 0
17 11
 c) 
17 0
17 11−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
d) 
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
13 20
33 1
 e) 
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
13 0
17 1
Testes
6 ExtensivoTerceirão
Aperfeiçoamento
05.05. (UNIFOR – CE) – Assinale a alternativa verdadeira:
a) 
1 0 0
1 1 0
1 1 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 é uma matriz diagonal.
b) 
0 0
1 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ é uma matriz transposta da matriz 
1 0
1 0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ .
c) 
0 1
1 0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ é uma matriz identidade.
d) 
1 0
1 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ é uma matriz simétrica.
e) 
1 1
0 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ é uma matriz triangular.
05.06. Dadas as matrizes A e B=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 3 5
0 2 3
1 7
6 4
2 9
. 
Calcule a Matriz C, sabendo que C A B t= + 
a) 
0 3 7
7 6 12
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
b) 
0 3 7
7 2 12
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
c) 
0 3 7
7 2 12
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
d) 
0 3 7
7 6 12−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
e) 
0 7
3 6
7 12
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
05.07. (UNEB) – Sejam as matrizes A a e B bij x ij x= =( ) ( )3 2 3 2 
definidas por
a i j se i j
a se i j
ij
ij
= + ≠
= =
,
,1
 e 
b se i j
b i j
ij
ij
= ≠
= − =
0
2
,
, se i j
 
Então A + B é igual a:
a) 
1 3
2 2
4 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 b) 
4 5
2 3
2 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 c) 
2 1
1 6
1 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
d) 
1 4
3 3
4 5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 e) 
2 3
3 3
4 5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
05.08. (UEG) – Dada a matriz A e
y x
x
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 2 0
0
 e seja 
B uma matriz identidade de ordem 2, os valores de x e y 
não negativos, tal que as matrizes A e B sejam iguais, são 
respectivamente 
a) 0 e 1 b) 1 e 1
c) 0
2
2
e d) 
2
2
1
2
2
e −
05.09. (UFBA) – Se M
x
y
N
y
x
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
8
10
6
12 4
, e
P =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
7 16
23 13
 são matrizes que satisfazem a igualdade
3
2
2
3
⋅ + ⋅ =M N P, o valor de y – x é:
a) 6 b) 4 c) 2 d) –3 e) 
7
10
 
Aula 05
7Matemática 2C
05.10. (UFMA) – Considere as matrizes A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 2 3
4 5 6
 e 
0 2 1
1 5 4
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ . Nessas condições a solução do sistema 
X Y A B
X Y A B
+ = −
− = +
⎧
⎨
⎩
5
3
 
a) X e Y=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 4 10
13 20 22
0 6 7
4 5 4
 
b) X e Y=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 4 10
13 20 22
2 8 4
6 0 4
c) X e Y=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 4 5
2 8 9
2 8 4
6 0 4
d) X e Y=
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0 6 7
4 5 4
3 4 10
13 20 22
e) X e Y=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 4 10
13 20 22
1 4 5
2 8 9
05.11. (UNIOESTE) – Considere as matrizes A
a
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
1 3
 e 
B
b
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1 1
1
2
. Os valores de a e b de forma que A + 2B = I, 
onde I é a matriz identidade de ordem 2 × 2, são:
a) a e b= − = −1 1 
b) a e b= − =1
3
2
c) a e b= =1 3
d) a e b= =2
1
2
e) a e b= =2
3
2
05.12. Dadas as matrizes A B e=
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 2
1 3
0 4
2 5
, 
C =
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
1
2
1
1
1
3
, a soma dos elementos da matriz X, tal que 
X A B X
C
− + − =
3 2
 é igual a:
a) 0 b) 2 c) –2 d) –4 e) –8
05.13. Dada a matriz A a na qual a
se i j
se i j
se i j
ij x ij= =
=
>
− <
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
( )
,
,
,
,3 3
1
2
2
 
calcule A A It− + 3 
a) 
0 4 4
0 0 4
0 0 0
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ b) 
0 4 4
4 0 4
4 4 0
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ 
c) 
0 2 2
2 0 2
2 2 0
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ d) 
1 4 4
4 1 4
4 4 1
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ 
e) 
1 4 4
4 1 4
4 4 1
−
− −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ 
8 Extensivo Terceirão
05.14. (UDESC) – Considere as matrizes
A
a
B
b
e
x
y
x
y
=
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥− −
9
4 16 1
3 1
1 4 22 1 1
0
, 
C
b cy
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥−
27 13 6
 2 12 1 0
. A soma dos quadrados das 
constantes x, y, a, b e c que satisfazem a equação matricial 
A – 6B = C é:
a) 26 b) 4 c) 41 d) 34 e) 16
05.15. (ESPM) – A distribuição dos n moradores de um 
pequeno prédio de apartamentos é dada pela matriz 
4 x 5
1
6
3
1y
y
x +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, onde cada elemento aij representa a quan-
tidade de moradores do apartamento j do andar i. 
Sabe-se que, no 1º. andar, moram 3 pessoas a mais que no 2º. 
e que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas 
ao todo. O valor de n é:
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34
05.16. (UFSM) – Sabendo-se que a matriz
A
y
x x
y
=
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
36 7
0 5
4 30 3
2
 é igual a sua transposta, o valor de 
2x + y é:
a) –23 b) –11 c) –1 d) 11 e) 23
05.17. (IFPE) – Rodrigo, Otavio e Ronaldo gostam muito 
de comida japonesa e saíram para comer temaki, também 
conhecido como sushi enrolado à mão, cujo o formato 
lembra o de um cone.
Foram, então, visitando vários restaurantes, tanto no sábado 
quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos 
temakis cada um consumiu e como a despesa foi dividida:
S e D=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3 2 0
1 1 2
0 3 2
2 3 0
0 2 1
1 0 2
 
S refere-se às quantidades de temakis de sábado e D às de 
domingo. Cada elemento aij nos dá o número de cones que 
a pessoa i pagou para a pessoa j sendo Rodrigo o número 1 
Otávio, o número 2 e Ronaldo, o número 3 (aij representa o 
elemento da linha i e da coluna j de cada matriz).
Assim, por exemplo, no sábado, Rodrigo pagou 3 temakis 
que ele próprio consumiu (a11), 2 temakis consumidos por 
Otávio (a12) e nenhum por Ronaldo (a13) que corresponde 
à primeira linha da matriz S. Quantos temakis Otávio ficou 
devendo para Rodrigo neste fim de semana?
a) nenhum b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
Aula 05
9Matemática 2C
Gabarito
05.18. O número de matrizes que existem de ordem 2 com 
elementos de números naturais tais que X X t+ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
6 5
5 8
 é:
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
05.19. (UFPR) – Considere a matriz A = [aij], de ordem 4 x 4, 
cujos elementos são mostrados a seguir:
a
se i j
se i jij
=
≠
=
⎧
⎨
⎩
1
0
,
,
 
É correto afirmar que: 
I. Na matriz A, o elemento a23 é igual ao elemento a32.
II. Os elementos da diagonal principal da matriz A são 
todos nulos.
III. Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A + 1 
possui todos os elementos iguais a 1.
a) Apenas o item I é verdadeiro.
b) Apenas o item II é verdadeiro.
c) Apenas o item III é verdadeiro.
d) Apenas os itens I e II são verdadeiros.
e) Todos os itens são verdadeiros. 
Desafio
05.20. (UERJ) – Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são 
propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são 
controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento 
bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas 
Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado 
dia de feira.
B
x
a y
d c z
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 8 3 0
2 0
, ,
,
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas. 
05.01. c
05.02. c
05.03. a
05.04. b
05.05. e
05.06. d
05.07. e
05.08. a
05.09. b
05.10. b
05.11. e
05.12. e
05.13. d
05.14. a
05.15. c
05.16. c
05.17. e
05.18. d
05.19. e
05.20. a) 1.200 reais
b) 3.400 reais
10 Extensivo Terceirão
MatemáticaMatemática
2CAula 06
Multiplicação de matrizes
Introdução
A geração dos movimentos dos games, dos efeitos 
especiais do cinema ou de qualquer imagem que vemos 
na tela de um computador, por exemplo, tem como base 
a multiplicação de matrizes.
As multiplicações de matrizes não só possibilitam 
esses movimentos como também a constante evolu-
ção da geração dessas imagens, pois a rapidez cada 
vez maior com que são realizadas as multiplicações faz 
com que tenhamos imagens e animações cada vez mais 
realísticas. Na disputa por mercado, pela preferência 
dos consumidores, desenvolvedores e fabricantes de 
consoles tentam a cada dia aprimorar os seus gráficos. 
Na Física, assim como em inúmeras outras áreas, o 
uso da multiplicação de matrizes é indispensável. Em 
várias situações, há 
problemas com uma 
enorme quantidade 
de equações que 
seriam impraticáveis 
sem as matrizes (para 
citar um exemplo, os 
que envolvem campos 
elétricos e magnéticos). 
Seria inviável também a 
distribuição, em grande 
escala,de energia elé-
trica e outros serviços.
Para facilitar o entendimento de como se dá a 
multiplicação de matrizes, vamos usar, novamente, um 
exemplo simples.
Acompanhe a situação descrita a seguir.
As médias obtidas por dois alunos, em Matemática, 
nos quatro bimestres de um determinado ano, e os 
pesos atribuídos a essas notas em cada bimestre, são 
informados nas tabelas abaixo:
Bimestre
Aluno 1
o. 2o. 3o. 4o.
João 7 5 9 6
Maria 8 6 7 9
Bimestre 1o. 2o. 3o. 4o.
Peso 1 2 3 3
Qual o total de pontos conseguido por cada um 
desses alunos?
Para determinarmos o total de pontos conseguido 
por João e Maria, basta calcularmos a soma dos pro-
dutos de cada nota pelos respectivos pesos, conforme 
indicado a seguir.
João 7 ∙ 1 + 5 ∙ 2 + 9 ∙ 3 + 6 ∙ 3
Maria 8 ∙ 1 + 6 ∙ 2 + 7 ∙ 3 + 9 ∙ 3
Efetuando as operações indicadas na última tabela, 
determinamos, enfim, a soma das notas obtidas pelos 
dois alunos: 
João 62
Maria 68
Considerando as matrizes 
N e P= =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
7 5 9 6
8 6 7 9
1
2
3
3
,
onde N é a matriz das notas dos alunos e P, a dos pesos 
dessas notas.
O produto da matriz N pela matriz P é a matriz 
 
S =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
62
68
.
Note, observando o exemplo anterior, que o elemento 
da primeira linha de S é igual à soma dos produtos que 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/E
ug
en
e 
O
ni
sc
he
nk
o
©
iS
to
ck
ph
ot
o.
co
m
/E
dS
to
ck
Aula 06
11Matemática 2C
foram obtidos multiplicando-se, ordenadamente, os ele-
mentos da primeira linha da matriz N pelos elementos da 
coluna da matriz P. Da mesma forma, a soma dos produtos 
obtidos multiplicando-se, ordenadamente, os elementos 
da segunda linha de N pelos elementos da coluna de P é 
igual ao elemento da segunda linha da matriz produto S.
Observe como se deu a multiplicação N P. :
7
8
1
7 1
8 1
5
6
2 5 2
6 2
9
7 3
9 3
7 3
6
9
3
6 3⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
+ + +
+ +
.
..
.
.
.
.
. ++
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
+ + +
+ +
9 3
6
9
3
187
8
1
7
8
5
6
2 10
12
9
7 3
27
.
.
221
9
7 3
27
6
9
3
62
68
7
8
1
5
6
2
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⇒. .N P == S
Definição
Dadas as matrizes A, do tipo m n× , e B, do tipo 
n p× , chama-se produto da matriz A pela matriz B a 
matriz A ∙ B, do tipo m p× , tal que: 
se A ∙ B = C, então C = (Cij)m × p tem elementos 
c a b a b a b a bi j i1 1j i2 2 j i3 3 j i n n j= + + + +. . . . ,
para todos os naturais i e j, desde que 1≤ ≤i m e 
1≤ ≤j p
Observações:
1. Sendo A e B matrizes, o produto A B. existe se, 
e somente se, o número de colunas da matriz A 
for igual ao número de linhas de matriz B.
2. Se as matrizes A e B são do tipo m n× e n p× , 
respectivamente, então o produto A B. existe e 
é uma matriz do tipo m p× .
Am × n ∙ Bn × p = Cm × p
iguais
resultado
Exemplo:
Determine a matriz A B. , sabendo que 
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 3
1 0
4 5
 e B =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 1
2 4
.
Devemos multiplicar, ordenadamente, os elementos 
das linhas de A pelos elementos das colunas de B, e 
somar os produtos obtidos, conforme indicado a seguir:
A B. .=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
1
4
3 1
3
0
5
2 4
 → ( )" "( ) ( )linhas colunasde A de B.
A B.
. . . .
. . . .
. . . .
=
+ +
+ +
+ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 3 2 1
1 3 1 1
4 3 4 1
3 2 3 4
0 2 0 4
5 2 5 4
A B. =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
12 14
3 1
22 24
Observe o passo a passo da multiplicação:
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 3
1 0
4 5
 e B =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 1
2 4
 • Linha 1 x Coluna 1:
2 3
3
2
2 3 3 2 12⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
.
. .
 • Linha 1 x Coluna 2:
2 3
1
4
2 1 3 4 14⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
.
. .
 • Linha 2 x Coluna 1:
1 0
3
2
1 3 0 2 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 . . .
 • Linha 2 x Coluna 2
1 0
1
4
1 1 0 4 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 . . .
 • Linha 3 x Coluna 1
4 5
3
2
4 3 5 2 22
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
.
. .
 • Linha 3 x Coluna 2
4 5
1
4
4 1 5 4 24
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
.
. .
12 Extensivo Terceirão
Situações para resolver
Propriedades do produto 
matricial
Considere as matrizes A, B, C e a matriz 
identidade de ordem n (In). Se forem atendidas 
as condições de existência da multiplicação e 
adição de matrizes, então valem as seguintes 
propriedades:
 • Associativa: 
(A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C) 
 • Distributiva: 
A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C ou (B + C) ∙ A = B ∙ A + C ∙ A
 • Elemento neutro da multiplicação:
A ∙ In = In ∙ A = A 
A matriz identidade é o elemento neutro da 
multiplicação de matrizes.
É importante saber
Considerando que O denota uma matriz nula, e su-
pondo que existem os produtos A ∙ B, B ∙ A e A ∙ C, é 
importante destacar que
• o produto de matrizes não é comutativo. Ou seja:
Em geral, A ∙ B ≠ B ∙ A
• o produto entre matrizes pode ser nulo, sem que uma 
das matrizes seja nula, isto é, A ∙ B = O não significa, 
necessariamente, que pelo menos uma das matriz (A ou 
B) é nula. Portanto:
Podemos ter A ∙ B = O, com A ≠ O e B ≠ O
• não vale a lei do cancelamento, ou seja, A ∙ B = A ∙ C não 
implica, necessariamente, que B = C. Ou seja:
Podemos ter A ∙ B = A ∙ C, com B ≠ C e A ≠ O
01. (ESCOLA NAVAL – RJ) –Sejam A e B=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
4
1
3
2
0
5
1
0
2
3
6− −
−
 e B’ a transposta de B. O produto da matriz 
A pela matriz B’ é
a) 
9
8
21
2
6
21
10
0
6
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 b) 5 0 6
4 6 0
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
c) 
5 4
0 6
6 0−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 d) 
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 11
20 10
e) 
−
−
1 10
2 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Aula 06
13Matemática 2C
02. (MACK – SP) – Sejam as matrizes a seguir 
A a a i
B b b j
ij x ij
j
ij x ij
i
= =
= =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
( ) ,
( )
4 3
3 4
 · Se C = A · B, calcule, então C22.
a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258
03. (FICS. ALBERT EINSTEIN – SP) – Uma matriz quadrada de ordem n é chamada triangular superior se aij = 0 para i > j. 
Os elementos de uma matriz triangular superior T, de ordem 3, onde i ≤ j, são obtidos a partir da lei de formação 
tij = 2i
2– j. Sendo A = [–1 1 1] uma matriz de ordem 1 × 3 e At sua transposta, o produto A · T · At é a matriz 1 × 1 
cujo único elemento vale 
a) 0. b) 4. c) 7. d) 28.
14 Extensivo Terceirão
Testes
Assimilação
06.01. (UDESC) – Dadas as matrizes A =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 5
1 3
 e 
B =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 0
3 2
, calcule as matrizes C, D, E, F e G resultantes 
das seguintes operações:
Obs.: Bt é a matriz transposta da matriz B.
a) C = A + Bt
b) D = A2
c) E = 2A – Bt
d) F = 3A – 2B
e) G = A ∙ B
06.02. (UDESC) – Analise as proposições abaixo.
 I. O produto de uma matriz linha por uma matriz linha é 
uma matriz linha.
 II. Uma matriz identidade elevada ao quadrado é uma matriz 
identidade.
 III. O produto de uma matriz por sua transposta é a matriz 
identidade.
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente a afirmativa II é verdadeira.
d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
06.03. (UEL – PR) – Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 
3 × 4 e p × q. Se a matriz A ∙ B é 3 × 5, então é verdade que 
a) p = 5 e q = 5 
b) p = 4 e q = 5 
c) p = 3 e q = 5 
d) p = 3 e q = 4 
e) p = 3 e q = 3 
06.04. (UEL – PR) – Sejam A e B matrizes quadradas de or-
dem 2. Se I e 0 são, respectivamente, as matrizes identidadee nula, de ordem 2, é verdade que 
a) A + B ≠ B + A 
b) (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C) 
c) A ∙ B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0 
d) A ∙ B = B ∙ A 
e) A ∙ I = I 
Aula 06
15Matemática 2C
06.05. (UEL – PR) – Considere as ma-
trizes M e M2 representadas a seguir. 
M
a
b a
M=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0 8 0
0 8
2
Conclui-se que o número real a pode 
ser: 
a) 2 3
b) 2 2
c) 2
d) − 2
e) − 3
Aperfeiçoamento
06.06. (UERN) – Considere a seguinte 
operação entre matrizes:
6 2
4 3
6
1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅ =
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥K
A soma de todos os elementos da 
matriz K é: 
a) 1 b) 3 c) 4 d) 7
06.07. (UEL – PR) – Dadas as matrizes A aij x= ( ) ,3 2 definida por a i j B bij ij x= − =; ( ) ,2 3 
definida por b j C cij ij; ( ), definida por C = A ∙ B, é correto afirmar que o ele-
mento C23 é: 
a) Igual ao elemento C12
b) Igual ao produto de a23 por b23
c) O inverso do elemento C32
d) Igual à soma de a12 com b11
e) Igual ao produto de a21 por b13
06.08. (UEL – PR) – Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de 
futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e 
cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade 
diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz M fornece a quantidade 
(em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama 
ingerida dos alimentos citados.
A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gor-
duras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:
D
fruta
leite
cereais
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
200
300
600
; 
0,006 0,033 0,108 proteínas
M 0,001 0,035 0,018 gorduras
0,084 0,052 0,631 carboidratos
 
a) 
18 20
36 30
454 20
,
,
,
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 b) 
29 70
16 20
460 20
,
,
,
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 c) 
48 30
36 00
432 40
,
,
,
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
d) 
51 90
48 30
405 60
,
,
,
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 e) 
75 90
21 50
411 00
,
,
,
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
16 Extensivo Terceirão
06.09. (UFG – GO) – Uma metalúrgica produz parafusos 
para móveis de madeira em três tipos, denominados soft, 
escareado e sextavado, que são vendidos em caixas grandes, 
com 2000 parafusos e pequenas, com 900, cada caixa con-
tendo parafusos dos três tipos. A tabela 1, a seguir, fornece 
a quantidade de parafusos de cada tipo contida em cada 
caixa, grande ou pequena. A tabela 2 fornece a quantidade 
de caixas de cada tipo produzida em cada mês do primeiro 
trimestre de um ano.
TABELA 1
Parafusos/caixa Pequena Grande
Soft 200 500
Escareado 400 800
Sextavado 300 700
TABELA 2
Caixas/mês JAN FEV MAR
Pequena 1500 2200 1300
Grande 1200 1500 1800
Associando as matrizes
A e B=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
200 500
400 800
300 700
1500 2200 1300
1200 1500 1800⎣⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ às tabelas 
1 e 2, respectivamente, o produto A ∙ B fornece:
a) o número de caixas fabricadas no trimestre.
b) a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em 
cada coluna.
c) a produção mensal de cada tipo de parafuso.
d) a produção total de parafusos por caixa.
e) a produção média de parafusos por caixa.
06.10. (INSPER – SP) – Considere as matrizes A
3
1
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0
0
, 
B
3
8
X
x
y
Y
x
y
2
2
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
0
0
, .e 
Se x e y são as soluções não nulas da equação A Y B X⋅ + ⋅ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0
0
, 
então x ∙ y é igual a:
a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.
06.11. (UEM – PR) – Sejam as matrizes 
M N e P M N N M=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = ⋅ + ⋅
2 3
1 0
4 0
1 5
, .
O menor elemento da matriz P é 
a) – 7. b) – 1. c) – 5. d) 2.
Aula 06
17Matemática 2C
06.12. (FGV – SP) – Uma matriz A de ordem 2 transmite 
uma palavra de 4 letras em que cada elemento da matriz 
representa uma letra do alfabeto.
A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de 
informação secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz 
B =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 1
5 2
 obtendo-se a matriz codificada B ∙ A. Sabendo 
que a matriz B ∙ A é igual a 
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
10 27
21 39
, podemos afirmar 
que a soma dos elementos da matriz A é: 
a) 46 b) 48 c) 49 d) 47 e) 50
Aprofundamento
06.13. (UEL – PR) – Uma indústria utiliza borracha, couro 
e tecido para fazer três modelos de sapatos. A matriz Q for-
nece a quantidade de cada componente na fabricação dos 
modelos de sapatos, enquanto a matriz C fornece o custo 
unitário, em reais, destes componentes.
Dados: 
borracha couro tecido
Q
elo
elo
elo
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
2 1 1
1 2 0
2 0 2
1
2
mod
mod
mod 33
10
50
30
C
borracha
couro
tecido
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
A matriz V que fornece o custo final, em reais, dos três mo-
delos de sapatos é dada por: 
a) V =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
110
120
80
 b) V =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
90
100
60
 c) V =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
80
110
80
d) V =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
120
110
100
 e) V =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
100
110
80
06.14. (UFSM – RS) – Ao comprar os produtos necessários 
para fazer uma feijoada, uma dona de casa resolveu pesquisar 
preços em três supermercados. A matriz P dos preços está 
representada a seguir; a primeira linha mostra os preços por 
kg do supermercado A; a segunda, do supermercado B; a 
terceira, do supermercado C. Esses preços são relativos, res-
pectivamente, aos produtos feijão, linguiça, tomate e cebola.
P =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤2 05 9 89 2 48 1 78
1 93 11 02 2 00 1 60
1 70 10 80 2 40 1 20
, , , ,
, , , ,
, , , , ⎦⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
Q
5
3
2
3
Sabendo que a matriz Q representa as quantidades neces-
sárias, respectivamente, de feijão, linguiça, tomate e cebola, 
a dona de casa economizará mais se efetuar as compras no 
supermercado:
a) A
b) B
c) C
d) A ou B indiferentemente
e) A ou C indiferentemente
18 Extensivo Terceirão
06.15. (CESGRANRIO – RJ) – Na área de Informática, as 
operações com matrizes aparecem com grande frequência. 
Um programador, fazendo levantamento dos dados de uma 
pesquisa, utilizou as matrizes:
A B C A B=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= ⋅
5 2 1
3 1 4
1 3 2
2 1 2
1 1 1
; ;
O elemento C23 da matriz C é igual a:
a) 18 b) 15 c) 14 d) 12 e) 9
06.16. (UNIRIO – RJ) – Considere as matrizes
A B e C=
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = [ ]
3 5
2 1
0 1
4
3
2 1 3,
A adição da transposta de A com o produto de B por C é:
a) impossível de se efetuar, pois não existe o produto de 
B por C.
b) impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de 
tipos diferentes.
c) impossível de se efetuar, pois não existe a soma da trans-
posta de A com o produto de B por C.
d) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2 × 3.
e) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3 × 2.
06.17. (UFRJ) – As faculdades A e B oferecem somente 
cursos de Medicina e Engenharia. A tabela a seguir apresenta 
as percentagens dos alunos que concluíram seus cursos, 
distribuídos segundo sua faculdade e seu curso.
Medicina Engenharia
Fac. A 40% 60%
Fac. B 30% 70%
Sabe-se que esses alunos estão atualmente empregados ou 
desempregados, de acordo com os índices abaixo:
Empregado Desempregado
Medicina 70% 30%
Engenharia 20% 80%
A tabela abaixo deve apresentar as percentagens dos alunos 
que concluíram seus cursos, porém distribuídos por facul-
dade e situação ocupacional (empregados/desempregado).
Empregado Desempregado
Fac. A X Y
Fac. B Z W
Determine o valor de W.
a) 35% b) 80% c) 75% d) 45% e) 65%
Aula 06
19Matemática 2C
06.18. (UERJ – Observe parte da tabela do quadro de me-
dalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro:
PAÍS
medalhas
tipos
total
(1) ouro (2) prata (3) bronze
1. EUA 97 88 52 237
2. Cuba 59 35 41 135
3. Brasil 54 40 67 161
Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada 
A cujos elementos aij representam o número de medalhas 
do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao 
conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer outra classificaçãodesses países, são atribuídos às 
medalhas os seguintes valores:
• ouro: 3 pontos;
• prata: 2 pontos;
• bronze: 1 ponto.
Esses valores compõem a matriz V =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3
2
1
.
Determine a partir do cálculo do produto A ∙ V o número 
de pontos totais obtidos pelos três países separadamente. 
06.19. (UDESC) – Sejam A = (aaij) e B = (bij) matrizes qua-
dradas de ordem 2 cujas entradas são definidas por 
a i i j e b
j i se i j
i j se i j
ij ij= − ⋅ =
− ≤
− >
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
3 2
3 ,
,
.
Explicitando seus cálculos, determine a matriz X que satisfaz 
a equação matricial ( ) ( )A B mX n A BT+ + = ⋅ onde m e n são, 
respectivamente, a maior e a menor raiz real do polinômio 
p t t t t( ) .= + −4 3 26
20 Extensivo Terceirão
Gabarito
06.01. a) C A B t= + =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 5
1 3
1 3
0 2
0 8
1 5
b) D 
1 5
1 3
=
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 5
1 3
6 10
2 14
c) E =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
1 5
1 3
1 3
0 2
1 13
2 8
d) F = ⋅
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
1 5
1 3
2
1 0
3 2
5 15
3 5
e) G 
1 5
1 3
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− 1 0
3 2
14 10
10 6
 
06.02. c
06.03. b
06.04. b
06.05. b
06.06. a
06.07. e
06.08. e
06.09. c
06.10. c
Desafio
06.20. (FGV – SP) – Um determinado produto deve ser distribuído a partir de 3 fábricas para 4 lojas consumidoras. Seja 
C = (cij)3 × 4 a matriz do custo unitário de transporte da fábrica i para a loja j, com cij = (2i – 3j)
2. Seja B = (bij)3 × 4 a matriz que 
representa a quantidade de produtos transportados da fábrica i para a loja j, em milhares de unidades, com bij = i + j.
06.11. a
06.12. d
06.13. e
06.14. c
06.15. d
06.16. d
06.17. e
06.18. Estados Unidos: 519
Cuba: 288
Brasil: 309 
06.19. X =
− −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
19
2
3
2
8 17
06.20. a) C B t=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
1 16 49 100
1 4 25 64
9 0 9 36
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
b) X
Y
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= [ ]
14
18
22
746 912 1078
a) Determine as matrizes C = (cij)3 × 4 e B
t sendo que Bt é a 
transposta da matriz B = (bij)3 × 4.
b) Sendo D e E=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
= [ ]
×
×
1
1
1
1
1 0 0
4 1
1 3 , determine as 
matrizes X x e Y yij ij= =× ×( ) ( )3 1 1 3 tais que X B D= ⋅ e 
Y E C B t= ⋅ ⋅( ).
21Matemática 2C
Matemática
2CAula 07
Determinantes
 Introdução
Já vimos, em aulas anteriores, que o estudo das matrizes 
se desenvolveu também da necessidade de se resolver 
sistemas lineares. Dessa forma, foram criadas fórmulas que 
exprimem a solução de um sistema determinado, quando 
ele é formado por n equações lineares e n incógnitas. Nessas 
fórmulas foi que surgiu, inicialmente, o determinante.
Verificou-se, por exemplo, que se forem reais os 
coeficientes a, b, c, d, e e f e admitir solução única o 
sistema linear
a b y e
c x d y f
x⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ =
⎧
⎨
⎩
 
então a solução desse sistema é tal que
x
ed
ad bc
y
af ce
ad bc
bf
e= −
−
= −
− 
Essas fórmulas que exprimem os valores das 
incógnitas x e y possuem, como denominador comum, 
o número real ad – bc. Esse número é chamado de 
determinante da matriz 
a b
c d
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ , cujos elementos 
são os coeficientes das incógnitas do sistema linear 
correspondente.
Mais tarde, o valor absoluto (módulo) do determi-
nante não nulo foi também identificado como a área 
de um paralelogramo (quando associado a uma matriz 
quadrada de ordem 2) e o volume de um paralelepípedo 
(quando associado a uma matriz quadrada de ordem 3).
Considere, como exemplo, o paralelogramo 
determinado pelos segmentos OA e OB, sendo O, A e 
B os pontos, no plano cartesiano, de coordenadas (0, 0), 
(a, b) e (c, d), respectivamente, conforme indicado na 
figura a seguir.
d
b A
B
C
O c a
É fácil provar, dividindo-se convenientemente a 
figura e somando-se as áreas das partes obtidas, que o 
valor absoluto (ou módulo) do número ad – bc indica 
a área do paralelogramo AOBC, que é determinado, de 
forma única, pelos segmentos OA e OB.
Então, nesse caso,
Área = ad – bc = determinante da matriz 
a b
c d
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 Determinante de uma 
matriz quadrada
A toda matriz quadrada corresponde um número, 
associado aos elementos dessa matriz, chamado de 
determinante da matriz.
Notação
Sendo A uma matriz quadrada, podemos represen-
tar o seu determinante por
det(A) A (delta)ou ou Δ
Ou seja, 
Δ = A = det (A) = determinante da matriz A
Determinante de 1ª. ordem
Se A é uma matriz quadrada de ordem 1, ou seja, 
se A = [a11], então o determinante de A é o próprio 
elemento a11.
A = [a11] ⇒ det(A) = a11
Exemplos:
 • A A= [ ] ⇒ =5 5det( )
 • M M= −[ ] ⇒ = −7 7det( )
22 Extensivo Terceirão
Determinante de 2ª. ordem 
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, tal que A
a a
a a
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
11 12
21 22
, então o determinante da matriz A é o número 
a11 · a22 – a21 · a12.
A A
a a
a a
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⇒ =
11 12
21 22
det( )
 
a a
a a
a a a a11 12
21 22
11 22 21 12= ⋅ − ⋅
Observe, a seguir, como proceder para calcular o determinante de uma matriz quadrada de segunda ordem.
(–1) · a21 · a12 + a11 · a22
produto dos elementos da diagonal principal
menos
o produto dos elementos da diagonal secundária.
a a
a a
a a a a11 12
21 22
11 22 21 12= ⋅ − ⋅
a
a
11
22
a
a
Exemplos:
 • A A=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⇒ = = ⋅ − ⋅ =
3 2
1 4
3 2
1 4
3 4 1 2 10det( )
 • A A=
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⇒ =
−
= ⋅ − −( ) ⋅ = + =2 1
3 4
2 1
3 4
2 4 1 3 8 3 11det( )
Determinante de 3ª. ordem 
Para calcularmos o determinante de uma matriz 3 × 3, usamos uma regra prática denominada Regra de Sarrus.
Uma das formas de se usar essa regra consiste em repetir, à direita da matriz, de forma ordenada, as duas primeiras 
colunas dessa matriz, calcular o produto dos elementos da diagonal principal, os produtos dos elementos de cada 
uma das duas diagonais paralelas à diagonal principal, que apresentam três elementos, e somá-los. A esse resultado 
deve-se somar ainda o oposto do produto dos elementos da diagonal secundária, bem como o oposto de cada um 
dos dois produtos encontrados, multiplicando-se os elementos das diagonais paralelas à diagonal secundária (as que 
apresentam três elementos). 
Regra de Sarrus
Se, A
a a a
a a a
a a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
11 12 13
21 22 23
31 32 33
, então det( )A
a a a
a a a
a a a
a a
a a
a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12
21 22
31 32
trocar os sinais dos produtos conservar os sinais dos produtos
− − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅a a a a a a a a a13 22 31 11 23 32 12 21 33
� ��� ��� � ��� ��� � ��� ���
� ���������� ���������
� ��� ��� � ��� ���
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +a a a a a a11 22 33 12 23 31 aa a a13 21 32⋅ ⋅
� ��� ���
� ��������� ���������
a
a
aa a
a13
a
1
32
aa
a
a a
a
a
a
a a31
a23a
a12
a
a33a
a
a
a
1
22a
a
Portanto: 
 • O determinante da matriz quadrada A
a a a
a a a
a a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 é calculado conforme indicado a seguir:
det( )A a aa a a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅a a a a a23 32 12 21 33
Aula 07
23Matemática 2C
Exemplo:
Se M = −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 3
1 4 2
2 1 3
, então det( )M = −3 
Observe, ao lado, como foi calculado o determinante da 
matriz M. 
PIERRE FRÉDÉRIC SARRUS (1798-1861), matemático francês, foi o idealizador da regra – que leva o seu 
nome – para resolução de determinantes de 3a. ordem. Sarrus tinha a intenção de ir para a faculdade de 
medicina, porém fora exigido a apresentar um “certificado de boa conduta” e, ao exibir suas convicções 
“bonapartistas”, teve o certificado negado. Resolveu então dedicar-se às ciências exatas, obtendo poste-
riormente doutorado em Matemática. Contribuiu também nas áreas da Astronomia e da Física.
 Determinantes na Geometria
Como vimos na introdução desta aula, o módulo do determinante de uma matriz quadrada de segunda ordem, 
se não nulo, indica a área de um paralelogramo de ladosOA e OB, sendo A e B pontos, no plano cartesiano, cujas 
coordenadas são os elementos da matriz correspondente. O ponto O,vértice comum dos lados OA e OB, é a origem do 
sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, O é o ponto (0, 0). 
Já o módulo do determinante de uma matriz de terceira ordem, quando diferente de zero, indica o volume de 
um paralelepípedo. Considerando o paralelepípedo determinado pelos segmentos OA OB e OC, , sendo O = (0, 0, 0), 
A, B e C pontos no espaço, os elementos da matriz correspondem às coordenadas dos pontos A, B e C, conforme 
indicado a seguir.
Volume do paralelepípedo = | |
* | Δ| = módulo do determinante
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
= Δ
A
C
yx
z
O
B
Quando considerados apenas pontos do plano cartesiano, pode-se calcular a área de um triângulo, por meio de 
um determinante de terceira ordem, conhecendo-se apenas as coordenadas dos vértices desse triângulo. 
Das aplicações dos determinantes, o cálculo de áreas de figuras planas convexas é uma das mais conhecidas. Por 
hora, nosso interesse limita-se a determinar a área de um triângulo, conforme veremos a seguir.
Área de um triângulo
A área de um triângulo de vértices A x yA A( , ) , B x yB B( , ) e C x yC C( , ) pode ser calculada por meio do determinante 
da matriz 
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, de tal forma que: 
1 2 3
1 4 2
2 1 3
1 2
1 4
2 1
20 17 3− − = − + = −
− − − −
−
+ + + −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24 2 6
20
12 8 3
17
� ���� ���� � ���� ����
2
3
44 222
1
1 33
1
2
11
33
1
1
122
2
2
2
2
33
1
444
3
01. ((AFA – SP) – É dada a matriz A
a b
b a
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥−
, em que a e b são números reais. Se 
0 1
2 3
5
25
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
a
b
, então o 
determinante de A vale:
a) 2a2 b) – 2a2 c) zero d) 2a + 2b
Situações para resolver
24 Extensivo Terceirão
* 
1
2
 ∙ | | = área do triângulo
x y
x y
x y
A A
B B
C C
1
1
1
= Δ
* = determinante * | | = módulo do determinante
Área (ABC) = 
1
2
⋅ Δ
A
C
B
 • A metade do módulo do determinante da 
matriz de ordem 3, cujas linhas são as ternas 
ordenadas (xA, yA, 1), (xB, yB, 1) e (xC, yC, 1), indica 
a área do triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) 
e C(xC, yC).
Exemplo:
O triângulo da figura abaixo tem vértices A(4, 6), 
B(8, 2) e C(2, 1).
A (4, 6)
C (2, 1)
B (8, 2)
y
x
Assim, 
4 6 1
8 2 1
2 1 1
28= − indica que esse triângulo 
tem 14 unidades de área. De fato:
Área(ABC) = ⋅ − = ⋅ =
1
2
28
1
2
28 14 unidades de área.
É necessário considerar o valor do determinante em 
módulo, nos cálculos de áreas, devido à possibilidade de o 
determinante ser um número real negativo, uma vez que 
medidas de áreas assumem apenas valores positivos.
02. (UDESC) – Considerando as funções dadas por g(x) = det
x x
x
0
1 2
2 1 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 e f(x) = det
x
x
11 4
10 11
1 2 0
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, o valor de x para 
os quais f(x) = g(x) é
a) x = – 3 b) x = 18 c) x = – 6 d) x = 6 e) x = 3
03. (ACAFE – SC) – Considere a matriz A = 
1 1
1 1
1 1
x
x
x
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, em que x varia no conjunto dos números reais. O valor mínimo 
do determinante da matriz A é:
a) –2 b) 
1
2
c) 0 d) –1 e) − 1
2
04. (UNICENTRO– PR) – Determine a solução da inequação 
x
x
0 2
3 1
0 1 1
0−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
≤ dentre as apontadas nas alternativas a 
seguir.
a) {x ∈ | – 2 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ | x ≥ 3} c) {x ∈ | – 3 ≥ x ≤ 2}
d) {x ∈ | – 2 ≤ x ≤ 2} e) {x ∈ | 0 ≤ x}
Aula 07
25Matemática 2C
26 Extensivo Terceirão
Testes
Assimilação
07.01. Sabendo que a matriz A e det A x=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
1 0 2
2 4 1
3 2 0
, 
qual é o valor de x?
a) 16 b) –16 c) 18 d) –18 e) –15
07.02. Resolva a equação 
x x2
2 1
1= − 
07.03. (VUNESP – SP) – Dadas as matrizes A =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 3
2 4
e 
B =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 2
3 1
, o determinante da matriz A · B é:
a) – 1 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14
07.04. (PUC – RS) – Dadas as matrizes
A e B= =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
[ ] ,1 2 3
4
5
6
 o determinante det (A · B) é igual a:
a) 18 b) 21 c) 32 d) 126 e) 720
Aula 07
27Matemática 2C
07.05. (FGV – SP) – Seja a matriz identidade de ordem três 
I =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
1 0 0
, .A a matriz
Considere a equação polinomial na variável real x dada 
por det (A – xI) = 0 em que o símbolo det (A – xI) indica 
o determinante da matriz A – x ∙ I. O produto das raízes da 
equação polinomial é: 
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) –1
Aperfeiçoamento
07.06. (FEI – SP) – Para que o determinante da ma-
triz 
1 1
3 1
+ −
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
a
a
 seja nulo, o valor de a deve ser: 
a) 2 ou –2 b) 1 ou 3
c) –3 ou 5 d) –5 ou 3
e) 4 ou –4
07.07. (UEL – PR) – Se o determinante da matriz: 
A
x
x
= −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 1
1 1 1
2 1 3
 é nulo, então:
a) x = –3 b) x = −
7
4
 c) x = –1
d) x = 0 e) x =
7
4
 
07.08. (UEL – PR) – Sejam as matrizes A = (aij)3 × 2, tal que 
a i j e B b tal que b y jij jy x jy= ⋅ − ⋅ = = −2 3 2 3( ) , . O determi-
nante da matriz A ∙ B é igual a:
a) –12 b) –6 c) 0 d) 6 e) 12 
28 Extensivo Terceirão
07.09. Em uma região do plano cartesiano existem três pon-
tos cujas coordenadas são A (4,0), B (0,0) e C (2,2). Determine 
a área (em unidades de área) da região triangular que tem 
como vértices os pontos A, B e C.
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
07.10. (MACK – SP) – Na função real definida por
f x
x
x
x
( ) ,=
2 4
3 9
4 16
 f(0,001) vale:
a) 0,02 b) 1000–1 c) 10–2 d) 500–1 e) 0,5
07.11. Qual é o valor de x para que o determinante da matriz 
M seja nulo?
M
x x
=
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 1
4 9 4
6 7
a) 13 b) –13 c) 9 d) –9 e) 11
07.12. (ESAF – DF) – Dada a matriz A abaixo, o determinante 
da matriz 2A é igual a:
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 1 3
1 1 1
0 1 4
a) 40. b) 10. c) 18. d) 16. e) 36.
Aprofundamento
07.13. (UERJ) – Observe a matriz a seguir:
senx x
senx x
senx
cos
cos
2 1
0
1 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte re-
sultado: 
a) 1 b) sen x c) sen2x d) sen3x
Aula 07
29Matemática 2C
07.14. (PUC – RS) – O determinante da matriz
senx senx gx
x x
senx tgx
cot
cos cos −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1
0
 é:
a) 0 b) 1 c) sen x + cos x
d) sen2x e) (sen x + cos x)2
07.15. (AOCP – PE) – Para saber o custo total (em reais) 
na produção de x uniformes para um grupo de soldados, 
primeiramente substitui-se cada elemento x, da matriz a 
seguir, pela quantidade de uniformes que se quer produzir 
e calcula-se o determinante dessa matriz, obtendo-se, assim, 
o custo total na produção destes x uniformes igual ao valor 
do determinante.
x
x
1 0
0 100
0 1 1
−
−
Dessa forma, para se produzir 70 uniformes para um grupo 
de soldados, o custo total nessa produção será de:
a) R$ 4.100,00. b) R$ 3.500,00.
c) R$ 3.100,00. d) R$ 2.500,00.
e) R$ 2.100,00.
07.16. (PUCPR) – A soma dos valores de λ para que 
det (A + λ ∙ I) = 0, onde I é matriz identidade e 
A = − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
4 2 1
2 0 1
2 2 3
 é:
a) 5 b) –7 c) 2 d) –3 e) 0
07.17. (MACK – SP) – Dadas as matrizes A = (aij)3 × 3 tal que 
a se i j
a se i j
e B b tal que
b se i j
b
ij
ij
ij x
ij
i
= =
= ≠
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
=
= =10
0
3
3 3
,
,
( )
,
jj se i j= ≠
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ 0,
, o
valor de det (A ∙ B) é:
a) 27 ×103 b) 9 ×103
c) 27 ×102 d) 32 ×102
e) 27 ×104
30 Extensivo Terceirão
07.18. (UDESC) – Sejam A, B, X e Y matrizes quadradas de 
ordem 2 tais que, A e B=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 2
3 2
0 2
1 4
.
A soma dos determinantes das matrizes X e Y sabendo que 
2X – 2Y = A ∙ B e –X + 2Y = AT é igual a: 
a) –4 b) –72 c) –144 d) –24 e) –102
Desafio
07.19. (UEM – PR) – Sejam as matrizes A x
y
e=
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3 1 2
4 1
1 6
 
B
y
x
=
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
6 2
1 4 3
1 1
 cujos determinantes são, respectivamente, 
iguais a 63 e 49. Sendo y = x +3, então a soma dos valores 
de x e y é 
a) 7. b) 8. c) 10. d) 12.
07.20. Seja a um número real e p(x) o determinante da 
matriz 
3 1 2
0 1
0 4 1
− −
− −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
x
a x
x
.
a) Para a=1, resolva a equação p(x)=0
b) Determine a soma dos valores inteiros de a para os quais 
a equação p(x) = 0 admite apenas uma raiz real.
Gabarito
07.01. d
07.02. x1 = x2 = 1
07.03. e
07.04. c
07.05. e
07.06. a
07.07. e
07.08. c
07.09. a
07.10. d
07.11. a
07.12. a
07.13. d
07.14. b
07.15. e
07.16. b
07.17. a
07.18. b
07.19. a
07.20. a) x = 3
 b) Soma = 7
31Matemática 2C
Matemática
2CAula 08
Determinantes: teorema de Laplace
 Introdução
Na aula anterior, demos início ao estudo da teoria dos 
determinantes e, nessa etapa inicial, aprendemos a cal-
cular os determinantes de matrizes quadradas de ordens 
1, 2 e 3. A Regra de Sarrus, conforme estudamos, é usada 
para determinantes de terceira ordem. Mas para os casos 
de ordem 4, ou superiores, essa regra já não tem validade.
Nesta aula nos será apresentado o Teorema de Lapla-
ce, uma regra geral através da qual é possível obtermos 
o determinante de qualquer matriz quadrada de ordem 
igual a ou maior do que 2.
Antes, porém, para que possamos bem entender e 
fazer uso do teorema de Laplace, precisamos enunciar 
alguns conceitos: menor complementar e cofator de 
um elemento de uma matriz quadrada. 
Menor complementar
Para todo elemento aij de uma matriz quadrada de 
ordem n 2 existe, em correspondência, um número 
chamado menor complementar de aij. Esse número é o 
determinante da matriz que se obtém eliminando-se, da 
matriz à qual pertence o elemento aij, a linha e a coluna 
desse elemento. 
Usaremos, em nosso texto, a seguinte notação:
Dij = menor complementar de aij
Observe os exemplos a seguir.
Exemplo 1: 
Se A
a a a
a a a
a a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
11 12 13
21 22 23
31 32 33
, então
 • D
a a
a a23
11 12
31 32
= é o menor complementar do ele-
mento a23;
 • D
a a
a a31
12 13
22 23
= é o menor complementar do 
elemento a31.
Exemplo 2:
Se A
a a
a a
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
11 12
21 22
, então D a11 22 é o menor com-
plementar do elemento a11.
Exemplo 3:
Se A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 3
4 5 6
7 8 9
, então D 22 12= − é o menor 
complementar do elemento a22 5. De fato, pois 
D 22
1 3
7 9
9 21 12= = − = −
Cofator de um elemento
Se A é uma matriz quadrada de ordem n 2, aij um 
elemento qualquer dessa matriz e Dij o menor comple-
mentar desse elemento, então o produto ( )− ⋅+1 i j ijD é 
o cofator do elemento aij e será representado por Aij.
Aij = (–1)
i+j · Dij
cofator de aij = (–1)
i+j · (menor complementar de aij)
Exemplo:
Vamos determinar, a seguir, os cofatores dos ele-
mentos a31, a32 e a33 da matriz 
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3 1 2
1 4 1
2 3 5
.
 • Cofator A31, do elemento a31 = 2: 
A
A
A
A
31
3 1
31
4
31
31
1
1 2
4 1
1 1
1 7
7
1 4 2
= −( ) ⋅
= −( ) ⋅ ( )
= +( ) ⋅ −( )
= −
+
⋅ − ⋅ 
32 Extensivo Terceirão
 • Cofator A32, do elemento a32 = 3: 
A
A
A
A
32
3 2
32
5
32
32
1
3 2
1 1
1
1 1
1
3 1 1 2
= −( ) ⋅
= −( ) ⋅ ( )
= −( ) ⋅ ( )
= −
+
⋅ − ⋅
 • Cofator A33, do elemento a33 = 5: 
A
A
A
A
33
3 3
33
6
33
33
1
3 1
1 4
1
1 11
11
3 4 1 1
= −( ) ⋅
= −( ) ⋅ ( )
= +( ) ⋅ ( )
=
+
⋅ − ⋅
 Teorema de Laplace
 • A soma dos produtos dos elementos de uma fila 
qualquer (de uma matriz quadrada de ordem 
n ≥ 2) pelos seus respectivos cofatores é igual ao 
determinante dessa matriz.
Com esse teorema é possível calcular o determinante 
de qualquer matriz quadrada de ordem n ≥2.
Exemplo 1:
Vamos calcular, pelo teorema de Laplace, o determi-
nante da matriz 
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3 1 2
1 4 1
2 3 5
.
Se considerarmos a terceira linha dessa matriz, 
temos os elementos 
a31 = 2, a32 = 3 e a33 = 5, 
cujos cofatores, que foram calculados no exemplo 
anterior, são
A A e A31 32 337 1 11= − = − =,
Então, pelo teorema de Laplace,
det(A) = a31 · A31 + a32 · A32 + a33 · A33
det(A) = 2 · (–7) + 3 · (–1) + 5 · (11)
det(A) = –14 – 3 + 55
det(A) = 38
Exemplo 2:
Para calcular, pelo teorema de Laplace, o determi-
nante da matriz 
A =
−
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
1 2 3 0
2 4 1 5
3 1 2 2
0 0 4 3
,
você pode proceder conforme indicado a seguir.
 • Escolha uma fila qualquer (linha ou coluna) dessa 
matriz. De preferência, escolha a fila que tem a 
maior quantidade de elementos iguais a zero, pois 
tal escolha facilitará os cálculos.
Então, nesse exemplo, escolha a linha 4.
 • Calcule os cofatores que correspondem aos elemen-
tos não nulos da fila escolhida (quarta linha), ou seja, 
os cofatores A43 e A44.
A 51
A
43
44
= − ⋅
−
−
= − ⋅ − =
= − ⋅
−
−
+
+
( ) ( ) ( )
( )
1
1 2 0
2 4 5
3 1 2
1 51
1
1 2 3
2 4 1
3
4 3
4 4
11 2
1 7= + ⋅ − = −( ) ( ) 7
 • Identifique os elementos da quarta linha.
a41 = 0, a42 = 0, a43 = 4 e a44 = –3
 • Calcule o determinante da matriz A.
det(A) = a41 · A41 + a42 · A42 + a43 · A43 + a44 · A44
det(A) = 0 · A41 +0 · A42 + 4 · 51 + (–3) · (–7)
det(A) = 0 + 0 + 204 + 21
det(A) = 225
Pierre Simon Laplace, 
Marquês de Laplace, foi um 
matemático francês que, além da 
expansão em cofatores para reso-
lução de determinantes, deixou 
importantes contribuições na teo- 
ria das probabilidades. Sua obra 
Traité de Mécanique Céleste é um 
dos mais importantes estudos no 
ramo da astronomia. Teve também 
grande influência a Equação de Laplace e suas aplica-
ções na Mecânica dos Fluidos, no Eletromagnetismo 
e no estudo das funções harmônicas, com a teoria do 
potencial.
 Pierre Laplace 
1749-1827
©
W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s/
M
ad
am
e 
Fe
yt
au
d/
Ac
ad
ém
ie
 d
es
 S
ci
en
ce
s, 
Pa
ris
01. O cofator do elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz A =
3 2 1
1 2 1
1 3 1
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 é igual a:
a) 7 b) 2 c) 1 d) –2 e) –7
02. O valor do determinante 
3 0 0 2
5 1 1 1
2 1 1 2
1 2 1 0
−
 é igual a:
a) –1 b) –21 c) –3 d) –8 e) –5
Situações para resolver
Aula 08
33Matemática 2C
34 Extensivo Terceirão
Testes
Assimilação
08.01. Dada a matriz M=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 5
2 0 1
3 5 4
, o cofator dos ele-
mentos a13 , a22 e a33 são respectivamente: 
a) 10, 19 e 4
b) 10, –11 e 4
c) –10, –11 e –4
d) –10, –19 e 4
e) 10, –11 e –4
08.02. O determinante da matriz A4 × 4 abaixo é:
A =
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
3 1 2 1
5 2 2 3
7 4 5 0
1 1 11 2
 
a) –178 b) 108 c) –52 d) –108 e) 178
03. Se P(x) =
1 1 0 2
1 0
1 0
1 0
x x
x x
x x−
, então a soma dos valores de x de modo que P(x) = 0, é:
a) 1 b) –2 c) – 1 d) 2 e) 0
Aula 08
35Matemática 2C
08.03. Conhecendo a matriz
M =
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
1 0 2 0
3 2 1 5
6 0 1 4
5 0 3 2
, qual é o valor do determinante 
de M? 
a) 56 b) 156 c) –156 d) –56 e) 146
08.04. Qual o valor do determinante abaixo?
D =
−
−
1 1 1 1
0 1 0 0
1 0 0 0
1 2 0 1
a) 1 b) 2 c) 0 d) –1
08.05. O cofator do elemento a22 da matriz A =
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 3
3 1 2
1 2 0
 
é:
a) 1 b) 2 c) 4 d) –3
08.06. (UFPR) – O cofator do elemento –2 da matriz 
A =
− −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 5 2
3 10 4
1 7 6
 é:
a) ( )− ⋅
−
2
3 10
1 7
 b) ( )− ⋅
−
1
3 10
1 7
 
c) ( )− ⋅
− −
1
5 2
10 4
 d) ( )1
3 10
1 7
⋅
−
 
e) ( )2
10 4
7 6
⋅ 
08.07. Dada a matriz 4 × 4 abaixo, qual é o valor do deter-
minante da matriz E, utilizando o teorema de Laplace?
E =
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
1 0 5 0
2 1 0 3
3 0 2 0
7 0 6 5
36 Extensivo Terceirão
Aperfeiçoamento
08.08. O determinante 
1 0 0 0 0
1 2 0 0 0
1 2 3 1 1
1 2 2 3 1
1 1 0 1 0
 é igual a:
a) –2 b) 0 c) 2 d) 4 e) 5
08.09. Os cofatores dos elementos a12 e a23 da matriz 
1 2 3
5 1
3 1
− −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
a
b
 são respectivamente iguais a 1 e 7. O valor 
de a – b é igual a: 
a) 0 b) 9 c) –1 d) 1 e) –9
08.10. Dada a matriz 5 × 5 abaixo:
W =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
3 2 13 2
1 1 1 1 1
2 0 0 0 1
1 3 2 1 1
4 0 0 0 0
 
O determinante da matriz W é um número:
a) primo.
b) múltiplo de 5.
c) divisível por 7.
d) divisor de 1000.
e) múltiplo de 6. 
08.11. Se P x
x x
x x
x x
( ) ,=
−
1 1 0 2
1 0
1 0
1 0
 então o valor de P(–1) é:
a) 8 b) –8 c) –4 d) 4 e) 0 
08.12. Dada a matriz 4 × 4 abaixo, qual é o valor do deter-
minante da matriz M?
M =
−
−
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
2 3 1 7
0 1 2 1
3 4 5 1
1 0 2 1
 
a) –351 b) –35 c) 7 d) 25 e) 24
Aula 08
37Matemática 2C
Aprofundamento
08.13. Se A e B=
−
−
− −
=
− − −
−
−
− − −
2 5 3 4
7 0 2 1
1 4 5 0
3 0 4 6
2 4 2 3
6 1 3 0
1 3 4 1
3 1 4 5
, 
o determinante da matriz (A + B) é igual a:
a) 1 b) –1 c) 0 d) 2 e) 3
08.14. (PUC – SP) – O determinante 
x
x
x
0 0 0
1 0 0
0 1 1
0 0 1 2
−
−
− −
 
representa o polinômio:
a) –2x3 + x2
b) –2x3 + x2 + 3
c) 3x3 + x2
d) 2x3 – x2 – 3
e) 2x3 + x2 + 3
08.15. (UFG – GO) – Dada a matriz A
x
x
x
x
x
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 8
0 0 1 0
. 
Seja f uma função definida no conjunto dos números reais 
tal que f(x) = det A. O valor de f(–1) é:
a) –3 b) 3 c) –9 d) 7 e) –7
08.16. (UNIOESTE – PR) – A equação
x x2 0
1
10
7 5 0 5 2
10 0 4 2
1 1 1 1
0
−
=, possui duas raízes. 
A respeito dessas raízes, pode-se afirmar que: 
a) uma delas é nula. b) sua soma é 1. 
c) seu produto é 1 d) sua soma é –1.
e) seu produto é –1.
38 Extensivo Terceirão
08.17. (FATEC – SP) – O conjunto dos x reais que satisfazem 
a equação 
0 0 0
3 2 2 1
1 2 1
3 1 0
0
x
x
x −
= é:
a) {0; 1; 2} b) {–1; –1} c) {–1; 0; 1}
d) {–2; 2} e) {–2; 0; 2}
08.18. Qual a soma dos coeficientes de a, b, c, e d em 
a b c d
3 1 3 2
1 1 1 1
2 2 1 3
?
Gabarito
08.01. e
08.02. b
08.03. b
08.04. d
08.05. d
08.06. d
08.07. 65
08.08. a
08.09. b
08.10. e
08.11. a
08.12. e
08.13. c
08.14. d 
08.15. d
08.16. c
08.17. c
08.18. 0 (zero)
08.19. b
08.20. d
Desafio
08.19. (UDESC) – Dadas as matrizes
A B=
−
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2 1 1 3
1 4 2 0
3 2 0 1
1 0 2 1
1 3 2
4 1 1
2 3 2
,
⎥⎥
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥, C
1 2
1 4
 e D = [2] o valor de 
det( ) det( )
det( ) det( )
A B
C D
⋅
⋅
 é igual a: 
a) 0 b) 15 c) 20 d) 10 e) 25
08.20. (EPCAR – AFA) – Sejam a e b números positivos tais que o determinante da matriz 
1 0 0 1
2 0 1
1 1 1
0 0 0 1
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
a
b
 vale 24. Dessa 
forma o determinante da matriz 
b
a
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 é igual a 
a) 0 b) 6 c) –6 d) 6