MetEnsGeo-U4

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EA
D
A Resolução de Problemas 
e o Uso de Materiais 
Didáticos no Ensino 
da Geometria 4
1. OBJETIVO
•	 Identificar,	selecionar	e	aplicar	atividades	de	natureza	ex-
ploratória	e	investigativa,	capazes	de	incrementar	as	prá-
ticas	pedagógicas	no	ensino	da	Geometria.
2. CONTEÚDOS
•	 Pensar	matematicamente.
•	 O	que	dizem	os	PCNs	sobre	a	resolução	de	problemas?
•	 O	que	é	um	problema	e	como	ensinar	a	resolvê-los?
•	 Problemas	geométricos.
•	 Utilização	de	materiais	didáticos.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE
Antes	de	 iniciarmos	o	estudo	desta	unidade,	é	 importante	
que	você	leia	as	orientações	a	seguir:
© Metodologia do Ensino da Geometria114
1)	 Leia	 e	 analise	 com	 atenção	 os	 conteúdos	 e	 exemplos	
disponíveis	no	decorrer	da	unidade,	pois	eles	facilitam	o	
entendimento	dos	conceitos	e	teorias	relacionados.
2)	 Para	 complementar	 seus	 estudos,	 leia	 os	 Parâmetros 
Curriculares Nacionais	 disponíveis	 em:	 <http://www.
mec.gov.br/sef/sef/pcn.shtm>.	Acesso	em:	15	dez.	2011.	
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE
Por que tenho uma visão sombria da geometria nas faculdades e 
universidades? A resposta, simplesmente, é que ensinamos muito 
pouca geometria e o que ensinamos é feito de maneira equivocada 
(GRUNBAUM, 1981, n. p.). 
Na	unidade	anterior,	 você	 conheceu	a	 teoria	de	Van	Hiele	
sobre	a	compreensão	geométrica	e	os	níveis	de	pensamento	geo-
métrico.	A	compreensão	dessa	teoria	servirá	para	diagnosticar	as	
principais	dificuldades	dos	alunos	na	aprendizagem	da	Geometria	
e	escolher	intervenções	para	resolvê-las.
Nesta	 unidade,	 apresentaremos	uma	 abordagem	do	 ensino	
da	Geometria	por	meio	da	resolução	de	problemas,	na	qual	teremos	
a	oportunidade	de	realizar	atividades	que	irão	incrementar	sua	prá-
tica	pedagógica.	Iniciaremos	nossos	estudos	procurando	esclarecer	
o	que	é	"pensar	matematicamente".	
5. PENSAR MATEMATICAMENTE
Você	 sabia	que,	nos	últimos	anos,	 se	observa	entre	os	es-
tudos	e	textos	dos	educadores	matemáticos,	a	disposição	em	en-
fatizar	e	trazer	para	um	plano	de	destaque	a	importância	que	as	
atividades,	 de	 natureza	 exploratória	 e	 investigativa,	 podem	 de-
sempenhar	durante	as	práticas	pedagógicas	no	currículo	de	Mate-
mática	em	todos	os	níveis	de	ensino?
A	importância	de	atribuir-se	ao	ensino	da	Matemática	escolar	
o	objetivo	central	de	pensar matematicamente	(Figura	1)	tem	sido	
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destacada	por	diversos	autores	e	investigadores	da	área	da	Educa-
ção	Matemática.	Eles	 sustentam	que	uma	contribuição	decisiva	à	
compreensão	da	Matemática	pode	surgir	da	realização	de	ativida-
des	que	envolvam	os	alunos	em	problemas	abertos	e	em	explora-
ções	e	investigações	deste	Caderno Referência de Conteúdo.	
Figura	1	Charge 1 – Ensino de Matemática.	
Os	Parâmetros	Curriculares	Nacionais	(PCNs),	para	a	área	de	
Matemática,	constituem	um	referencial	para	a	construção	de	uma	
prática	que	favoreça	o	acesso	ao	conhecimento	matemático	que	
possibilite,	de	fato,	a	inserção	dos	alunos	como	cidadãos,	no	mun-
do	do	trabalho,	das	relações	sociais	e	da	cultura.	
Os	PCNs	enfatizam	que	a	Matemática	está	presente	na	vida	
de	todas	as	pessoas,	em	situações	em	que	é	preciso,	por	exemplo,	
quantificar,	calcular,	 localizar	um	objeto	no	espaço,	ler	gráficos	e	
mapas,	fazer	previsões.	
Esse	documento	mostra	que	é	fundamental	superar	a	apren-
dizagem	centrada	em	procedimentos	mecânicos,	indicando	a	reso-
lução	de	problemas	(Figura	2)	como	o	ponto	de	partida	da	ativida-
de	matemática	a	ser	desenvolvida	em	sala	de	aula.	
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Os	PCNs	destacam	ainda	que	a	Matemática	também	faz	parte	
da	vida	das	pessoas	como	criação	humana,	ao	mostrar	que	ela	tem	
sido	desenvolvida	para	dar	respostas	às	necessidades	e	preocupa-
ções	de	diferentes	culturas,	em	diferentes	momentos	históricos.
Segundo	Polya	(1978),	um	professor	de	Matemática	que	uti-
liza	o	tempo	que	lhe	é	concedido	na	sala	de	aula	para	exercitar	os	
seus	alunos	em	operações	rotineiras	e	mecânicas	compromete	o	
interesse	e	o	desenvolvimento	intelectuais	dos	seus	alunos.	Mas	
se	 os	 desafia,	 apresentando-lhes	 problemas	 interessantes	 e	 os	
orienta	por	meio	de	indagações,	orientações	e	observações,	pode-
rá	despertar-lhes	o	raciocínio	independente	e	lógico.
Figura	2	Charge 2 – Resolução de um problema.
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6. O QUE DIZEM OS PCNS SOBRE A RESOLUÇÃO DE 
PROBLEMAS
Os	educadores	matemáticos,	segundo	os	PCNs,	apontam	a	
resolução	de	problemas	como	ponto	de	partida	da	atividade	ma-
temática.	Desse	modo,	a	resolução	de	problemas,	como	eixo	or-
ganizador	do	processo	de	ensino	e	aprendizagem	de	Matemática,	
pode	ser	resumida	nos	seguintes	princípios:	
1)	 a	situação-problema	é	o	ponto	de	partida	da	atividade	
matemática	e	não	a	definição.	No	processo	de	ensino-
-aprendizagem,	conceitos,	 ideias	e	métodos	matemáti-
cos	devem	ser	abordados	mediante	a	exploração	de	pro-
blemas,	ou	seja,	de	situações	em	que	os	alunos	precisem	
desenvolver	algum	tipo	de	estratégia	para	resolvê-las;
2)	 o	 problema	 certamente	 não	 é	 um	exercício	 em	que	 o	
aluno	 aplica,	 de	 forma	mecânica,	 uma	 fórmula	 ou	 um	
processo	operatório.	Só	há	problema	se	o	aluno	for	leva-
do	a	interpretar	o	enunciado	da	questão	que	lhe	é	posta	
e	a	estruturar	a	situação	que	lhe	é	apresentada;
3)	 aproximações	 sucessivas	de	um	conceito	 são	 construí-
das	para	resolver	um	certo	tipo	de	problema;	num	outro	
momento,	o	aluno	utiliza	o	que	aprendeu	para	resolver	
outros	 problemas,	 o	 que	 exige	 transferências,	 retifica-
ções,	rupturas,	segundo	um	processo	análogo	ao	que	se	
pode	observar	na	história	da	Matemática;
4)	 um	conceito	matemático	se	constrói	articulado	com	ou-
tros	 conceitos,	 por	meio	 de	 uma	 série	 de	 retificações	
e	 generalizações.	 Assim,	 pode-se	 afirmar	 que	 o	 aluno	
constrói	um	campo	de	conceitos	que	toma	sentido	em	
um	campo	de	problemas,	e	não	um	conceito	isolado	em	
resposta	a	um	problema	particular;
5)	 a	resolução	de	problemas	não	é	uma	atividade	para	ser	
desenvolvida	paralelamente	ou	como	aplicação	da	apren-
dizagem,	mas	uma	orientação	para	a	aprendizagem,	pois	
proporciona	o	contexto	em	que	é	possível	aprender	con-
ceitos,	procedimentos	e	atitudes	matemáticas.		
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7. O QUE É UM PROBLEMA E COMO ENSINAR A RE-
SOLVÊ-LO?
Kantowski	(1977)	destaca	que	um	indivíduo	está	perante	um	
problema	quando	se	depara	com	uma	questão	que	não	sabe	resol-
ver	usando	os	conhecimentos	disponíveis.	
A	seguir,	são	mencionados	alguns	aspectos	da	resolução	de	
um	"problema":
•	 Um	problema	deve	despertar	a	curiosidade	do	aluno,	pro-
vocar-lhe	certa	tensão	durante	a	procura	de	um	plano	de	
resolução	e	fazê-lo	sentir	a	alegria	inerente	à	descoberta	
da	solução.
•	 Um	mesmo	problema,	apresentado	a	indivíduos	com	ní-
veis	 de	 pensamento	 diferentes,	 pode	 ser	 problemático	
para	um	e	não	ser	para	o	outro.	Assim,	é	necessário	ter	
conhecimento	 do	 sujeito	 a	 quem	 se	 destina	 a	 questão	
para	termos	certeza	de	se	tratar,	ou	não,	de	um	problema.
•	 Um	problema	matemático	é	uma	situação	que	requer	a	
realização	de	uma	sequência	de	ações	ou	operações	para	
se	obter	um	resultado.	Assim,	a	solução	não	está	disponí-
vel	de	imediato,	mas	é	possível	construí-la.	
Entre	os	educadores	matemáticos,	parece	existir	consenso	no	que	
se	refere	à	existência	de	características	comuns	aos	"bons	resolvedores"	
de	problemas.	Não	existe,	porém,	consenso	no	que	se	refere	à	existência	
de	uma	estratégia	para	ensinar	a	resolver	problemas	(Figura	3).	
No	 entanto,	 existem	 determinados	 ensinamentos	 básicos,	
mencionados	a	seguir,	que	podem	ajudar	os	alunos	na	resolução	
de	problemas:
1)	 ensinar	 ao	 aluno	 conteúdos	 matemáticos	 (se	 o	 aluno	
não	 possuir	 conhecimento	 de	 conceitos	 e	 algoritmos	
matemáticos,	 seu	 campo	 de	 resolução	 deproblemas	
ficará	muito	limitado);
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2)	 orientar	 o	 aluno	 a	 trabalhar	 com	 instrumentos	
tecnológicos	 (permite	 ao	 aluno	 libertar-se	 de	 tarefas	
repetitivas	 e	 diversificar	 estratégias	 de	 resolução	 de	
problemas);
3)	 confrontar	 o	 aluno	 com	 a	 resolução	 de	 problemas	 (o	
aluno	aprende	a	resolver	problemas,	resolvendo-os);
4)	 indicar	ao	aluno	uma	forma	sistemática	e	organizada	de	
resolver	problemas	(compreender	o	problema;	conceber	
um	 plano;	 executar	 o	 plano;	 segundo	 Polya,	 (1978),	
refletir	sobre	o	que	foi	feito);
5)	 ensinar	ao	aluno	estratégias	de	resolução	de	problemas.
Figura	3	Resolução do problema - complexidade de uma resolução de um problema.
Mas,	você	tem	conhecimento	de	estratégias	para	resolução	
de	problemas?
A	seguir,	enumeramos	algumas:	
1)	 compreender	o	enunciado	e	analisar	criticamente	toda	a	
informação	do	texto;
2)	 descobrir	subproblemas;
3)	 desenhar	um	esquema,	traçar	um	gráfico,	fazer	uma	ta-
bela	ou	 simular	a	 situação	com	material	manipulativo,	
se	possível;
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4)	 apresentar	um	problema	já	resolvido	que	tenha	algo	em	
comum	com	o	que	se	pretende	resolver;
5)	 procurar	uma	lei	de	formação	(fórmula);
6)	 trabalhar	do	fim	para	o	princípio;
7)	 verificar	as	implicações	da	solução;
8)	 tentar	resolver	o	problema	de	uma	forma	diferente.
Com	base	nessas	propostas,	você	pode	estar	se	perguntan-
do:	Como	organizar	melhor	as	atividades	de	resolução	de	proble-
mas?	Vejamos!
A	 capacidade	 de	 resolver	 problemas	 desenvolve-se	 lenta-
mente	e	no	decurso	de	um	longo	período	de	tempo,	além	de	re-
sultar	da	combinação	de	um	ensino	bem	planejado	e	na	resolução	
de	problemas	de	diferentes	tipos.	
Nesse	sentido,	cabe	ao	professor,	no	planejamento	de	ensi-
no,	integrar	a	resolução	de	problemas	de	uma	forma	sistemática	
e	organizada.
A	resolução	de	problemas	deverá	ser	encarada	como	um	tra-
balho	sistemático,	organizado,	adaptado	aos	conteúdos	ensinados	
em	sala	de	aula	e	não	como	uma	atividade	esporádica	e	desorde-
nada.	Mas	como	fazer	isso?	Vejamos:
1)	 proporcionar	 aos	 alunos	 experiências	motivadoras	 nas	
quais	experimentem	sucesso;
2)	 propor	aos	alunos	problemas	interessantes;
3)	 sugerir	aos	alunos	problemas	adaptados	aos	conteúdos	
estudados	em	sala	de	aula;
4)	 apresentar	aos	alunos	problemas	variados	e	adequados	
ao	seu	nível	de	conhecimento.	
8. PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
A	 tendência	de	 revalorização	da	Geometria	que,	nos	últimos	
anos,	tem	sido	marcada	pela	evolução	do	ensino	e	do	currículo	ma-
temático,	baseia-se	no	apelo	à	intuição	e	à	visualização,	recorrendo	
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com	naturalidade	à	manipulação	de	materiais,	proporcionando,	desse	
modo,	um	ensino	fortemente	baseado	na	resolução	de	problemas.	
Situações-problema 
A	seguir,	organizamos	algumas	situações-problema	de	Geo-
metria	que,	além	de	servirem	como	atividade	para	esta	unidade,	
podem	ser	utilizadas	na	sala	de	aula.	
Situação-problema 1
Um	triângulo	tem	lados	medindo	17cm,	35cm	e	52cm.	Qual	
é	sua	área?	
Para	resolvermos	este	problema	devemos	 lembrar	que	em	
todo	triângulo	a	medida	de	seus	lados	deve	satisfazer	duas	condi-
ções:	a medida de qualquer um dos lados deve ser menor que a 
soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto 
da diferença entre essas medidas.
Assim,	se	considerarmos	como	a,	b	e	c	as	medidas	dos	lados	
de	um	triângulo	e	obedecermos	as	condições	de	existência,	pode-
mos	escrever	matematicamente:		
•	 ( )b c a b c− < < + ,	ou	seja,	o	lado	a	é	maior	que	a	dife-
rença	em	módulo	entre	os	lados	b	e	c	e	menor	que	a	soma	
dos	lados	b	e	c.
•	 ( )a c b a c− < < + ,	 ou	 seja,	 o	 lado	 b	 é	 maior	 que	 a	
diferença	em	módulo	entre	os	lados	a	e	c	e	menor	que	a	
soma	dos	lados	a e	c.
•	 ( )a b c a b− < < + ,	 ou	 seja,	 o	 lado	 c	 é	 maior	 que	 a	
diferença	em	módulo	entre	os	lados	a	e	b	e	menor	que	a	
soma	dos	lados	a	e	b.
Assim,	de	acordo	com	os	conceitos	e	condições	mencionados	an-
teriormente,	é	possível	constatar	que	a	área	do	triângulo	cujos	lados	
possuem	medidas	17cm,	35cm	e	52cm	é	zero,	pois	as	medidas	desta-
cadas	não	são	lados	de	um	triângulo	e	não	obedecem	as	condições	de	
existência	de	um	triângulo,	como	pode	ser	observado	a	seguir:
© Metodologia do Ensino da Geometria122
•	 ( )35 52 17 35 52− < < + ,	o	que	é	falso,	pois	17 17 87< < ,	
ou	seja,	17 17< .
•	 ( )17 52 35 17 52− < < + 	o	que	é	falso,	pois	 35 17 69< < ,	
ou	seja,	35 17< .
•	 ( )17 35 52 17 35− < < + 	o	que	é	falso,	pois	18 52 52< < ,	
ou	seja,	52 52< .
Situação-problema 2 
Como	podemos	cortar	um	queijo	prato	em	oito	pedaços	com	
apenas	três	cortes	de	faca?	
Se	imaginarmos	o	queijo	prato	como	um	paralelepípedo,	primei-
ramente,	 cortamos	horizontalmente	 o	queijo	 formando	duas	partes	
(superior	e	inferior).	Em	seguida,	cortamos	em	formato	de	cruz	(verti-
calmente),	obtendo,	assim,	as	oito	partes	desejadas.	Utilizamos	o	mes-
mo	procedimento	se	considerarmos	o	queijo	em	forma	de	cilindro.
Situação-problema 3
Cada	um	dos	dois	lados	iguais	de	um	triângulo	isósceles	tem	
uma	unidade	de	comprimento	e	sua	área	é	a	maior	possível	nessas	
condições.	Quanto	mede	o	terceiro	lado?	
Se	considerarmos	dois	lados	com	medidas	de	uma	unidade	
a,	fazendo	um	deles	como	base,	e	o	outro	formando	diferentes	ân-
gulos	em	relação	ao	primeiro,	teremos	três	construções	possíveis	
quanto	aos	ângulos	(obtusângulo,	reto	e	acutângulo),	como	pode	
ser	observado	na	Figura	4.	
Figura	4	Triângulos isósceles.
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Como	o	enunciado	destaca	que	a	área	do	triângulo	deve	ser	a	
maior	possível	e	a	base	é	sempre	uma	unidade,	teremos	uma	maior	
área	para	uma	maior	altura.	Assim,	a	área	será	máxima	quando	a	
altura	for	máxima	(uma	unidade),	pois	a	base	não	se	altera.
A	única	situação	que	satisfaz	essa	condição	é	quando	o	tri-
ângulo	é	retângulo	isósceles.	Nessas	condições,	utilizando-se	o	te-
orema	de	Pitágoras	é	possível	calcular	a	medida	do	terceiro	lado,	
que	é	a	hipotenusa	desse	triângulo	retângulo	isósceles:
2 2 2 2 22 2a a a a= + ⇒ = ⇒ =   	
Portanto,	a	área	será	máxima	quando	o	triângulo	for	retân-
gulo	e	isósceles	e	a	medida	do	terceiro	lado	será	 2a .
Situação-problema 4
Um	triângulo	equilátero	e	um	hexágono	regular	possuem	o	
mesmo	perímetro.	Se	a	área	do	triângulo	é	8cm2,	qual	será	a	área	
do	hexágono?
Observe	que	se	construirmos	um	triângulo	equilátero	e	um	he-
xágono	regular	com	o	mesmo	perímetro	6a	como	na	Figura	5,	e	subdi-
vidirmos	o	triângulo	equilátero	e	o	hexágono	regular	em	quatro	e	seis	
triângulos	equiláteros	congruentes	de	lado	a	e	mesma	área	
2 3
4
a ,	é	
possível	afirmar	que	a	razão	entre	as	áreas	do	triângulo	equilátero	e	
do	hexágono	é	de	quatro	para	seis.
Figura	5	Hexágono regular e triângulo equilátero.
© Metodologia do Ensino da Geometria124
Assim,	considerando-se	a	proporção	entre	a	quantidade	de	
triângulos	equiláteros	de	 lado	a	do	hexágono	regular	 (seis)	e	do	
triângulo	equilátero	(quatro),	conclui-se	que	se	a	área	do	triângulo	
é	de	8cm2,	a	área	do	hexágono	é	de	12cm2.
Situação-problema 5
Na	Figura	6,	a	seguir,	temos	um	triângulo	isósceles	AEF	(AF	=	
AE)	com	um	caminho	de	cinco	segmentos	congruentes	AB	=	BC =	
CD =	DE	=	EF,	determine	a	medida	em	graus	do	ângulo	A.
A
B
D F
EC
Figura	6	Triângulo isósceles.
Para	solucionar	este	problema	devemos	considerar	o	teore-
ma	do	ângulo	externo	que	enuncia:	a	medida	do	ângulo	externo	
de	um	triângulo	é	igual	à	soma	das	medidas	dos	ângulos	internos	
não	adjacentes.
Assim,	no	triângulo	isósceles	ABC de	base	AC,	os	ângulos	A	
e	C são	congruentes	e	denominamos	x.	Então,	o	ângulo	externo	
DBC	possui	medida	2x.	No	triângulo	isósceles	BCD	de	base	BD	os	
ângulos	B	e	D	são	congruentese	possuem	medidas	2x.	
Considerando	agora	o	triângulo	ACD,	podemos	afirmar	que	
o	ângulo	DCE	é	ângulo	externo	do	triângulo	ACD	e	possui	medida	
3x,	pois	sua	medida	é	igual	à	soma	das	medidas	do	ângulo D	(2x)	e	
do	ângulo	A	(x)	do	triângulo	ACD.
Observe	que	no	triângulo	isósceles	CDE	de	base	CE	os	ângu-
los	C	e	E	são	congruentes	e	possuem	medida	igual	a	3x.	Se	conside-
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rarmos	agora	o	triângulo	ADE,	podemos	afirmar	que	o	ângulo EDF 
é	ângulo	externo	a	esse	triângulo	e,	portanto,	possui	medida	igual	
a	4x,	pois	sendo	ele	externo,	sua	medida	é	igual	à	soma	do	ângulo	
E	(3x)	com	o	ângulo	A	(x)	do	triângulo	ADE.
Assim,	observe	que	no	triângulo	isósceles	DEF	de	base	DF os	
ângulos	D	e	F	são	congruentes	e	possuem	medida	igual	a	4x.	
Observe,	agora,	que	o	triângulo	AEF	é	isósceles	de	base	EF	e	
podemos	concluir	que	a	medida	do	ângulo	E	é,	também,	4x,	pois	a	
medida	do	ângulo	F,	como	vimos	anteriormente,	é	igual	a	4x.
Para	 finalizar,	 sabemos	que	o	 triângulo	AEF	 é	 isósceles	 de	
base	EF	e	que	as	medidas	dos	ângulos	são:	A	=	x,	E	=	4x	e	F	=	4x.	
Sabemos,	também,	que	a	soma	das	medidas	dos	ângulos	internos	
de	qualquer	triângulo	resulta	180°.	Assim,	temos:
4 4 180 9 180 20x x x x x+ + = °⇒ = °∴ = ° 
Conclui-se,	portanto,	que	a	medida	do	ângulo	A	do	triângulo	
isósceles	AEF	é	20°.
Situação-problema 6
Observe	com	atenção	a	Figura	7,	na	qual	aparece	um	quadrilátero	
formado	por	dois	paralelogramos.	Em	cada	um	desses	paralelogramos	
foi	traçada	uma	diagonal.	Qual	das	duas	diagonais,	AB	e	BC,	é	a	maior?	
A
B
C
Fonte:	Tahan,	(1997,	p.	52). 
Figura	7	Triângulos isósceles.
© Metodologia do Ensino da Geometria126
Como	o	enunciado	não	 fornece	nenhuma	medida	devemos	
medir	as	diagonais	com	uma	régua	e	constatar	que	a	medida	da	dia-
gonal	BC é	igual	a	da	diagonal	AB	ou,	então,	de	posse	de	um	compas-
so	fixarmos	a	ponta	seca	em	B	e	com	a	abertura	do	compasso	igual	
à	medida	AB	(raio)	construirmos	uma	circunferência	e	constatarmos	
que	a	medida	BC	é,	também,	raio	dessa	circunferência	de	centro	B.
Podemos	realizar	uma	construção	geométrica	para	melhor	
compreensão	 da	 solução	 do	 problema.	 Para	 isso,	 foi	 construído	
um	paralelogramo	a	partir	de	uma	circunferência,	onde	B	é	cen-
tro	da	circunferência	e	AB	e	BC	são	o	raio	da	circunferência,	como	
pode	ser	observado	na	Figura	8.
Figura	8	Paralelogramo.
Outra	 solução	 para	 o	 problema	 é	 transformarmos	 o	
paralelogramo	 em	 um	 retângulo	 (pontilhado),	 como	 mostra	 a	
Figura	 9.	Observe	 que	 o	 ponto	B	 é	 ponto	médio	 do	 lado	maior	
do	 retângulo	 (pontilhado),	 portanto,	 podemos	 concluir	 que	 os	
segmentos	AB	e	BC	são	congruentes.
127
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© U4 – A Resolução de Problemas e o Uso de Materiais Didáticos no Ensino da Geometria
A
B
C
Figura	9	Paralelogramo.
Assim,	é	possível	concluir	que	as	diagonais	AB	e	BC são	raios	
da	circunferência	de	centro	B	e,	portanto,	AB	=	BC.
Situação-problema 7
Se	partirmos	de	um	cubo	e	duplicarmos	o	comprimento	da	
sua	aresta,	qual	a	relação	entre	o	volume	do	cubo	obtido	e	o	volu-
me	do	cubo	inicial?
Para	resolver	esse	problema,	vamos	inicialmente	considerar	
um	cubo	com	arestas	a	e	um	cubo	com	arestas	2a,	como	podemos	
observar	na	Figura	10.
Figura	10	Paralelogramo.
O	cubo	com	arestas	a	possui	volume	igual	a3,	enquanto	o	cubo	
com	arestas 2a	possui	volume	igual	(2a)3,	o	que	equivale	a	8a
3.	Po-
demos,	então,	concluir	que	o	cubo	obtido	com	o	dobro	das	arestas	
do	cubo	inicial	possui	volume	oito	vezes	maior	que	o	cubo	original.
© Metodologia do Ensino da Geometria128
Situação-problema 8
Em	um	terreno	de	forma	quadrada	um	proprietário	ergueu	uma	
casa	na	parte	hachurada,	conforme	aponta	a	Figura	11.	Nesse	terreno,	
existiam	plantadas	segundo	a	disposição	regular	15	árvores.	Como	divi-
dir	o	terreno	em	cinco	partes	iguais	em	forma	e	em	grandeza,	de	modo	
que	cada	uma	dessas	partes	contenha	o	mesmo	número	de	árvores?
Fonte:	Tahan,	(1997,	p.	72).
Figura	11	Terreno de forma quadrada.
Para	resolver	esse	problema	devemos	ficar	atentos	ao	enun-
ciado	do	problema	que	descreve	que	os	cinco	terrenos	devem	ser	
iguais	em	forma	e	na	quantidade	de	árvores	que	contém	cada	ter-
reno.	Assim,	dividimos	o	terreno	de	acordo	com	a	Figura	12.
Figura	12	Resolução.
Situação-problema 9
Um	carpinteiro	possui	uma	prancha	de	0,80m	de	comprimento	
e	0,30m	de	largura	(observe	a	Figura	13)	e	deseja	cortá-la	em	dois	pe-
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© U4 – A Resolução de Problemas e o Uso de Materiais Didáticos no Ensino da Geometria
daços	iguais,	de	modo	a	obter	uma	peça	retangular	que	tenha	1,20m	
de	comprimento	e	0,20m	de	largura.	Como	ele	deve	proceder?	
0,80m
0,30m
Fonte:	Tahan,	(1997,	p.	35).
Figura	13	Prancha retangular.
Para	resolver	o	problema	a	prancha	deve	ser	cortada	como	
indica	a	Figura	14,	de	maneira	que	obtenhamos	duas	partes.
Figura	14	Resolução.
Em	seguida,	 essas	partes	deverão	 ser	 separadas	e	 coladas	
de	acordo	com	a	Figura	15,	obtendo-se,	assim,	uma	prancha	de	
1,20m	de	comprimento	por	0,20m	de	largura.
Figura	15	Resolução.
Situação-problema 10
Durante	as	férias,	um	professor	teve	seu	peso	aumentado	de	
1/9.	Para	que	esse	professor	volte	ao	seu	peso	anterior,	ele	deve	
fazer	um	regime	para	perder	quanto	de	seu	peso	atual?
© Metodologia do Ensino da Geometria130
O	problema	pode	ser	facilmente	resolvido	utilizando-se	con-
ceitos	 geométricos.	 Assim,	 representemos	 o	 peso	 do	 professor	
antes	das	férias	por	meio	de	um	quadrado	dividido	em	nove	qua-
dradinhos	 iguais	 (observe	a	Figura	16),	cada	quadradinho	repre-
sentando	1/9	do	peso	total	do	professor.	
Figura	16	Representação do peso.
Note	que,	de	acordo	com	o	enunciado,	durante	as	 férias,	o	
peso	do	professor	foi	aumentado	de	1/9	e,	assim,	representamos	
seu	peso	por	dez	quadradinhos	iguais,	conforme	mostra	a	Figura	17.
Figura	17	Resolução.
Portanto,	para	que	seu	peso	volte	ao	normal,	ele	deve	per-
der	um	desses	dez	quadradinhos,	ou	seja,	1/10	do	seu	peso	atual.
9. O LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA E A 
GEOMETRIA
Apesar	da	reconhecida	importância	da	Matemática	no	con-
texto	da	formação	geral	dos	cidadãos,	as	avaliações	locais,	regio-
131
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© U4 – A Resolução de Problemas e o Uso de Materiais Didáticos no Ensino da Geometria
nais,	nacionais	e	internacionais	sobre	o	ensino	e	a	aprendizagem	
têm	mostrado	 um	baixo	 desempenho	de	 nossos	 alunos	 eviden-
ciando	uma	ausência	de	conexão	entre	as	propostas	de	ensino	ela-
boradas	pelos	órgãos	governamentais	e	os	resultados	constatados	
nas	instituições	de	ensino.
De	acordo	com	Ponte	(1988),	a	concepção	que	se	tem	da	Ma-
temática	e	os	objetivos	perseguidos	no	seu	ensino	surgem	como	
os	elos	fundamentais	por	onde	se	pode	agir	em	relação	ao	proble-
ma	do	insucesso.	É	possível	redirecionar	o	ensino	deste	Caderno 
Referência de Conteúdo de	modo	a	torná-lo	uma	experiência	es-
colar	de	sucesso.	Isso	pressupõe,	naturalmente,	uma	intervenção	
nos	mais	diversos	níveis,	incluindo	as	práticas	pedagógicas,	o	cur-
rículo,	o	sistema	educativo	e	a	própria	sociedade	em	geral.	Assim,	
Ponte	(1988)	propõe	o	enriquecimento das práticas pedagógicas,	
valorizando-se	o	 trabalho	de	 grupo,	 a	 realização	de	projetos,	 as	
atividades exploratórias e de investigação,	a	resolução	de	proble-
mas,	a	discussão	e	a	reflexão	crítica	das	ações	de	ensino.
Lorenzato	 (2006,	 p.	 77)	 destaca	 a	 necessidade	de	 as	 insti-
tuições	de	ensino	 superior	que	oferecem	cursos	de	 Licenciatura	
em	Matemática	disponibilizarem	um	espaço	para	a	 implantação	
do	Laboratório	de	Matemática.
Se	considerarmos	que,	mais	importante	do	que	ter	acesso	aos	ma-
teriais	é	 saber	utilizá-los	corretamente,	então	não	há	argumento	
que	 justifique	a	ausência	do	Laboratório	de	Matemática	nas	 ins-
tituições	responsáveis	pela	formação	de	professores,	pois	é	nelas	
que	os	professores	devem	aprender	a	utilizar	os	materiaisde	en-
sino.	Nesse	sentido,	é	inconcebível	um	bom	curso	de	formação	de	
professores	de	matemática	sem	um	Laboratório	de	Matemática.
Assim,	o	Laboratório	de	Matemática	(LM)	constitui	um	im-
portante	espaço	de	experimentação	para	o	aluno	e,	em	especial,	
para	o	professor,	que	tem	a	oportunidade	de	avaliar	na	prática	no-
vos	materiais	e	metodologias,	resultado	de	pesquisas	disponibili-
zadas	na	 literatura,	ampliando	 sua	 formação	de	modo	crítico.	O	
espaço,	ainda,	incentiva	a	melhoria	da	formação	inicial	e	continu-
ada	de	educadores	de	Matemática,	promovendo	a	integração	das	
ações	de	ensino,	pesquisa	e	extensão.
© Metodologia do Ensino da Geometria132
Uma	das	linhas	de	investigação	e	ação	do	LM	compreende	
a	elaboração	de	materiais	didáticos	de	Matemática	e	Geometria,	
considerando	que	a	função	do	material	didático	é	auxiliar	o	profes-
sor	a	tornar	o	ensino	da	Matemática	mais	atraente	e	acessível.	Um	
recurso	didático	pode	ser	reestruturado,	compreendendo-se	que	
a	aprendizagem	não	reside	em	sua	estrutura	física	ou	na	simples	
ação	sobre	ele,	mas	resulta	do	aprofundamento	de	reflexões	sobre	
a	ação.
As	atividades	realizadas	no	Laboratório	de	Matemática	(LM)	
devem	auxiliar	os	alunos	a:
1)	 Ampliar	a	 linguagem	matemática,	promover	a	comuni-
cação	de	ideias,	adquirir	estratégias	de	resolução	de	pro-
blemas	e	de	planejamento	de	ações	pedagógicas.
2)	 Estimular	a	concentração,	perseverança,	raciocínio,	cria-
tividade	 e	 a	 formação	 de	 conceitos	 matemáticos	 por	
meio	da	observação	e	da	experimentação.
3)	 Criar	um	ambiente	agradável	em	torno	do	ensino	da	Ma-
temática,	promovendo	o	sucesso	e	evitando	o	fracasso	
escolar.
4)	 Buscar	 o	 conhecimento	 teórico-prático,	 aprender	 a	
aprender,	 cooperar,	 desenvolver	 consciência	 crítica	 e	
participação	ativa	e	promover	a	troca	de	ideias	e	experi-
ências	por	meio	de	atividades	de	grupo.
Segundo	 Lorenzato	 (2006),	 o	 Laboratório	 de	 Matemática	
deve	ser	um	espaço	físico	destinado	à	criação	de	situações	peda-
gógicas	desafiadoras,	uma	sala	ambiente	na	qual	é	possível	estru-
turar,	organizar,	planejar	e	fazer	acontecer	o	pensamento	matemá-
tico.	Ele	argumenta	que	a	implantação	desse	espaço	deve	ser	uma	
aspiração	grupal,	uma	conquista	de	professores,	administradores	
e	alunos.	
Nesse	sentido,	o	material	didático	exerce	um	importante	pa-
pel	na	aprendizagem,	pois	facilita	a	observação	e	a	análise,	desen-
volve	o	raciocínio	lógico,	crítico	e	científico,	é	fundamental	para	o	
ensino	experimental,	auxiliando	o	aluno	na	formação	de	seus	co-
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© U4 – A Resolução de Problemas e o Uso de Materiais Didáticos no Ensino da Geometria
nhecimentos.	Assim,	jogos,	quebra-cabeças,	sólidos	geométricos,	
modelos	estáticos	ou	dinâmicos,	materiais	didáticos	industrializa-
dos,	 instrumentos	 de	medida,	 transparências,	 filmes,	 softwares,	
calculadoras,	computadores,	entre	outros,	deverão	fazer	parte	do	
Laboratório	de	Matemática.
Lorenzato	(2006)	destaca,	ainda,	que	talvez	a	melhor	das	po-
tencialidades	do	uso	do	material	didático	seja	revelada	no	momento	
de	sua	construção pelos próprios alunos	e	professores,	pois	é	du-
rante	a	construção	que	surgem	imprevistos	e	desafios,	os	quais	con-
duzem	a	refletir,	fazer	conjecturas	e	descobrir	caminhos	e	soluções.
Nesse	sentido,	é	preciso	que,	no	decorrer	das	atividades	re-
alizadas	no	 Laboratório	de	Matemática,	 os	 alunos	 e	professores	
sejam	estimulados	na	construção	e	reconstrução	do	saber	mate-
mático,	utilizando	materiais	didáticos	e	instrumentos	necessários	
à	sua	produção	e	confecção.	
10. UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS DIDÁTICOS NO ENSI-
NO DE GEOMETRIA
O	que	é	material?	Material	é	um	conjunto	de	objetos	que	
constituem	ou	formam	uma	obra,	construção.	Utensílios	de	uma	
escola	ou	de	qualquer	outro	estabelecimento.	Mobiliário.
O	que	é	didático?	Didático	é	relativo	ao	ensino.	Próprio	para	
instruir,	 transmitir	 conhecimentos,	 ensinar,	 habilitar,	 esclarecer,	
exercitar,	informar.
Mas,	o	que	é	material	didático?	
Podemos	 defini-lo	 como	 qualquer	 recurso a ser utilizado 
num processo que combina aprendizagem e formação.
O material didático facilita	a	observação	e	a	análise,	desen-
volve	o	raciocínio	lógico,	crítico	e	científico,	é	fundamental	para	o	
ensino	experimental	e	auxilia	o	aluno	na	aquisição	de	seus	conhe-
cimentos.	Sua	finalidade	é	auxiliar	o	professor	na	apresentação	de	
© Metodologia do Ensino da Geometria134
um	assunto,	motivar	e	ajudar	os	alunos	no	aprendizado	de	concei-
tos,	além	de	tornar	o	ensino	da	Matemática	e	da	Geometria	mais	
acessível	aos	alunos.
Existem	alguns	tipos	de	materiais	didáticos	que	o	professor	
deve	conhecer:
•	 Estático:	 não	 dá	 liberdade	 para	 fazer	 modificações	 em	
suas	 formas,	 permitindo	 somente	 a	 observação	 (exem-
plos:	 sólidos	 geométricos	 construídos	 em	 madeiras	 ou	
cartolinas,	livros	didáticos,	filmes,	etc.).
•	 Dinâmico:	permite	maior	participação	dos	alunos	e	trans-
formações	 por	 continuidade;	 facilita	 a	 realização	 de	 re-
descobertas	 e	 a	 percepção	 de	 propriedades	 (exemplos:	
ábaco,	material	montessoriano,	jogos	de	tabuleiro,	Geo-
plano,	Tangram	etc.).
É	 muito	 difícil	 caracterizar	 algo	 que	 não	 tenhamos	 visto.	
Quando	falamos	a	palavra	cadeira,	flui,	em	nossas	mentes,	a	ideia	
correspondente	ao	objeto,	sem,	no	entanto,	precisarmos	dos	atri-
butos	de	tamanho,	cor,	forma	etc.
Os	 conceitos	 e	 propriedades	 geométricas	 evoluem	 com	 o	
processo	de	abstração	Logo,	quando	abstraímos,	separamos	algu-
ma	propriedade	sensorial	própria	do	objeto. 
Assim,	algumas	potencialidades	de	utilização	do	material	di-
dático	podem	ser	destacadas:
1)	 Constatar	 conceitos	 que	 precisam	 ser	 revistos	 ou	 am-
pliados	 (todo	 quadrado	 é	 um	 losango,	mas	 nem	 todo	
losango	é	um	quadrado,	por	exemplo).
2)	 Facilitar	a	aprendizagem,	qualquer	que	seja	o	assunto,	
curso	ou	idade.
3)	 Regular	o	ritmo	de	ensino	para	a	aula,	uma	vez	que	pos-
sibilita	ao	aluno	aprender	em	seu	próprio	ritmo	e	não	no	
ritmo	pretendido	pelo	professor.
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© U4 – A Resolução de Problemas e o Uso de Materiais Didáticos no Ensino da Geometria
4)	 Favorecer	a	alteração	da	ordem	de	abordagem	do	con-
teúdo	programático,	propiciando	a	antecipação	de	con-
ceitos	e	conteúdos.
5)	 Um	mesmo	material	didático	pode	ser	utilizado	para	um	
assunto,	porém,	em	diferentes	níveis	de	conhecimento	
(exemplo:	Teorema	de	Pitágoras).
6)	 Material	didático	versus	computador:	o	material	didáti-
co	pode	representar	um	pré-requisito	para	que	se	dê	a	
aprendizagem	através	do	computador.
7)	 É	preciso	que	haja	uma	atividade	mental,	e	não	somen-
te	atividades	de	manipulação	dos	objetos,	por	parte	do	
aluno.
8)	 Deve	ser	constituído	de	materiais	de	baixo	custo,	de	fácil	
utilização	e	possibilidade	de	reaproveitamento.
9)	 Analisar	as	vantagens	e	desvantagens	dos	materiais	em-
pregados;	custo	e	disponibilidade;	tempo	de	elaboração;	
riscos	de	acidentes	no	processo;	durabilidade;	resistên-
cia;	direcionamento	para	os	objetivos	cognitivos	progra-
mados;	resultados	estéticos.
No	entanto,	possíveis	obstáculos	surgem	ao	utilizarmos	al-
gum	tipo	de	material	didático	em	nossas	aulas:
1)	 As	políticas	educacionais,	emanadas	dos	governos	fede-
ral,	estadual	ou	municipal,	geralmente	não	recomendam	
ou	orientam	seus	educadores	a	utilizarem	esse	recurso	
em	suas	práticas	pedagógicas.
2)	 Raras	são	as	escolas	de	Ensino	Fundamental	ou	Médio	
que	 possuem	 ou	 disponibilizam	 material	 didático	 aos	
seus	alunos	e	professores.
3)	 Poucas	 são	 as	 instituições	 responsáveis	 pela	 formação	
de	 professores	 que	 ensinam	 seus	 alunos	 a	 utilizarem	
material	didático.
4)	 Muitos	professores	não	sentem	necessidade	de	utilizar	
material	didático	em	suas	práticas	pedagógicas,	ou	não	
dispõem	dele,	ou	não	acreditam	nas	 influências	positi-
vas	de	seu	uso	na	aprendizagem,	ou	não	sabem	utilizá-lo	
corretamente.
© Metodologia do Ensino da Geometria136
5)	 Há	aqueles	que,	por	diferentes	motivos,	resistem	às	mu-danças	didáticas	e,	pior	ainda,	opinam	contra	o	uso	do	
material	didático	sem	o	conhecerem	ou	sem	o	terem	ex-
perimentado.
Cuidados	básicos	que	devem	ser	observados	pelos	professo-
res	ao	utilizarem	materiais	didáticos:
1)	 Dar	tempo	para	que	os	alunos	conheçam	o	material	(li-
vre	exploração).
2)	 Incentivar	a	comunicação	e	troca	de	ideias,	além	de	dis-
cutir	com	os	alunos	os	diferentes	processos,	resultados	
e	estratégias	envolvidas.
3)	 Verificar,	 sempre	 que	 necessário,	 o	 desenvolvimento	
das	atividades	por	meio	de	perguntas	ou	da	 indicação	
de	materiais	de	apoio,	solicitando	aos	alunos	o	registro	
individual	ou	coletivo	das	ações	realizadas,	das	conclu-
sões	e	dúvidas.
4)	 Realizar	uma	escolha	responsável	e	criteriosa	do	mate-
rial	didático.
5)	 Planejar	com	antecedência	as	atividades,	procurando	co-
nhecer	os	recursos	a	serem	utilizados,	para	que	possam	
ser	explorados	de	forma	eficiente,	usando	o	bom	senso	
para	adequá-los	às	necessidades	dos	alunos,	sugerindo	
modificações	ao	longo	do	processo	quando	necessário.
6)	 Estimular,	sempre	que	possível,	a	participação	do	aluno	
e	de	outros	professores	na	confecção	do	material.
A	seguir,	são	mencionados	alguns	critérios	de	seleção	de	um	
material	didático	que	devem	ser	observados	:
1)	 Proporcionar	ao	aluno	a	vivência	do	conceito	matemáti-
co	ou	das	ideias	a	serem	exploradas.
2)	 Apresentar	claramente	o	conceito	matemático.
3)	 Ser	motivador.
4)	 Ser	apropriado	para	utilização	em	diferentes	etapas	da	
vida	escolar	e	em	diferentes	níveis	de	formação	de	con-
ceitos.
5)	 Desenvolver	a	abstração	e	a	habilidade	manual	do	aluno.
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© U4 – A Resolução de Problemas e o Uso de Materiais Didáticos no Ensino da Geometria
Após	cada	atividade,	além	do	registro	e	da	busca	de	asso-
ciação	 do	 conhecimento	 desenvolvido,	 abre-se	 um	 espaço	 para	
discutir	as	habilidades	que	estão	sendo	desenvolvidas	com	a	reali-
zação	e	reflexão	sobre	ela.
Diante	do	que	foi	exposto	sobre	a	utilização	de	material	di-
dático	nas	aulas	de	Matemática	e	Geometria,	destacamos,	a	se-
guir,	algumas	atividades	geométricas	que	utilizam	esses	recursos.
11. ATIVIDADES GEOMÉTRICAS COM MATERIAIS DI-
DÁTICOS
Para	realizar	as	atividades	siga	as	instruções,	resolva	os	exercícios	
e	situações-problema	sugeridos	e	responda	às	perguntas	propostas.	
Para	a	primeira	atividade,	corte	três	tiras	de	papel	com	apro-
ximadamente	 30cm	 de	 comprimento	 e	 4cm	 de	 largura.	 Depois	
de	recortadas,	cole	as	tiras	formando	cada	uma	um	anel	comum,	
como	indicado	na	Figura	18.
Fonte:	Lorenzato,	(2006,	p.	45).
Figura	18	Anel de papel.
Antes	de	 iniciarmos	as	atividades	de	experimentação,	deve-
mos	questionar	os	 alunos	 sobre	o	que	 irá	 acontecer.	 Tal	 procedi-
mento,	gera	conjecturas,	análise	e	reflexão	sobre	a	prática	realizada.
Em	seguida,	podemos	realizar	alguns	questionamentos	aos	
alunos	 antes	 de	 realizarmos	 a	 atividade:	 O	 que	 acontecerá	 se	
cortarmos	um	desses	anéis	ao	meio,	ao	longo	da	linha	pontilhada?	
© Metodologia do Ensino da Geometria138
Depois	 de	 enunciadas	 as	 previsões	 pelos	 alunos	 é	 preciso	
fazer	o	corte	da	fita	e	verificar	se	as	conjecturas	descritas	anterior-
mente	se	verificam	na	prática.	Ao	realizar	essa	experimentação	o	
próprio	aluno	deverá	concluir	por	escrito	suas	observações.	
Vamos,	agora,	colar	dois	anéis,	com	as	mesmas	medidas	do	
anterior,	um	perpendicular	ao	outro,	como	indicado	na	Figura	19.
Fonte:	Lorenzato,	(2006,	p.	45).
Figura	19	Anel de papel.
O	que	acontecerá	se	cortarmos	esses	anéis	ao	meio,	ao	longo	
das	linhas	pontilhadas?	Como	no	procedimento	anterior,	devemos	
antes	de	realizar	a	atividade,	questionar	os	alunos	sobre	o	que	pro-
vavelmente	irá	acontecer.	Feitas	as	previsões	e	conjecturas,	realiza-
mos	o	corte,	verificamos	os	resultados	obtidos	e	confrontamos	com	
as	hipóteses	e	conjecturas	realizadas	pelos	alunos	antes	do	corte.
Como	destaca	Lorenzato	(2006	p.	45)	
[...]	quando	o	primeiro	anel	é	cortado,	o	conjunto	fica	semelhante	a	
uma	algema	(uma	tira	com	duas	argolas,	uma	em	cada	extremida-
de).	Em	seguida,	cortar	a	tira	ao	meio,	pois	esta	corresponde	a	uma	
das	argolas	que	estavam	inicialmente	coladas.
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© U4 – A Resolução de Problemas e o Uso de Materiais Didáticos no Ensino da Geometria
Nessa	atividade,	podemos	aproveitar	 a	oportunidade	para	
explorarmos	 conceitos	 e	 propriedades	 inerentes	 a	 essa	 figura	
como,	quadrilátero	 com	 lados	 congruentes	paralelos	dois	 a	dois	
com	quatro	ângulos	 retos,	duas	diagonais	e	que	recebe	o	nome	
especial	de	quadrado.
Em	seguida,	podemos	investigar	quais	modificações	devem	
ser	realizadas	(no	tamanho	dos	anéis	ou	na	forma	de	colá-los)	para	
que	o	resultado	seja	um	losango	(não	quadrado).	Da	mesma	for-
ma	que	os	procedimentos	anteriores,	devemos	levantar	hipóteses,	
comprová-las	na	prática	e	realizar	intervenções	sobre	conceitos	os	
envolvidos.	Neste	caso,	para	obtermos	um	losango	não	quadrado,	
devemos	colar	as	duas	argolas	de	maneira	tal	que	não	fiquem	per-
pendiculares	entre	si.
Dando	 prosseguimento	 às	 nossas	 experimentações,	 pode-
mos	questionar	quais	modificações	devem	ser	 realizadas	 (no	 ta-
manho	dos	anéis	ou	na	 forma	de	colá-los)	para	que	o	 resultado	
seja	um	retângulo	(não	quadrado)?	Podemos	também	incentivar	
os	alunos	a	criarem	situações	novas	para	que	apresentem	e	façam	
desafios	aos	colegas	de	classe.
Outra	atividade	com	material	didático	possível	de	ser	realiza-
da	em	sala	de	aula	e	que	apresenta	bons	resultados	no	estudo	da	
Geometria	é	a	utilização	de	blocos	padrão	(mosaicos),	peças	geo-
métricas	confeccionadas	em	madeira,	EVA,	papel	ou	papelão,	que	
podem	ser	utilizados	no	estudo	de	conceitos	geométricos,	mate-
máticos	e	de	padrões.	
São	constituídos	de	seis	peças	distintas,	em	cores	diferentes,	
sendo:	24	triângulos	(verde);	24	losangos	(azul);	dez	quadrados	(la-
ranja);	20	trapézios	(vermelho);	dez	losangos	menores	(branco);	12	
hexágonos	(amarelo)	como	podem	ser	observados	na	Figura	20.
Com	os	 blocos	 lógicos	 é	 possível	 explorar	 conceitos	 como	
diagonais.	Assim,	 temos	que	o	hexágono	possui	nove	diagonais,	
o	 trapézio,	 o	 losango	 e	 o	 quadrado	diagonais	 e	 o	 triângulo	 não	
possui	diagonais.
© Metodologia do Ensino da Geometria140
	(1)																					(2)																				(3)												(4)																					(5)																													(6)
Figura	20	Peças (mosaicos).				
Podemos	verificar,	por	exemplo,	em	quais	das	peças	a	seguir	
(a,	b,	c e	d)	se	encaixam	exatamente	duas	peças	nº	5	da	Figura	20?	
	(a)																						(b)															(c)																				(d)
Figura	21	Peças geométricas.	
Se	observarmos	as	peças	a	e	b,	é	possível	concluir	que	duas	
peças	nº	5	(losango	–	Figura	20)	se	encaixam	adequamente	nelas.	
Veja	essa	solução	na	Figura	22.
	(a)																							(d)
Figura	22	Peças a e b.
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Continuando	com	as	investigações	e	explorações	de	concei-
tos	e	conteúdos	geométricos,	podemos	indagar	em	quais	das	pe-
ças	da	Figura	21	podem	se	encaixar	cinco	peças	nº	4	(triângulo)	da	
Figura	20?	Observe	que	a	resposta	é	a	peça	c.
(c)			
Figura	23	Peça c.
Se	considerarmos	um	triângulo	como	uma	unidade	de	área	
(ua),	qual	é	a	área	das	peças a,	b,	c	e	d?	Observe	a	Figura	24	e	a	
respectiva	resposta.
	(a)																								(b)																				(c)																				(d)
Figura	24	Área das peças.
•	 Área	da	peça	a	=	4ua.
•	 Área	da	peça	b	=	3ua.
•	 Área	da	peça	c	=	5ua.
•	 Área	da	peça	d =	4ua.
© Metodologia do Ensino da Geometria142
Observando	as	peças	a	e	d,	é	possível	constatar	que	elas	são	
equivalentes,	pois	possuem	a	mesma	área.
Se	considerarmos	que	o	lado	do	triângulo	tem	uma	unidade	de	
comprimento	(uc),	qual	é	o	perímetro	das	peças	a,	b,	c	e	d da	Figura	21?	
Observando-as,	podemos	concluir	que	a	peça	a	possui	perí-
metro	6uc,	b	tem	5uc,	c	tem	7uc	e	d	tem	6uc.Podemos,	também,	explorar	alguns	conceitos	de	fração.	As-
sim,	a	fração	2/6	ou	1/3	significa	2	de	1/6,	como	é	mostrado	na	
peça	a	da	Figura	25.	Na	peça	b da	Figura	25,	a	fração	é	represen-
tada	por	2/3,	enquanto,	na	peça	c,	a	fração	correspondente	é	re-
presentada	por	3/2,	ou	seja,	um	inteiro	mais	a	metade	do	inteiro.
	(a)															(b)																										(c)								
Figura	25	Peças a, b e c.
Para	as	atividades	a	seguir,	os	blocos	serão	designados	como	
frações	e	por	cores	(Figura	26).	Assim,	o	bloco	amarelo	é	um	inteiro	
(1),	o	bloco	vermelho	é	metade	do	amarelo	(1/2),	o	bloco	azul	é	um	
terço	do	amarelo	(1/3)	e	o	bloco	verde	é	um	sexto	do	amarelo	(1/6).
	(1)																					(2)																				(3)												(4)	
Figura	26	Mosaicos.
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Que	fração,	duas	peças	nº	4	(triângulo)	da	Figura	26	repre-
sentam	com	relação	à	peça	1	(hexágono)?	
A	resposta	é	2/6	ou	1/3	da	peça	nº	1.
Qual	é	a	quantidade	de	peças	nº	4	(triângulo)	da	Figura	26	que	
podemos	utilizar	para	cobrir	a	parte	hachurada	do	hexágono	(Figura	
27)?	(Observe	que	o	hexágono	não	está	com	a	mesma	proporção.)
Figura	27	Hexágono hachurado.
Para	recobrirmos	a	parte	hachurada	da	Figura	27	são	neces-
sárias	três	peças	Nº	4,	que	representam	metade	do	hexágono.
Também	podemos	explorar	 conceitos	de	perímetro	e	área	
de	uma	composição	de	blocos	lógicos	como	calcular	o	perímetro	e	
a	área	da	Figura	28,	considerando	o	lado	do	triângulo	(4)	da	Figura	
26	como	uma	unidade	de	medida	de	comprimento	e	seu	interior,	
como	uma	unidade	de	área.
Figura	28	Composição de peças.
© Metodologia do Ensino da Geometria144
Analisando	a	Figura	28,	observamos	que	seu	perímetro	cor-
responde	a	15	unidades	de	comprimento	(uc)	e	sua	área	é	19	uni-
dades	de	área	(ua).
Outras	atividades	podem	ser	desenvolvidas	 com	os	blocos	
lógicos,	como	por	exemplo:	determine	a	medida	dos	ângulos	inter-
nos	de	todas	as	seis	peças	dos	blocos	padrão.
	(1)																					(2)																				(3)												(4)																					(5)																													(6)
Figura	29	Blocos lógicos (mosaicos).
A	peça	nº	1	é	um	hexágono	regular,	portanto,	a	medida	dos	
ângulos	internos	é	120°.	A	peça	nº	2	é	um	trapézio	isósceles,	que	
é	metade	do	hexágono	(peça	nº	1),	assim,	temos	dois	ângulos	de	
60°	e	dois	ângulos	de	120°.	
A	peça	nº	3	é	um	losango,	que	corresponde	a	1/3	do	hexágo-
no,	portanto,	possui	dois	ângulos	de	60°	e	dois	ângulos	de	120°.	A	
peça	nº	4	é	um	triângulo	equilátero,	portanto,	possui	três	ângulos	
congruentes	com	medidas	de	60°.	
A	peça	nº	5	também	é	um	losango.	Para	determinarmos	as	
medidas	de	seus	ângulos	devemos	realizar	uma	composição,	como	
na	Figura	30.
Observe	que	no	ponto	de	encontro	dos	vértices	das	peças	
obtemos	360°.	Se	considerarmos	que	o	ângulo	interno	do	hexágo-
no	e	do	trapézio	é	120°	e	do	quadrado	é	90°,	o	que	faltar	para	360°	
é	a	medida	α 	do	ângulo	agudo	da	peça	nº	5.	Assim,	temos	que	
120º 120º 90º 360º 360º 330º 30ºα α α+ + + = ⇒ = − ∴ = .	 Os	 ângu-
los	internos	da	peça	nº	5	são	30°,	30°,	150°	e	150°,	como	podem	
ser	comprovados	pela	construção	da	Figura	31.
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Figura	30	Composição de blocos padrão.
Figura	31	Composição de blocos padrão.
Observe	que	se	somarmos	120°,	ângulo	 interno	obtuso	do	
trapézio,	 com	 o	 ângulo	 interno	 de	 90°	 do	 quadrado	 obteremos	
210°.	Assim,	o	que	falta	para	completar	360°	é	150°,	que	corres-
ponde	à	medida	do	ângulo	obtuso	da	peça	nº	5.	
A	peça	nº	6	é	um	quadrilátero	regular	(quadrado),	portanto,	
a	medida	dos	ângulos	internos	é	90°,	pois,	a	soma	das	medidas	dos	
ângulos	internos	de	um	quadrilátero	resulta	360°.	
Utilizando	os	blocos	padrão,	determine	a	medida	dos	ângu-
los	indicados	nas	imagens	da	Figura	32.
© Metodologia do Ensino da Geometria146
	(a)																																							(b)																																		(c)
Figura	32	Composição de blocos lógicos.
Na	peça	a	(Figura	32),	notamos	que	o	ângulo	interno	do	hexágono	é	
120°,	do	losango	é	também	120°,	portanto,	podemos	concluir	que	o	ângulo	
solicitado	é	o	resultado	da	operação	 120º 120º 360 120ºα α+ + = ∴ = .
Na	peça	b,	obtemos	α 	somando	o	ângulo	interno	do	qua-
drado	 com	 o	 ângulo	 agudo	 interno	 do	 trapézio.	 Assim,	 temos:	
90º 60º 150ºα = + = .	Para	obtermos	β 	basta	considerarmos	que	o	
trapézio	está	contido	no	hexágono	e	o	ângulo	interno	do	hexágono	
é	igual	ao	ângulo	obtuso	do	trapézio,	portanto,	120°.
Na	 peça	 c,	 obtemos	 α 	 somando	 dois	 ângulos	 agudos	
internos	 do	 trapézio,	 o	 que	 resulta	 em	 120°.	 Para	 obtermos	 β 	
basta	somarmos	um	ângulo	interno	agudo	com	um	ângulo	interno	
obtuso	do	trapézio	para	obtermos	180°.
12. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	o	seu	
desempenho	no	estudo	desta	unidade:
1)	 Descreva	alguns	ensinamentos	básicos	que	podem	auxiliar	os	alunos	na	re-
solução	de	problemas	matemáticos	e	geométricos.
2)	 Na	Figura	33,	você	deve	mexer	em	três	palitos	para	formar	oito	triângulos.
Figura	33	Palitos.
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3)	 Nas	atividades	realizadas	com	os	anéis	em	papel,	como	devem	ser	os	anéis	e	como	
devem	ser	colados	para	que	o	resultado	seja	um	paralelogramo	(não	quadrado)?
4)	 Se	colarmos	três	anéis	de	mesmo	tamanho,	cada	um	perpendicular	ao	se-
guinte,	e	cortar	os	três	ao	meio,	qual	será	o	resultado	obtido?
5)	 Duas	moedas	 de	mesmo	 tamanho	 são	 dispostas	 lado	 a	 lado,	 tocando-se	
num	ponto,	 como	 indicado	na	Figura	34.	A	moeda	da	direita	está	 fixa	no	
lugar.	A	moeda	da	esquerda	realiza	uma	volta	sobre	o	contorno	da	moeda	
à	direita,	sem	escorregar.	Quando	a	moeda	móvel	retornar	ao	seu	ponto	de	
partida,	quantas	voltas	terá	realizado	em	torno	de	seu	centro?
Figura	34	Representação das moedas.
6)	 Um	fazendeiro	deixou	como	herança	para	seus	quatro	filhos	um	terreno	em	for-
ma	de	um	quadrado,	no	qual	mandou	plantar	12	árvores	(Figura	35).	O	terreno	
deveria	ser	dividido	em	quatro	partes	geometricamente	iguais,	contendo	cada	
uma	delas	o	mesmo	número	de	árvores.	Como	deve	ser	feita	essa	divisão?
Fonte:	Tahan	(1997,	p.	18).
Figura	35	Problema da herança.
7)	 Uma	laranja	pode	ser	considerada	uma	esfera	de	raio	(r).	Se	for	cortada	ao	
meio,	qual	 será	a	área	superficial	de	um	hemisfério?	Considere	a	área	da	
esfera	com	sendo	 2.4 rπ .	
© Metodologia do Ensino da Geometria148
13. CONSIDERAÇÕES
Nesta	unidade	você	teve	a	oportunidade	de	conhecer	algu-
mas	abordagens	do	ensino	da	Geometria	por	meio	de	resolução	
de	problemas	e	da	utilização	de	material	didático	que	poderão	in-
crementar	sua	prática	pedagógica.
14. E-REFERÊNCIA 
Lista de figuras
Figura 1	Charge 1.	Disponível	em:	<http://www.apm.pt>.	Acesso	em:	26	jan.	2006.
Figura 2	Charge 2.	Disponível	em:	<http://www.apm.pt>.	Acesso	em:	26	jan.	2006.
Figura 3	Resolução do problema.	Disponível	em:	<http://www.apm.pt>.	Acesso	em:	26	jan.	2006.
Site pesquisado
ASSOCIAÇÃO	 DOS	 PROFESSORES	 DE	MATEMÁTICA.	 Portugal.	 Disponível	 em:	 <http://
www.apm.pt>.	Acesso	em:	27	jan.	2012.	
15. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL.	 Secretaria	 de	 Educação	 Fundamental.	 Parâmetros Curriculares Nacionais:	
introdução	aos	parâmetros	curriculares	nacionais.	Brasília:	MEC	/	SEF,	1998.
______.	 Secretaria	 de	 Educação	 Fundamental.	 Parâmetros Curriculares Nacionais:	
Matemática.	Brasília:	MEC/SEF,	1998.
FISCHBEIN,	 E.	 The	 theory	 of	 figural	 concepts.	 Education	 Studies	 in	 Mathematics.	
Netherlands:	Kluwer	Academic	Publishers,	n.	24,	p.	139-162,	1993.
KALEFF,	A.	M.	Como	adultos	interpretam	desenhos	e	calculam	volumes	de	sólidos	construídos	
por	pequenos	cubos.	Revista Zetetiké,	Campinas,	v.	4,	n.	6,	p.	138,	jul./dez.	1996.		
LINDQUIST,	M.	M.;	SHULTE,	A.	P.	(Orgs.).	Aprendendo e ensinandogeometria.	Tradução	
de	Hygino	H.	Domingues.	São	Paulo:	Atual,	1994.
LORENZATO,	S.	A.	Por	que	não	ensinar	geometria?	Educação Matemática em Revista.	
SBEM,	n.	4,	jan./jun.	1995.	
LORENZATO,	S.	A.	Para aprender matemática.	Campinas,	São	Paulo:	Autores	Associados,	2006.
LORENZATO,	S.	A.	O laboratório de ensino de Matemática na formação de professores.	
Campinas,	São	Paulo:	Autores	Associados,	2006.
POLYA,	G.	A arte de resolver problemas.	Rio	de	Janeiro:	Interciência,	1978.
TAHAN,	M.	Matemática divertida e curiosa.	Rio	de	Janeiro:	Record,	1997.