Dedução Eq Momentum - Navier Stokes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO TECNOLÓGICO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Lucca Dalvi Vargas Melo
Trabalhos Avaliativos - Desenvolvimento da
Equação de Momentum
Vitória
2021
Lucca Dalvi Vargas Melo
Trabalhos Avaliativos - Desenvolvimento da
Equação de Momentum
Relatório apresentado ao Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Mecânica
da Universidade Federal do Esṕırito
Santo, como requisito parcial para ob-
tenção do Grau da Disciplina de Teo-
ria e Projeto de Instrumentação Termo-
Fluida.
Prof. Dr. Rogério Ramos
Vitória
2021
Teoria e Projeto de Instrumentação Termo-Fluida 2
1 Equação Conservação de Momentum
Essa expressão representa um balanço conservativo de momentum e tem validade pra
um meio continuo sólido ou fluido [1].
DṼ
Dt
= ρf +∇ · σ (1.1)
A equação de conservação de momento tem o seu formato expandido nas direções x, y
e z, representadas pelas equações (1.2), (1.3) e (1.4).
Em x:
ρ
Du
Dt
= fx +
(
∂σx
∂x
+
∂τxy
∂y
+
∂τxz
∂z
)
(1.2)
Em y:
ρ
Dv
Dt
= fy +
(
∂τyx
∂x
+
∂σy
∂y
+
∂τyz
∂z
)
(1.3)
Em z:
ρ
Dw
Dt
= fz +
(
∂τzx
∂x
+
∂τzy
∂y
+
∂σz
∂z
)
(1.4)
1.1 Aceleração Total
Do lado esquerdo da equação (1.1) representa a aceleração total de uma part́ıcula de
volume infinitesimal do meio cont́ınuo. Para um fluido a expressão de aceleração pode ser
apresentada em caráter euleriano via conceito de derivada material [2] tal como segue na
expressão (1.5).
DṼ
Dt
Acc. Total
=
∂Ṽ
∂t
Acc. Local
+ Ṽ .∇Ṽ
Acc.Convectiva
(1.5)
É posśıvel perceber que a aceleração de uma part́ıcula fluida é composta por uma
primeira parcela de aceleração local transiente e uma segunda parte ligada às variações
espaciais, denominada de aceleração convectiva.
1.2 Tensor de Cauchy
Ao lado direito da equação (1.1), contém o termo gravitacional, de natureza simples,
e o divergente do chamado tensor de Cauchy [3], que representa as tensões atuantes na
part́ıcula flúıda, podendo estas ser de natureza normal ou cisalhante, como pode ser
visualizado na figura 1.
Teoria e Projeto de Instrumentação Termo-Fluida 3
Figura 1 – Tensor de Cauchy
Fonte: Reddy, J.N. Principles of Continuum Mechanics (2010)
Em sua forma matricial o tensor pode ser representado com suas nove componentes
pela equação (1.6), e dada condição de simetria do tensor, obtém-se um número total de
seis incógnitas.
σ =

σx τxy τxz
τyx σy τyz
τzx τzy σz
 ∴ σij = σji (1.6)
A caracteŕıstica única de um tensor é dada pelo conceito de seus invariantes [4], mos-
trados nas equações (1.7) a (1.9). Em outras palavras, é posśıvel reconhecer um mesmo
tensor mesmo após submetê-lo a operações de rotação, através de seus invariantes.
I1 = trσ (1.7)
I2 =
1
2
[
(trσ)2 − tr(σ)2
]
(1.8)
I3 = detσ (1.9)
Considere então, um fluido em repouso, onde só atue a pressão hidrostática. Neste
caso, as tensões principais são dadas pela própria pressão, não havendo contribuições do
cisalhamento, tal como pode ser visualizado na expressão (1.10).
σ =
−p 0 00 −p 0
0 0 −p
 (1.10)
Teoria e Projeto de Instrumentação Termo-Fluida 4
O primeiro invariante, pode então ser escrito como a soma dos elementos da diago-
nal principal. Igualando-se o invariante para um caso geral do tensor e para o caso de
fluidoestática, tem-se a definição clássica de pressão termodinâmica [4].
−3p = σx + σy + σz ∴ p = −
1
3
(σx + σy + σz) (1.11)
I1 = trσ = −3p (1.12)
Após um o trabalho preliminar sobre o conceito de pressão termodinâmica acima é
conveniente apresentar a equação constitutiva de um fluido Stokesiano [2] via equação
(1.13). Que representa uma forma clássica de decompor um tensor em uma parte esférica
e uma parte deviatórica, respectivamente.
σ = −pI
≈
+ τ (1.13)
Fisicamente esta decomposição representa a contabilização em separado da pressão
termodinâmica, de origem estática e daquelas geradas pelo escoamento, e portanto
dinâmicas.
2 Cinemática da Deformação
Inicialmente, dado o campo de velocidade do escoamento, formado por suas componen-
tes u, v, w nas três direções cartesianas é posśıvel definir o tensor gradiente de velocidade
dado pela equação [1].
L = (∇ṽ)T =

∂u
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂v
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
 (2.1)
É conveniente agora decompor o tensor da equação (2.1) em uma parte simétrica e
outra antissimétrica, tal como na equação (2.2).
L =
1
2
[
∇ṽ +∇ṽT
]
+
1
2
[
∇ṽT −∇ṽ
]
= D + Ω (2.2)
Nomeando a parte simétrica como tensor taxa de deformação, e a parte antis-
simétrica como tensor vorticidade, pode algebrizar e apresentá-los propriamente abaixo
Teoria e Projeto de Instrumentação Termo-Fluida 5
nas equações (2.3) e (2.4).
D =

∂u
∂x
1
2
(
∂u
∂y
+ ∂v
∂x
)
1
2
(
∂u
∂z
+ ∂w
∂x
)
1
2
(
∂v
∂x
+ ∂u
∂y
)
∂v
∂y
1
2
(
∂v
∂z
+ ∂w
∂y
)
1
2
(
∂w
∂x
+ ∂u
∂z
)
1
2
(
∂w
∂y
+ ∂v
∂z
)
∂w
∂z
 (2.3)
Ω =

0 1
2
(
∂u
∂y
− ∂v
∂x
)
1
2
(
∂u
∂z
− ∂w
∂x
)
1
2
(
∂v
∂x
− ∂u
∂y
)
0 1
2
(
∂v
∂z
− ∂w
∂y
)
1
2
(
∂w
∂x
− ∂u
∂z
)
1
2
(
∂w
∂y
− ∂v
∂z
)
0
 (2.4)
Uma forma clássica de se escrever o tensor vorticidade é também em função do vetor
velocidade angular [4] cuja forma de cálculo é trazida abaixo na equação (2.5).
ω̃ =
1
2
∇× ṽ = 1
2
∣∣∣∣∣∣∣
ex ey ez
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
u v w
∣∣∣∣∣∣∣ = ωxex + ωyey + ωzez (2.5)
Os componentes do vetor velocidade angular ω estão associados às derivadas do campo
de velocidade do escoamento de acordo com a equação (2.6).
ωx =
(
∂w
∂y
− ∂v
∂z
)
; ωy =
(
∂u
∂z
− ∂w
∂x
)
; ωz =
(
∂v
∂x
− ∂u
∂y
)
(2.6)
Para o fechamento da parte cinemática é necessário entender o movimento geral de
uma part́ıcula fluida, que via de regra é dado pela superposição de efeitos [5] tal como
apresentado na figura 2.
Figura 2 – Movimento Generalizado de uma Part́ıcula Fluida
Fonte: Reddy, J.N. Principles of Continuum Mechanics (2010)
Os efeitos de dilatação volumétrica estão ligados a alterações no tamanho das arestas
de um elemento infinitesimal sem alterar os ângulos entre as mesmas, tal como mostrado
na figura 3.
Teoria e Projeto de Instrumentação Termo-Fluida 6
Figura 3 – Dilatação Volumétrica de uma Part́ıcula
Fonte: Reddy, J.N. Principles of Continuum Mechanics (2010)
Algebricamente o coeficiente de dilatação volumétrica [4] é dado pela equação (2.7). É
interessante notar que este coeficiente coincide com o valor do divergente do campo de
velocidade do escoamento
ė =
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
= ∇.ṽ = tr (D) (2.7)
Outro fato digno de menção é o conceito de incompressibilidade de um fluido. A
equação (2.8) representa a definição matemática deste conceito, onde a nulidade da deri-
vada material do campo de massa espećıfica é a definição, e a nulidade do divergente do
campo de velocidade figura como consequência. Por fim, observa-se que o traço do tensor
taxa de deformação, da equação (2.7), está ligado a efeitos de compressibilidade [6].
Dρ
Dt
≡ 0 ∴ ∇.ṽ = 0 (2.8)
A deformação cisalhante é caracterizada pela alteração dos ângulos das arestas, tal
como na figura 4 e pode ou não estar acompanhada de rotação, a depender dos coeficientes
dos tensores taxa de deformação e tensor vorticidade dados pelas expressões (2.3) e (2.4).
Para um entendimento melhor da ocorrência da distorção do elemento por cisalha-
mento, vamos considerar um coeficiente espećıfico do tensor taxa de deformação, trazido
abaixo na equação (2.9) e outro correspondente do tensor vorticidade na equação (2.10).
Dxy =
1
2
(
∂u
∂y
+
∂v
∂x
)
(2.9)
Ωxy =
1
2
(
∂u
∂y
− ∂v
∂x
)
(2.10)
A relação entre os valores das derivadas parciais presentes na equação (2.9) e (2.10),
ditam os mecanismos que regem o movimento da part́ıcula. Considere inicialmente o
caso em que as derivadas cruzadas são iguais comomostrado na equação (2.11). Pode-se
perceber que os termos das derivadas se somam na equação (2.9) e se anulam na equação
Teoria e Projeto de Instrumentação Termo-Fluida 7
(2.10). O resultado disto é que ocorre a distorção do elemento apenas por deformação
cisalhante, sem a presença de rotação como visto na figura 4.
∂u
∂y
=
∂v
∂x
(2.11)
Figura 4 – Mecanismo de Deformação Cisalhante Pura
Fonte: Reddy, J.N. Principles of Continuum Mechanics (2010)
Em um segundo caso, quando as derivada cruzadas são de mesma magnitude mas sinais
contrários, de acordo com a equação (2.12), há anulação do coeficiente no tensor taxa de
deformação e sua amplificação no tensor vorticidade. Desta forma, temos um mecanismo
de rotação pura agindo sobre o elemento infinitesimal de fluido como ilustrado na figura
6.
∂u
∂y
= −∂v
∂x
(2.12)
Figura 5 – Mecanismo de Rotação Pura
Fonte: Reddy, J.N. Principles of Continuum Mechanics (2010)
Num caso mais geral, caso a relação entre as derivadas parciais não seja tão espećıfica
quanto nas expressões (2.11) ou (2.12), tem-se um movimento superposto entre distorção
cisalhante e efeito de rotação [6].
Teoria e Projeto de Instrumentação Termo-Fluida 8
3 Equação Constitutiva de um Fluido Newtoniano
Por um momento vamos relembrar a decomposição do tensor em esférica e de-
viatórica de um fluido stokesiano cuja álgebra é relembrada pela equação 3.1.
σ = −pI
≈
+ τ (3.1)
O comportamento reológico do fluido é representando matematicamente por sua relação
entre tensão e taxa de cisalhamento. No caso de um fluido newtoniano isotrópico [2], a
relação constitutiva pode ser escrita em notação vetorial de acordo com a equação (3.2).
τ = 2µD
≈
+ λtr(D
≈
)I
≈
(3.2)
Uma análise rápida da expressão (3.2), leva à conclusão de que o tensor das tensões
é modelado com um primeiro termo do lado direito da equação inerente as tensões ci-
salhantes e normais que atuam no fluido mais um segundo termo ligado a efeitos de
compressibilidade [5].
Na sequência, substituindo a equação constitutiva (3.2) no tensor da tensões da equação
(3.1), pode-se escrever:
σ = 2µD
≈
+
[
λtr(D
≈
)− p
]
I
≈
(3.3)
A equação (3.3) mostra que a diagonal principal do tensor das tensões pode contabilizar
efeitos de compressibilidade e pressão termodinâmica, enquanto os elementos fora da
diagonal deste tensor são ligados aos efeitos de cisalhamento do escoamento.
É importante ainda ressaltar que a equação constitutiva (3.2) de um fluido newtoni-
ano contém duas constantes f́ısicas: a viscosidade absoluta µ e uma segunda ligada
a compressibilidade λ. Com objetivo de reduzir o número de incógnitas, G.G
Stokes (1849) propôs uma relação entre as constantes (3.4), baseado em conceitos da
termodinâmica como pode ser visto em detalhes em [4].
3λ+ 2µ ≥ 0 λ = −2
3
µ (3.4)
Inserindo o modelo de aceleração material da equação (1.5), e a expressão constitutiva
(3.3), no balanço original de momentum da equação (1.1), podemos gerar uma reescrita
geral da equação de conservação de momento linear para um fluido newtoniano, dada pela
expressão (3.5).
ρ
Dṽ
Dt
= ρf̃ −∇p+∇ ·
[
(λ+ 2µ)∇ · ṽ + µ
(
∇ṽ +∇T ṽ
)]
(3.5)
Teoria e Projeto de Instrumentação Termo-Fluida 9
Segundo algumas hipóteses simplificadoras colocadas a seguir, pode-se escrever um
balanço de momento linear simplificado amplamente conhecido como equações de Navier-
Stokes, e algebricamente representada pela expressão (3.6).
1. Fluido Newtoniano
2. Fluido Incompresśıvel
3. µ Constante
ρ
(
∂ṽ
∂t
+ ṽ.∇ṽ
)
= ρf̃ −∇p+ µ∇2ṽ (3.6)
4 Solução Anaĺıtica em Tubo Anular
A solução que será apresentada a seguir trata-se de um escoamento ascendente, numa
região anular e descrita pelas hipóteses enumeradas abaixo:
1. Fluido Newtoniano
2. Escoamento Laminar
3. Escoamento Incompresśıvel
4. Regime Permanente
Figura 6 – Croqui Escoamento Anular Ascendente
Fonte: BIRD, R. Byron. Transport phenomena. 2002.
Teoria e Projeto de Instrumentação Termo-Fluida 10
Tirando proveito da natureza axissimétrica da geometria, adota-se as coordenadas
ciĺındricas da equação de Navier-Stokes, escrita em termos de tensão de cisalhamento,
através da lei da viscosidade de newton.
ρ
(
∂vr
∂t
+ vr
∂vr
∂r
+
vθ
r
∂vr
∂θ
+ vz
∂vr
∂z
− v
2
θ
r
)
= −∂p
∂r
−
[
1
r
∂
∂r
(rτrr) +
1
r
∂
∂θ
τθr +
∂
∂z
τzr −
τθθ
r
]
+ρgr
(4.1)
ρ
(
∂vz
∂t
+ vr
∂vz
∂r
+
vθ
r
∂vz
∂θ
+ vz
∂vz
∂z
)
= −∂p
∂z
−
[
1
r
∂
∂r
(rτrz) +
1
r
∂
∂θ
τθz +
∂
∂z
τzz
]
+ ρgz
(4.2)
Sendo um escoamento unidirecional (vz = f(r), vθ = 0; vr = 0; τzz = −µ (dvz/dz) =
0; τθz = −µ (dvθ/dr) = 0). Pressão variando apenas em função da gravidade colocada no
eixo z, temos a equação (4.3).
ρ
(
∂vz
∂t
)
= −∂p
∂z
−
[
1
r
∂
∂r
(rτrz)
]
+ ρgz (4.3)
Sendo regime permanente a derivada temporal vai a zero, pois o escoamento não varia
com o tempo .
0 = −∂p
∂z
−
[
1
r
∂
∂r
(rτrz)
]
+ ρgz (4.4)
Manipulando a equação e substituindo os diferenciais de pressão e comprimento axial
do tubo, temos:
d
dr
(rτrz) =
(
(p0 + ρg0)− (pL + ρgL)
L
)
r ≡
(
P0 − PL
L
)
r (4.5)
Integrando a equação em função do raio, a constante C1 é gerada.
τrz(r) =
(
P0 − PL
2L
)
r +
C1
r
(4.6)
Através da lei da viscosidade de newton (τrz = −µ (dvz/dr)), sabemos que dvz/dr será
igual a zero quando a velocidade for máxima, sendo determinada por uma distancia λR,
encontrando o valor da constante C1.
0 =
(
P0 − PL
2L
)
λR +
C1
λR
(4.7)
Aplicando a lei da viscosidade de newton e voltando o valor da constante C1 para a
equação (4.6), temos:
dvz
dr
= −(P0 − PL)R
2µL
[( r
R
)
− λ2
(
R
r
)]
(4.8)
Teoria e Projeto de Instrumentação Termo-Fluida 11
Integrando em função do raio novamente.
vz(r) = −
(P0 − PL)R2
4µL
[( r
R
)2
− 2λ2 ln
( r
R
)
+ C2
]
(4.9)
Aplicando as condições de não deslizamento nas paredes, temos r = κR→ vz = 0 e
r = R → vz = 0, obtendo-se os valores de C2 e λ.
C2 = −1; 2λ2 =
1− κ2
ln(1/κ)
(4.10)
Por fim, os perfis da tensão de cisalhamento e velocidade axial em função do raio são
descritos pelas equações (4.11) e (4.12) conforme pode ser encontrado em [7].
τrz(r) =
(P0 − PL)R
2L
[( r
R
)
− 1− κ
2
2 ln(1/κ)
(
R
r
)]
(4.11)
vz(r) =
(P0 − PL)R2
4µL
[
1−
( r
R
)2
− 1− κ
2
ln(1/κ)
ln
(
R
r
)]
(4.12)
É interessante notar que a solução tem uma natureza abrangente, onde a depender da
análise assintótica da variável κ, torna-se posśıvel a degeneração na solução dos escoa-
mentos em um tubo (κ→ 0) e entre placas paralelas (κ→ R).
Referências Bibliográficas
1 REDDY, J. Principles of continuum mechanics. [S.l.]: Cambridge University Press
Cambridge, 2010.
2 ARIS, R. Vectors, tensors and the basic equations of fluid mechanics. [S.l.]: Courier
Corporation, 2012.
3 REDDY, J. N. An introduction to continuum mechanics. [S.l.]: Cambridge university
press, 2013.
4 SCHLICHTING, H. et al. Boundary-layer theory. [S.l.]: Springer, 1955. v. 7.
5 BATCHELOR, G. K. An introduction to fluid dynamics. [S.l.]: Cambridge university
press, 2000.
6 FUNG, Y. A first course in continuum mechanics. Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall,
Inc., 1977. 351 p., 1977.
7 BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Transport Phenomena John
Wiley & Sons. [S.l.: s.n.], 1960. 413 p.
	Equação Conservação de Momentum
	Aceleração Total
	Tensor de Cauchy
	Cinemática da Deformação
	Equação Constitutiva de um Fluido Newtoniano
	Solução Analítica em Tubo Anular
	Referências Bibliográficas