cap 4 - bases matematicas

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Cap 4 
DEFINIÇÃO 
Utilização de funções matemáticas elementares no estudo da variação do custo, da receita e do lucro no que diz respeito 
à quantidade produzida de certa utilidade (ou serviço). Gráficos dessas funções serão analisados, como também, com 
base neles, a taxa de variação de uma variável quando comparada à outra. 
 
PROPÓSITO 
Calcular taxas de variação média entre duas grandezas e interpretá-las. Esboçar e interpretar gráficos que representem a 
variação das funções custo, receita e lucro em relação à quantidade produzida de certa utilidade com o intuito de analisar 
o comportamento de cada uma delas quanto ao seu crescimento e decrescimento. 
 
PREPARAÇÃO 
Ao longo deste tema, você precisará de uma calculadora. 
 
Objetivos 
✓ Calcular taxas de variação médias entre duas grandezas 
✓ Relacionar as taxas de variação em gráficos com períodos de crescimento e decrescimento 
✓ Interpretar as funções custo, receita e lucro e analisar seus gráficos 
✓ Analisar, através de funções, a demanda e a oferta de produtos a partir do preço praticado 
 
 
Introdução 
Vamos dar início a este módulo com o vídeo a seguir. 
Assista ao vídeo Diversos usos das variáveis. https://player.vimeo.com/video/406265784 
No estudo da relação entre variáveis, quando conseguimos quantificá-las, utilizamos as funções matemáticas, como 
aquelas que você estudou no Ensino Médio, em que, geralmente, expressamos o valor de uma variável 𝒚 em relação à 
outra, que costumamos denotar por 𝒙. 
 
A variável 𝒚 é comumente chamada de variável dependente. 
 
 
A variável 𝒙 é comumente chamada de variável independente. 
 
Para compreender melhor o comportamento da variável dependente em relação à variável independente, muitas vezes, 
utilizamos o cálculo da taxa de variação da primeira em relação à segunda, isto é, quanto que 𝒚 varia para cada unidade 
de 𝒙. 
 
Taxa de variação média de 𝒚 em relação a 𝒙 
Vamos considerar uma variável 𝒚 dada em função de 𝒙, ou seja: 
 
 
1. Esta expressão indica o quanto a variável dependente 𝒚 varia para cada unidade aumentada na variável independente 
𝒙. 
2. É comum representarmos a variação ocorrida em uma variável inserindo a letra grega ∆ (“delta” maiúscula) antes da 
sua indicação. Por exemplo, a variação da variável ∆ 𝒙 será notada por 𝒙. Sendo assim, a taxa de variação de 𝒚 em relação 
a 𝒙 poderá ser expressa por: 
https://player.vimeo.com/video/406265784
 
3. Algumas vezes, para facilitar representação, os valores ae b, das fórmulas acima são indicados por 𝒙2 e 𝒙1, 
respectivamente. De forma semelhante, escrevemos: 
 
4. Utilizando esse tipo de notação, podemos escrever: 
 
 
Exemplo 1 
 Dada a função 𝒚 = 𝒇(𝒙), em que 𝒇 (𝒙) = 3 + 2𝒙, vamos calcular, inicialmente, a taxa de variação média de 𝒚 = 𝒇 (𝒙) para 
𝒙 variando de 2 a 5 (2 ≤ 𝒙 ≤ 5). 
Passo a passo para a resolução. 
Passo 1 - Nesse caso, consideramos: 𝒙1=2 e 𝒙2 =5 
Assim: 𝒚 = 𝒇 (𝒙1)= 𝒇(2) = 3+2.2 = 3+4 = 7 
Consequentemente: 𝒚2 = 𝒇 (𝒙2)= 𝒇(5) = 3+2.5 = 3+10 13 
 
Passo 2 A taxa de variação média, portanto, será dada por: 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 = 
13−7
5−2
= 
6
3
= 2 
Esse resultado nos diz que há um aumento de 2 unidades na variável 𝒚 para cada aumento de uma unidade em 𝒙. 
 
Passo 3 Agora, vamos determinar a taxa de variação média para 𝒙 variando de 2 a 4. Nesse caso, temos: 𝒙1=2 e 𝒙2 =4 
Já vimos que: 𝒚 = 𝒇 (𝒙1)= 𝒇(2) = 7 
Já o valor de 𝒚2 será dado por: 𝒚2 = 𝒇 (𝒙2)= 𝒇 (4)= 3+2.4 = 3+8 = 11 
A taxa de variação média, portanto, será dada por: 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 = 
11−7
4−2
= 
4
2
= 2 
 
Atenção 
Observe que não houve alteração na taxa média de variação de 𝒚 em relação a 𝒙. É que o tipo de relação entre tais 
variáveis é linear, pois é descrita por uma função de primeiro grau. Nesse caso, a variação de 𝒚 em relação a 𝒙 é uma 
constante. Experimente calcular as taxas médias para outros intervalos de 𝒙 e note que o resultado será sempre o 
mesmo. 
 
Exemplo 2 
Vamos calcular algumas taxas médias de variação considerando a função 𝒚 = 𝒇 (𝒙) = 𝒙2 + 2𝒙. 
Taxa média de variação de 𝒚 em relação a 𝒙 no intervalo 0 ≤ 𝒙 ≤ 3. Comecemos determinando a taxa média de 
variação de 𝒚 em relação a 𝒙 no intervalo 0 ≤ x ≥ 3. Temos, portanto, 𝒙1=0 e 𝒙2 =4. Assim, 
𝒚 = 𝒇 (𝒙1)= 𝒇(0) = 02 + 2.0 = 0 
𝒚2 = 𝒇 (𝒙2)= 𝒇 (3)= 32+2.3 = 9+6= 15 
A taxa que queremos determinar, então, será dada por: 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 = 
15−0
3−0
= 
15
3
= 5 
 
Taxa média de variação de 𝒚 em relação a 𝒙 no intervalo 0 ≤ 𝒙 ≤ 2. O que acontece se considerarmos o intervalo 0 ≤ 
x ≤ 2. Vamos calcular a taxa de variação média nesse caso. 
Consideraremos 𝒙1=0 e 𝒙2 =2. Já vimos que e, além disso, teremos: 
𝒚 = 𝒇 (𝒙1)= 𝒇(0) = 02 + 2.0 = 0 
 𝒚2 = 𝒇 (𝒙2)= 𝒇 (2)= 22+2.2 = 4+4= 8 
Nesse caso, a taxa que queremos determinar será dada por: 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 = 
8−0
2−0
= 
8
2
= 4 
 
Atenção 
O resultado, como vemos, não é o mesmo. Esse tipo de função não apresenta a taxa de variação constante como a do 
exemplo anterior. 
 
Exemplo 3 
 Uma função pode apresentar decrescimento em um trecho e, no outro, crescimento. Considere a função: 
𝒇 (𝒙) = 𝒙3 — 3𝒙2 + 𝒙 + 3. Vamos calcular as taxas de variação média em diferentes intervalos. 
Crescimento de 𝒚 em relação a 𝒙 no intervalo 1 ≤ 𝒙 ≤ 3. 
Vamos calcular a sua taxa de variação média no intervalo 1 ≤ 𝒙 ≤ 3. Temos que: 𝒙1=1 e 𝒙2 =3. 
Daí: 𝒚 = 𝒇 (𝒙1)= 𝒇(1) = 13 — 3.12 +1 + 3 = 2 
 𝒚2 = 𝒇 (𝒙2)= 𝒇 (3)= 33 — 3.32 +3 + 3 = 6 
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por: 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 = 
6−2
3−1
= 
4
2
= 2 
Aqui, observa-se um crescimento de 𝒚 em relação a 𝒙. 
Decrescimento de 𝒚 em relação a 𝒙 no intervalo 1 ≤ 𝒙 ≤ 2. 
O que acontece se considerarmos o intervalo 1 ≤ 𝒙 ≤ 2 ? Nesse caso, teremos: 𝒙1=1 e 𝒙2 =2. 
𝒚 = 𝒇 (𝒙1)= 𝒇(1) = 13 — 3.12 +1 + 3 = 2 
𝒚2 = 𝒇 (𝒙2)= 𝒇 (2)= 23 — 3.22 +2 + 3 = 1 
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por: 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 = 
1−2
2−1
= 
−1
1
= −1 
O que indica que houve, em média, decréscimo de uma unidade em 𝒚 enquanto 𝒙 aumentou uma unidade. 
 
Exemplo 4 
Vejamos mais um exemplo que mostra o cálculo de taxas de variação média, mas considerando também valores 
negativos para 𝒙. Considere a função 𝒇 (𝒙) = 𝒙2 — 3𝒙 — 4. 
Vamos determinar a taxa de variação média dessa função no intervalo —3 ≤ 𝒙 ≤ —1. Temos 𝒙1 = —3 e 𝒙2 = —1. Daí: 
𝒚 = 𝒇 (𝒙1)= 𝒇(-3) = -32 — 3.-3 — 4 = 14 
𝒚2 = 𝒇 (𝒙2)= 𝒇 (-1)= -12 — 3.-1 — 4 = 0 
Portanto, a taxa média de variação será dada por: 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 = 
0−13
−1−(−3)
= 
14
2
= 7 
Atenção 
Não há, como você pode constatar, nenhuma alteração no processo, porém será preciso atentar-se apenas aos sinais. 
 
 
Mão na massa 
Exercício 1: 
Dada a função 𝒇 (𝒙) = 5 — 3𝒙, a sua taxa de variação no intervalo 2 ≤ x ≤ 7 é: 
a) —3 
b) 5 
c) —0,6 
d) —5 
 
Exercício 2: 
Dada a função 𝒇 (𝒙) = -3x2 + 𝒙 - 4 , sua taxa de variação no intervalo -1≤ x ≤ 2 é: 
a) —3 
b) —2 
c) —4 
d) 0 
 
 
Exercício 3: 
Se a demanda de certo produto, em milhares de unidades, é dada em função de seu preço unitário D= 8.500 – 5p, a 
taxa de variação média de D para o intervalo 500 ≤ p ≤ 1000 é: 
a) —8 unidades/real. 
b) 2 unidades/real. 
c) 5 unidades/real. 
d) —5 unidades/real. 
 
Exercício 4: 
Se a quantidade ofertada S de certo bem, em toneladas, pode ser expressa em função do seu preço unitário p, em reais, 
na forma S = 2p- 240, o quanto essa quantidade varia, em média, quando o preço sobe de R$150,00 para R$180,00? 
a) 240 unidades/real. 
b) 20 unidades/real. 
c) 2 unidades/real. 
d) 12 unidades/real. 
 
 
Exercício 5: 
Quando uma função associa o custo CT de produção de certa utilidade à sua quantidade produzida q, ela é denominada 
função custo total dessa utilidade. A taxa de variação do custototal em relação à quantidade produzida, isto é, 
considerando uma variação de 0 a q unidades produzidas, é denominada custo variável médio de produção e é dada 
por CMV(q) = 
𝑪𝑻−𝐂(𝟎)
𝒒−𝟎
=
𝑪𝑻−𝐂(𝟎)
𝒒
 , em que CT (q) é o custo total para a produção de q unidades dessa utilidade. 
Se a função custo total de uma utilidade é dada por CT (q) = 2000 + q +0,1q2, qual será o custo variável médio para a 
produção de 200 unidades? Considere q em unidades e CT em reais. 
a) 20 reais/unidade. 
b) 21 reais/unidade. 
c) 18 reais/unidade. 
d) 16 reais/unidade. 
 
 
 
Exercício 6 
A população 𝒚 de uma cidade cresce 5% ao ano. Em 2010, eram 40 mil habitantes. O seu tamanho, 𝒙 anos após 2010, 
pode ser calculado pela expressão 𝒚 = 40.000 . (1 + 0,05)𝒙. 
A taxa média de crescimento (aproximada) dessa população entre os anos de 2012 e 2019 é: 
a) 1.875 hab/ano. 
b) 2.125 hab/ano. 
c) 2.565 hab/ano. 
d) 2.955 hab/ano. 
 
Teoria na prática 
Uma taxa de variação média à qual você certamente já se referiu diversas vezes é a velocidade média. Ela corresponde 
à taxa média de variação da posição de um móvel em relação ao tempo. Considere, por exemplo, um móvel que se 
desloca de acordo com a equação (função horária) em que s corresponde à sua posição, em metros, no instante t 
segundos. 
s(t) = —t2 + 10t 
Para determinar sua velocidade média em determinado intervalo de tempo (Δt), basta calcular a variação média de sua 
posição nesse intervalo. 
Vejamos como é o movimento deste móvel: 
Assista ao vídeo Teoria na Prática: Carro em Movimento https://player.vimeo.com/video/406303196 
 
Vamos calcular sua velocidade média entre os instantes 1 e 5 segundos. Considerando t1 = 1 e t2 = 5 segundos, temos: 
s(t1) = - (1)2 +10 .(1) = -1 +10 = 9 metros 
e 
s(t2) = s(5) = - 52 +10 . (5)= - 25 +50 = 25 metros 
 
As expressões acima correspondem, respectivamente, às posições desse móvel nos instantes 1 e 5 segundos. Sendo 
assim, sua velocidade média nesse intervalo de tempo será dada por: 
 
 
Portanto, concluímos que, do instante t1 = 1s ao instante t2 = 5s, esse móvel percorreu um trecho de 16 metros em 4 
segundos, isto é, sua velocidade média foi de 4 m/s. Isso não significa que sua velocidade permaneceu constante durante 
esse tempo. Observe, a seguir, que, se considerarmos o intervalo de tempo de 1 a 4 segundos, sua velocidade média será 
diferente da que já calculamos. 
Vamos considerar t1 = 1 e t2 = 4 segundos. Já vimos que s(1) = 9m. No instante t2 = 4s, a posição do móvel é dada por 
s(t2) = s(4) = - 42 +10 .4 = -16 + 40 = 24 metros. 
 
Portanto, sua velocidade média nesse novo intervalo de tempo será dada pela expressão a seguir, pois é maior do que no 
intervalo considerado anteriormente. 
 
 
O que acontece com esse móvel quando consideramos sua velocidade média entre os instantes t1 = 6s e t2 9s? Vamos 
ao cálculo. Temos: 
s(t1) = s(6) = — 62 +10 . 6 = — 36 +60 = 24 metros 
s(t2) = s(9) = — 92 +10 . 9 = — 81 +90 = 9 metros 
Essas expressões correspondem, respectivamente, às posições desse móvel nos instantes 6 e 9 segundos. 
Observe que são as mesmas posições que esse móvel ocupou nos instantes 4 e 1 segundos. 
https://player.vimeo.com/video/406303196
Sua velocidade média nesse intervalo de tempo será dada por: 
 
Temos uma velocidade média negativa, que ocorre quando o móvel se desloca no sentido contrário da trajetória definida 
anteriormente. Note que, entre os instantes 1 e 4 segundos e entre 6 e 9 segundos, a distância percorrida é a mesma e 
em um mesmo intervalo de tempo (3 segundos). No entanto, no primeiro caso, o móvel sai da posição 9 metros e chega 
à posição 24 metros, percorrendo a distância de 15 metros, e, no segundo caso, sai da posição 24 metros e chega à 
posição 9 metros, isto é, percorre a mesma distância, mas no sentido contrário. 
 
 
Verificando o Aprendizado 
 
1. A taxa de variação média de 𝒚 em relação a 𝒙, em determinado intervalo, representa: 
a) Quantas unidades 𝒚 varia, em média, para cada aumento de uma unidade em 𝒙 nesse intervalo. 
b) Quantas unidades 𝒙 variou no intervalo considerado. 
c) Qual o percentual de aumento de 𝒚 nesse intervalo. 
d) Qual o percentual de aumento de 𝒙 nesse intervalo. 
 
 
2. Se a taxa de variação média de uma função f(𝒙) com 𝒙 variando de 1 a 6 é igual a 10, então é correto concluir que: 
a) 𝒇 (1) = 10. 
b) 𝒇 (6) = (1) + 10. 
c) 𝒇 (6) − (1) = 10. 
d) 𝒇 (6) − (1) = 50. 
 
 
 
Introdução 
Vamos dar início a este módulo com o vídeo a seguir. 
Assista ao vídeo Representando Funções em Gráficos https://player.vimeo.com/video/407295994 
 
Já vimos, no módulo anterior, como determinar a taxa de variação, isto é, de crescimento ou decrescimento de uma variável 
em relação à outra através dos valores calculados a partir das funções que as relacionam. No entanto, toda função 
matemática pode ser representada graficamente e, por conseguinte, a análise da taxa de variação também. 
 
Veremos como é possível examinar a variação de uma variável em relação à outra com base em análises gráficas e como 
representá-la geometricamente. 
 
Análises gráficas e representações geométricas 
Considere uma função 𝒚 = 𝒇 (𝒙) e um intervalo a ≤ 𝒙 ≤ b na qual ela está definida. 
• A Figura 1 mostra a variação de 𝒚 (∆ 𝒚) e a variação de 𝒙 (∆ 𝒙) para o intervalo dado; 
 
• Os pontos A e B têm coordenadas (a,𝒇 (a)) e (b, 𝒇 (b)), respectivamente; 
 
• A reta que passa por esses pontos tem inclinação que muda de acordo com a taxa de variação média da função 𝒇(𝒙) 
em relação a 𝒙 no intervalo a≤ 𝒙 ≤ b; 
 
• Seu coeficiente angular corresponde a essa taxa de variação. Se a taxa de variação aumentar, por exemplo, a reta 
apresentará inclinação mais acentuada. 
 
Figura 1 – Taxa de variação média: interpretação gráfica. 
https://player.vimeo.com/video/407295994
Para determinar se um gráfico apresenta tendência de crescimento ou decrescimento em um intervalo dado, basta calcular 
a taxa de variação média nesse intervalo ou verificar se a reta que une os dois pontos correspondentes ao intervalo é 
crescente (coeficiente angular positivo) ou decrescente (coeficiente angular negativo). 
 
Exemplo 1 
Considere o gráfico abaixo. 
 Vamos determinar a taxa de variação média de 𝒚 em relação a 𝒙, inicialmente, 
para o intervalo 2 ≤ 𝒙 ≤ 6. 
Temos, nesse caso, ∆ 𝒙 = 6 - 2 = 4 e ∆𝒚 = 6 - 4 = 2. 
Logo, a taxa de variação média é: 
∆𝑦
∆𝑥
=
2
4
 = 0,5 
Observe que, se considerarmos outro intervalo qualquer, como, por exemplo, 2 
≤ 𝒙 ≤ 4, a taxa de variação média permanecerá a mesma, pois se trata de um 
gráfico com comportamento linear. 
Para esse último intervalo, temos: ∆𝒙 = 4 — 2 = 2 e ∆𝒚 = 5 — 4 = 1. 
Portanto, a taxa de variação média é: 
∆𝑦
∆𝑥
=
1
2
 = 0,5. 
 
Exemplo 2 
Vamos calcular as taxas médias de variação apresentadas pelo gráfico a seguir 
para os intervalos 1 ≤ 𝒙 ≤ 3 e —1 ≤ 𝒙 ≤ 2. 
Considerando 𝒙1 = 1 e 𝒙2 = 3, teremos 𝒚1 = 2 e 𝒚2 = 6. Portanto, a taxa média de 
variação de 𝒚 em relação a 𝒙 será dada por: 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 = 
6 − 2
3 − 1
= 
4
2
= 2 
Agora, se considerarmos 𝒙1 = —1 e 𝒙2 = 2, teremos 𝒚1 = —2 e 𝒚2 = 1. 
Portanto, a taxa média de variação de 𝒚 em relação a 𝒙 será dada por: 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 = 
1 − (−2)
2 − (−1)
= 
3
3
= 1 
 
Mão na massa 
Exercício 1 
No gráfico apresentado, a taxa de variação de 𝒚 quando 𝒙 varia de -2 
a 4 é: 
a) —3,5 
b) —2,3 
c) —1,5 
d) —1,2 
 
 
 
 
Exercício 2 
A taxa de variação da função, representada pelo gráfico, para 𝒙 variando de 
2 a 5 é: 
a) 0,5 
b) —0,4 
c) —0,25 
d) —0,5 
 
Exercício 3 
A taxa de variação da função representada pelo gráfico acima para 𝒙 
variando de —4 a —3 é: 
a) —2,4 
b) 1,25 
c) —3,2 
d) —4,8 
 
 
Exercício 4 
No gráfico, considere os intervalos —1 ≤ 𝒙 ≤ 2 e 0 ≤ 𝒙 ≤ 3. Suas taxas médias de 
crescimento são, respectivamente: 
a) 2 e 2. 
b) 3 e 2. 
c) 2 e 3. 
d) 3 e 3. 
 
Exercício 5 
 
O gráfico representa a produçãode aço de uma mineradora no 
período de 2013 a 2019. A taxa média de variação aproximada 
na produção de aço nesse período é: 
a) 0,75 ton/ano. 
b) —0,025 ton/ano. 
c) 0,097 ton/ano. 
d) 0,083 ton/ano. 
 
Exercício 6 
O gráfico mostra a evolução do consumo de certo cereal entre 
os anos de 2010 e 2015 em uma grande região. 
Sabe-se que, de 2015 a 2019, houve uma redução de 20% na 
taxa média de consumo, se comparada ao período 2010-2015. 
Sendo assim, qual foi a quantidade consumida desse cereal em 
2019? 
a) 1,87 ton. 
b) 2,98 ton. 
c) 3,15 ton. 
d) 3,75 ton. 
Teoria na prática 
O cálculo da taxa média de variação é utilizado em diversas situações das mais diversas áreas. Inclusive, já vimos 
algumas dessas aplicações. 
No campo da Economia e das Finanças, um conceito bastante utilizado é o de custo marginal, que consiste na mudança 
no custo total de produção resultante da variação em uma unidade da quantidade produzida. 
Para melhor compreensão, apresentaremos, adiante, uma situação de análise de custos. 
Quando se produz certa utilidade, é importante analisar os custos de produção e a receita gerada pela sua comercialização. 
Dessa forma, torna-se possível a avaliação dos lucros obtidos em tal processo. Dois dos principais conceitos que devem 
ser considerados nessa análise são o de: Custo variável médio e Custo marginal 
Em situações em que se conhece a função que modela o custo de produção, utilizamos um conceito que foge ao escopo 
deste texto, que é o de derivada de uma função para definir e obter o custo marginal. Porém, quando os custos são 
analisados com base em tabelas que o relacionam com a quantidade produzida, esse conceito remete ao uso da taxa de 
variação média. 
Considere a tabela a seguir, que apresenta o custo total de produção de garrafas de suco de laranja para cada quantidade 
produzida em certo período. 
O gráfico a seguir representa os dados dessa tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe: 
 
Custo fixo: Mesmo quando nenhuma garrafa de suco é produzida, há um custo de R$5.000,00. Esse é o chamado 
custo fixo, que é aquele advindo de aluguel, salário de funcionários etc. 
 
Custo variável médio :Quando são produzidas 1.000 garrafas, o custo total passa a ser de R$11.000,00. Observe que 
houve uma variação de R$6.000,00 quando a quantidade produzida foi de 0 a 1.000 garrafas. Isso significa que cada 
garrafa produzida proporcionou um aumento de R$6,00 no custo total de produção, isto é, R$6.000,00/1.000. Chamamos 
esse valor de custo variável médio, que, para certa quantidade q, pode ser definido como a taxa de variação do custo 
total, considerando a variação da quantidade produzida de 0 até q. 
Se considerarmos a existência de um custo fixo de R$5.000,00 que deve ser dividido por toda a produção, podemos 
acrescentar R$5,00 ao custo final de cada unidade produzida. Esses valores mudam à medida que alteramos a quantidade 
produzida. Esse tipo de alteração deve ser analisada por quem gere os custos. 
 
A tabela a seguir apresenta os custos variáveis médios para cada quantidade apresentada na tabela anterior. 
 
Observe que, até a produção de 1.000 unidades, o custo variável médio é bem maior do que nos demais casos. Quando 
são produzidas 1.500 unidades, esse valor cai bastante e é o menor entre os apresentados. Isso é um indicativo de que 
esse nível de produção é o que gera o menor custo por unidade. 
No entanto, nem sempre o custo variável médio indica o melhor nível de produção em relação ao custo, pois ele considera 
a diluição do custo fixo. 
Uma medida que absorve melhor a diminuição do custo por unidade é o custo marginal médio. 
O custo marginal é o aumento no custo associado à produção adicional. O custo marginal médio é o custo marginal dividido 
pelo número de unidades adicionais. 
Na tabela a seguir, os valores dos custos marginais e custos marginais médios são apresentados. 
 
Note que, quando aumentamos a quantidade produzida de 1.000 para 1.500 unidades, o custo total varia R$1.000,00, ou 
seja, cada unidade produzida a mais, nesse intervalo, gera um aumento de R$2,00 no custo total. 
Esse é o custo marginal médio do intervalo, e é o menor dos valores apresentados. Entretanto, quando a produção passa 
de 1.800 para 2.000 unidades, o custo marginal é demasiadamente grande. 
Isso indica que o cenário é mais favorável à produção quando a quantidade produzida gira em torno de 1.500 unidades e 
menos favorável quando ela se aproxima de 2.000 unidades. 
No próximo módulo, estudaremos os custos de produção com mais detalhes. 
 
 
 
Verificando o Aprendizado 
1. Considerando dois pontos A= (𝒙1, 𝒚1) e B= (𝒙2, 𝒚2) em um gráfico, a taxa de variação média de 𝒚 para o intervalo 𝒙1 ≤ 𝒙 
≤ 𝒙2 é dada por: 
a) 
𝒚𝟏
𝒚𝟐
 
b) 
𝒚𝟐
𝒙𝟐
 
c) 
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝐱𝟏
 
d) 
𝒙𝟐−𝒙𝟏
𝒚𝟐−𝐲𝟏
 
2. Considere o gráfico a seguir, que mostra os custos totais de produção de certa utilidade para determinadas quantidades 
produzidas. 
O custo variável médio quando são produzidos 40kg dessa 
utilidade é: 
a) 180 R$/kg. 
b) 160 R$/kg. 
c) 72,00 R$/kg. 
d) 32,50 R$/kg. 
 
 
 
Introdução 
Vamos dar início a este módulo com o vídeo a seguir. 
Assista ao vídeo Funções Matemáticas Aplicadas à Área Financeira. https://player.vimeo.com/video/407272386 
 
Funções custo, receita e lucro totais 
As funções matemáticas, das mais elementares às mais complexas, são utilizadas nas análises de variação de duas 
grandezas, uma em relação à outra, em vários cenários e têm uma infinidade de aplicações práticas. Neste módulo, serão 
abordadas as funções custo, receita e lucro totais. 
 
Elas são largamente utilizadas na Administração, Economia, nas Ciências Contábeis e em áreas afins. 
 
• FUNÇÃO CUSTO TOTAL 
A função custo total de uma utilidade é aquela que relaciona o seu custo total de produção CT com a quantidade produzida 
q e é dada pela soma dos custos fixos CF e dos custos variáveis CV, como a seguir: 
CT = CF + CV 
Os custos variáveis geralmente são obtidos pela multiplicação do custo unitário c pela quantidade produzida q. Dessa 
forma, a função custo total pode ser expressa por: 
CT = CF + c . q 
Observe que esse é o formato de uma função de primeiro grau. Apesar de poder assumir outras formas, a função custo total 
geralmente apresenta esse tipo de comportamento linear. 
 
Os custos fixos são aqueles que não estão diretamente relacionados à produção. Eles são compostos, por exemplo, pelo 
aluguel que a empresa paga pela instalação, pelos salários de seus colaboradores etc. Mesmo que, em determinado 
período, não seja produzida nenhuma unidade do produto, o custo fixo ocorre. Já o custo variável é aquele que tende a 
variar de forma direta à quantidade produzida: quanto mais se produz, maior é o custo variável (total). Se nenhuma unidade 
for produzida, o custo variável é nulo. 
 
https://player.vimeo.com/video/407272386
• FUNÇÃO RECEITA TOTAL 
A função receita total de uma utilidade é aquela que relaciona o valor total recebido RT pela comercialização de q 
unidades dessa utilidade e é expressa pelo produto entre o seu preço unitário p e a quantidade comercializada, como a 
seguir: 
RT = p . q 
Apesar de expressa em relação a duas variáveis (preço e quantidade), conseguimos representá-la com função apenas da 
variável q. Isso porque o preço pode ser fixado ou expresso em relação à quantidade. Quando o preço p é fixo, a função 
receita tem comportamento linear. Porém, quando o preço se relaciona com a quantidade (através de uma função de 
demanda, como veremos no próximo módulo), ela assume outras formas, como, por exemplo, a de uma função quadrática, 
cujo gráfico é uma parábola. 
O ponto no qual o custo se iguala à receita é denominado ponto de nivelamento. Ele é importante na determinação da 
meta de produção e venda, pois, a partir dele, começa-se a verificar a ocorrência de lucro. 
 
• FUNÇÃO LUCRO TOTAL 
A função denominada função lucro total (LT) associa, a cada quantidade q produzida e comercializada, adiferença entre 
as respectivas funções receita total e o custo total. Sua forma é: 
LT = RT — CT 
Ela fornece o lucro obtido com a produção e comercialização de q unidades de uma utilidade, podendo assumir valores 
negativos (prejuízo), positivos (lucro), ou até mesmo ser nula. Neste último caso, consideramos que custo e receita se 
igualam. 
 
Exemplo 
Para produzir certa utilidade, uma fábrica gasta R$10,00 por unidade, além de uma despesa fixa (que independe da 
quantidade produzida) de R$800,00. Cada unidade produzida é vendida por R$14,00. 
Temos: 
• Custo fixo: CF = R$800,00; 
• Custo unitário: c = R$10,00; 
• Preço unitário de venda: p = R$14,00. 
Para expressar o custo total CT em relação à quantidade produzida q, colocamos esses valores na expressão: CT = CF + c 
∙ q 
Assim, temos: CT = 800 + 10 ∙ q 
A função receita total, que tem a forma: RT = p ∙ q 
Nesse caso, ela é expressa por: RT = 14 ∙ q 
O ponto de nivelamento é aquele em que custos e receita se igualam. Para determiná-lo, começamos resolvendo a equação: 
RT = CT 
14q = 800 + 10q 
14q — 10q = 800 
4q = 800 
q = 
𝟖𝟎𝟎
𝟒
 
q = 200 
Concluímos, portanto, que, quando são produzidas e comercializadas 200 unidades, não há lucro nem prejuízo, pois receita 
e custo assumem o mesmo valor. 
Para determinar que valor é esse, basta substituir q por 200 na função custo ou receita. 
Veja: CT (200) = 800 + 10 ∙ 200 = 800 + 2.000 = 2.800 reais 
Ou RT (200) = 14 ∙ 200 = 2.800 reais 
Logo, o ponto de nivelamento será dado por (200, 2.800). 
 
A seguir, veja o gráfico com as funções custo e receita e com o ponto de nivelamento. 
 
Observe, no gráfico, que o encontro dos segmentos que representam as funções custo e receita ocorre quando q = 200. 
À esquerda desse ponto, o custo supera a receita, indicando, portanto, que, para q < 200 (quantidades inferiores a 200 
unidades), ocorre prejuízo. À direita, é a receita que supera o custo, indicando que, para q > 200, ocorre lucro. 
A função lucro total LT pode ser obtida considerando: LT = RT — CT 
Daí, temos: LT = 14q — (800 + 10q) 
LT = 14q — 800 — 10q 
LT = 4q — 800 
Inserindo a representação dessa função no mesmo gráfico em que estão representadas as funções custo total e receita 
total, podemos comparar as variações dessas três funções. Veja a seguir: 
 
Note que o segmento que representa a função lucro total intercepta o eixo horizontal no valor q = 200 (isso significa que o 
lucro é igual a zero quando a quantidade é igual a 200), que é a mesma quantidade do ponto de nivelamento, pois, quando 
receita e custo se igualam, o lucro é nulo. 
A função lucro total pode ser utilizada para estimar o lucro obtido com a venda de certa quantidade q dessa utilidade e 
para determinar qual quantidade deve ser produzida e vendida para que determinada meta de lucro seja alcançada. Por 
exemplo, se queremos determinar o lucro quando são produzidas e comercializadas 500 unidades, fazemos: 
LT (500) = 4.500 — 800 = 2.000 — 800 = 1.200 reais 
Agora, se pretendemos determinar qual quantidade deve ser produzida para que o lucro seja de, por exemplo, R$3.000,00, 
devemos resolver a equação: LT (q) = 3.000 
Isto é: 4q — 800 = 3.000 
4q = 3.000 + 800 
4q = 3.800 
q =
𝟑𝟖𝟎𝟎
𝟒
= q = 950 
Mão na massa 
Exercício 1: Para certa utilidade, a função custo total, em reais, para uma quantidade produzida q, em quilogramas, é 
dada por C(q) = 3.000 + 50q. O gráfico que representa essa função no intervalo 0 ≤ q ≤ 200 é: 
a) B) 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2: As funções custo total e receita total referentes a certo componente eletrônico são: CT = 4.000 + 12q 
e RT = 20q. O seu ponto de nivelamento é: 
a) (125; 2.500). 
b) (600; 12.000). 
c) (50; 8.000). 
d) (500; 10.000). 
 
Exercício 3 O gráfico representa a função custo total referente a certo bem. 
O custo fixo de produção desse bem e o seu custo unitário (variável) são, 
respectivamente: 
a) R$1.000,00 e R$50,00. 
b) R$5.000,00 e R$10,00. 
c) 1.000,00 e R$25,00. 
d) R$5.000,00 e R$50,00. 
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/te0044/index.html#resposta1au
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/te0044/index.html#resposta1au
Exercício 4: Dadas as funções custo total e receita total CT = 2.500 + 150q e RT = 280q, o gráfico de sua função lucro total 
no intervalo 0 ≤ q ≤ 100 é: 
a) b) 
 
c) d) 
 
 
 
 
Exercício 5: Uma empresa fabrica apenas um modelo de camiseta e sabe-se que, no mês em que são fabricadas 500 
camisetas, o custo total de produção é de R$22.000,00. Já no mês em que são fabricadas 1.000 camisetas, esse custo 
passa a ser de R$30.000,00. Considerando que o custo total é representado por uma função de primeiro grau, é correto 
concluir que o custo fixo de produção desse modelo de camiseta é: 
a) R$14.000,00. 
b) R$22.000,00. 
c) R$12.000,00. 
d) R$8.000,00. 
 
Exercício 6 As funções custo total e receita total, dadas em reais, para determinado bem são, respectivamente: 
C = 50.000 + 400q e R = 700q, Onde q (em toneladas) é a quantidade produzida e comercializada. Qual deve ser a 
quantidade (aproximada) produzida e comercializada desse bem para que o lucro seja igual a R$60.000? 
a) 367 ton 
b) 350 ton 
c) 338 ton 
d) 338 ton 
 
 
Teoria na prática 
Os custos de produção são avaliados em diversas situações, como, por exemplo, no estudo da viabilidade de instalação 
de produção em determinadas filiais ou regiões. Assim, as funções custo e receita são primordiais nesse tipo de estudo. 
A seguir, veja um exemplo bem interessante abordado na questão do Enade (Exame Nacional de Desempenho dos 
Estudantes – 2012 – Administração – Questão 13): As decisões sobre a localização de empresas são estratégicas e 
integram o planejamento global do negócio. Considerando que o preço de venda da grande maioria dos bens produzidos 
é estabelecido pelo mercado, é preciso que as empresas conheçam em detalhes os custos nos quais incorrerão em 
determinada localidade. O modelo padrão custo-volume-lucro é útil na decisão de localização. A figura a seguir apresenta, 
em um único gráfico, as curvas de custo total versus a quantidade produzida mensalmente para as cidades de Brasília, 
São Paulo e Goiânia, as quais foram previamente selecionadas para receber uma nova fábrica de brinquedos. Sabe-se 
que a receita total é a mesma para as três localidades e que a decisão com base no lucro esperado em cada localidade 
varia com a quantidade produzida. 
 
A análise do modelo de custo-volume-lucro apresentado no gráfico revela que: 
A) São Paulo é a localidade que proporcionará maior lucro para a nova fábrica, se a quantidade mensal a ser produzida 
variar entre 5.000 e 10.000 unidades, considerando a estrutura de custos apresentada. 
B) São Paulo é a cidade na qual deve ser instalada a nova unidade produtiva, se a quantidade a ser produzida 
mensalmente for maior que 7.500 unidades, pois, a partir desse volume de produção, é a localidade que proporcionará 
maior lucro. 
C) Brasília é a localidade mais indicada para receber a nova fábrica para volumes de produção mensal inferiores a 5.000 
unidades, pois é a cidade que viabilizará maior lucro. 
D) Goiânia deve receber a instalação da nova fábrica, se a quantidade produzida mensalmente for superior a 10.000 
unidades, tendo em vista que, nas condições apresentadas, é a cidade que poderá dar maior lucro. 
E) Tanto Goiânia quanto Brasília podem receber a nova fábrica, se oobjetivo é produzir uma quantidade mensal 
exatamente igual a 5.000 unidades, considerando que o lucro será o mesmo nas duas localidades. 
Resposta: Observe que a comparação entre o custo em cada região com a função receita permite avaliar em qual região 
o lucro deverá ser maior, considerando o nível de produção. A alternativa correta é a letra A, pois, para o nível de produção 
entre 5.000 e 10.000 unidades, a função custo referente à São Paulo é a que está no menor patamar de todas. Como a 
receita independe da região, isto é, será a mesma para qualquer uma, então o maior lucro será atingido quando o custo 
for o menor. 
Verificando o Aprendizado 
1. (Enade 2015 – Tecnologia em Gestão da Qualidade – adaptada) Suponha que uma empresa – cujo faturamento anual 
é de R$840 milhões, o custo unitário do produto é de R$350,00 e o preço de venda é de R$420,00 por unidade – esteja 
estudando alterar o processo de gestão de qualidade a fim de gerar um aumento de 10% na quantidade de produtos 
vendidos. Considerando esse novo cenário de vendas, o incremento no valor do lucro final é de: 
a) R$2 milhões. 
b) R$14 milhões. 
c) R$16,8 milhões. 
d) R$70 milhões. 
2. (Enade 2006 – Administração – Questão 32 – adaptada) 
A figura a seguir representa os custos de diferentes formas de processos de produção (celular, automatizada e 
intermitente) e a receita de vendas de determinado produto. 
Considerando a figura, analise as afirmações a seguir: 
 
I. Se for esperado um volume de produção abaixo de 10.000, a 
manufatura intermitente é a preferível; entre 10.000 e 43.000, a 
manufatura celular é a preferível; acima de 43.000, a manufatura 
automatizada é a preferível. 
Porque 
II. Os pontos de equilíbrio (quantidade/valor para os quais as 
receitas igualam os custos) são de 27.000, 30.000 e 40.000, 
respectivamente, para as manufaturas celular, automatizada e 
intermitente. A respeito das informações anteriores, conclui-se 
que: 
a) As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a 
primeira. 
b) As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira. 
c) A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa. 
d) A primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira. 
 
Introdução 
Vamos dar início a este módulo com o vídeo a seguir. 
Assista ao vídeo Definições das Funções: Demanda, Oferta e Preço de Equilíbrio. 
https://player.vimeo.com/video/407279508 
Análise das funções demanda e oferta 
Duas funções matemáticas largamente utilizadas no campo da Economia são a demanda e a oferta. Delas deriva o preço 
de equilíbrio de mercado, que é peça fundamental em diversas análises econômicas. 
 Fonte: shutterstock 
Demanda ou quantidade demandada 𝐐𝐃 
A demanda ou quantidade demandada QD de certa utilidade (bem ou serviço) a um preço unitário 
P é a soma das quantidades que todos os compradores do mercado desejam e estão aptos a 
adquirir a esse preço em certo período. 
A função matemática que relaciona as variáveis QD e P de uma utilidade é denominada função 
demanda dessa utilidade. 
A tendência que geralmente se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade demandada 
cai, pois o produto torna-se menos interessante para o consumidor. 
Porém, se o preço cai, a demanda tende a subir. 
Oferta e preço são grandezas que costumam variar no mesmo sentido. 
https://player.vimeo.com/video/407279508
Oferta ou quantidade ofertada 𝐐𝐎 
A oferta ou quantidade ofertada QO de uma utilidade (bem ou serviço) a um preço unitário P é a soma das quantidades 
que todos os fornecedores ou produtores estão aptos e dispostos a vender desse produto ao preço P em certo período. 
A função matemática que relaciona as variáveis QO e P é denominada função oferta dessa utilidade. 
Com relação ao estudo da quantidade ofertada e do preço, a tendência que geralmente se observa é que, se o preço 
aumenta, a quantidade ofertada aumenta, pois o produto torna-se mais atrativo para quem o fornece. Porém, se o preço 
cai, a oferta também tende a cair. 
Preço P 
O preço P de uma utilidade para o qual as quantidades demandada e ofertada se igualam é denominado preço de 
equilíbrio de mercado ou, simplesmente, preço de equilíbrio. 
 
Por tais motivos, é desejável um preço que se aproxime do preço de equilíbrio. 
Representação gráfica 
Recorrer à representação gráfica das funções demanda e oferta é bastante útil para facilitar suas análises e a do ponto 
de equilíbrio. O gráfico a seguir mostra uma situação genérica que representa tais elementos. 
 
Exemplo. Certo produto tem sua quantidade demanda QD e sua quantidade ofertada QO dadas, respectivamente, por: 
QD = 10.000 — 15p e QO = —1.200 + 25p. P é o preço unitário de venda e varia de 100 a 500 reais. 
Nesse caso, as duas funções são de primeiro grau, isto é, são representadas graficamente por um segmento de reta no 
intervalo designado. Portanto, para traçá-las, podemos tomar apenas dois pontos de cada. 
Vamos considerar os preços R$100 e R$500, que são os extremos do intervalo considerado, para calcular os valores 
apresentados na tabela a seguir. 
 
Outro ponto que já podemos localizar no gráfico é o ponto de equilíbrio. Para obtê-lo algebricamente, basta resolver a 
equação a seguir: QO = QD 
— 1.200 + 25p = 10.000 — 15p 
25p + 15p = 10.000 + 1.200 
40p = 11.200 
P=
11200
40
 
p = 280 reais 
Este é, portanto, o preço de equilíbrio. 
A quantidade de equilíbrio pode ser obtida substituindo esse valor em qualquer uma das funções, demanda ou oferta. 
Substituindo-o na função demanda, temos: 
QD = 10.000 — 15.280 = 10.000 — 4.200 = 5.800 unidades 
Logo, o ponto de equilíbrio é a interseção entre 280 e 5.800. Este ponto, bem como as funções demanda e oferta, é 
apresentado no gráfico a seguir. 
 
Pela análise do gráfico, podemos concluir que: 
À medida que os preços vão se afastando de R$280,00 para valores menores, a tendência é que haja 
falta do produto no mercado, já que a demanda superará a oferta. 
 
 
No caso de preços maiores que o preço de equilíbrio, a oferta deverá superar a demanda, e, portanto, 
haverá sobra desse produto no mercado. 
 
 
 
Atenção 
As funções demanda nem sempre são representadas por segmentos de reta. Elas podem ser de outros tipos, como 
quadráticas, exponenciais, logarítmicas, entre outros formatos. Contudo, o tipo de análise gráfica que fizemos há 
pouco pode ser realizado quaisquer que sejam os tipos de funções que caracterizam essas duas variáveis em 
relação ao preço. 
 
Na prática, diferentemente das funções custo, receita e lucro que vimos no módulo anterior, as funções demanda 
e oferta são obtidas através de processos estatísticos. Estes, por sua vez, obtêm equações relacionando duas 
variáveis a partir de levantamentos, para, assim, obter valores associados dessas variáveis. 
 
 
 
 
Mão na massa 
Exercício 1 A função demanda QD, em toneladas, de certo produto é dada por QD = 200 — 30p, em que p é o seu preço 
por tonelada. O seu preço atual pO proporciona demanda de 80 toneladas. O valor de pO: 
a) É menor do que R$30,00. 
b) É maior do que R$50,00. 
c) Está entre R$32,00 e R$37,00. 
d) Está entre R$39,00 e R$45,00. 
 
Exercício 2: As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por: QD = 3.600 — 28p e QO = 20p 
- 1.200. O ponto de equilíbrio desse produto é: 
a) (100; 800). 
b) (120; 560). 
c) (800; 100). 
d) (560; 120). 
 
Exercício 3 A demanda de um produto é de 1.300 unidades quando seu preço é de R$42,00. Sabe-se que a função que 
relaciona sua quantidade demanda com seu preço é do primeiro grau. Além disso, cada aumento de R$1,00 em seu preço 
unitário causa uma queda de 25 unidades na sua demanda. Denotando por D sua quantidade demandada e por p seu 
preço unitário de venda, a função que representa corretamente a relação entre essas duas variáveis é: 
a) D = — p + 1.300. 
b) D = — 25p + 2.350. 
c) D = 25p — 2.350. 
d) D = p — 1.300. 
 
Exercício 4: A relação entre a quantidade vendida de certo produto relaciona-se com seu preçode forma linear. Sabe-
se que a redução no preço de R$50,00 para R$40,00 aumenta a quantidade vendida de 200 para 250 unidades. Se 
denotarmos por q a quantidade vendida e por p o preço do produto, a expressão que relaciona corretamente essas 
variáveis é: 
a) q = — 10p + 50. 
b) q = 5p — 450. 
c) q = 10p — 50. 
d) q = — 5p + 450 
 
Exercício 5: As funções demanda D e oferta S de certo bem são dadas, respectivamente, por: D = 80 — 5p e S = 3p — 
18. Considerando que as quantidades D e S são positivas, os valores de preço para os quais haverá sobra desse bem 
no mercado será dado pelo intervalo: 
a) (0 < p < 16). 
b) (12,25 < p < 16). 
c) (0 < p < 12,25). 
d) (3 < p < 5). 
Exercício 6 
Dadas D = — p2 — 2p + 80 (demanda) e S = 7p — 10 (oferta), o preço de equilíbrio é igual a: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
Teoria na prática 
No módulo anterior, você estudou a função receita referente à venda de certa utilidade dada em relação à sua 
quantidade vendida. Essa função pode ser expressa na forma: RT = p ∙ q 
Em que: 
• p é o seu preço de venda unitário; 
• q é a quantidade comercializada. 
Vejamos, a seguir, alguns pontos importantes para a análise: PREÇO FIXO, ARIAÇÃO DE PREÇO e 
• PREÇO FIXO: Quando o preço p é fixo, como já vimos, o gráfico dessa função será representado por uma semirreta. 
Nesse caso, quanto maior for a quantidade vendida, maior será o lucro. E, se a função custo dessa utilidade também for 
de primeiro grau, podemos concluir que, quanto maior for a quantidade produzida e vendida, maior será o lucro obtido. 
 
• VARIAÇÃO DE PREÇO: Nem sempre o preço é fixo, na maior parte dos casos, o preço do produto varia. Essa 
variação geralmente pode ser expressa por uma função demanda. Nesse caso, você sabe que geralmente as variáveis 
preço e quantidade variam em sentidos inversos. Se a demanda está abaixo do esperado para um produto, seus 
fornecedores tendem a diminuir seu preço, a fim de que o número de consumidores dispostos a consumi-lo aumente. De 
modo semelhante, se a demanda está alta, pode ser que que haja aumento no preço. 
 
• INTERFERÊNCIA NA RECEITA: A variação do preço logicamente interferirá na receita da empresa. Podemos pensar 
que o aumento do preço, por exemplo, aumentará a receita. Porém, se a quantidade demandada do produto diminuir, o 
que garantirá o aumento da receita? Da mesma forma, a diminuição do preço poderia nos levar a concluir pela diminuição 
da receita. No entanto, se o aumento da quantidade vendida resultante dessa queda no preço tiver mais peso sobre a 
receita, o que podemos concluir? 
Isso mostra que nem sempre o lucro aumentará se a quantidade produzida e vendida também aumentar. Se o 
aumento do preço provoca diminuição na quantidade vendida, é preciso avaliar esse tipo de relação matematicamente 
para obter as conclusões corretas. Nesse caso, podemos utilizar a função demanda para obter a função receita de uma 
utilidade. 
 
Vamos considerar o exemplo a seguir para ilustrar como ocorre esse tipo de análise e qual sua importância na 
determinação de um nível de produção e venda que pode levar ao maior lucro possível. 
Considere um produto que tenha custo fixo de R$6.000,00 e custo variável unitário de R$80,00. A sua quantidade demanda 
q, em unidades, relaciona-se com seu preço de venda unitário p, em reais, através da função demanda: q = 400 — p 
Com as informações dadas, podemos escrever sua função custo total na forma: CT = 6.000 + 80q 
Com relação à função receita total RT, como não temos um preço fixo, vamos obtê-lo a partir da sua relação com a 
quantidade q dada pela função demanda. Tomando essa função, podemos isolar a variável p, isto é, escrever p em função 
de q. Teremos: q + p = 400 
Substituindo p por 400 — q, na função RT = p ∙ q, chegamos a: 
RT = (400 — q) ∙ q 
RT = 400q — q2 
Esta é uma função quadrática. Seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente do termo quadrático é negativo, então 
essa parábola terá concavidade voltada para baixo. 
Para obter a função lucro total, fazemos: LT = RT — CT 
LT = — q2 + 400q — (6.000 + 80q) 
LT = — q2 + 400q — 6.000 — 80q 
LT = — q2 + 320q — 6.000 
Observe que essa também é uma função quadrática representada por uma parábola com concavidade voltada para baixo, 
como mostra o gráfico a seguir: 
 
Pela sua análise, percebemos que, à medida que a quantidade aumenta, há também o aumento do lucro, mas até certo 
ponto. Há um ponto em que o lucro atinge seu valor máximo. Isso ocorre no vértice dessa parábola. Para determinar sua 
coordenada 𝒙, podemos utilizar a seguinte fórmula, em que 
é o coeficiente do termo 𝒙2 e , o coeficiente do termo 𝒙. Portanto, = — 1 e = 320. 
 
 
Logo, a quantidade que deverá ser produzida e vendida para que o lucro atinja seu valor máximo é 160 unidades. 
Qualquer outro valor de q levará a um valor menor para LT. Para calcular qual é o lucro máximo, podemos substituir esse 
valor na expressão do lucro, como mostrado a seguir: 
LT = — 1602 + 320 ∙ 160 — 6.000 = — 25.600 + 51.200 — 6.000 = 19.600 reais 
Pode parecer estranho o fato de a quantidade produzida e vendida aumentar e, mesmo assim, o lucro diminuir. Isso 
ocorre porque, para aumentar a quantidade, o preço deve cair. Se, por um lado, o aumento da quantidade tende a 
provocar aumento da receita e, consequentemente, do lucro, por outro, a diminuição do preço tende a provocar 
diminuição da receita e do lucro. 
 
Até certo ponto, o lucro cresce, mas chega um momento em que a diminuição do preço está tendo maior “força” do que 
o aumento da quantidade. 
 
Verificando o Aprendizado 
 
1. A função de demanda para certo produto é q = 8.000 − p, onde q caixas são demandadas quando p é o preço por 
caixa. A receita gerada pela venda de 200 caixas é igual a: 
a) R$1.560.000. 
b) R$720.000. 
c) R$1.980.000. 
d) R$875.000. 
 
 
2. O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q) = − q2 + 150q − 3.000 reais, 
para q variando entre 0 e 80 unidades. Segundo tal função, o valor máximo de lucro que pode ser obtido é: 
a) R$2.000,00. 
b) R$2.625,00. 
c) R$3.000,00. 
d) R$3.775,00. 
 
 
Considerações finais 
Entender taxas de variação é uma importante habilidade de qualquer profissional, em especial daqueles em cargo de gestão. 
Essas taxas nos ajudam a estimar o que acontece com uma grandeza quando outra grandeza relacionada varia. Podemos 
reconhecer os períodos de crescimento ou decrescimento de uma grandeza que acompanhamos. Em especial para os 
gestores, podemos descrever inúmeras situações onde esse conhecimento é aplicado. Neste tema, vimos a aplicação direta 
nas situações com custo de produção, receita e lucro (algo bem presente na vida de muitos profissionais!). Também vimos 
a aplicação direta na relação de oferta de demanda, onde, para cada preço, temos uma demanda. 
Essas são algumas das aplicações desses conceitos fundamentais da Matemática, mas existem muitas outras! O importante 
é que, utilizando esses conhecimentos como ferramentas, podemos tomar decisões mais acertadas em situações futuras. 
Podcast 
 
Conquistas 
Reunimos as suas conquistas. Olha o que conseguiu fazer: 
Calculou a taxa de variação média entre duas grandezas 
Relacionou as taxas de variação em gráficos com períodos de crescimento e decrescimento 
Interpretou as funções custo, receita e lucro e seus gráficos 
Analisou, através de funções, a demanda e a oferta de produtos a partir do preço praticado 
 
Referências 
GOLDSTEIN, L. J.; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I. Matemática Aplicada. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
LEITE, A. Aplicações da Matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2008. 
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática: para os cursos de Economia, Administração e Ciências 
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