Fenômenos de Transporte

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ENGENHARIA CIVIL 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Dr. Carmo Henrique Kamphorst 
 
 
 
2018 
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FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
 
Fenômenos de transporte é a ciência que estuda o transporte de quantidade de movimento (ou 
momentum), transporte de calor e transporte de massa. 
Processos de transferência são caracterizados pela tendência ao equilíbrio, que é a condição em 
que não ocorre nenhuma variação. Logo, a força motriz dos processos de transferência de movimento, 
calor e massa consistem da diferença de velocidade, de temperatura ou de concentração, 
respectivamente. 
 
Os fenômenos de transporte podem ser subdivididos em três áreas: 
 Mecânica dos Fluidos: Parte da Mecânica aplicada que se dedica à análise do comportamento de 
líquidos e gases tanto em equilíbrio quanto em movimento; 
 Transferência de Calor: Ciência que estuda a transferência de energia associada à diferença de 
temperatura; 
 Transferência de Massa: Ciência que estuda a transferência de massa associada à diferença de 
concentração de uma substância. 
 
1- LEI DA HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL 
Nas ciências de forma geral, são denominadas grandezas físicas somente as propriedades 
mensuráveis de um fenômeno, corpo ou substância. É necessário que essas propriedades possam ser 
expressas quantitativamente: 
 No caso das grandezas escalares: por meio de um número (sua magnitude ou módulo) e de uma 
"referência de tamanho" (sua unidade de medida); 
•Transporte de quantidade de 
movimento 
Gradiente de 
velocidade 
•Transporte de calor 
Gradiente de 
temperatura 
•Transporte de Massa 
Gradiente de 
concentração 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fen%C3%B4meno
https://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_(f%C3%ADsica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Subst%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Magnitude
https://pt.wikipedia.org/wiki/Unidade_de_medida
3 
 
 
 No caso das grandezas vetoriais: por meio de um número (sua magnitude ou módulo), de uma 
"referência de tamanho" (sua unidade de medida) e de uma orientação (formada por uma 
direção e um sentido). 
Grandezas físicas como comprimento (𝐿), tempo (𝑇), massa (𝑀) e temperatura(Θ) usualmente 
são associados a sistemas dimensionais. Estabelecido um sistema particular de dimensões, todas as 
quantidades mensuráveis passam a ser subdivididas em dois grupos: quantidades primárias e 
quantidades secundárias. Estabelecido um pequeno grupo de quantidades primárias, diz-se que são 
secundárias àquelas cujas dimensões são expressas em termos de quantidades primárias. 
Para exemplificar consideremos um sistema dimensional em que são consideradas primárias as 
seguintes quantidades: massa (M), o comprimento (L), o tempo (T) e a temperatura (Θ). Neste sistema 
dimensional grandezas físicas como área (𝑆), volume (∀), massa específica (𝜌), velocidade (𝑉), 
aceleração (𝑎), força (𝐹) e calor específico (𝑐) são quantidades secundárias, pois: 
 𝑆 ≐ 𝐿2 
 ∀≐ 𝐿3 
 𝜌 ≐
𝑀
𝐿3
= 𝑀𝐿−3 
 𝑉 ≐
𝐿
𝑇
= 𝐿𝑇−1 
 𝑎 ≐
𝐿
𝑇2
= 𝐿𝑇−2 
 𝐹 ≐
𝑀𝐿
𝑇2
= 𝐿𝑇−2 
 𝑐 ≐
𝐿2
𝑇2Θ
 
Nos exemplos acima o símbolo ≐ é utilizado para indicar a dimensão de cada uma das 
quantidades secundárias. Contudo, se considerarmos o emprego de um sistema dimensional que 
considere primárias as quantidades força (F), o comprimento (L), o tempo (T) e a temperatura (Θ), tem-
se: 
 𝑆 ≐ 𝐿2 
 ∀≐ 𝐿3 
 𝑉 ≐
𝐿
𝑇
= 𝐿𝑇−1 
 𝑎 ≐
𝐿
𝑇2
= 𝐿𝑇−2 
 𝑀 ≐
𝐹𝑇2
𝐿
= 𝐹𝐿−1𝑇2 
 𝜌 ≐
𝐹𝑇2
𝐿4
= 𝐹𝐿−4𝑇2 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dire%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sentido_(matem%C3%A1tica)
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Todas as equações teóricas são dimensionalmente homogêneas, ou seja, as dimensões dos 
lados esquerdo e direito da equação são iguais e todos os termos aditivos separáveis que compõem a 
equação precisam apresentar a mesma dimensão. 
 
 
 
A equação que expressa a velocidade de um corpo uniformemente acelerado, por exemplo, 
dimensionalmente homogênea, pois 
𝑉 = 𝑉0 + 𝑎𝑡 → 𝐿𝑇
−1 ≐ 𝐿𝑇−1 + 𝐿𝑇−1. 
Uma equação que não é dimensionalmente homogênea não é aceira para descrever qualquer 
fenômeno físico. Todavia, em algumas equações verdadeiras pode haver constantes que apresentam 
dimensionalidade. Por exemplo, sob certas condições, a equação da distância, 𝑑, percorrida por um 
corpo que cai em queda livre pode ser expressa por 
𝑑 = 4,9𝑡2 (1) 
Um teste dimensional desta equação revela que a constante precisa apresentar dimensão 𝐿𝑇−2 para que 
a equação seja dimensionalmente homogênea. De fato, a Eq. 1 é uma forma particular da conhecida 
equação da física clássica que descreve o movimento dos corpos em queda livre, 
𝑑 =
𝑔𝑡2
2
 (2) 
em que 𝑔 é a aceleração da gravidade. É importante observar que a Eq. 2 é dimensionalmente 
homogênea e válida em qualquer sistema de unidades (eq. Homogênea geral). A Eq. 1, por sua vez, só 
é válida para 𝑔 = 9,8𝑚/𝑠2 e se o sistema de unidades for baseado no metro e no segundo (Eq. 
Homogênea restrita). 
 
Exemplos: 
1) Determine a dimensão da grandeza física calor específico: 
a) usando a massa como dimensão primária. 
b) usando a força como dimensão primária. 
 
2) Verifique se é dimensionalmente correta a equação 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝑎. 
Todos os termos de uma expressão matemática, que, traduz um fenômeno físico, 
devem possuir a mesma dimensão. 
 
5 
 
 
3) A equação usualmente utilizada para determinar a vazão em volume, 𝑄, do escoamento de líquido 
através de um orifício localizado na lateral de um tanque é 
𝑄 = 0,61𝐴√2𝑔ℎ 
em que 𝐴 é a área do orifício, 𝑔 é a aceleração da gravidade e ℎ é a altura da superfície livre do 
líquido em relação ao orifício. Investigue a homogeneidade dimensional desta equação. 
 
Exercícios: 
1) Determine as dimensões usando a massa como dimensão primária e usando a força como dimensão 
primária. 
a) Da grandeza física potência. 
b) Da grandeza física pressão. 
c) Do produto da massa pela velocidade. 
d) Do produto da força pelo volume. 
e) Da energia cinética dividida pela área. 
 
2) Se 𝑃 é uma força e 𝑥 um comprimento, quais serão as dimensões (no sistema FLT) de 
𝑑𝑃
𝑑𝑥
, 
𝑑3𝑃
𝑑𝑥3
 e 
∫ 𝑃 𝑑𝑥? 
 
3) O livre caminho médio 𝜆 de uma molécula de gás é a distância média que ela percorre antes de 
colidir com outra molécula. Ele é dado por 
𝜆 = 𝐶
𝑚
𝜌𝑑2
 
 em que 𝑚 e 𝑑 são a massa e o diâmetro da molécula, respectivamente, e, 𝜌 é a massa específica do 
gás. Quais são as dimensões da constante C para que a equação seja dimensionalmente correta? 
 
4) Na aerodinâmica estuda-se que a força de arrasto 𝐹𝐷 sobre um corpo é dada por 
𝐹𝐷 =
1
2
𝜌 𝑉2𝐴 𝐶𝐷 
 Assim, o arrasto depende da velocidade 𝑉, da massa específica 𝜌 do fluido e do tamanho do corpo 
(indicado pela área frontal A) e sua forma (indicado pelo coeficiente de arrasto 𝐶𝐷). Quais são as 
dimensões de 𝐶𝐷? 
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Respostas: 
1) a) 𝐹𝐿𝑇−1 e 𝑀𝐿2𝑇−3 b) 𝐹𝐿−2 e 𝑀𝐿−1𝑇−2 c) 𝐹𝑇 e 𝑀𝐿𝑇−1 d) 𝐹𝐿3 e 𝑀𝐿4𝑇−2 e) 𝐹𝐿−1 e 𝑀𝑇−2 2) 
𝐹𝐿−1, 𝐹𝐿−3 e 𝐹𝐿 3) Adimensional 4) Adimensional 
 
 
Sistemas Dimensionais e Sistemas de Unidades 
 
 Reconhecemos que a segunda lei de Newton (�⃗� ∝ 𝑚 ∙ �⃗�) relaciona-se com quatro dimensões, 
F, M, L, e T. Assim, força e massa não podem ambas ser selecionadas como dimensões primárias sem 
introduzir uma constante de proporcionalidade que tenha dimensões (e unidades). 
O comprimento e o tempo são dimensões primárias em todos os sistemas dimensionais de uso 
corrente. Em alguns deles, a massa é tomada como uma dimensão primária. Noutros, a força é 
selecionada como tal; um terceiro sistema escolhe tanto a força quanto a massa. Temos, assim,três 
sistemas básicos de dimensões correspondendo aos diferentes modos de especificar as dimensões 
primárias: 
a) Massa [M], comprimento [L], tempo [T], temperatura [Θ]. 
b) Força [F], comprimento [L], tempo [T], temperatura [Θ]. 
c) Força [F], massa [M], comprimento [L], tempo [T], temperatura [Θ]. 
No sistema a, a força (𝐹 ≐ 𝑀𝐿𝑇−2) é uma dimensão secundária. No sistema b, a massa 
(𝑀 ≐ 𝐹𝐿−1𝑇2) é uma dimensão secundária. No sistema c, tanto a força [F] quanto a massa [M] foram 
selecionadas como dimensões primárias. Neste caso, a constante de proporcionalidade 𝑔𝑐, na segunda 
Lei de Newton (escrita como �⃗� = 𝑚�⃗�/𝑔𝑐 ), não é adimensional, visto que, 
 
𝑔𝑐 ≐
𝑀𝐿
𝐹𝑇2
. 
 
 A fim de descrever quantitativamente uma quantidade faz-se necessário o emprego de unidades 
convenientes. A dimensão primária de comprimento, por exemplo, pode ser medida em metros, pés, 
jardas ou milhas. 
7 
 
 
Há mais de uma maneira de selecionar a unidade de medida para cada dimensão primária. 
Apresentaremos apenas os sistemas de unidade mais comuns na engenharia para cada um dos sistemas 
básicos de dimensões. A tabela 1 mostra as unidades básicas assinaladas para as dimensões primárias 
de cada sistema dimensional. As unidades entre parênteses são aquelas destinas à dimensão secundária. 
 
TABELA 1: Sistemas de Unidades Mais Comuns 
Sistema de 
Dimensões 
Sistema de 
Unidades 
F M L T 𝚯 
MLT𝚯 SI (N) Kg m s K 
FLT𝚯 GB lbf (slug) ft s °R 
FMLT𝚯 EE lbf Lbm ft s °R 
 
MLT𝚯 
No sistema dimensional MLTΘ os sistemas de unidades mais comuns são o Sistema 
Internacional de Unidades (SI) e o Sistema Métrico Absoluto. O SI consiste no sistema legalmente 
aceito como único em mais de 30 países. Nele a unidade de massa é o quilograma (kg), a unidade de 
comprimento é o metro (m), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura é o Kelvin 
(K). Por ser uma quantidade secundária, a unidade da força é definida da segunda lei de Newton, 
1𝑁 = 1𝑘𝑔 ∙
𝑚
𝑠2
. 
No Sistema Métrico Absoluto, a unidade de massa é o grama (g), a unidade de comprimento é o 
centímetro (cm), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura é o Kelvin (K). Logo, 
a unidade de força é 
1 𝑑𝑖𝑛𝑎 = 1𝑔 ∙
𝑐𝑚
𝑠2
. 
 
FLT𝚯 
 O sistema de unidade mais usualmente empregado juntamente com o sistema dimensional 
FLTΘ é o Gravitacional Britânico (GB). Nele, a unidade de força é a libra-força (lbf), a unidade de 
comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura é o Rankine 
(°R) – escala termométrica que considera o zero absoluto da escala Kelvin e as subdivisões de 
Fahrenheit – 𝑅 = 𝐹 + 459,67. Como a massa é uma quantidade secundária, sua unidade, o slug, é 
definido em termos da segunda lei de Newton como 
8 
 
 
1 𝑠𝑙𝑢𝑔 = 1𝑙𝑏𝑓 ∙
𝑠2
𝑓𝑡
. 
 
FMLT𝚯 
 Neste sistema dimensional é usual o emprego do Sistema de Unidades Inglês Técnico ou de 
Engenharia (EE). Nele, a unidade de força é a libra-força (lbf), a unidade de massa é a libra-massa 
(lbm), a unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de 
temperatura é o Rankine (°R). Posto que ambas, força e massa, são escolhidas como unidades 
primárias, a segunda lei de Newton é escrita como 
�⃗� =
𝑚�⃗�
𝑔𝑐
. 
 Uma libra-força é a força que da à massa de uma libra-massa uma aceleração igual à 
aceleração-padrão da gravidade da Terra, 32,2
𝑓𝑡
𝑠2
. Daí, concluímos que 
1 𝑙𝑏𝑓 =
1 𝑙𝑏𝑚 × 32,2 𝑓𝑡/𝑠2
𝑔𝑐
 
e 
𝑔𝑐 = 32,2 
𝑓𝑡 ∙ 𝑙𝑏𝑚
𝑙𝑏𝑓 ∙ 𝑠2
. 
 Como uma força de 1 𝑙𝑏𝑓 acelera 1 𝑙𝑏𝑚 a 32,2
𝑓𝑡
𝑠2
, ela aceleraria 32,2 𝑙𝑏𝑚 a 1
𝑓𝑡
𝑠2
. Um slug 
também é acelerado a 1
𝑓𝑡
𝑠2
 por uma força de 1 𝑙𝑏𝑓, portanto, 
1 𝑠𝑙𝑢𝑔 = 32,2 𝑙𝑏𝑚. 
 
Exemplo: O rótulo de pasta de amendoim indica que o seu peso líquido é 510g. Expresse sua massa e 
peso em SI, GB e EE. 
 
 
 
 
9 
 
 
 
Fatores de Multiplicação no SI 
 
 Embora existam unidades padrões, muitas vezes é comum se observar a utilização de múltiplos 
ou submúltiplos, destas unidades, mediante o emprego de prefixos. Na tabela 2 são apresentados 
alguns destes prefixos. 
 
TABELA 2: Fatores de Multiplicação de Unidades e os Respectivos Prefixos 
Fator de Multiplicação Prefixo Símbolo 
1 000 000 000 000 = 𝟏𝟎𝟏𝟐 Tera T 
1 000 000 000 = 𝟏𝟎𝟗 Giga G 
1 000 000 = 𝟏𝟎𝟔 Mega M 
1 000 = 𝟏𝟎𝟑 Quilo K 
0,01 = 𝟏𝟎−𝟐 Centi C 
0,001 = 𝟏𝟎−𝟑 Mili M 
0,000 001 = 𝟏𝟎−𝟔 Micro 𝜇 
0,000 000 001 = 𝟏𝟎−𝟗 Nano N 
0,000 000 000 001 = 𝟏𝟎−𝟏𝟐 Pico P 
 
 
Conversões úteis 
 
Havendo diferentes sistemas de unidades, faz-se necessário, em várias situações, a realização de 
conversões de unidades. A seguir seguem algumas informações úteis. 
Comprimento: 1 𝑖𝑛 = 0,0254 𝑚 1 𝑓𝑡 = 12 𝑖𝑛 
 1 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 1609 𝑚 1 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑚𝑎𝑟í𝑡𝑖𝑚𝑎 = 1852 𝑚 
Volume: 1 𝑚3 = 1000 𝑙 1 𝑔𝑎𝑙 = 231 𝑖𝑛3 
Massa: 1 𝑙𝑏𝑚 = 0,454 𝐾𝑔 1 𝑠𝑙𝑢𝑔 = 32,2 𝑙𝑏𝑚 
10 
 
 
Força: 1 𝐾𝑔𝑓 = 10𝑁 1 𝑁 = 105𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠 1𝑙𝑏𝑓 = 4,448 𝑁 
Trabalho ou Energia: 1𝐵𝑡𝑢 = 1055𝐽 1𝑘𝑐𝑎𝑙 = 3,968𝐵𝑡𝑢 
Potência: 1 ℎ𝑝 = 746 𝑊 = 2545
𝐵𝑡𝑢
ℎ
 
Pressão: 1
𝑁
𝑚2
= 1 𝑃𝑎 1 𝑏𝑎𝑟 = 105𝑃𝑎 1 𝑎𝑡𝑚 = 101325 𝑃𝑎 
Temperatura: 𝑇𝐹 =
9
5
𝑇𝐶 + 32 𝑇𝐾 = 𝑇𝐶 + 273 
 
A partir destas informações podemos transformar, por exemplo: 
a) A aceleração gravitacional 9,8 𝑚/𝑠2 em 𝑓𝑡/𝑠2. 
 
b) A pressão de 1𝑙𝑏𝑓/𝑖𝑛2 em 𝑃𝑎. 
 
c) A potência de 1𝑘𝑊 em 𝐵𝑡𝑢/ℎ. 
 
 
Exercícios 
 
1) Complete a tabela a seguir indicando as dimensões e as unidades solicitadas. 
 
Grandeza Físca 
𝐹𝐿𝑇Θ 𝑀𝐿𝑇Θ 
Dimensão Unidade 
SI 
Unidade 
GB 
Dimensão Unidade 
SI 
Unidade 
GB 
Pressão 
Trabalho 
Potência 
Aceleração 
Quantidade de 
movimento 
 
Calor Específico 
Massa específica 
 
11 
 
 
2) A equação que descreve a pressão 𝑝 de um gás ideal é 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇, em que 𝜌 é a massa específica do 
gás, 𝑇 é a temperatura do gás e 𝑅 é a constante universal dos gases. Determine a dimensão da 
constante 𝑅 usando a força como dimensão primária e usando a massa como dimensão primária. 
Qual a unidade correta para a constante no SI e no GB? 
 
3) Converta (use duas casas decimais de precisão): 
a) 1 𝑚2/𝑠 em 𝑓𝑡2/𝑠; 
b) 1𝑘𝐽/𝑘𝑔 em 𝐵𝑡𝑢/𝑙𝑏𝑚; 
c) 2𝑖𝑛3/𝑚𝑖𝑛 em 𝑚𝑚3/𝑠; 
d) 1𝑚3/𝑠 em 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛; 
e) 30𝑙𝑏𝑓/𝑖𝑛2 em 𝑃𝑎 
f) 12000 𝐵𝑡𝑢/ℎ em 𝑊; 
g) 2 ℎ𝑝 em 𝑘𝑊; 
h) 1 𝑙𝑏𝑓 ∙ 𝑠/𝑓𝑡2 em 𝑁 ∙ 𝑠/𝑚2 
 
4) Expresse os seguintes valores em unidades SI: 
a) 150 𝑖𝑛3/𝑠 
b) 3 𝑔𝑝𝑚 (galões por minuto) 
c) 100 𝑐𝑓𝑚 (𝑓𝑡3/𝑚𝑖𝑛) 
d) 3 𝑚𝑝ℎ/𝑠 (milhas por hora por segundo) 
e) 6,5 ⋅ 10−3𝑔/𝑐𝑚 ⋅ 𝑠 
f) 1𝑙𝑏𝑓. 𝑠/𝑓𝑡2 
 
5) Expresse os seguintes valores em unidades GB: 
a) 50 𝑚2 
b) 5 𝑘𝑔/𝑚3 
c) 50 𝑁 ∙ 𝑠/𝑚2 
 
6) Um fazendeiro necessita de 1,5 polegadas de chuva por semana em sua fazenda, que tem 25 acres 
de área plantada. Se ocorrer uma seca, quantos galões por minuto (gpm) deverão ser bombeados 
para irrigar a colheita? (Dado: 1 acre = 4046,85642 m
2
). 
 
12 
 
 
7) Uma importante equação na teoria das vibrações é 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡) 
 em que 𝑚 (kg) é a massa e 𝑥 (m) é a posição no instante 𝑡 (s). Para uma equação dimensionalmente 
consistente, quais são as dimensões de 𝑐, 𝑘 e 𝑓? Quais seriam as unidades convenientes para estes 
termos em SI e GB? 
 
 
 
Respostas: 
1) 
Grandeza 
Físca 
𝐹𝐿𝑇Θ 𝑀𝐿𝑇Θ 
Dimensão UnidadeSI 
Unidade 
GB 
Dimensão Unidade 
SI 
Unidade 
GB 
Pressão 𝐹𝐿−2 𝑁/𝑚2 𝑙𝑏𝑓/𝑓𝑡2 𝑀𝐿−1𝑇−2 𝑘𝑔/𝑚 ∙ 𝑠2 𝑠𝑙𝑢𝑔/𝑓𝑡 ∙ 𝑠2 
Trabalho 𝐹𝐿 𝑁 ⋅ 𝑚 𝑙𝑏𝑓 ⋅ 𝑓𝑡 𝑀𝐿2𝑇−2 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2/𝑠2 𝑠𝑙𝑢𝑔 ⋅ 𝑓𝑡2/𝑠2 
Potência 𝐹𝐿𝑇−1 𝑁 ⋅ 𝑚/𝑠 𝑙𝑏𝑓 ⋅ 𝑓𝑡/𝑠 𝑀𝐿2𝑇−3 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2/𝑠3 𝑠𝑙𝑢𝑔 ⋅ 𝑓𝑡2/𝑠3 
Aceleração 𝐿𝑇−2 𝑚/𝑠2 𝑓𝑡/𝑠2 𝐿𝑇−2 𝑚/𝑠2 𝑓𝑡/𝑠2 
Quantidade de 
movimento 
𝐹𝑇 𝑁 ⋅ 𝑠 𝑙𝑏𝑓 ⋅ 𝑠 𝑀𝐿𝑇−1 𝑘𝑔 ⋅ 𝑚/𝑠 𝑠𝑙𝑢𝑔 ⋅ 𝑓𝑡/𝑠 
Calor 
Específico 
𝐿2𝑇−2Θ−1 𝑚2/𝑠2𝐾 𝑓𝑡2/𝑠2°𝑅 𝐿2𝑇−2Θ−1 𝑚2/𝑠2𝐾 𝑓𝑡2/𝑠2°𝑅 
Massa 
específica 
𝐹𝐿−4𝑇2 𝑁 ⋅ 𝑠2/𝑚4 𝑙𝑏𝑓 ⋅ 𝑠2/𝑓𝑡4 𝑀𝐿−3 𝑘𝑔/𝑚3 𝑠𝑙𝑢𝑔/𝑓𝑡3 
2) 𝐿2𝑇−2Θ−1, 𝑚2/𝑠2𝐾 e 𝑓𝑡2/𝑠2°𝑅. 
3) a) 10,76 b) 0,43 c) 546,24 d) 15.850,32 e) 206.832,41 f) 3.517,49 g) 1,49 h) 47,88 
4) a) 2,46x10
-3
m
3
/s b) 1,89x10
-4
m
3
/s c) 4,72x10
-2
m
3
/s d) 1,34m/s
2
 e) 6,5x10
-4
kg/ms f)47,88Ns/m
2
 
5) a)538,2ft
2
 b) 9,69x10
-3
slug/ft
3
 c) 1,04 lbf.s/ft
2
 
6) 101 gpm 
7)Constante Dimensão Unidade SI Unidade GB 
𝑐 𝑀
𝑇
 
𝑘𝑔/𝑠 𝑠𝑙𝑢𝑔/𝑠 
𝑘 𝑀
𝑇2
 
𝑘𝑔/𝑠2 𝑠𝑙𝑢𝑔/𝑠2 
𝑓 𝑀𝐿
𝑇2
 
𝑘𝑔 ⋅ 𝑚/𝑠2 𝑠𝑙𝑢𝑔 ⋅ 𝑓𝑡/𝑠2 
13 
 
 
 
1.1 Fluidos e o Meio Contínuo 
 
Denomina-se fluido a substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão 
de cisalhamento (tangencial), não importa quão pequena ela possa ser. Assim, os fluidos compreendem 
as fases líquidas e gasosas (ou de vapor) das formas físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre 
um fluido e o estado sólido da matéria é clara quando comparamos seus comportamentos. Um sólido 
deforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe é aplicada, mas não continuamente. Um fluido não 
apresenta forma própria e é incapaz de permanecer em repouso quando sujeito a esforços de 
cisalhamento. 
 
 
 
A mecânica dos fluidos fundamenta-se teoricamente a partir da hipótese do meio contínuo. O 
conceito de contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica. Embora o fluido seja composto de 
moléculas, consideram-se apenas efeitos médios ou macroscópicos de muitas moléculas (uma porção 
de fluido). Tal hipótese considera que: 
 Os fluidos são meio contínuos; 
 A cada ponto do espaço corresponde um ponto do fluido; 
 Não existem vazios no interior do fluido; 
 Despreza-se a mobilidade das moléculas e os espaços intermoleculares; 
 As grandezas: massa específica, volume específico, pressão, velocidade e aceleração, variam 
continuamente dentro do fluido (ou são constantes). 
Contudo, essa hipótese é válida somente quando as dimensões envolvidas no problema são maiores que 
o caminho livre médio das moléculas (distância média percorrida por uma molécula antes de sofrer colisão com 
outra), ou seja, em volumes macroscópicos no qual exista um número muito grande de partículas. A fim de 
possibilitar uma compreensão de tal argumento, considere o gráfico a seguir que indica o comportamento da 
massa específica 𝜌 de um volume ∆∀. Para volumes muito pequenos a massa específica varia muito em função 
14 
 
 
da significativa variação no número de partículas fluídas no volume considerado. Contudo, para volumes acima 
𝛿∀ a massa específica torna-se estável – o volume anexa um enorme número de moléculas, tornando válida a 
hipótese do meio contínuo. 
 
 
 
A fim de exemplificar, consideremos o ar na CNTP: 
 uma esfera de 0,01𝜇𝑚 de diâmetro conteria um número aproximado de 15 moléculas de ar. 
Logo, ocorrendo uma variação de duas moléculas nesse volume, teríamos uma variação de 
13,3% no valor da massa específica, fato que inviabiliza uma abordagem via hipótese de meio 
contínuo; 
 Enquanto que em um volume 𝛿∀= 0,001𝑚𝑚3, por exemplo, há em média 2,5 × 1013 
moléculas, número médio de moléculas muito expressivo e quase insensível a qualquer variação 
deste número – vale a hipótese de meio contínuo. 
 A hipótese do contínuo auxilia em muito na análise de problemas de mecânica dos fluidos, pois 
permite que as propriedades dos fluidos, como massa específica, velocidade, sejam funções contínuas 
no espaço e no tempo (é possível a descrição de campos). 
 
Propriedades dos Fluídos (hipótese de meio contínuo) 
 
a) Massa específica 
 
 A massa específica 
𝜌 =
𝑚
∀
, 
 
em qualquer ponto pode também variar com o tempo. Portanto, a representação completa da massa 
específica (a representação de campo) é dada por 𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). 
 A massa específica da água tem um comportamento próprio em relação à sua temperatura. O 
valor máximo, 1000 𝑘𝑔/𝑚3, é atingido a temperatura de 4°C. A massa específica do ar em condições 
normais é de 1,2250 𝑘𝑔/𝑚3. 
15 
 
 
 
 
 
b) Densidade Relativa ou Gravidade Específica 
 
 A densidade relativa 𝑆𝐺 de uma substância é dada por 
 
𝑆𝐺 =
𝜌
𝜌𝐻2𝑂 (4°𝐶)
. 
 
 Note que a densidade relativa é uma grandeza adimensional, logo, não tem unidade de medida. 
A densidade relativa do mercúrio, por exemplo, é tipicamente 13,6. Isso significa que o mercúrio é 13,6 
vezes mais denso que a água. 
 A tabela a seguir apresenta densidades relativas de alguns materiais e líquidos à temperatura de 
20°C. 
 
Substância SG 
Aço 7,83 
Alumínio 2,64 
Carvalho 0,77 
Chumbo 11,4 
Cobre 8,91 
Ferro Fundido 7,08 
Água 0,998 
Água do mar 1,025 
Benzeno 0,875 
Etanol 0,789 
Gasolina 0,72 
Mercúrio 13,55 
Óleo lubrificante 0,88 
Querosene 0,82 
 
 
c) Peso Específico 
 
 O peso específico 𝛾 de uma substância é definido como o peso da substância por unidade de 
volume, 
16 
 
 
𝛾 =
𝑚𝑔
∀
= 𝜌𝑔. 
 O peso específico da água, por exemplo, é aproximadamente 9,81
𝑘𝑁
𝑚3
. 
 
 
d) Volume Específico 
 
 O volume específico 𝜐 de uma substância é definido como o volume da substância por unidade 
de massa, 
 
𝜐 =
∀
𝑚
=
1
𝜌
. 
 
 De modo que o volume específico da água é aproximadamente 0,001𝑚3/𝑘𝑔. 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Descreva algumas características que distinguem os líquidos dos gases. 
 
2) Sabendo-se que um litro de glicerina, a 20°C, tem massa igual a 2,52 kg, determine a massa 
específica, a densidade relativa, o peso específico e o volume específico da glicerina. 
 
3) Um reservatório cúbico de 2 m de aresta está completamente cheio de óleo lubrificante (𝑆𝐺 =
0,88). Determine a massa de óleo quando apenas ¾ do tanque estiver ocupado. 
 
4) Qual a massa de um galão de água? E de um galão de mercúrio (𝑆𝐺 = 13,55)? 
 
5) Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2 m e altura de 4 m. Sabendo-se que o 
mesmo está totalmente preenchido com gasolina, determine a massa de gasolina (𝑆𝐺 = 0,72) 
presente neste reservatório. 
 
 
 
Respostas: 
1) Dica: caracterizá-los quanto a coesão, energia cinética, compressibilidade e espaço ocupado. 
2) 2520kg/m3; 2,52; 3,97x10-4m3/kg 
3) 5280kg 
4) 3,785kg e 51,292kg 
5) 9047,8kg 
17 
 
 
 
 
2- LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON 
 
 Considere duas placas planas paralelas, separadas por uma distância infinitesimal, onde, entre 
elas há um fluido qualquer. A placa inferior está em repouso e a superior é móvel, conforme a figura a 
seguir. 
 
 
 À placa superior aplica-se uma força �⃗� que a faz adquirir uma velocidade 𝒅𝑼. Em 𝑡0 + 𝑑𝑡 o 
fluido deforma-se são um ângulo 𝑑𝛼, chamado deformação angular. 
 Os fluidos mais comuns, como água, o ar e a gasolina, em condições normais, são denominados 
de fluidos newtonianos, ou seja, fluidos que obedecem a lei da viscosidade de Newton, segundo a 
qual “a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa de deformação angular.” Isto é, 
𝜏𝑦𝑥 ∝
𝑑𝛼
𝑑𝑡
. 
 
 A fim de mensurar a taxa de deformação angular 
𝑑𝛼
𝑑𝑡
, para ângulos 𝑑𝛼 pequenos tem-se 
 
𝑡𝑔(𝑑𝛼) =
𝑑𝑥
𝑑𝑦
 𝑒 𝑡𝑔(𝑑𝛼) ≅ 𝑑𝛼, 
 
Logo, tem-se 
 
𝑑𝛼
𝑑𝑡
≅
𝑑𝑈
𝑑𝑦
, 
 
em que 
18 
 
 
 
𝑑𝑈 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
. 
 
 
Este resultado indica que, para fluidos comuns (como a água,óleo, gasolina e ar), a tensão de 
cisalhamento e a taxa de deformação por cisalhamento (gradiente de velocidade) podem ser 
relacionadas pela equação 
 
𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑈
𝑑𝑦
, 
 
em que a constante de proporcionalidade 𝜇 é a viscosidade dinâmica ou absoluta do fluído. A 
viscosidade é uma propriedade inerente a um fluido real, que se define como a resistência que o fluido 
oferece ao movimento relativo de qualquer de suas partes. 
 Para os casos em que a distância 𝜀 = 𝑑𝑦 entre as placa é pequena (na ordem de milímetros) é 
possível considerar a seguinte simplificação 
 
𝜏𝑦𝑥 ≅ 𝜇
∆𝑈
𝜀
. 
 
A dimensão da viscosidade dinâmica é 
𝐹𝑇
𝐿2
 ou 
𝑀
𝐿𝑇
. Assim sendo, no SI, tem-se como unidade da grandeza 
viscosidade 
 
𝑁 ∙ 𝑠
𝑚2
=
𝑘𝑔
𝑚 ∙ 𝑠
= 𝑃𝑎 ∙ 𝑠 
 
 No GB, tem-se 
 
𝑙𝑏𝑓 ∙ 𝑠
𝑓𝑡2
=
𝑠𝑙𝑢𝑔
𝑓𝑡 ∙ 𝑠
 
 
 Contudo, é usual ainda, o emprego do centi-Poise (𝑐𝑃), sendo 
 
19 
 
 
1𝑃 = 1
𝑔
𝑐𝑚 ∙ 𝑠
. 
 
De um modo geral, para fluidos newtonianos e não-newtonianos, é possível descrever a tensão 
de cisalhamento pela equação 
𝜏 = 𝑘 (
𝑑𝑈
𝑑𝑦
)
𝑛
 
 
em que 𝑘 é o índice de consistência do fluido e 𝑛 o índica de comportamento de escoamento. 
 𝑛 = 1 e 𝑘 = 𝜇 --- Fluido Newtoniano (Ex. água, óleos em geral, glicerina, ar); 
 𝑛 > 1 ---- Dilatantes (Ex. suspensões de partículas sólidas em líquidos); 
 𝑛 < 1 ---- Pseudoplásticos (Ex. creme pesado de leite); 
Além destes, tem-se ainda, os plásticos de Bingham, fluidos que necessitam de uma tensão 
inicial para escoar (Ex. Pasta dental, lama de perfuração, suspensão de argila, tinta a óleo). Neste caso a 
equação geral é definida como sendo: 
 
𝜏 = 𝜏0 + 𝑘 (
𝑑𝑈
𝑑𝑦
)
𝑛
 
 
 
 
A viscosidade depende da coesão intermolecular e da transferência de momento (quantidade de 
movimento). Assim, a viscosidade depende da temperatura, sendo possível observar efeitos opostos 
20 
 
 
sobre a viscosidade de gases e de líquidos em função da sua variação. Em geral, nos gases a coesão 
intermolecular é desprezível, resultando no fato de que a tensão cisalhante entre duas camadas do 
fluido em escoamento é devida à transferência de momento linear entre essas camadas. Essa atividade 
molecular aumenta com o acréscimo de temperatura, de forma que a viscosidade aumenta com a 
temperatura nos gases. 
Nos líquidos, as distâncias intermoleculares e a intensidade dos movimentos das moléculas são 
muito menores que nos gases, de forma que a transferência de momento linear entre as camadas, 
devido aos movimentos moleculares, pode ser desprezada. Assim, as tensões cisalhantes e a 
viscosidade dependem principalmente da intensidade das forças de coesão intermolecular que 
diminuem com o acréscimo de temperatura, de maneira que a viscosidade dos líquidos diminui com o 
aumento da temperatura. 
As tabelas A.10 e A.8 trazem valores para algumas propriedades em função da temperatura, 
para o Ar e a Água, respectivamente. 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
Também é comum o emprego da viscosidade cinemática 𝜈, razão entre a viscosidade dinâmica 
e a massa específica do fluido, ou seja, 
 
𝜈 =
𝜇
𝜌
. 
 
A dimensão da viscosidade cinemática é 
𝐿2
𝑇
, logo, sua unidade no SI é 
𝑚2
𝑠
 e no GB é 
𝑓𝑡2
𝑠
. 
Contudo, é usual o emprego da unidade Stokes (𝑆𝑡). 
 
1𝑆𝑡 =
1𝑐𝑚2
𝑠
. 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
Exemplos: 
 
1) Uma placa infinita move-se a velocidade constante de 2 m/s sobre uma segunda placa, havendo 
entre elas uma camada de fluido líquido. Para uma pequena altura da camada de fluidos, d=3mm, 
podemos supor uma distribuição linear de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é 0,65 
centipoises e sua densidade relativa é 0,88. Determine: 
(a) A viscosidade absoluta do líquido em 𝑘𝑔/𝑚𝑠. 
(b) A viscosidade cinemática do líquido. 
(c) A tensão de cisalhamento. 
 
2) A figura mostra um esquema da distribuição de velocidade para um escoamento laminar de um 
fluido newtoniano, totalmente desenvolvido, num duto de seção circular de diâmetro constante dada 
por: 
𝑉𝑧(𝑟)=𝑉𝑚á𝑥[1−(
𝑟
𝑅)²]
 
Onde: 
𝑉𝑚á𝑥 é a velocidade máxima do perfil (distribuição), que ocorre no centro da seção, e 
𝑅 é o raio interno do duto. 
Sendo 𝜇 a viscosidade dinâmica do fluido, determine: 
a) A distribuição de tensões de cisalhamento 𝜏𝑟𝑧 no escoamento; 
b) A força por unidade de comprimento que o escoamento exerce sobre a parede do duto. 
 
3) Um pistão de peso 𝑊 = 4𝑁 cai dentro de um cilindro com uma velocidade constante de 2 𝑚/𝑠. O 
diâmetro do cilindro é 10,1 𝑐𝑚 e o do pistão é 10 𝑐𝑚. Determinar a viscosidade do lubrificante 
colocado na folga entre o pistão e o cilindro. 
 
4) Uma placa quadrada de 1 𝑚 de lado e 20 𝑁 de peso desliza sobre um plano inclinado de 30°, sobre 
uma película de óleo. A velocidade da placa é 2 𝑚/𝑠 constante. Qual é a viscosidade dinâmica do 
óleo, se a espessura da película é 2 𝑚𝑚? 
 
 
 
25 
 
 
Exercícios: 
 
1) A figura a seguir mostra o esquema de um escoamento de água entre duas placas planas horizontais 
de grandes dimensões e separadas por uma distância d pequena. A placa inferior permanece em 
repouso, enquanto a placa superior está em movimento com velocidade 𝑉𝑥 constante, de forma que 
resulta uma distribuição linear de velocidade de escoamento da água. Sendo a viscosidade da água 
𝜇 = 0,001 𝑃𝑎 ∙ 𝑠, determine: 
a) O gradiente de velocidade de escoamento; 
b) A tensão de cisalhamento na placa superior. 
 
 
2) Considere a figura do problema anterior. Se, no lugar da água, existe um óleo e se é necessária uma 
tensão cisalhante de 40 𝑃𝑎 para que a velocidade da placa permaneça constante, determine a 
viscosidade dinâmica desse óleo. 
 
3) São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2 𝑚𝑚. A placa superior move-se com 
velocidade de 4 𝑚/𝑠, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas for preenchido 
com óleo (𝜈 = 0,1𝑆𝑡; 𝜌 = 830 𝑘𝑔/𝑚³), qual será a tensão de cisalhamento quer agirá no óleo? 
 
4) A distância entre dois pratos planos e paralelos é 0,00914𝑚 e o prato inferior está sendo puxado a 
uma velocidade relativa de 0,366𝑚/𝑠. O fluido entre os pratos é óleo de soja com viscosidade de 
4 × 10−2𝑃𝑎. 𝑠 a 303𝐾. Calcule o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento, em unidades 
do S.I. 
 
5) A Figura 1.9 mostra um esquema de um escoamento laminar, totalmente desenvolvido e em regime 
permanente, de um fluido newtoniano, entre duas placas paralelas e estacionárias, de grandes 
26 
 
 
dimensões e separadas de uma distância h pequena. A distribuição de velocidade de escoamento é 
dada por 
𝑉𝑥(𝑦) = 𝑉𝑚𝑎𝑥 [1 − (
2𝑦
ℎ
)
2
] 
Determine a força cisalhante, por unidade de área, exercida pelo escoamento sobre a placa superior. 
 
 
6) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por: 
𝑢
𝑢𝑚á𝑥
= 1 − (
2𝑦
ℎ
)
2
 
em que ℎ é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. 
Considere o escoamento de água a 15°𝐶 (ver Tabela A8 da página 22), com velocidade máxima de 
0,05𝑚/𝑠 e ℎ = 0,1𝑚𝑚. Calcule a força sobre uma seção de 1𝑚² da placa inferior. 
 
7) Um pistão de 9𝑐𝑚 de diâmetro e 20𝑐𝑚 de comprimento e 8𝑘𝑔 de massa encontra-se confinado em 
um cilindro com eixo de simetria vertical. O cilindro de comprimento ilimitado é puxado para cima 
com velocidade constante. O diâmetro do cilindro é 10 𝑐𝑚 e entre o mesmo e o pistão existe um 
óleo de viscosidade 0,2𝑃𝑎 ∙ 𝑠. Com que velocidade deve subir o cilindro para que o pistão 
permaneça em repouso? 
 
8) Um cubo de aço com aresta de 5 𝑐𝑚 e massa específica de 8000 𝑘𝑔/𝑚3 desce um plano inclinado a 
velocidade constante sobre um filme de óleo com uma espessura 𝜖 = 1 𝑚𝑚. Considere a inclinação 
do plano com a horizontal de 20° e que o óleo possua uma viscosidadede 0,1 𝑃𝑎. 𝑠. Considerando 
𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2 e 𝑠𝑒𝑛20° = 0,34202, determine a massa e a velocidade do cubo. 
 
 
27 
 
 
 
9) O pistão mostrado na figura abaixo desliza no cilindro com uma velocidade constante de 0,6𝑚/𝑠. 
Calcular a massa do pistão, sabendo-se que a viscosidade do fluido lubrificante é 200𝑐𝑃. 
 
 
10) O diâmetro e a altura do tanque cilíndrico mostrado na Fig. P1.56 são, respectivamente, iguais a 
244 e 305𝑚𝑚. Observe que o tanque desliza vagarosamente sobre um filme de óleo que é 
suportado pelo plano inclinado. Admita que a espessura do filme de óleo é constante e que a 
viscosidade dinâmica do óleo é igual a 9,6𝑁 ∙ 𝑠/𝑚². Sabendo que a massa do tanque é 18,14 𝑘𝑔, 
determine o ângulo de inclinação do plano. 
 
 
11) Um pistão, com diâmetro e comprimento respectivamente iguais a 139,2 e 241,3𝑚𝑚, escorrega 
dentro de um tubo vertical com velocidade V. A superfície interna do tubo está lubrificada e a 
espessura do filme de óleo é igual a 0,05𝑚𝑚. Sabendo que a massa do pistão e a viscosidade do 
óleo são iguais a 0,227𝑘𝑔 e 0,77𝑁 ∙ 𝑠/𝑚², estime a velocidade do pistão. Admita que o perfil de 
velocidade no filme de óleo é linear. 
 
12) Um fluido newtoniano, densidade e viscosidade cinemática respectivamente iguais a 0,92 e 
4 × 10−4𝑚²/𝑠, escoa sobre uma superfície imóvel. O perfil de velocidade deste escoamento, na 
região próxima à superfície, está mostrado na Fig. P 1.58. Determine a tensão de cisalhamento que 
atua na placa. Expresse seu resultado em função de 𝑈(𝑚/𝑠) e 𝛿(𝑚). 
28 
 
 
 
 
13) Um viscosímetro com cilindros concêntricos pode ser formado pela rotação do membro interior 
de um par de cilindros bem ajustados. Para pequenas folgas anulares, um perfil de velocidade linear 
pode ser considerado no líquido que preenche a folga. Um viscosímetro possui um cilindro interno 
de diâmetro 100𝑚𝑚 e altura 200𝑚𝑚, com a largura da folga anular 𝑎 = 0,001𝑖𝑛, preenchida com 
óleo castor a 20°C (𝜇 = 986𝑐𝑃). Determine o torque para manter o cilindro interno girando a 
400𝑟𝑝𝑚. 
 
 
14) Considere um viscosímetro com um cilindro interno de 75𝑚𝑚 de diâmetro e altura de 150𝑚𝑚, 
com uma folga anular de 0,02𝑚𝑚. Um torque de 0,021𝑁 ∙ 𝑚 é requerido para manter o cilindro 
girando a 100𝑟𝑝𝑚. Determine a viscosidade do líquido que preenche a folga do viscosímetro. 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Respostas: 
1) 200s-1 e 0,2Pa 
2) 0,2Pa.s 
3) 16,6Pa 
4) 40,04m/s e 1,6Pa 
5) −
4𝜇𝑉𝑚𝑎𝑥
ℎ
 
6) 2,28N 
7) 34,66m/s 
8) 1kg e 13,4m/s 
9) 1,26kg 
10) 7°8’1” 
11) 1,37m/s 
12) 
3𝜇𝑈
2𝛿
[1 − (
𝑦
𝛿
)
2
] 
13) 255,4 𝑁 ∙ 𝑚 
14) 3,026 ∙ 10−5𝑃𝑎 ∙ 𝑠