Unidade 2

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Econometria
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Bruno Leonardo Silva Tardelli
Revisão Textual:
Prof. Ms. Luciano Vieira Francisco
Medidas de Dispersão
• Introdução
• Média Aritmética
• Medidas de Dispersão
• Propriedades das Medidas de Dispersão
 · Apresentar os conceitos e aplicações envolvendo variância, desvio-
padrão, covariância, correlação, bem como suas propriedades.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Medidas de Dispersão
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Medidas de Dispersão
Contextualização
O Pew Research Center realizou uma pesquisa com dados coletados em diversos 
países no ano de 2013 – e também utilizou dados de 2007 para comparação – 
sobre a aceitação social da homossexualidade. Os dados apontaram forte correlação 
negativa entre grau de religiosidade e aceitação (-0,78). O gráfico abaixo foi extraído 
dessa pesquisa: 
Figura 1
Fonte: Pew Research Center
A alta correlação negativa é notada ao se observar que, em média, quanto maior 
o grau de religiosidade dos países, menor o grau de aceitação.
Informações adicionais sobre essa pesquisa podem ser obtidas em: https://goo.gl/7BMXAF
Ex
pl
or
8
9
Introdução
Esta Unidade é dedicada ao aprendizado de medidas de dispersão. Tais medidas 
são fundamentais no estudo da econometria. A partir da variância, por exemplo – 
que é uma medida de dispersão –, é possível resumir em um único número como 
os elementos de um conjunto de números se distanciam entre si.
Ao longo da Unidade, as medidas de dispersão que serão trabalhadas são: a 
variância, o desvio-padrão, a covariância e a correlação. Além disso, algumas 
das principais propriedades dessas medidas também serão exploradas. Entretanto, 
para podermos avançar com as medidas de dispersão, é essencial lembrarmos de 
uma medida de posição fundamental, a média aritmética.
Para cumprir tais objetivos, a Unidade será distribuída em três seções, além desta 
Introdução e das Considerações finais. A primeira seção aborda a média aritmética, 
que é uma medida de posição; a segunda seção trabalha cada uma das principais 
medidas de dispersão, apontando cálculos e intuições; por fim, a terceira seção 
apresenta as propriedades das medidas de posição e dispersão aqui trabalhadas
Média Aritmética
Todas as medidas de dispersão comentadas anteriormente dependem, direta ou 
indiretamente, do conceito de média.
Assim, o conceito de média a ser utilizado nesta Unidade é o da média aritmética, 
na qual os fatores são somados e, ao final, divide-se a soma pelo número de fatores 
aplicados no cálculo. Formalmente:
X X X X
n
n=
+ +…+1 1� � �
Ou, de modo mais resumido:
X
n
X
i
n
i=
=
∑1
1
Em que:
X � é a média aritmética.
Xi é o elemento i .
i = 1, 2, ..., n .
n = último elemento e o número de elementos.
9
UNIDADE Medidas de Dispersão
Para entender completamente as expressões apontadas, consideremos três 
elementos, Y1 , Y2 e Y3 , sendo:
Y1 3=
Y2 5=
Y3 7=
Como temos três elementos, teremos de somá-los e os dividir por 3.
A média entre esses valores é igual a:
Y
n
Y Y Y Y Y
i
n
i
i
i= = =
+ +
=
+ +
= =
= =
∑ ∑1 13 3
3 5 7
3
15
3
5
1 1
3
1 2 3
Quadro 1 – Outro exemplo
Considere os valores abaixo dos elementos de X e calcule o valor da média de 
X, ou seja, X :
X1 5
X 2 3
X 3 6
X 4 9
X 5 4
X 6 3
Resolução:
X
n
X X X X X X X X
i
n
i
i
i= = =
+ + + + +
= =
∑ ∑1 16 61 1
6
1 2 3 4 5 6
 
=
+ + + + +
= =
5 3 6 9 4 3
6
30
6
5
10
11
Medidas de Dispersão
Variância
A média não é considerada uma medida de dispersão, pois não consegue 
captar as distâncias entre os valores calculados. Por exemplo, se ao invés do 
conjunto Y = { }3 5 7, , – do tópico anterior desta Unidade –, os números fossem 
Z ={ }1 3 11, , : qual destes conjuntos, Y ou Z , possui números mais distantes entre si? 
Com uma olhada rápida, é possível imaginar que seja o conjunto Z , por observar que 
os números 1, 3 e 11 parecem mais espalhados que os números 3, 5 e 7? Entretan-
to, como poderíamos comparar de fato as distâncias entre os valores de um mesmo 
conjunto? O cálculo de variância trata de realizar tal estimativa.
Vejamos os números em três figuras que formam os dois conjuntos para termos 
uma noção visual inicial:
3 5
5
7
31 11
Figura 1 - Conjunto Y.
Figura 2
Figura 3 - Conjunto Z.
Fonte: elaborada pelo professor conteudista
1º passo – calcular a média dos valores de cada conjunto.
Y = { }3 5 7, ,
Y Y Y Y= + + = + + = =1 2 3
3
3 5 7
3
15
3
5 �
11
UNIDADE Medidas de Dispersão
Logo, a média de Y é 5.
Z ={ }1 3 11, ,
Z Y Y Y= + + = + + = =1 2 3
3
1 3 11
3
15
3
5
Portanto, a média de Z também é 5. Coincidentemente, as médias são iguais, 
mas não é necessário que sejam para podermos avaliar a dispersão entre s 
elementos de cada conjunto. O artifício de criar médias iguais é para evidenciar a 
ideia de distintas dispersões entre os conjuntos Y e Z..
2º passo – cálculo da variância.
O cálculo da variância de cada conjunto é realizado por meio da seguinte equação:
var X
X X X X X X
n
n
( ) =
−





 + −





 +…+ −





1
2
2
2 2
em que X representa um conjunto de números qualquer.
O procedimento para o cálculo, portanto, é: em primeiro lugar, deve-se pegar 
cada elemento, subtrair da média e elevar ao quadrado. Em seguida, proceder com 
todos os elementos do conjunto, somar os valores encontrados e, por fim, dividir 
pelo número de elementos que estão envolvidos.
Vamos aos exemplos com os conjuntos Y e Z :
Como Y = { }3 5 7, , e Y = 5
var Y( ) = −( ) + −( ) + −( )3 5 5 5 7 5
3
2 2 2
var Y( ) = −( ) + ( ) + ( )2 0 2
3
2 2 2
var Y( ) = + +4 0 4
3
var Y( ) = 8
3
Como Z ={ }1 3 11, , e Z = 5 
12
13
var Z( ) = −( ) + −( ) + −( )1 5 3 5 11 5
3
2 2 2
var Z( ) = −( ) + −( ) + ( )4 2 6
3
2 2 2
 var Z( ) = + +16 4 36
3
var Z( ) = 56
3
Note que o valor da variância de Z é maior que o da variância de Y , o que já 
era intuitivamente esperado. Assim, quanto maior a variância, maior a dispersão 
entre os valores de um conjunto de números. 
É importante comentar que com os valores todos elevados ao quadrado e 
somados, a variância sempre apresentará um resultado igual ou maior que zero. 
Portanto,a variância nunca terá valor negativo.
Alternativamente, a equação de cálculo da variância pode ser realizada de 
forma mais condensada, por meio da seguinte expressão:
var X
n
X X
i
n
i( ) = −( )
=
∑1
1
2
 Como esta equação pode ser entendida? Veja, assim como o cálculo da 
média envolvia um somatório Σ( ) de i = 1 até o elemento n , a variância também 
será realizada desta forma. Pelo exemplo dos conjuntos Y e Z , o número de 
elementos é igual a 3. Além disso, a expressão X Xi −( )2 indica que um determinado 
elemento i deve ser subtraído da média e, após isto, elevado ao quadrado. Como 
se trata de um somatório, o procedimento é realizado para os elementos, somando 
os resultados e, após isto, divide-se por n . 
Assim:
var Y Y Y
Y Y Y Y Y Y
i
i( ) = −( ) =
−( ) + −( ) + −( )
=
∑13 31
3 2 1
2
2
2 2
=
−( ) + −( ) + −( )
=
3 5 5 5 7 5
3
8
3
2 2 2
13
UNIDADE Medidas de Dispersão
E:
var Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
i
i( ) = −( ) =
−( ) + −( ) + −( )
=
∑13 31
3 2 1
2
2
2
3
2
=
−( ) + −( ) + −( )
=
1 5 3 5 11 5
3
56
3
2 2 2
Por fim, cabe tentar entender qual o motivo de elevar os valores ao quadrado, 
de se tirar o valor da média e dividir pelo número de elementos.
1) Por que elevar ao quadrado?
A variância é uma medida para captar a dispersão entre os elementos 
de determinado conjunto de números. Assim, se o cálculo fosse realizado 
sem os termos ao quadrado, o resultado poderia ser zero, mesmo havendo 
algum tipo de dispersão entre os valores.
Observe o exemplo do conjunto Y = { }3 5 7, , . Ao proceder o cálculo 
sem elevar os termos ao quadrado, teremos>
3 5 5 5 7 5
3
2 0 2
3
0
3
0
−( ) + −( ) + −( )
=
− + +
= =
Portanto, elevar ao quadrado tem a utilidade de evitar cancelamento 
dos valores positivos e negativos. 
2) Por que subtrair da média e dividir pelo número de elementos?
O cálculo da variância é realizado com a intenção de captar a distância 
dos elementos, mas distância entre quais pontos? 
Bem, parte da ideia da variância é calcular as distâncias de cada 
elemento em relação à média, ou seja, X Xi − � . Como não existe 
propriamente distância negativa, ao elevar ao quadrado teremos somente 
valores positivos. Além disso, quando somamos todos os X Xi −( )2 e 
dividimos por n , estamos fazendo a média das distâncias entre cada 
elemento Xi e a média X as quais estão elevadas ao quadrado.
Portanto, a variância pode ser explicada como a média dos desvios 
em relação à média ao quadrado.
14
15
Desvio-Padrão 
Como a variância é entendida como uma média dos desvios em relação à 
média ao quadrado, existe uma medida de dispersão que extrai o efeito de termos 
elevado ao quadrado as distâncias de cada elemento em relação à média. Trata-
se do desvio-padrão. Esta medida dispersão é calculada como a raiz quadrada da 
variância. Formalmente:
dp X var X( ) = ( )�
Por exemplo, partindo dos valores da seção anterior:
var Y( ) = 8
3
 e var Z( ) = 56
3
Então:
dp Y( ) = 8
3
 e dp Z( ) = 56
3
O desvio-padrão pode ser interpretado como simplesmente a média dos desvios 
em relação à média.
Covariância
Assim como se pode analisar a soma dos desvios com relação à média ao 
quadrado de determinado conjunto, é também possível determinar a média dos 
desvios em relação à média associando-se a outra variável. Trata-se de calcular 
uma medida de dispersão denominada covariância. De forma mais clara, é uma 
medida que tenta captar a associação da direção que as variáveis tomam. Por 
exemplo, se os números de uma variável estão, em média, crescendo e o de outra 
também, em média, está crescendo a covariância entre os quais, se esta existir, será 
positiva. Por outro lado, se as variáveis estão caminhando, em média, em sentidos 
opostos, ou seja, uma está normalmente aumentando e a outra diminuindo, então 
a covariância, se existir, será negativa. Entretanto, cabe lembrar que quando, 
em médias, ambas estão decrescendo, a covariância também será positiva, pois 
o que importa é se estão, em média, caminhando na mesma direção ou em 
direções opostas.
A partir dos nossos conhecidos Y = { }3 5 7, , e Z ={ }1 3 11, , , entenderemos o 
cálculo da covariância e, após isto, retornaremos à intuição.
15
UNIDADE Medidas de Dispersão
Dadas as variáveis Y e Z : 
Quadro 2
Y Z
Y1 3 Z1 1
Y2 5 Z2 3
Y3 7 Z3 11
Fonte: elaborado pelo professor conteudista
O cálculo da covariância entre as quais será dado por:
cov Y Z
Y Z Y Z Y Z
n
Y Z Y Z Y Z
,( ) =
−( ) −( ) + −( ) −( ) + −( ) −( )1 1 2 2 3 3
cov Y Z,( ) = −( ) −( ) + −( ) −( ) + −( ) −( )3 1 5 3 7 11
3
5 5 5 5 5 5
cov Y Z,( ) = −( ) −( ) + ( ) −( ) + ( )( )2 4 0 2 2 6
3
cov Y Z,( ) = + +8 0 12
3
cov Y Z,( ) = 20
3
Note que o cálculo da covariância se assemelha ao da variância, com a diferença 
de que, ao invés de termos X Xi −( )
2
= X X X Xi i−( ) −( ) , subtraímos um 
elemento de Yi e de Zi – que estejam na mesma linha, ou seja, que tenham o 
mesmo índice i – pela respectiva média e multiplicamos a distância de cada Yi pela 
distância de cada Zi e, ao final, dividimos por n .
A covariância, a exemplo da variância, possui também uma forma de apresen-
tação mais condensada, dada por:
cov Y Z
n
Y Y Z Z
i
n
i i,( ) = −( ) −( )
=
∑1
1
16
17
Infelizmente, com o valor absoluto da covariância não se consegue obter muitas 
informações. Por exemplo, o número final foi 8, mas poderia ter sido 800 e ainda 
assim não teríamos informações relevantes. A informação importante que vem 
da covariância é o sinal. Se o sinal da covariância for positivo, então as variáveis 
caminham na mesma direção. Por outro lado, se a covariância for negativa, as 
variáveis caminham em direções opostas. 
Por exemplo, o sinal da cov Y Z,�( ) foi positivo – igual a 20
3
 –, implicando que, 
em média, as variáveis caminham na mesma direção. Para entender exatamente o 
que isso significa, observe o Quadro 2, no qual você visualizará que os valores de 
Y1 para Y2 e de Y2 para Y3 caminham na direção de aumentar, assim como de Z1 
para Z2 e de Z2 para Z3 . Ou seja, em média, os valores caminham na 
mesma direção.
Para fecharmos o raciocínio, vamos então a um exemplo no qual a covariância é 
negativa. Considere dois conjuntos, K e W , com quatro elementos cada, os quais 
estão apresentados da seguinte maneira:
Quadro 3
K W
K1 1 W1 5
K2 2 W2 4
K3 5 W3 2
K4 8 W4 1
Fonte: elaborado pelo professor conteudista
O procedimento a ser adotado é o mesmo que o anterior: 
cov K W
K W K W K W K WK W K W K W K W
,( ) =
−( ) −( ) + −( ) −( ) + −( ) −( ) + −( ) −1 1 2 2 3 3 4 4(( )
n
cov K W,( ) = −( ) −( ) + −( ) −( ) + −( ) −( ) + −( ) −( )1 5 2 4 5 2 8 1
4
4 3 4 3 4 3 4 3
cov Y Z,( ) = −( )( ) + −( )( ) + ( ) −( ) + ( ) −( )3 2 2 1 1 1 4 2
4
cov Y Z,( ) = − − − −6 2 1 8
4
cov Y Z,( ) = −17
4
17
UNIDADE Medidas de Dispersão
Correlação
Como o valor absoluto da covariância não traz informações relevantes, outra 
medida de dispersão completa este processo e dá sentido ao valor final. É a chamada 
correlação. O resultado da correlação varia entre -1 e 1. Sua análise é que, caso 
as variáveis tenham correlação perfeitamente positiva, o resultado será igual a 1 e, 
caso a correlação seja perfeitamente negativa, o resultado será igual a -1.
Infinitas possibilidades existem entre -1 e 1, mas quanto mais próxima de zero, 
menor a correlação entre duas variáveis e, quanto mais próxima de -1 ou 1, maior 
a correlação entre as variáveis, negativa ou positiva, respectivamente.
Vamos aos “ingredientes” necessários para você fazer o cálculo da correlação:
• O desvio padrão de duas variáveis – as quais tenham interesse em realizar o 
cálculo de correlação; e
• O valor da covariância entre essas variáveis.
Partindo do exemplo das variáveis Y = { }3 5 7, , e Z ={ }1 3 11, , , encontramos:
• dp Y( ) = 8
3
 
• dp Y( ) = 56
3
• cov Y Z,( ) = 20
3
A correlação é calculada por meio da seguinte equação:
corr Y Z
cov Y Z
dp Y dp Z
,
,
.
( ) = ( )( ) ( ) 
Assim, partindo dos resultados encontrados, temos:
corrY Z,( ) =
20
3
8
3
56
3
corr Y Z,( ) =
20
3
448
9
18
19
corr Y Z,( ) =
20
3
448
3
corr Y Z,( ) = 20
448
corr Y Z,
,
( ) ≅ 20
21 17
corr Y Z, ,( ) ≅ 0 92
Como o número 0,92 está próximo de 1, as variáveis Y e Z apresentam 
elevada correlação positiva, de modo que as variáveis caminham no mesmo sentido 
e com bastante semelhança no “ritmo” da caminhada.
Uma correlação perfeitamente positiva implica que os dados das variáveis 
formam uma equação de 1º grau positivamente inclinada. Nesse caso, o 
valor da correlação é igual a 1. Acompanhe o exemplo a partir dos dados do 
Quadro 4:
Quadro 4
A B
A1 -3 B1 -3
A2 0 B2 3
A3 3 B3 9
Fonte: elaborado pelo professor conteudista
1º) Calcular a média de cada variável.
A e B= − + + = = = − + + = =3 0 3
3
0
3
0 3 3 9
3
9
3
3 
2º) Calcular a variância de cada variável.
var A
A A A A A A
( ) =
−( ) + −( ) + −( )
=
− −( ) + −( ) + −( )
=
1
2
2
2 2
2 2 2
3
3 0 0 0 3 0
3
6�
19
UNIDADE Medidas de Dispersão
var B
B B B B B B
( ) =
−( ) + −( ) + −( )
=
− −( ) + −( ) + −( )
=
1
2
2
2
3
2
2 2 2
3
3 3 3 3 9 3
3
24�
3º) Calcular o desvio-padrão de cada variável.
dp A var A( ) = ( ) = 6 �
dp B var B( ) = ( ) = 24
4º) Calcular a covariância entre as variáveis.
cov A B,( ) = − −( ) − −( ) + −( ) −( ) + −( ) −( )3 0 3 3 0 0 3 3 3 0 9 3
3
=
− −( ) + ( )( ) + ( )( )3 6 0 0 3 6
3
)(
=
+ +18 0 18
3
=
36
3
=12
5º) Calcular a correlação entre as variáveis.
corr A B
cov A B
dp A dp B
,
,( ) = ( )( ) ( )
= = = =
12
6 24
12
144
12
12
1
Propriedades das Medidas de Dispersão
As medidas de dispersão possuem algumas propriedades que são importantes 
para o entendimento completo dessas. Por exemplo, na seção anterior foram 
utilizadas as variáveis A e B . Note que para cada linha do Quadro 4 é válida a 
seguinte equação:
B A= +2 3�
Quadro 5
A B A= +2 3
i =1 −3 2 3 2 3 3 3A+ = −( ) + = − �
20
21
i = 2 0
 
2 3 2 0 3 3A+ = ( ) + = 
i = 3 3 2 3 2 3 3 9A+ = ( ) + =
Fonte: elaborado pelo professor conteudista
O fato de A e B formarem uma equação de 1º grau é a razão da correlação 
entre A e B ser igual a 1.
Observe, a seguir, o resumo de algumas as informações obtidas a partir do 
exemplo da seção anterior com os conjuntos A e B: 
Quadro 6
A B
Média aritmética 0 3
Desvio-padrão 6 2 45≅ , 24 4 90≅ ,
Variância 6 24
Fonte: elaborado pelo professor conteudista
A partir de uma análise dos resultados, é possível concluir que:
 · B A= + 3 ; 
 · dp B dp A( ) = ( )2 ;
 · var B var A( ) = ( )4 .
Este é apenas um exemplo das possibilidades de associações viáveis de se fazer 
entre duas variáveis quaisquer. Considerando �X e Y como variáveis quaisquer e a 
como uma constante qualquer, o Quadro abaixo ilustra as principais propriedades 
das medidas de posição e dispersão trabalhadas ao longo desta Unidade:
Quadro 7 – Propriedades das medidas de posição e dispersão
Medidas de posição 
e dispersão
N.º Propriedade
Média 
1 m aX a m X( ) = ( ) .
2 m X a m X a( ) ± = ±( )
Desvio-padrão 
3 dp a X a dp X . .( ) = ( )
4 dp X a dp X±( ) = ( )
Covariância 5 cov aX bY a b cov X Y, . . ,( ) = ( ) 
21
UNIDADE Medidas de Dispersão
Variância 
6 
var a X a var X . .( ) = ( )2
7 var X a var X±( ) = ( )
8 var X Y var X var Y cov X Y+( ) = ( ) + ( ) + ( )2 . ,
9 var X Y var X var Y cov X Y−( ) = ( ) + ( ) − ( )2 . ,
Fonte: elaborado pelo professor conteudista
Exemplos algébricos envolvendo as propriedades das medidas de posição e 
dispersão com comentários.
Propriedade 1: m aX a m X( ) = ( ).
Exemplos:
• m X m X5 5( ) = ( ) (ou seja, se multiplicar todos os números das linhas 
da variável X por 5, a média da variável X será multiplicada por 5).
• m X m X−( ) = − ( )2 2
Propriedade 2: m X a m X a( ) ± = ±( )
Exemplos:
• m X m X( ) + = +( )4 4 (ou seja, se somar o número 4 em todas as 
linhas da variável X, a média de X será aumentada em 4).
• m X m X( ) − = −( )2 2
Propriedade 3: dp a X a dp X . .( ) = ( )
Exemplos:
• dp X dp X4 4( ) = ( ) (ou seja, se multiplicar por 4 todas as linhas de X, 
o desvio padrão de X será multiplicado por 4).
• dp X dp X−( ) = − ( )2 2
22
23
Propriedade 4: dp X a dp X±( ) = ( )
Exemplos:
• dp X dp X+( ) = ( )4 (ou seja, se somar o número 4 em todas as linhas 
da variável X, a variável X não terá alteração no desvio-padrão).
• dp X dp X−( ) = ( )7
Propriedade 5: cov aX bY a b cov X Y, . . ,( ) = ( ) 
Exemplos:
• cov X Y cov X Y cov X Y4 2 4 2 8, . . , ,( ) = ( ) = ( ) (ou seja, se multiplicar 
todas as linhas de X por 4 e as de Y por 2, então a covariância entre 
as quais será multiplicada por 8).
• cov X Y cov X Y cov X Y−( ) = − ( ) = − ( )2 5 2 5 10, . . , , 
Propriedade 6: var a X a var X . .( ) = ( )2
Exemplos:
• var X var X var X2 2 42( ) = ( ) = ( )
• var X var X var X−( ) = −( ) ( ) = ( )3 3 92
Propriedade 7: var X a var X±( ) = ( )
Exemplos:
• var X var X+( ) = ( )100 (ou seja, se somar o número 100 em todas as 
linhas da variável X, esta não terá alteração na variância).
• var X var X−( ) = ( )12
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UNIDADE Medidas de Dispersão
Propriedade 8: var X Y var X var Y cov X Y+( ) = ( ) + ( ) + ( )2 . ,
Exemplos:
• var Z K var Z var K cov Z K+( ) = ( ) + ( ) + ( )2 . ,
• var X W var X var W cov X W4 4 2 4 1+( ) = ( ) + ( ) + ( ) . ,
• = ( ) + ( ) + ( )16 2 4 1var X var W cov X W . . . , �
• = ( ) + ( ) + ( )16 8var X var W cov X W,
Propriedade 9: var X Y var X var Y cov X Y−( ) = ( ) + ( ) − ( )2 . ,
Exemplos:
• var Z K var Z var K cov Z K−( ) = ( ) + ( ) − ( )2 . ,
• var Z K var Z var K cov Z K3 4 9 16 2 3 4−( ) = ( ) + ( ) − ( ) . . . ,
• = ( ) + ( ) − ( )9 16 24var Z var K cov Z K,
Exercício resolvido de propriedades de dispersão com valores numéricos
4) Dadas as variáveis aleatórias X, Y e Z, sendo:
var(X) = 4 cov(Y, Z) = -3
var(Y) = 9 X e Y são independentes
var(Z) = 1 X e Z são independentes
Calcule:
a) dp(4X)
b) dp(3Y + 4)
c) cov(4Z, 5Y)
d) cov(2X, -2Y)
e) var(X - Y)
f) var(2Y + 3Z)
g) var(2Y – 3Z + 5)
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Resolução:
a) dp(4X) = 4dp(X)
Como var(X) = 4, então dp(X) = 2
Assim, 4 . dp(X) = 4 . 2 = 8
b) dp(3Y + 4) = dp(3Y ) = 3dp(Y)
Como var(Y) = 9, então, dp(Y) = 3
Assim, 3dp(Y) = 3 . 3 = 9
c) cov(4Z, 5Y) = 4 . 5 . cov(Z, Y) = 20cov(Z, Y)
Como cov(Z, Y) = cov(Y, Z) = -3
Assim, 20cov(Z, Y) = 20 . (-3) = -60
d) cov(2X, -2Y) = 2 . (-2) . cov(X, Y) = -4cov(X, Y)
Como X e Y são independentes, cov(X, Y) = 0
Assim, -4cov(X, Y) = -4 . 0 = 0
e) var(X – Y) = var (X) + var(Y) – 2cov(X,Y) = 4 + 9 – 2cov(X, Y)
Como X e Y são independentes, então, cov(X, Y) = 0
Assim, var (X – Y) = 13 
f) var(2Y + 3Z) = var(2Y) + var(3Z) + 2 . cov(2Y, 3Z)
= 4var(Y) + 9var(Z) + 2 . 2 . 3cov(Y, Z)
= 4 . 9 + 9 . 1 + 12 . (-1)
= 36 + 9 – 12 = 33
g) var(2Y – 3Z + 5) = var(2Y – 3Z) 
= 4var(Y) + 9var(Z) – 2cov(2Y, 3Z)
= 4 . 9 + 9 . 1 – 2 . 2 . 3cov(Y, Z)
= 36 + 9 -12(-1)
= 36 + 9 + 12 = 57
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UNIDADE Medidas de Dispersão
Considerações Finais
Nesta Unidade você pôde acompanhar o estudo das principais medidas de 
dispersão: desvio-padrão, variância, covariância e correlação; assim como algumas 
propriedades que as cercam. Além disso, vimos também a média aritmética, que é 
uma medida de posição inserida para servir de apoio ao estudo das demais medidas.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Estatística Aplicada à Administração e Economia
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à Administração e Economia. 
Porto Alegre, RS: Grupo A, 2012.
Estatística para Administração e Economia
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; SINCICH, T. Estatística para Administração e 
Economia. 10. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2009.
Estatística Aplicada: Administração, Economia e Negócios
SHARPE, N. R.; DE VEAUX, R. D.; VELLEMAN, P. F. Estatística aplicada: 
Administração, Economia e negócios. Porto Alegre, RS: Grupo A, 2011.
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UNIDADE Medidas de Dispersão
Referências
MORETTIN, L. G. Estatística básica: inferência.São Paulo: Pearson Makron 
Books, 2005.
SARTORIS, A. Estatística e introdução à Econometria. São Paulo: Saraiva, 2003.
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