Unidade 5

Prévia do material em texto

Econometria
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Bruno Leonardo Silva Tardelli
Revisão Textual:
Prof. Ms. Luciano Vieira Francisco
Distribuição de Probabilidade Contínua
• Introdução;
• Função Densidade de Probabilidade;
• Cálculo de Probabilidade e Função Densidade de Probabilidade;
• Distribuição Normal;
• Cálculo de Probabilidade e Distribuição Normal;
• Considerações Finais.
 · Verificar como ocorre a identificação da probabilidade de um 
intervalo de valores em uma distribuição contínua, com enfoque na 
distribuição normal. Para o caso da distribuição normal, o cálculo da 
probabilidade será apresentado através da padronização dos valores 
extremos de interesse da distribuição e uso da tabela de distribuição 
normal padronizada.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Distribuição de Probabilidade Contínua
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua
Contextualização
Figura 1
Fonte: iStock/Getty Images
Enxergar uma formiga de longe pode ser uma tarefa difícil, mas quando as 
formigas se juntam, torna-se possível. Assim, qual a relação disso às probabilidades 
de uma distribuição contínua?
8
9
Introdução
Uma distribuição de probabilidade discreta apresenta a forma de dispersão 
das probabilidades e os eventos mais prováveis de ocorrer. Entretanto, quando o 
assunto é uma distribuição de probabilidade contínua, apesar de continuar a existir 
a análise da dispersão das probabilidades dos eventos possíveis, individualmente, 
a probabilidade de cada evento tende a zero. Isto ocorre pelo fato de que em uma 
distribuição de probabilidade contínua existem infinitos eventos. 
Ao comentar sobre uma distribuição de probabilidade contínua, não se trata de 
uma jogada de cara ou coroa – com estas duas possibilidades – ou de uma jogada 
de um dado – com seis possibilidades –, mas sim, da probabilidade de sortear uma 
formiga entre milhões. No limite, é muito próximo de zero.
Considerando uma distribuição contínua, apesar de o número exato de um evento 
qualquer apresentar probabilidade tendendo a zero, em determinado intervalo 
será possível encontrar uma “massa” de probabilidade. Trata-se da tarefa desta 
Unidade: trabalhar com a probabilidade de um intervalo de eventos envolvidos em 
uma distribuição de probabilidade contínua.
Além da Introdução e das Considerações finais, este Material teórico está dividido 
em quatro seções: a primeira seção apresenta o significado de uma função densidade 
de probabilidade; na segunda seção é abordada a forma de cálculo de probabilidade 
no contexto de uma função densidade de probabilidade qualquer; a terceira seção 
insere, com alguma profundidade, a distribuição normal; por fim, na quarta seção a 
distribuição normal é colocada na atmosfera do cálculo de probabilidade envolvendo 
áreas, a partir da tabela de distribuição normal padronizada.
Função Densidade de Probabilidade
Grosso modo, uma Função Densidade de Probabilidade (FDP) diz respeito à 
função que encobre a massa total de probabilidade existente em uma distribuição 
de probabilidade contínua. Como a soma das probabilidades é de 100% – ou seja, 
igual a 1 –, então a área total abaixo de uma FDP – e acima do eixo horizontal 
(eixo x ) – será de 1.
Por exemplo, será que a função f x x( ) = 1
8
, com 0< <x 4 e x pertencente ao 
conjunto dos números reais, pode ser uma FDP ? A resposta é sim. Como? Vamos 
à explicação mais esmiuçada.
9
UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua
Antes de qualquer cálculo, observe o seguinte gráfico:
Figura 1 – Função densidade de probabilidade
O gráfico acima foi construído com base em f x x( ) = 1
8
, com 0< <x 4 . Por 
exemplo, se x é igual a 2, f x x( ) = = = = =1
8
1
8
2
2
8
1
4
0 25. , .
Calculemos agora a área total do gráfico (entre o eixo x e a função f x x( ) = 1
8
). 
A área é de um triângulo retângulo, de modo que o cálculo é base vezes altura 
dividido por 2.
Área total do triângulo base x altura x = = = =
2
4 0 50
2
2
2
1
,
Ou seja, a área total do triângulo inteiro, que é igual a 1, representa que a 
probabilidade de, em um sorteio, encontrarmos qualquer valor real que esteja 
dentro do intervalo de 0 < <x 4 será de 100% = =





100
100
1 . Tal conclusão implica 
que a função f x x( ) = 1
8
, com 0< <x 4 representa uma FDP.
Cálculo de Probabilidade e Função 
Densidade de Probabilidade
A partir da função f x x( ) = 1
8
, com 0< <x 4 e x pertencente ao conjunto dos 
números reais, da seção anterior, qual seria a probabilidade de sortearmos, por 
exemplo, um número de x entre 1 e 2? Para obter tal resultado, devemos ter em 
10
11
mente que a área calculada de intervalo de uma FDP representa a probabilidade de 
sortear um número qualquer dentro do trecho em questão. No caso, se o intervalo 
apontado é de x entre 1 e 2, devemos então calcular a área abaixo da função 
f x x( ) = 1
8
 e acima do eixo x, entre os valores 1 e 2.
Por meio da Figura 1 podemos observar que a área de x entre 1 e 2 é um 
trapézio. Para tal condição, faz-se o seguinte cálculo:
Área do trapézio
base maior base menor x altura
 
 
=
+( )
2
O cálculo do trapézio de x entre 1 e 2 possui altura 1 e bases maior e menor, 
sendo 0,25 e 0,125, respectivamente. Assim, denominando a área de f x x( ) = 1
8
 
com 1< <x 2 de B, teremos:
B
x
=
+( )
= =
0 25 0 125 1
2
0 375
2
0 1875
, , ,
,
 
Ou seja, a probabilidade de sortearmos um número entre 1 e 2 a partir da 
função densidade de probabilidade f x x( ) = 1
8
, com 0< <x 4 e x pertencente ao 
conjunto dos números reais é de 18,75%.
Distribuição Normal
Entre os tipos de FDP existe uma função que representa o formato da distribui-
ção normal.
Tal distribuição normal é uma distribuição contínua que pode derivar de uma 
distribuição binomial. Quando o número de eventos possíveis de uma distribuição 
binomial se eleva, os eventos desta tendem a se unir de modo a formar uma 
distribuição contínua em formato de sino, a qual foi denominada distribuição 
normal – ou gaussiana.
A FDP que simboliza a distribuição normal é dada por:
f x e
x
( ) =
−
−( )
1
2
2
2
2
2
πσ
µ
σ
 
De modo que x N~ ,µ σ( ) (ou seja, x segue umadistribuição normal com média 
μ e desvio-padrão σ ).
11
UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua
A distribuição normal tem por característica apresentar o formato de sino, 
com média centrada no meio da distribuição, ou seja, a média da distribuição é 
igual à mediana. Outro aspecto importante é que a distribuição é simétrica, de 
modo que o “lado esquerdo” e o “lado direito” são espelhos um do outro. Por 
fim, cabe também destacar o fato de termos uma maior “massa” de probabilidade 
concentrada ao redor da média, a qual diminui à medida que caminhamos para os 
extremos. Isto simboliza que conjuntos de eventos com menores probabilidades 
de ocorrência estão nos extremos dessa distribuição e conjuntos de eventos com 
maior probabilidade estão mais próximos da média da distribuição. 
A média da distribuição normal define onde está o centro da distribuição e o 
desvio-padrão aponta como os eventos se dispersam, de modo que quanto maior 
o desvio-padrão, mais dispersa – “espalhada” – estará a distribuição. Compare as 
figuras 2 e 3. A Figura 3 apresenta maior dispersão, de modo que possui desvio-
padrão maior que a Figura 2 – assim como maior variância, por consequência.
Observe novamente as figuras 2 e 3, as quais simbolizam uma distribuição 
normal com média e desvio-padrão qualquer. Cada variável e população podem ter 
uma média e desvio-padrão distintos. Imagine ter de calcular a FDP da distribuição 
normal inserindo nesta um μ e σ distintos, de acordo com a necessidade do 
momento. Sim, seria uma tarefa complexa – não desanime, pois podemos percorrer 
um atalho para atingir nossos objetivos.
Figura 2 – Distribuição normal
Figura 3 – Distribuição normal
Na prática, o que se faz para calcular a probabilidade de qualquer intervalo 
envolvendo uma distribuição normal é de sempre convertê-la em uma distribuição 
normal com média µ = 0 e desvio-padrão σ =1 , além de observar a tabela normal 
padronizada – a qual estudaremos na próxima seção.
Veja a Figura 4, que representa uma distribuição normal padrão, ou seja, N 0 1,( ) :
12
13
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
0.
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
Figura 4 – Distribuição normal padronizada
Cálculo de Probabilidade e 
Distribuição Normal
A distribuição normal possui inúmeras aplicações no estudo da Econometria. 
Neste momento nos reservaremos a exemplos mais simples para haver o 
entendimento de usos gerais dessa distribuição.
Vamos agora realizar um exercício para aplicar exemplos:
Imagine que os lucros anuais de uma firma seguem uma distribuição normal com 
média de R$ 750 e desvio-padrão de R$ 150. A partir somente dessas informações, 
calcule a probabilidade de, em um dado ano, os lucros:
a) Serem menores que R$ 751,50;
b) Estarem entre R$ 525 e R$ 841,50;
c) Estarem entre R$ 825 e R$ 900;
d) Serem maiores que R$ 900.
Antes de iniciar a solução do exemplo, observe o formato da distribuição normal 
apresentada no enunciado por meio da seguinte figura:
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
0.
00
00
200 400 600 800
η750
1000 1200
0.
00
10
0.
00
20
Figura 5
13
UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua
Observe que a média de R$ 750 se apresenta exatamente na mediana da 
distribuição, ou seja, na linha que divide na metade o número de eventos da “direita” 
e da “esquerda”. Entretanto, para cálculo da probabilidade de qualquer intervalo de 
eventos utilizando os lucros anuais, a forma mais fácil é a transformação da variável 
lucros anuais em uma variável z , cuja média é 0 e o desvio-padrão é 1. 
Importante!
Com a transformação de qualquer variável com distribuição normal em uma variável z , 
cuja distribuição normal padronizada, ou seja, N 0 1,( ) , precisamos apenas conhecer 
essa variável para saber das probabilidades que desejamos encontrar, independentemente 
de qual variável e valores estiverem contidos no enunciado.
Importante!
Para a transformação da distribuição dos lucros anuais que seguem N 750 150,( ) 
em uma distribuição N 0 1, ,( ) devemos realizar o seguinte cálculo:
z X= −� �µ
σ
Em que X é um valor que queiramos padronizar, μ é o valor médio da variável 
X e σ é o desvio-padrão dos eventos possíveis.
No caso do exercício dos lucros anuais, podemos converter qualquer valor de 
lucro anual possível de ocorrer em uma distribuição z , a qual segue N 0 1,( ) , ou 
seja, uma normal com média 0 e desvio-padrão 1.
Por exemplo, suponhamos que temos por objetivo converter o valor R$ 750 da 
distribuição normal de lucros anuais em uma distribuição z . Para isto, basta aplicar 
a equação anterior, de modo que:
z X= − = − = =µ
σ
750 750
150
0
150
0
Ou seja, transformamos a média 750 em uma média 0 e, então, a mediana da 
distribuição normal é 0 ao invés de R$ 750. Para qualquer outro valor presente na 
distribuição normal dos lucros anuais, a mesma operação poderia ser realizada. A 
Figura a seguir mostra como seria representada a nova distribuição de probabilidades, 
note que agora as probabilidades estão em função dos valores de z – e não mais 
dos lucros anuais:
14
15
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
η0
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
Figura 6
Ao longo do exercício, em todos os cálculos intermediários serão utilizadas 
4 casas decimais após a vírgula, quando necessário. Note que a tabela da distribuição 
z – distribuição normal padronizada – está anexada a este Material teórico.
Resolução Comentada
a) Serem menores do que R$ 751,50:
 Resposta comentada
O problema a ser solucionado está de acordo com a Figura a seguir. Esta 
apresenta os lucros anuais seguindo uma distribuição normal com média de 
R$ 750 e desvio-padrão de R$ 150, ou seja, lucros anuais N ~ ,750 150( ) .
Pede-se para avaliar a probabilida-
de de os lucros anuais serem meno-
res do que R$ 751,50, a qual é re-
presentada pela Figura a seguir, de 
modo que o objetivo é calcular a área 
em azul. Entretanto, a fim de facilitar 
o cálculo, pode-se recorrer à padro-
nização da distribuição normal e 
transformá-la de lucros anuais em 
uma variável z , a qual seguirá uma 
distribuição normal com média 0 e desvio-padrão igual a 1, ou seja, N 0 1,( ) .
Com o intuito de padronizar a distribuição dos lucros anuais, recorre-se ao valor 
do extremo solicitado. Neste exercício, pede-se a probabilidade de os lucros anuais 
serem menores que R$ 751,50. A tarefa será a de transformar este valor extremo 
em um valor da variável z . Para tal, tome o valor de R$ 751,50, subtraia o valor 
da média (750) e divida pelo desvio-padrão (150), como é apresentado a seguir:
z X= − = − = =µ
σ
751 50 750
150
1 50
150
0 01
, ,
,
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
0.
00
00
200 400 600 800
η751.5
1000 1200
0.
00
10
0.
00
20
Figura 7
15
UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua
A partir deste procedimento, a distribuição foi transformada em uma distribuição 
normal com média 0 e desvio-padrão 1, conforme a seguinte Figura:
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
η0.01
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
Figura 8
 O valor z = 0 01, representa o valor de R$ 751,50. A partir do qual, pode-se 
calcular a área em azul, a qual representa todos os valores possíveis abaixo 
de R$ 751,50. 
A tabela z é a tabela da distribuição normal padronizada e está presente ao final 
deste Material teórico. Nesta, pode-se encontrar o valor 0,01. Para tal, observe o 
valor 0,0 na primeira coluna da tabela e o número 1 no eixo horizontal. O valor 
correspondente no “miolo” da tabela é o 0,004. Este número representa a área da 
distribuição normal padronizada entre a média 0 e o valor 0,01 – que é a mesma 
área da distribuição dos lucros anuais entre R$ 750 e R$ 751,50.
Entretanto, o objetivo original é observar a probabilidade dos lucros anuais 
serem menores do que R$ 751,50 ou, da mesma forma, z ser menor que 0,01:
P lucros anuais P z <( ) = <751 50 0 01, ( , )
Lembre-se que cada metade – média e mediana – da distribuição normal possui 
50% de área, o que é o mesmo que dizer que a probabilidadede sair um valor de 
lucro anual menor que R$ 750 ou z menor que 0 é de 50% – ou seja, 0,50.
Assim, se a área 0 0 01< <z , é 0,004 e − < <∞ z 0 é igual a 0,50, somando as 
duas áreas, tem-se que:
P lucros anuais
P z
P z
 <( )
= <( )
= + < <( )
≅ +
751 50
0 01
0 50 0 0 01
0 50 0
,
,
, ,
, ,0004
0 504≅ ,
Ou seja, a probabilidade de os lucros anuais serem menores que R$ 751,50 é 
de, aproximadamente, 50,40%.
16
17
b) Estarem entre R$ 525 e R$ 841,50: 
 Resposta comentada
O problema a ser solucionado está de acordo com a Figura a seguir. Esta 
apresenta os lucros anuais seguindo uma distribuição normal com média de 
R$ 750 e desvio-padrão de R$ 150, ou seja, lucros anuais N ~ ,750 150( ) .
Pede-se para avaliar a probabilidade de os lucros anuais estarem entre R$ 525 
e R$ 841,50, a qual é representada pela Figura a seguir, de modo que o objetivo é 
calcular a área em azul. Entretanto, a fim de facilitar o cálculo, pode-se recorrer à 
padronização da distribuição normal e transformá-la de lucros anuais em uma 
variável z , a qual seguirá uma distribuição normal com média 0 e desvio-padrão 
igual a 1, ou seja, N 0 1,( ) .
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
0.
00
00
200 400 600 800
η525 η841.5
1000 1200
0.
00
10
0.
00
20
Figura 9
Com o intuito de padronizar a distribuição dos lucros anuais, recorre-se aos 
valores dos extremos solicitados. Neste exercício, pede-se a probabilidade de os 
lucros anuais estarem entre R$ 525 e R$ 841,50. A tarefa será a de transformar 
esse valor extremo em um valor da variável z . Para tanto, tome os valores 525 e 
841,50, subtraia-os pelo valor da média (750) e os divida pelo desvio-padrão (150), 
como é apresentado a seguir:
z X
1
525 750
150
225
150
1 50=
−
=
−
=
−
= −
µ
σ
,
z X
2
841 50 750 00
150
91 50
150
0 61=
−
=
−
= =
µ
σ
, , ,
,
A distribuição normal dos lucros anuais foi transformada em uma distribuição 
normal padronizada, z N~ ,0 1( ) , tal como realizado no item anterior do exercício. 
Como são dois extremos sendo considerados, os chamamos de z1 e z2 , na Figura 
a seguir estão representados por η−1 5, e η0 61, , respectivamente: 
17
UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
η-1.5 η0.61
Figura 10
 O valor z1 1 5= − , representa o valor de R$ 525, enquanto z2 0 61= , representa 
o de R$ 841,50. A partir de z1 e z2 é possível calcular a área em azul, a qual 
representa a probabilidade dos lucros anuais estarem entre R$ 525 e R$ 841,50. 
A tabela z é a tabela da distribuição normal padronizada e está presente ao final 
deste Material teórico. Observe que na tabela não é possível encontrar valores 
negativos de z . Isso ocorre pelo fato de a distribuição normal ser simétrica, de 
modo que os valores negativos de z são simétricos aos positivos. Assim, como a 
tabela parte do cálculo da área a partir de z igual a zero, a área entre − < <1 50 0, z 
e 0 1 50< <z , é a mesma.
Importante!
A contagem da área para este item será calculada em duas partes com uma soma das 
áreas dessas, dado que a distribuição normal padrão parte de z igual a zero, a qual 
“corta” a área em azul. Além disso, na tabela observaremos os valores de z iguais a 1,50 
e a 0,61. 
Importante!
Para encontrar o valor 1,50 note o valor 1,5 na primeira coluna da tabela e 
o número 0 no eixo horizontal. O valor correspondente no “miolo” da tabela 
é 0,4332. Este número representa a área da distribuição normal padronizada 
entre a média 0 e o valor 1,50 – o mesmo que calcular a área entre -1,50 e 0, 
correspondentes à área da distribuição dos lucros anuais entre R$ 525 e R$ 750.
O valor 0,61 indica a área da distribuição normal padronizada entre 0 e 0,61, a 
qual implica na área entre R$ 750 e R$ 841,50. Observe o valor 0,6 na primeira 
coluna da tabela e o número 1 no eixo horizontal. O valor correspondente no 
“miolo” da tabela é 0,2261. Este número representa a área da distribuição normal 
padronizada entre a média 0 e o valor 0,61.
18
19
Ao querermos encontrar a probabilidade de os lucros anuais estarem entre 
R$ 525 e R$ 841,50, temos por objetivo formal calcular:
P lucros anuais
P z
P z P
525 841 50
1 5 0 61
1 5 0 0
< <( )
= − < <( )
= − < <( ) + <
 ,
, ,
, zz
P z P z
<( )
= < <( ) + < <( )
≅ +
≅
0 61
0 1 5 0 0 61
0 4332 0 2261
0 6593
,
, ,
, ,
,
Ou seja, a probabilidade de os lucros anuais estarem entre R$ 525 e R$ 841,50 
é de, aproximadamente, 65,93%.
c) Estarem entre R$ 825 e R$ 900:
Resposta comentada
A probabilidade de os lucros estarem entre R$ 825 e R$ 900 está representada 
na Figura a seguir, em azul. Para calcular essa probabilidade, devemos encontrar os 
valores de z ( z1 e z2 ), correspondentes a R$ 825 e R$ 900.
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
0.
00
00
200 400 600 800
η825 η900
1000 1200
0.
00
10
0.
00
20
Figura 11
 As equações a seguir transformam estes valores extremos da “massa” de área 
em azul:
z X
1
825 750
150
75
150
0 50=
−
=
−
= =
µ
σ
,
z X
2
900 750 00
150
150
150
1 00=
−
=
−
= =
µ
σ
,
,
19
UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
η0.5 η1
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
Figura 12
 Agora, os valores dos extremos são z1 0 50= , e z2 1 00= , . Para encontrar a 
probabilidade de os lucros anuais estarem entre R$ 825 e R$ 900 temos que 
calcular a área de z entre z1 0 50= , e z2 1 00= , . 
Em primeiro lugar, devemos consultar a tabela de distribuição normal padrão. 
Nesta, localizamos a área de z entre 0 e 0,50, ou seja, encontramos z1 0 50= , . 
Para tal, encontre o número 0,5 na primeira coluna e 0 na primeira linha. O 
correspondente número no “miolo” da tabela é 0,1915. Assim, a P z0 0 50< <( ), 
é de 0,1915. Note que essa área corresponde ao cálculo da probabilidade de os 
lucros anuais estarem entre R$ 750 e R$ 825 – dado que a mediana da distribuição 
normal (evento que divide igualmente os eventos possíveis) é de R$ 750 para o 
caso da distribuição dos lucros anuais e 0 para a distribuição normal padronizada. 
Em segundo lugar, devemos consultar a tabela de distribuição normal para 
encontrarmos z2 1 00= , . Para tal, encontre o número 1,0 na primeira coluna e 
0 na primeira linha. O correspondente número no “miolo” da tabela é 0,3413. 
Assim, a P z0 1 00< <( ), é de 0,3413. Note que essa área corresponde ao cálculo 
da probabilidade de os lucros anuais estarem entre R$ 750 e R$ 900. 
Apesar desses cálculos, ainda não calculamos o objetivo inicial, que é o da 
probabilidade de os lucros anuais estarem entre R$ 825 e R$ 900, ou seja,
P z0 50 1 00, ,< <( ) . 
Entretanto, se P z0 0 50< <( ), é de 0,1915 e P z0 1 00< <( ), é de 0,3413, 
então P z0 50 1 00, ,< <( ) será a diferença entre os quais. Trata-se de um exercício 
de “Geometria”. Um dos extremos tem área 0 1 00< <z , de 0,3413 – ver η1 na 
Figura anterior – e o outro, 0 0 50< <z , , que é igual a 0,1915 – ver extremo η0 5, 
na Figura anterior. Assim, a área em azul é a diferença entre os quais. Formalmente:
P lucros anuais
P z P z
825 900
0 1 00 0 0 50
0 3413 0
< <( )
= < <( ) − < <( )
≅ −
 
, ,
, ,11915
0 1498≅ ,
20
21
Ou seja, a probabilidade de os lucros anuais estarem entre R$ 825 e R$ 900 é 
de, aproximadamente, 14,98%.
d) Serem maiores que R$ 900:
 Resposta comentada
A probabilidade de os lucros serem maiores que R$ 900 está representada na 
Figura a seguir, em azul. Para calcular essa probabilidade, devemos encontrar o 
valor de z correspondente a R$ 900.
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
0.
00
00
200 400 600 800
η900
1000 1200
0.
00
10
0.
00
20
 
Figura 13
 Com o intuito de padronizar a distribuição dos lucros anuais, recorre-se ao valor 
do extremo solicitado. Neste exercício, pede-se a probabilidade de os lucros anuais 
serem maiores que R$ 900. A tarefa será a de transformar esse valor extremo em 
um valor da variável z . Para tanto, tome o valor 900, subtraia o valor da média 
(750) edivida pelo desvio-padrão (150), como é apresentado a seguir:
z X= − = − = =µ
σ
900 750
150
150
150
1 00,
A partir deste procedimento, a distribuição foi transformada em uma distribuição 
normal com média 0 e desvio-padrão 1, conforme a Figura a seguir – note que 
z =1 00, já havia sido encontrado e somente foi repetido para fins didáticos:
Pr
ob
ab
ili
ty
 D
en
si
ty
η1
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
Figura 14
21
UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua
 Na tabela z – tabela da distribuição normal padronizada – pode-se encontrar o 
valor 1,00. Para tanto, observe o valor 1,0 na primeira coluna da tabela e o número 
0 no eixo horizontal. O valor correspondente no “miolo” da tabela é 0,3413. Este 
número representa a área da distribuição normal padronizada entre a média 0 e o 
valor 1,00 – a qual é a mesma área da distribuição dos lucros anuais entre R$ 750 
e R$ 900.
Entretanto, o objetivo original é observar a probabilidade de os lucros anuais 
serem maiores que R$ 900 ou, da mesma forma, z ser menor que 0,01:
P lucros anuais P z >( ) = >900 1 00( , )
Lembre-se que cada metade – média e mediana – da distribuição normal possui 
50% de área, o mesmo que dizer que a probabilidade de sair um valor de lucro 
anual maior que 750 ou z maior que 0 é de 50% – ou seja, 0,50.
Assim, se a área 0 1 00< <z , é 0,3413 e 0 < < +z ∞ é igual a 0,50, subtraindo a 
área da P( )0 < < +z ∞ , que é igual 0,50 – ou seja, 50% –, da área da P z( ,0 1 00< < ), 
que é igual a, aproximadamente, 0,3413, tem-se que a área entre 1 00, < < +z ∞ é 
igual a, aproximadamente, 0,1587. Formalmente:
P lucros anuais
P z
P P z
 
z
>( )
= >( )
= < < +( ) − < <( )
= −
900
1 00
0 0 1 00
0 50
,
,
,
∞
PP z0 1 00
0 50 0 34143
0 1587
< <( )
≅ −
≅
,
, ,
,
Ou seja, a probabilidade de os lucros anuais serem maiores que R$ 900 é de, 
aproximadamente, 15,86%.
Considerações Finais
A partir deste Material teórico foi possível verificar como ocorre a identificação 
da probabilidade de um intervalo de valores em uma distribuição contínua, com 
enfoque na distribuição normal. Para o caso da distribuição normal, uma forma que 
facilita o cálculo da probabilidade é através da padronização dos valores extremos 
de interesse da distribuição e uso da tabela de distribuição normal padronizada. 
Assim, estudar o comportamento de uma distribuição de probabilidade é entender 
as possibilidades de cada evento ou intervalo de eventos.
22
23
Um economista, para tomar suas decisões, precisa entender as chances de os 
eventos ocorrerem, já que isto faz parte de sua tarefa fundamental.
Anexo – Tabela de Distribuição Normal Padronizada
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
23
UNIDADE Distribuição de Probabilidade Contínua
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Inferência Estatística
CASELLA, G.; BERGER, R. Inferência estatística. São Paulo: Cengage 
Learning, 2010.
Estatística aplicada à Administração e Economia
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à Administração e Economia. 
Porto Alegre, RS: Grupo A, 2012.
Estatística aplicada
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004.
Estatística para Administração e Economia
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; SINCICH, T. Estatística para Administração e 
Economia. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
Probabilidade
MEYER, P. L. Probabilidade. 2. ed. São Paulo: LTC, 2000.
24
25
Referências
MORETTIN, L. G. Estatística básica: inferência. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 2005.
SARTORIS, A. Estatística e introdução à Econometria. São Paulo: Saraiva, 2003.
25