Relatório - FREQUÊNCIAS COMPLEXAS PRÓPRIAS

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UFC – UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ – CAMPUS SOBRAL 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS II 
PROFESSOR: MARCOS ROGERIO DE CASTRO 
 
 
 
 
PRÁTICA Nº 07 
FREQUÊNCIAS COMPLEXAS PRÓPRIAS 
 
 
ALUNO MATRÍCULA 
 
FRANCISCO DENILSON MESQUITA RIBEIRO 400306 
 
 
 
 
 
 
SOBRAL – CE 
2020 
SUMÁRIO 
1. Introdução ................................................................................................................................ 3 
2. Objetivos da Prática ................................................................................................................ 5 
3. Material Utilizado ................................................................................................................... 5 
4. Procedimento Experimental ................................................................................................... 6 
5. Conclusão ............................................................................................................................... 10 
6. Referências Bibliográficas .................................................................................................... 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução 
 
Seja 𝑦(𝑡) a resposta de um circuito linear, de parâmetros constantes, excitado por 
𝑢(𝑡). A resposta e a excitação estarão relacionadas por uma equação diferencial do tipo: 
∑ 𝑎
( ) ( )
( )
= ∑ 𝑏
( ) ( )
( )
 (1) 
sendo os 𝑎 e 𝑏 constantes reais, e admitindo-se 𝑎 = 1 para maior comodidade. 
A função de transferência, que relaciona 𝑦(𝑡) e 𝑢(𝑡), é obtida tomando-se a 
transformada de 
Laplace da equação (1), com condições iniciais nulas, chegando-se a: 
𝐺(𝑠) =
( )
( )
=
⋯
⋯
 (2) 
O denominador da equação (2): 
𝑃(𝑠) = 𝑠 + 𝑎 𝑠 + ⋯ + 𝑎 𝑠 + 𝑎 (3) 
é o polinômio característico da equação (1). Os zeros (𝑠 ) deste polinômio, 
correspondentes aos polos de 𝐺(𝑠), são as frequências complexas próprias da resposta 
𝑦(𝑡). 
Estes polos podem ser simples ou múltiplos. Examinando-se o mecanismo de 
inversão da transformada, verifica-se que aos polos simples correspondem, na resposta 
transitória, parcelas do tipo: 
𝐴 𝑒 (polos simples) (4) 
sendo os 𝐴 constantes. 
Os polos múltiplos gerarão uma soma de parcelas do tipo: 
𝐴 𝑒 + 𝐴 𝑡𝑒 + ⋯ + 𝐴 ℓ 𝑡
ℓ𝑒 (5) 
sendo os 𝐴 constantes e ℓ a multiplicidade do polo menos um. 
As equações (4) e (5) constituem os modos naturais da resposta 𝑦(𝑡). 
A parte real da frequência complexa própria dá o amortecimento do modo natural, 
ao passo que sua parte imaginária fornece a frequência angular de oscilação do modo 
natural. 
Seja uma frequência complexa própria dada por: 
𝑠 = −𝛼 + 𝑗𝜔 (6) 
Se a frequência própria for real e simples, o correspondente modo natural é do 
tipo 𝐴 𝑒 ; se a frequência própria for real e múltipla tem-se modos naturais 
𝐴 𝑡 𝑒 , 𝑗 = 0, 1, . . . ℓ. 
Se a resposta tiver uma frequência própria complexa 𝑠 , necessariamente o 
conjugado 𝑠∗ será também uma frequência própria; sendo, além do mais, simples, o par 
𝑠 , 𝑠∗ dará origem a um par complexo conjugado de modos naturais, que compõem uma 
parcela da resposta do tipo: 
𝐴 𝑒 cos (𝜔 𝑡 + ϕ ) (7) 
sendo – 𝛼 a parte real da freqüência complexa própria e 𝜔 sua parte imaginária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Objetivos da Prática 
 
 Determinação das frequências complexas próprias de uma rede utilizando o 
transitório repetitivo. 
3. Material Utilizado 
 
 Resistor de 1kΩ; 
 Capacitor de 0,1µF; 
 Indutor de 1mH; 
 Fonte geradora de sinal; 
 Osciloscópio digital; 
 Cabos e fios para conexão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Procedimento Experimental 
 
A prática iniciou montando-se o circuito mostrado esquematicamente na figura 
01, no qual 𝑅 representa a resistência interna do gerador, com: 𝑅 = 1 kW, 𝐿 = 1 𝑚𝐻, 
𝐶 = 0,1 𝑚𝐹 e o gerador com onda quadrada com 3 𝑉 (pico a pico) e 1,5 𝑉 (offset). 
 
Figura 01 – Circuito com gerador de sinais 
 
Fonte: Manual da Prática 
 
 Analisando o circuito da figura 01 com o uso da Transformada de Laplace, temos: 
𝑖(𝑡) = 𝑖 (𝑡) + 𝑖 (𝑡) + 𝑖 (𝑡) =
( )
+ ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶
( )
 (8) 
 Aplicando a Transformada de Laplace em (8), tem-se: 
𝐼(𝑠) =
( )
+
( )
− 𝑖(0 ) + 𝐶𝑠𝑉(𝑠) − 𝑣(0 ) = + + 𝐶𝑠 𝑉(𝑠) (9) 
uma vez que 𝑖(0 ) = 0 e 𝑣(0 ) = 0. 
 Assim, 
𝐼(𝑠) = 𝑉(𝑠) →
( )
( )
= 𝐻(𝑠) = (10) 
 Fazendo então a seguinte manipulação, temos 
𝐻(𝑠) = =
( ( ) ( ) )
=
( 𝜆1)( 𝜆2)
 (11) 
 Onde as raízes são dadas por 
𝜆 , = − ± − = − ± − (12) 
 Como 
 𝜆 , = −𝛼 ± 𝛼 − 𝜔 = −𝛼 ± 𝑗𝜔 , (13) 
temos então 
 𝛼 = , (14) 
 𝜔 = (15) 
e 
 𝜔 = 𝛼 − 𝜔 (16) 
 Pode-se definir ainda a frequência de oscilação 
𝑓 = (17) 
e o índice de mérito 
 𝑄 = (18) 
 Ajustou-se a frequência do gerador para 500 𝐻𝑧 e observou-se a forma de onda 
de 𝑣(𝑡). Na figura 02 e 03 são vistos respectivamente, a simulação e a forma de onda. 
Figura 02 – Circuito simulado 
 
Fonte: Autoria Própria 
 Figura 03 – Forma de onda de v(t) 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
 Da figura acima, temos então que T = 66,6µs e das equações dadas 
anteriormente, temos 𝜔 = 𝛼 − 𝜔 , como 
𝛼 = =
∙ ∙ ,
= 5000 (19) 
e 
𝜔 = =
∙ ,
= 10 (20) 
logo, 
𝜔 = 10 − 5000² = 99874,92 (21) 
e 
𝑓 = =
,
= 15895,59. (22) 
 Na figura 04 é mostrada a medição da amplitude máxima de duas oscilações 
consecutivas. 
Figura 04 – Medição Amplitudes 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
 
 A amplitude do primeiro pico é 𝐴 = 155𝑚𝑉 e a do segundo é 𝐴 = 115𝑚𝑉. 
 Assim, o valor de 𝛼 é dado por 
𝛼 = ln = ln = 15895,59ln = 4744,72 (23) 
que não difere tanto do valor calculado anteriormente. 
 Daí, tem-se 
𝜔 = 𝜔 − 𝛼 = 99762,15 (24) 
 
O novo índice de mérito é dado por 
𝑄 = =
,
∙ ,
= 10,51 (25) 
 O valor da capacitância presente no circuito é 
𝐶 = =
∙ ∙ ,
= 0,105𝜇𝐹 (26) 
 E o valor da indutância presente no circuito é 
𝐿 = =
, ∙ ,
= 95,12𝐻 (27) 
A maior amplitude obtida foi com a frequência em torno do valor de 16 𝑘𝐻𝑧, que não 
por coincidência é o mesmo valor de 𝑓 encontrado anteriormente, como mostrado na 
figura 05. Esse fenômeno de maior amplitude nessa determinada frequência pode ser 
entendido como uma evidência que o circuito se comporta como um filtro passa faixa, 
cujas amplitudes em torno da frequência de passagem. 
Figura 05 – Senoide obtida de maior amplitude na frequência de ~16kHz 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
5. Conclusão 
 
Esta prática realmente cumpriu com o seu objetivo, que era a determinação das 
frequências complexas próprias de uma rede utilizando o transitório repetitivo A 
simulação utilizando o software multisim foi bastante proveitosa, pois a partir dela 
podemos ver na prática conteúdos que só tivemos na teoria, o que é bastante importante 
para o desenvolvimento da disciplina. 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Referências Bibliográficas 
 
[1] JOHNSON,D.E. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. Rio de Janeiro: 
Editora LTC, 4a Ed. Rio de Janeiro, 2014.