Equações Diferenciais Ordinárias

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FORMULÁRIO DA AULA ATIVIDADE 
 
AULA ATIVIDADE 
Professor(a): Daiany Cristiny Ramos 
Semestre: 3º Flex / 4º Semestre 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Unidade de Ensino: 3 
Competência(s): Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e na área 
de exatas, os cálculos referentes às equações diferenciais ordinárias. 
Conteúdos: Definição de Equações Diferenciais Ordinárias; Classificação de 
Equações Diferenciais Ordinárias; Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª 
ordem; Equações Diferenciais Ordinárias lineares de ordem superior. 
Teleaula: 3 
 
 
Título: Equações Diferenciais Ordinárias 
 
Prezado (a) tutor (a), 
 
Segue a Aula Atividade proposta aos alunos: 
 
A aula atividade tem a finalidade de promover o auto estudo das competências 
e conteúdos relacionados à Unidade de Ensino 3: “Equações Diferenciais 
Ordinárias”. 
 
Ela terá a duração total de 1 hora e está organizada em duas etapas de 30 
minutos cada: “Análise da Situação-Problema”, em que o aluno resolverá 
problemas envolvendo conceitos abordados na SGA dessa unidade de ensino, 
e “Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão”, em que 
retornamos às discussões relativas à questão proposta no fórum da disciplina. 
 
Oriente os alunos a seguirem todas as orientações indicadas e a contarem 
sempre com a mediação do tutor e a interatividade com a professora no Chat 
Atividade e Fórum de Discussão. 
 
Bom trabalho! 
 
___________________**__________________ 
 
 
 
Análise da Situação-Problema 
 
Questão 1 
A determinação de soluções para as equações diferenciais ordinárias é 
fundamental para a resolução de problemas modelados por esses tipos de 
equações. 
Considere as equações diferenciais ordinárias apresentadas na sequência: 
I. 2𝑦′ + 𝑦 = 0 
II. (𝑦′)3 + 𝑥𝑦′ = 𝑦 
III. 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥 
Além disso, considere as funções apresentadas no que segue: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
𝑔(𝑥) = 𝑒−
𝑥
2 
ℎ(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) 
Com base nessas funções e equações, assinale a alternativa que associa 
corretamente as equações diferenciais ordinárias com suas respectivas 
soluções, selecionadas dentre as funções 𝑓, 𝑔 e ℎ: 
a) I – 𝑓; II – 𝑔; III – ℎ. 
b) I – 𝑓; II – ℎ; III – 𝑔. 
c) I – 𝑔; II – 𝑓; III – ℎ. 
d) I – 𝑔; II – ℎ; III – 𝑓. 
e) I – ℎ; II – 𝑓; III – 𝑔. 
Resolução: 
Para a EDO I, considerando a função 𝑔 temos que 
𝑔(𝑥) = 𝑒−
𝑥
2 → 𝑔′(𝑥) = −
1
2
𝑒−
𝑥
2 
2(𝑔′(𝑥)) + 𝑔(𝑥) = 2 (−
1
2
𝑒−
𝑥
2) + 𝑒−
𝑥
2 = −𝑒−
𝑥
2 + 𝑒−
𝑥
2 = 0 
Logo, a função 𝑔 é solução da EDO I, de onde segue a associação I - 𝑔. 
Para a EDO II, considerando a função 𝑓 temos que 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 → 𝑓′(𝑥) = 1 
(𝑓′(𝑥))
3
+ 𝑥(𝑓′(𝑥)) = 13 + 𝑥(1) = 1 + 𝑥 = 𝑓(𝑥) 
Assim, a função 𝑓 é solução da EDO II, de onde segue a associação II - 𝑓. 
 
Para a EDO III, considerando a função ℎ temos que 
ℎ(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) → ℎ′(𝑥) = ln(𝑥) + 1 
𝑥(ℎ′(𝑥)) − ℎ(𝑥) = 𝑥(ln(𝑥) + 1) − 𝑥 ln(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥) + 𝑥 − 𝑥 ln(𝑥) = 𝑥 
Portanto, a função ℎ é solução da EDO III, de onde segue a associação III - ℎ. 
 
 
Questão 2 
Considerando as principais classificações das equações diferenciais ordinárias, 
analise as afirmações apresentadas na sequência, classificando-as como 
verdadeiras (V) ou falsas (F): 
( ) A equação diferencial ordinária 
𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = cos(𝑥) 
pode ser classificada como não linear, não homogênea, de 3ª ordem. 
( ) A equação diferencial ordinária 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
+ 𝑡2𝑧 = 0 
pode ser classificada como linear, homogênea, de 1ª ordem. 
( ) A equação diferencial ordinária 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒𝑥+𝑦𝑦 = 0 
pode ser classificada como linear, homogênea, de 3ª ordem. 
( ) A equação diferencial ordinária 
𝑑4𝑤
𝑑𝑢4
+ 2
𝑑2𝑤
𝑑𝑢2
− 3
𝑑𝑤
𝑑𝑢
= 𝑢 
pode ser classificada como linear, não homogênea, de 4ª ordem. 
Com base nas afirmações apresentadas, assinale a alternativa que apresenta 
todas as classificações corretamente, considerando a ordem de cima para baixo: 
a) F – F – V – V. 
b) F – V – F – V. 
c) F – V – V – F. 
d) V – F – V – V. 
e) V – V – F – F. 
Resolução: 
A primeira afirmação é falsa (F). A equação diferencial ordinária 
 
𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = cos(𝑥) 
pode ser classificada como linear, não homogênea, de 2ª ordem. 
A segunda afirmação é verdadeira (V). A equação diferencial ordinária 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
+ 𝑡2𝑧 = 0 
pode ser classificada como linear, homogênea, de 1ª ordem. 
A terceira afirmação é falsa (F). A equação diferencial ordinária 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
−
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒𝑥+𝑦𝑦 = 0 
pode ser classificada como não linear, homogênea, de 3ª ordem. 
A quarta afirmação é verdadeira (V). A equação diferencial ordinária 
𝑑4𝑤
𝑑𝑢4
+ 2
𝑑2𝑤
𝑑𝑢2
− 3
𝑑𝑤
𝑑𝑢
= 𝑢 
pode ser classificada como linear, não homogênea, de 4ª ordem. 
 
 
Questão 3 
Na sequência são indicadas algumas equações diferenciais ordinárias, 
representadas por 1, 2 e 3: 
1) 𝑦′ − 2𝑦 = 4 − 𝑡 
2) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
1−𝑦2
 
3) 2𝑥 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑦′ = 0 
A respeito dessas equações, são apresentadas as seguintes afirmações: 
I. A EDO 1 pode ser resolvida pelo método das equações separáveis e tem por 
solução 𝑦(𝑡) = −
7
4
+
1
2
𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ. 
II. A EDO 2 pode ser resolvida pelo método das equações separáveis e tem 
solução dada implicitamente por −𝑥3 + 3𝑦 − 𝑦3 = 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ. 
III. A EDO 3 pode ser resolvida pelo método dos fatores integrantes e tem 
solução dada implicitamente por 𝑥2 + 𝑥𝑦2 = 𝐾, 𝐾 ∈ ℝ. 
Com base nas afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta: 
a) Apenas a afirmação II está correta. 
b) Apenas a afirmação III está correta. 
c) Apenas as afirmações I e II estão corretas. 
 
d) Apenas as afirmações I e III estão corretas. 
e) Apenas as afirmações II e III estão corretas. 
Resolução: 
A EDO 1, dada por 
𝑦′ − 2𝑦 = 4 − 𝑡 
pode ser resolvida por meio do método dos fatores integrantes. Considerando, 
nesse caso, o fator integrante é dado por 𝜇(𝑡) = 𝑒−2𝑡. Assim, 
𝑦′𝑒−2𝑡 − 2𝑦𝑒−2𝑡 = (4 − 𝑡)𝑒−2𝑡 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑦𝑒−2𝑡) = 4𝑒−2𝑡 − 𝑡𝑒−2𝑡 
Integrando a equação obtida temos 
𝑦𝑒−2𝑡 = −2𝑒−2𝑡 +
1
2
𝑡𝑒−2𝑡 +
1
4
𝑒−2𝑡 + 𝐶 
Desta forma, a solução da EDO 1 é dada por 
𝑦(𝑡) = −
7
4
+
1
2
𝑡 + 𝐶𝑒2𝑡 
Logo, a afirmação I está incorreta. 
A EDO 2, dada por 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
1 − 𝑦2
 
pode ser resolvida por meio do método das equações separáveis. Note que 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2
1 − 𝑦2
 → (1 − 𝑦2) 𝑑𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑥 
Integrando ambos os membros da última expressão obtida temos 
𝑦 −
1
3
𝑦3 =
1
3
𝑥3 + 𝑘 
→ 3𝑦 − 𝑦3 = 𝑥3 + 3𝑘 
→ −𝑥3 + 3𝑦 − 𝑦3 = 𝑐 
Desta forma, a solução da EDO 2 é dada implicitamente por 
−𝑥3 + 3𝑦 − 𝑦3 = 𝑐 
Logo, a afirmação II está correta. 
A EDO 3, dada por 
2𝑥 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑦′ = 0 
pode ser resolvida por meio do método das equações exatas. Observe que ao 
considerarmos 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦2 e 𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 obtemos 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 2𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
Assim, sendo 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 𝑦2 e 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 2𝑥𝑦 
logo 
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫(2𝑥 + 𝑦2) 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑥𝑦2 + ℎ(𝑦) 
⟹
𝜕𝐹
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2 + 𝑥𝑦2 + ℎ(𝑦)) = 2𝑥𝑦 + ℎ′(𝑦) = 2𝑥𝑦 
Sendo ℎ′(𝑦) = 0 ⇒ ℎ(𝑦) = 𝐶1. Desta forma, 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦2 + 𝐶1 ⇒ 𝐶 = 𝑥
2 + 𝑥𝑦2 + 𝐶1 
⇒ 𝑥2 + 𝑥𝑦2 = 𝐾 
Desta forma, a solução da EDO 3 é dada implicitamente por 
𝑥2 + 𝑥𝑦2 = 𝐾 
Portanto, a afirmação III está incorreta. 
 
 
Questão 4 
Considere o problema de valor inicial definido a seguir 
{
4𝑦′′ − 8𝑦′ + 3𝑦 = 0
𝑦(0) = 2
𝑦′(0) =
1
2
 
Deseja-se determinar a solução desse problema, caracterizado por uma 
equação diferencial homogênea, linear, de 2ª ordem. 
Com base nessas informações, assinale a alternativa correta: 
a) A equação característica associada à EDO possui duas raízes reais iguais e 
a solução do problema de valorinicial é dada por 𝑦(𝑡) = −
1
2
𝑒3𝑡 2⁄ +
5
2
𝑒𝑡 2⁄ . 
b) A equação característica associada à EDO possui duas raízes complexas 
conjugadas e a solução do problema de valor inicial é dada por 
𝑦(𝑡) = 𝑒3𝑡 2⁄ (cos (
𝑡
2
) + sen (
𝑡
2
)). 
c) A equação característica associada à EDO possui duas raízes reais distintas 
e a solução do problema de valor inicial é dada por 𝑦(𝑡) =
1
2
𝑒𝑡 2⁄ +
1
2
𝑒3𝑡 2⁄ . 
 
d) A equação característica associada à EDO possui duas raízes reais iguais e 
a solução do problema de valor inicial é dada por 𝑦(𝑡) = −
1
2
𝑒3𝑡 2⁄ +
5
2
𝑡𝑒3𝑡 2⁄ . 
e) A equação característica associada à EDO possui duas raízes reais distintas 
e a solução do problema de valor inicial é dada por 𝑦(𝑡) = −
1
2
𝑒3𝑡 2⁄ +
5
2
𝑒𝑡 2⁄ . 
Resolução: 
Considere a EDO 
4𝑦′′ − 8𝑦′ + 3𝑦 = 0 
Supondo 𝑦 = 𝑒𝑟𝑡 solução da EDO apresentada, temos 
4(𝑟2𝑒𝑟𝑡) − 8(𝑟𝑒𝑟𝑡) + 3𝑒𝑟𝑡 = 0 
→ 𝑒𝑟𝑡(4𝑟2 − 8𝑟 + 3) = 0 
Assim, obtemos a equação característica 
4𝑟2 − 8𝑟 + 3 = 0 
cujas soluções são 
𝑟 =
3
2
 e 𝑟 =
1
2
 
ou seja, duas raízes reais distintas. 
Desta forma, a solução geral da EDO em estudo é dada por 
𝑦(𝑡) = 𝐶1𝑒
3𝑡 2⁄ + 𝐶2𝑒
𝑡 2⁄ 
Do problema de valor inicial sabemos que 𝑦(0) = 2 e 𝑦′(0) =
1
2
. 
Como 
𝑦(𝑡) = 𝐶1𝑒
3𝑡 2⁄ + 𝐶2𝑒
𝑡 2⁄ 
𝑦′(𝑡) =
3
2
𝐶1𝑒
3𝑡 2⁄ +
1
2
𝐶2𝑒
𝑡 2⁄ 
então 
2 = 𝑦(0) = 𝐶1 + 𝐶2 
1
2
= 𝑦′(0) =
3
2
𝐶1 +
1
2
𝐶2 
Logo, das condições apresentadas temos o sistema de equações lineares 
{
𝐶1 + 𝐶2 = 2
3
2
𝐶1 +
1
2
𝐶2 =
1
2
 
o que implica em 𝐶1 = −
1
2
 e 𝐶2 =
5
2
. 
Portanto, a solução do problema de valor inicial é dada por 
 
𝑦(𝑡) = −
1
2
𝑒3𝑡 2⁄ +
5
2
𝑒𝑡 2⁄ 
 
 
 
 
 
 
Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão 
 
Vamos retomar a discussão iniciada no tópico correspondente à unidade 3, no 
fórum da disciplina. No tópico indicado foi proposto o seguinte problema para 
estudo: 
 
Um lago artificial, localizado em um condomínio residencial de determinada 
cidade, armazena uma quantidade de 500 mil litros de água. 
 
 
Fonte: http://1.bp.blogspot.com/-
hDm3HL_dnx4/TkGfXcUU8cI/AAAAAAAAACY/DK8uxSkv3Fo/s1600/8-lago2.gif 
Acesso em 12 jun. 2017. 
 
Inicialmente, esse lago contém apenas água pura (𝑡 = 0). A água que é recebida 
pelo lago contém 0,01 grama de uma substância química indesejada por litro, a 
uma taxa de 250 litros por hora. Além disso, a mistura de água com essa 
substância sai à mesma taxa, de tal forma que a quantidade de água no lago 
permanece constante. 
Como podemos determinar a quantidade 𝑄(𝑡) do produto químico indesejado 
presente no lago em um instante qualquer 𝑡, 𝑡 ≥ 0? 
Para isso, considere que a taxa de variação da quantidade do produto químico 
indesejável, no tempo, é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de 
saída da mistura de água com o produto no lago. Além disso, a concentração da 
substância no lago é dada pela razão entre a massa de substância e volume de 
água no lago, ou seja, 
𝑄(𝑡)
500000
= 0,000002 𝑄(𝑡). 
http://1.bp.blogspot.com/-hDm3HL_dnx4/TkGfXcUU8cI/AAAAAAAAACY/DK8uxSkv3Fo/s1600/8-lago2.gif
http://1.bp.blogspot.com/-hDm3HL_dnx4/TkGfXcUU8cI/AAAAAAAAACY/DK8uxSkv3Fo/s1600/8-lago2.gif
 
Queremos determinar a quantidade 𝑄(𝑡) de produto químico presente no lago 
em um instante 𝑡, considerando a situação apresentada. 
Sabemos que, inicialmente, não existe o produto químico no lago, de modo que 
a quantidade 𝑄0 é nula. Assim, temos 𝑄(0) = 𝑄0 = 0. 
A mistura de água com o produto químico indesejável, de concentração 0,01 𝑔/𝐿, 
entra no lago a uma taxa de 250 litros por hora. O escoamento da solução de 
água e produto também escoa para fora do lago a uma taxa de 250 litros por 
hora. 
A taxa de variação da quantidade do produto químico indesejável, no tempo, é 
dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída da mistura de água 
com o produto no lago, assim, 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= taxa de entrada − taxa de saída 
A taxa de entrada do produto químico na lagoa é dada por 
taxa de entrada = (concentração) × (fluxo) = (0,01) × (250) = 2,5 
A concentração de produto químico na lagoa é dada por 
𝑄(𝑡)
500000
= 0,000002 𝑄(𝑡). 
Logo, a taxa de saída do produto químico na lagoa é dada por 
taxa de saída = (concentração) × (fluxo) = (0,000002 Q(t)) × (250)
= 0,0005 𝑄(𝑡) 
Desta forma, taxa de variação da quantidade do produto químico indesejável no 
lago, em função do tempo, é dada por 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 2,5 − 0,0005 𝑄(𝑡) 
Sendo assim, 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= −0,0005( 𝑄(𝑡) − 5000) 
𝑑𝑄
𝑄(𝑡) − 5000
= −0,0005𝑑𝑡 
Integrando ambos os membros obtemos 
∫
1
𝑄 − 5000
𝑑𝑄 = ∫(−0,0005) 𝑑𝑡 
ln|𝑄 − 5000| = −0,0005𝑡 + 𝐾1 
Considerando as propriedades das funções exponencial e logarítmica segue que 
𝑄 − 5000 = 𝑒−0,0005𝑡+𝐾1 = 𝐶𝑒−0,0005𝑡 
Logo, 
 
𝑄(𝑡) = 5000 + 𝐶𝑒−0,0005𝑡 
Como 𝑄(0) = 𝑄0 = 0 obtemos 
0 = 𝑄(0) = 5000 + 𝐶𝑒0 = 5000 + 𝐶 → 𝐶 = −5000 
Portanto, a quantidade de produto químico indesejável em um instante qualquer 
𝑡 é dada por 
𝑄(𝑡) = 5000 − 5000𝑒−0,0005𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
Preparando-se Para a Próxima Tele aula 
 
 
Oriente os alunos a se prepararem para o nosso próximo encontro organizando 
o auto estudo da seguinte forma: 
1. Planejando o tempo de estudo prevendo a realização de atividades 
diárias. 
2. Estudando previamente as web aulas e a Unidade de Ensino antes da tele 
aula. 
3. Elaborando esquemas de conteúdos para que sua aprendizagem e 
participação na tele aula seja proveitosa. 
4. Utilizando o fórum para registro das atividades e atendimento às dúvidas 
e/ou dificuldades. 
 
Lembre os alunos de que eles podem contar sempre com o seu tutor à 
distância e com a professora da disciplina para acompanhar sua 
aprendizagem. 
 
 
 Bom trabalho! 
Prof. Ma. Daiany Cristiny Ramos