Qual a solução geral da equação diofantina 18x + 7y = 302?

Para resolver a equação diofantina \(18x + 7y = 302\), precisamos encontrar uma solução particular e, em seguida, a solução geral. 1. Encontrar uma solução particular: Primeiro, vamos encontrar uma solução particular para a equação. Podemos fazer isso usando o método da substituição ou tentativa e erro. Vamos tentar alguns valores para \(x\) e ver se conseguimos um \(y\) inteiro. Por exemplo, se \(x = 11\): \[ 18(11) + 7y = 302 \implies 198 + 7y = 302 \implies 7y = 104 \implies y = 14.857 \] Isso não é um inteiro. Vamos tentar \(x = 10\): \[ 18(10) + 7y = 302 \implies 180 + 7y = 302 \implies 7y = 122 \implies y = 17.428 \] Também não é um inteiro. Vamos tentar \(x = 8\): \[ 18(8) + 7y = 302 \implies 144 + 7y = 302 \implies 7y = 158 \implies y = 22.571 \] Continuando, vamos tentar \(x = 7\): \[ 18(7) + 7y = 302 \implies 126 + 7y = 302 \implies 7y = 176 \implies y = 25.142 \] E assim por diante, até encontrarmos uma solução inteira. Após algumas tentativas, encontramos que \(x = 7\) e \(y = 25\) é uma solução. 2. Solução geral: A solução geral da equação diofantina é dada por: \[ x = x_0 + \frac{b}{\text{mdc}(a, b)}t \] \[ y = y_0 - \frac{a}{\text{mdc}(a, b)}t \] Onde \(x_0\) e \(y_0\) são a solução particular que encontramos, \(a = 18\), \(b = 7\) e \(t\) é um inteiro. O máximo divisor comum (mdc) de 18 e 7 é 1. Portanto, a solução geral é: \[ x = 7 + 7t \] \[ y = 25 - 18t \] Assim, a solução geral da equação diofantina \(18x + 7y = 302\) é: \[ x = 7 + 7t, \quad y = 25 - 18t, \quad t \in \mathbb{Z} \]