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LISTA 1 - PROBLEMAS RESOLVIDOS 
• Óptica de raios. Reflexão e Refração. 
OBS.: Quando não mencionado, considere o índice de refração do ar n = 1. 
 
1) Obtenha a lei de reflexão a partir do princípio de Fermat. 
Dica: Resolvido no Apêndice da aula A1 (ver arquivo pdf no site) 
 
2) Obtenha a lei de refração (lei de Snell) a partir do princípio de Fermat. 
Dica: Resolvido no Apêndice da aula A1 (ver arquivo pdf no site) 
 
3) Um feixe laser se propaga no ar (n1 = 1) e incide na superfície de uma lâmina de vidro 
(n2 = 1.5) de espessura d = 2 cm. O ângulo de incidência  = 35 graus. Calcule o caminho 
óptico do feixe no interior da lâmina. 
Re:  = 3.25 cm 
Solução 
• Desejamos calcular dn =  , com d  a distância percorrida pela luz no interior do 
vidro. 
• Chamando  o ângulo de refração  dd =cos  

−
=
sin
d
d Eq.(1); 
• Snell:  =  sinsin nn   sin)(sin  = nn Eq.(2). 
Eq.(2) → Eq.(1): 
−
=
sin)( nn
d
d = 2.16 cm 
 dn =  = 3.25 cm 
 
4) Um feixe de luz atravessa um bloco de vidro de 
espessura d = 12 cm. O índice de refração do vidro varia 
linearmente ao longo da direção de propagação (z) como 
ilustra a figura ao lado. Determine o intervalo de tempo que 
a luz leva para atravessar o bloco. 
Re: t = 5.810−10 s 
1.35 
1.55 
0 12 cm 
z 
n 
 2 
SOLUÇÃO 
• O caminho óptico = dzn = Área sob a curva   = 1.4512 = 17.4 cm 
 s 108.5
103
104.17 10
8
2
0
−
−
=


=

=
c
t 
 
5) Um raio de luz incide em uma interface ar→vidro. Se o índice de refração do vidro é 
1.7, encontre o ângulo incidente , tal que o ângulo refratado seja  /2. 
Re:  = 63.6 
Solução 
• Ar ( =n ) → Vidro ( = .n ). Snell:  =  sinsin nn 
 Ângulo de Incidência  = ; Ângulo de Refração =  
  )sin(sin =   nn 
 Usando a relação trigonométrica: )cos()sin(sinsin =






+

= 

 
  )sin()cos()sin( =   nn   = nn )cos( 
  )arccos(  = nn , com 
    = 63.6 
 
6) Um tanque metálico retangular está cheio com um 
líquido de índice de refração desconhecido. Um observador 
O, com os olhos no nível da superfície, consegue enxergar 
até a extremidade E do tanque. O raio de luz que refrata em 
direção ao observador está ilustrado na figura ao lado. Se D 
= 85.0 cm e L = 1.10 m, qual o índice de refração do 
líquido? 
Re: n = 1.26 
Solução 
• ?=n ; Dados: == nnAr , D = 0.85 m e L = 1.10 m 
• Snell:  == nnn C
sinsin  Cnn sin = 
• Da geometria da figura: 
 +
=
DL
L
Csin . Logo, 
C 
n1 = ? 
n2 = 1 
 3 





 





+=
+
==
L
D
n
L
DL
n
n
n
Csin
 
Substituindo =n , D = 0.85 m e L = 1.10 m  = .n 
 
7) Na figura abaixo, um raio incide em uma face de um prisma triangular. O ângulo de 
incidência  é ajustado de modo que o raio emergente também faz um ângulo  com 
relação à normal na outra face do prisma. Nessa condição, o ângulo de desvio  tem o 
menor valor possível, conhecido como ângulo de desvio mínimo. Se  é o ângulo de ápice 
do prisma, mostre que o índice de refração n do vidro do qual é feito o prisma é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
• Snell:  = sinsin nn  



= 
sin
sin
nn (Eq.1) 
• Relações geométricas 
Soma dos ângulos internos: 
 =−+ )(    =  =  (Eq.2) 
Ângulo alterno externo: 
)(  −=   −=−=  
  += )(  (Eq.3) 
• Substituindo as Eqs.(2) e (3) na Eq.(1), com n1 = 1: 
)(sin
])(sin[
sin
sin

+
=

= 




nn 


+
=


sin
sin
n
 
 −  
90−  
n n1 
 4 
8) Na figura ao lado, um poste vertical de 2.0 m de 
altura se estende do fundo de uma piscina até um ponto 
50.0 cm acima da superfície da água. A luz solar incide 
formando um ângulo  = 55.0. Qual o comprimento da 
sombra do poste no fundo da piscina? (Considere o 
índice de refração da água 4/3). 
Re: d = 1.06 m 
 
Solução 
•  += ddd = ?; Dados: =n , =n , h = 0.5 m, h = 1.5 m e  = 55 
• Ângulo de incidência:  −=
 = 35 
• Ângulo de refração:  
Snell:  =  sinsin nn  )sinarcsin(  = nn  
Substituindo =n , =n ,  = 35   = 25.5 
• Relações geométricas: 
 = hdtan   = tanhd 
 = hdtan   = tanhd 
• Sombra do poste:  +=  tantan hhd = 0.5tan35 + 1.5tan25.5 = 1.06 m 
 
 
9) a) Prove que um raio de luz incidente na face de uma 
lâmina de vidro de faces paralelas emerge da outra face 
numa direção paralela à do raio incidente. b) Se t é a 
espessura da lâmina e n é o índice de refração do vidro, 
mostre que para pequenos ângulos de incidência , o 
deslocamento lateral x do raio é dado por 
n
n
tx
−
=  . 
 
1 h1 
h2 
2 
d1 
d2 
n2 
n1 
 5 
Solução 
a) Devemos mostrar que  = . 
• Se as faces da lâmina são paralelas, o ângulo de refração ( ) na 1ª INTERFACE é 
igual ao ângulo de incidência na 2ª INTERFACE: 
(Snell) 1ª Interface:  = sinsin nn 
(Snell) 2ª Interface:  =  sinsin nn 
  = sinsin (0   ,  90)   = 
 
b) Pequenos ângulos 
• Relação geométrica: 
 −=− tx)sin(  )(  − tx ; (Eq.1) 
= ttcos (  )  tt  ; (Eq.2) 
• Snell:  = nn  )( nn=   




 −
=





−=− 
n
nn
n
n
 ; (Eq.3) 
• Substituindo as Eqs.(2) e (3) na Eq.(1), com n1 = 1  




 −

n
n
tx  . 
 
10) Um observador no ponto P olha em direção a 
um peixe dentro de um aquário. O observador está 
no nível do peixe e sua distância à face externa do 
aquário é d1 = 8.0 cm. A espessura do vidro do 
aquário é d2 = 3.0 cm e a distância do peixe à face 
interna é d3 = 6.8 cm. O índice de refração do vidro 
é 8/5 e o índice da água é 4/3. 
a) Para o peixe, qual a distância aparente entre ele e o observador? 
b) Para o observador, qual a distância aparente entre ele e o peixe? 
Re: a) D = 20.0 cm ; b) D = 15.0 cm 
 
 
 
 
 
 −  
t 
n1 n 
=  
 6 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Distância da imagem (IA) do ponto A (Observador) ao ponto B (Peixe): 
 ++= dddD = ? 
Dados: d1 = 8.0 cm, d2 = 3.0 cm, d3 = 6.8 cm, n1 = 1, n2 = 8/5 e n3 = 4/3. 
 
Aproximação paraxial 
• Snell (Interfaces 1 e 2):  ==  nnn 
  = nn  : Eq.(1) e  = nn  : Eq.(2) 
• Relações geométricas 
i) )()(  ++= ddll   +=+ )( lldd : Eq.(3) 
ii)  = dl   = dl . Usando a Eq.(1)  )(  = nndl  : Eq.(4) 
iii)  = dl   = dl . Usando a Eq.(2)  )(  = nndl  : Eq.(5) 
 
• Substituindo as Eqs.(4) e (5) na Eq.(3) e em seguida na expressão para D: 
a)  





 ++= d
n
n
d
n
n
dD . Substituindo os dados:  D = 19.97 cm (= 20.0 cm) 
 
b) Distância da imagem (IB) do ponto B (Peixe) ao ponto A (Observador): 
O problema é análogo, devendo-se apenas trocar os índices 1  3: 
b)  





 ++= d
n
n
d
n
n
dD . Substituindo os dados:  D = 14.98 cm (= 15.0 cm) 
 
A d2 
n1 
1 
l1 
l2 
IA B 
d1 d3 
d 
n2 n3 
2 3 
(1) (2) 
 7 
11) Refração de raios divergentes paraxiais. Um peixe (Q) nadando numa profundidade s 
= 1 m é observado verticalmente. Dados o índice de refração do ar, nar = 1, e da água, nwt 
= 1.333, determinar a profundidade aparente (s’) do peixe. 
Re: s’ = 0.75 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
• Reflexão Interna Total 
 
1) Considere a miragem comum de “água falsa”, associada à distribuição não homogênea 
do ar situado acima da superfície de uma rodovia aquecida pelo sol. Imagine a curvatura 
dos raios de luz como se fosse um problema de reflexão interna total. Se o índice de 
refração do ar na altura dos olhos de um observador é 1.00029, e ele vê “água falsa” na 
rodovia para ângulos de incidência   88.7, encontre o índice de refração do ar 
imediatamente acima da superfície. 
Re: n = 1.000033 
Solução 
Snell:surfacesurfaceceye nnn == )sin(sin  . Substituindo eyen = 1.00029 e =c 88.7  
surfacen = 1.000033 
 
2) Uma fonte pontual emite raios de luz em todas as direções. A fonte está localizada 20.0 
cm abaixo da superfície de uma piscina com água (n = 4/3). Encontre o diâmetro do 
circulo na superfície da piscina através do qual a luz emerge da água. 
Re: D = 45.4 cm 
Solução 
Diâmetro D = 2R = ? ; L = 20.0 cm, n1 = 4/3 e n2 = 1 
• Snell: = nnCsin  C = 48.6 
• Relação geométrica: 
L
R
C =tan  CLRD tan== 
• Substituindo os dados  D = 45.4 cm 
 
3) Um raio luz incide perpendicularmente à face ab do 
prisma de vidro (n = 1.52) ao lado. Encontre o maior 
valor possível para o ângulo , tal que o raio sofra 
reflexão interna total na face ac para: a) o prima 
imerso em ar; b) o prisma imerso em água (n = 4/3). 
Re: a)  (Max) = 48.9 ; b)  (Max) = 28.7 
L 
R 
C 
C 
n2 
 
n1 
 
 9 
Solução 
• ?=MAX ; Dados: n = 1.52 e n1 
Definindo o ângulo complementar  −=  
• Para haver reflexão total  C  
 C sinsin  (
 C , ) 
• Snell: =  sinsin nn C  nnC =sin 
Logo: nn=  cossin  )arccos( nn ou )arccos( nnMAX = 
• a) Substituindo n = 1.52 e n1 = 1 (ar)  =MAX 48.9 
• b) Substituindo n = 1.52 e n1 = 4/3 (água)  =MAX 28.7 
 
4) Na figura ao lado, um raio de luz entra em um bloco 
retangular de vidro no ponto A com ângulo de incidência 
1 = 45.0. O feixe refratado no ponto A sofre reflexão 
interna total no ponto B. Qual o mínimo valor do índice 
de refração do vidro? 
Re: n(min) = 1.22 
Solução 
• ?(min) =n ; Dados: n1 = 1 e 1 = 45.0 
• Snell (ponto A):  sinsin nn = 
 nn =  sinsin ; Eq.(1) 
Definindo o ângulo complementar  −=  
• Para haver reflexão total  C  
 C sinsin  (
 C , ) 
Snell (ponto B): 
=  sinsin nn C  nnC =sin 
Logo: nn=  cossin   nn cos  
 − nn sin ; Eq.(2) 
• Substituindo Eq.(1) em Eq.(2)  

 + sinnn 
• Substituindo os dados  

 += sin(min) nn = 1.22 
 

 
n n1 
 

 
n 
n1 
 
 10 
 
5) Na figura ao lado, um feixe de luz incide no ponto 
P de um prisma triangular de ângulo reto. O ângulo de 
incidência é . Parte da luz incidente é refratada em P 
e atinge o ponto Q, sendo então refratada com ângulo 
rasante à superfície do prisma. 
a) Encontre uma expressão para o índice de refração do prisma em função de . b) Qual é, 
numericamente, o máximo valor que o índice de refração pode assumir? 
OBS.: Por simplicidade, não estão ilustrados os feixes refletidos em P e Q. Considere o 
índice de refração do ar nar = 1. 
Re: a) += sinn , b) =n 
 
SOLUÇÃO 
a) Seja n o índice de refração do prisma. 
Snell ponto P 
=  sinsin n  
n


sin
sin = (Eq.(1)) 
Snell ponto Q: 
== sinsinn  
n

=sin 
Mas =+    
n

==   cossin (Eq.(2)) 
Das Eq.(1) e Eq.(2): =+ 


  cossin  =

+


nn
sin
  += sinn 
 
b) Máximo para =   =n 
 
 
 
 
  
 
 11 
• Ondas Eletromagnéticas. 
OBS.: Quando não mencionado, considere o índice de refração do ar n = 1. A velocidade 
da luz no espaço livre c0 = 3108 m/s e a permissividade 0 = 8.8510−12 F/m. 
 
1) Um laser de diodo emite luz de comprimento de onda 635 nm no espaço livre (vácuo). 
Ache o valor numérico do número de onda na água (n = 1.33). 
Re: k = 13.2 m−1 
Solução 
• 
k
c

=  
c
k

= e 

 =
c
k

  
c
c
k
k 

=  








====


nnk
nc
c
k
c
c
kk 
Substituindo = 635 nm e n = 1.33  k = 0.0132 nm
−1 = 13.2 m−1 
 
2) Duas ondas têm comprimentos de onda e frequências ligeiramente diferentes, 
respectivamente  e  + ,  e  + . Mostre que as razões  e  são 
aproximadamente iguais. Considere que as ondas propagam-se em um meio não 
dispersivo. 
Solução 
• =c . Tomando as diferenciais:  dd +=  



 dd
−= 
3) Mostre que: 
  )]cos(ˆ)cos(ˆ[)(exp)]exp(ˆˆ[  +−+−=−+=  tkzbytkzxEtkziibyxEeE . 
Considere 0E e b reais. 
Solução: 
   
)cos(ˆ)cos(ˆ
)(expˆ)(expˆ


+−+−=
+−+−=


tkzbEytkzEx
tkzibEyetkziExeE
 
 
4) Uma onda harmônica plana tem o vetor campo elétrico descrito por 
)cos(ˆ ++=  tzxE V/m. Considere as dimensões no SI. 
Determine: a) O número de onda; b) A fase inicial; c) A direção do vetor campo 
magnético H; d) A direção e o sentido do vetor de Poynting S;e ) O índice de refração do 
meio. 
Re: a) k = 2107 m−1; b)  === ),( tz ; c) x; d) y; e) −z; f) n = 1.5 
 12 
Solução 
a) k = 2107 m−1 
b)  === ),( tz 
c) Direção y (H = )ˆ( yH − ) 
d) Direção z, Sentido − (= direção e sentido do vetor de propagação k) 
e ) m/s 
m 
s 
1-


−
=


==
k
c

 
 =


==


 .
m/s 
m/s 
c
c
n 
 
5) Uma onda harmônica plana se propaga em um pedaço de vidro. O campo elétrico está 
orientado na direção z e seu módulo é dado por ]).[(cos tcxEEz −= 

  . 
Considere as dimensões no SI. Determine:(a) A frequência angular da luz; (b) O 
comprimento de onda; (c) O índice de refração do vidro. 
Re: a)  = 1015 rad/s; b)  = 390 nm; c) n = 1.54 
Solução 
• Escrevendo 











−=−=  tx
k
tkxEEz

 cos)cos( identificamos: 
(a) A frequência angular  = 1015 rad/s 
(b) A razão 


=
c
k
.
. O comprimento de onda 


 

=

=
c
k
.
. Substituindo 

 =c m/s e  = 10
15 rad/s   = 390 nm 
(c) 
kn
c
c

==   

k
cn = . Substituindo 


=
c
k
.
  =


= .
.
n 
 
6) Considere uma onda com uma velocidade de fase 3108 m/s e uma frequência de 
61014 Hz. 
a) Qual é a menor distância ao longo da onda entre dois pontos defasados de 30 graus? 
b) Qual a diferença de fase (em graus) num dado ponto em 10−6 s? 
c) Quantas ondas passaram nesse tempo? 
Re: a) d = 41.7 nm ; b)  = 2.161011 graus ; c) N = 6.0108 ondas 
 13 
Solução 
a) Comprimento de onda ==   c 500 nm 
 nm .=

=




 
d
d 

 
b) tt ==  = 3.77109 radianos = 2.161011 graus 
c) ==


= tN 


 6.0108 ondas 
 
7) Uma onda harmônica plana, linearmente polarizada, se propaga em um pedaço de 
vidro. O vetor campo elétrico dessa onda é dado por: 













+


=
−−
t
xy

cosˆE V/m. Considere as unidades no SI e x̂ , ŷ e ẑ os 
versores nas direções das coordenadas x, y e z, respectivamente. Determine: 
a) A direção de polarização; 
b) A direção do vetor campo magnético H; 
c) A direção e o sentido do vetor de Poynting S; 
d) O número de onda no vácuo. 
Re: a) y ; b) z ; c) − x ; d) k0 = 8.38 m−1 
Solução 
a) ŷ ( = direção de oscilação do campo elétrico) 
b) ẑ 
c) x̂− ( = direção e sentido do vetor de propagação k) 
d) A frequência angular − ==  )( rad/s. Logo, o número de onda 
no vácuo:  == .ck  m
−1 (= 8.38 m−1), com  =c m/s. 
OBS.: )ˆ( xk −=k , yE ˆ=E e )ˆ( zH −=H , pois )ˆ(ˆ)ˆ(ˆ HES ==−=− kSxzy 
 
 
 14 
• Fótons. 
 
1) Mostre que a energia de um fóton, em elétron-volts (eV), é relacionada ao 
comprimento de onda , em nanômetros (nm), através da expressão =phE . 
SOLUÇÃO 
Equação de Planck-Einstein: 


c
hhE ph == . 
Substituindo h = 4.1410−15 eVs, c = 31017 nm/s (= 3108 m/s)  hc = 1242 eVnm 
 Com boa aproximação, podemos escrever =phE 
 
2) Um transmissor de ondas de radio AM operando em 700 kHz tem potência de 1 kW. 
Calcule o número de fótons emitidos por segundo pela antena. 
Re: 2.16  1030 fótons/s 
SOLUÇÃO 
Cálculo da energia do fóton: 
 == hEph (6.626  10
−34 Js)(700  103 s−1) 
 =phE 4.638  10
−28 J/photon ou 2.895  10−9 eV/photon 
O número de fótons emitidos pela antena por segundo, 
 =

==
− J.
sJ
phE
P
N 2.16  1030 fótons por segundo 
 
3) Um radio FM pode detectar sinais de até 10−12 W. Se a estação emite na frequência de 
100 MHz, qual o número mínimo de fótons por segundo necessários para detecção do 
sinal? 
Re: 1.511013 fótons/s 
SOLUÇÃO 
Seja  o número de fótons/s. A potência hP = 
 fótons/s .
)s 10s)(100J .(
J/s 
6

−−
−
=


==
h
P
 
 
 15 
4) Um laser He-Ne emite um feixe de luz vermelha ( = 633 nm) com diâmetro 
aproximado de 3.5 mm. Se a potência óptica do feixe é de 5.0 mW, qual a taxa de fótons 
emitidos por unidade de área? 
Re: 1.651024 fótons/m2s 
SOLUÇÃO 
Energia fóton:


hc
hE ph == = (6.62610
−34 Js)(3108 m/s)/(63310−9 m) = 3.1410−19 J 
O número de fótons emitidos por segundo, 
=


==
− J.
sJ
phE
P
N 1.591019 fótons por segundo 
Dividindo pela área = )(dA  = (  )(3.510−3 m)2 = 9.6210−6 m2 
N A = 1.651024 fótons/m2s 
 
5) Um laser He-Ne radia luz com comprimento 
de onda 632.8 nm e potência 5.0 mW. O feixe 
diverge com um ângulo  = 0.17 mrad, como 
ilustra a figura abaixo. Qual o fluxo de fótons 
(número de fótons por unidade de tempo por unidade de área) a uma distância d = 10 m 
do laser? 
Re: 7.011021 fótons/m2s 
SOLUÇÃO 
• Dados: i) Potência da luz emitida pelo laser P = 5.0 mW; ii) Ângulo de abertura do 
cone  = 0.17 mrad 
a) Irradiância 
A
P
I = 
 
 
d
r
=




tan  

=

dr  Área 

==

 
d
rA 
 Substituindo  = 0.1710−3 radianos e d = 10 m  A = 2.2710−6 m2. 
 Irradiância == API = 2203 W/m2 
 Fluxo de fótons == phph EI 2203/3.1410
−19 = 7.011021 fótons/m2s
r 
A =  r2  /2 
d 
 16 
Potência e Irradiância. 
 
1) Em condições ideais, o olho humano é capaz de perceber luz de comprimento de onda 
550 nm se a energia captada pelo olho se dá a uma taxa tão pequena quanto 100 fótons 
por segundo. Qual a potência óptica correspondente? 
Re: 3.610−17 W 
SOLUÇÃO 
Energia do fóton, 


hc
hE ph == = (6.62610
−34 Js)(3108 m/s)/(55010−9 m) = 3.6110−19 J 
O número de fótons emitidos por segundo N = 100 fótons/s. Logo a potência, 
== phNEP (100 fótons/s)(3.6110
−19 J) = 3.6110−17 W (= J/s) 
 
2) Mostre que o valor médio temporal do vetor de Poynting é dado pela expressão 
 = 00 HES e)( , onde  )(exp tkzie −= 0EE e  )(exp tkzie −= 0HH . 
 
 17 
3) Um laser emite um feixe de luz com potência óptica de 5 mW. Se o feixe é focalizado 
em uma área circular de 10 m de diâmetro, encontre a irradiância e a amplitude do 
campo elétrico da luz no plano focal. Considere a iluminação uniforme, a velocidade c = 
3108 m/s e a permissividade  = 8.8510
−12 F/m. Expresse os resultados em unidades 
SI. Re: E0 = 2.2105 V/m 
Solução 
Dados: P = 5 mW, d = 10 m, c = 310
8 m/s e  = 8.8510
−12 F/m. 
• A irradiância 


=

==
d
P
d
P
A
P
I
 )(
 : Eq.(1) 
• Escrevendo I em função do campo elétrico: == HEI )(S , com  = EcH  . 
Logo = EcI )( : Eq.(2) 
Eq.(1) = Eq.(2)  



=
 c
P
d
E  V/m .

 =E (= 219 kV/m) 
 
4) Uma aeronave voando a uma distância de 10 km de um transmissor de ondas de radio 
recebe um sinal de irradiância 10 W/m2. Qual é a amplitude a) do campo elétrico da 
onda e b) do campo magnético da onda? c) Se o transmissor radia uniformemente sobre 
um hemisfério, qual a potência da onda transmitida? 
Re: a) E0 = 87 mV/m; b) 230 A/m; c) 6.28 kW 
Solução 
Dados: d = 10 km, I = 10 W/m2, c = 310
8 m/s e  = 8.8510
−12 F/m. 
a) Irradiância da onda que chega na aeronave 


= HEI : Eq.(1) 
 A amplitude do campo magnético  = EcH  : Eq.(2) 
 Eq.(2) → Eq.(1)  




= EcI   



=
c
I
E

 
 Substituindo os dados  
−
 = .E V/m = 86.8 mV/m 
b)  = EcH  = 2.310
−4 A/m = 230 A/m 
c) ÁREA DO HEMISFÉRIO: 

=


= d
d
A 

 
 Potência IAP = = 10 W/m2  2(10103)2 m2 = 6.28109 W = 6.28 kW 
 18 
5) Um sistema de vigilância de radar, operando com frequência de 12 GHz e 180 kW de 
potência, detecta uma aeronave militar distante 90 km. Assuma que as ondas são emitidas 
pelo radar uniformemente sobre um hemisfério. a) Qual a irradiância da onda que atinge a 
aeronave? A aeronave reflete as ondas emitidas pelo radar com uma seção de choque 
efetiva de área 0.22 m2. b) Assumindo que a onda é refletida pela aeronave de maneira 
uniforme sobre um hemisfério, calcule a irradiância da onda detectada pelo sistema de 
radar. 
Re: a) 3.5 W/m2; b) 1.510−17 W/m2 
Solução 
• Dados: i) Potência da onda emitida pelo radar P = 180 kW; ii) Distância da aeronave 
até radar d = 90 km ( Área do hemisfério =  d ); iii) Área da seção de choque 
efetiva da aeronave =SA 0.22 m
2. 
a) A irradiância da onda que chega até a aeronave: 



=
d
P
I A

 = 3.5410−6 W/m2 
 b) A potência da onda refletida pela aeronave: 



==
d
AP
AIP SSAA

. A irradiância da 
onda que retorna ao radar 


 
=

=
)( d
AP
d
P
I SAR

 = 1.5310−17 W/m2 
 
6) Um laser He-Ne radia luz com comprimento de onda 632.8 nm e potência 3.0 mW. O 
feixe diverge com um ângulo  = 0.17 mrad, como ilustrado na figura abaixo. a) Qual a 
irradiância do feixe a uma distância d = 40 m do laser? Considere que o laser é substituído 
por uma fonte de luz pontual, que emite luz de maneira uniforme em todas as direções. b) 
Qual potência deveria ter essa fonte para prover a mesma irradiância a 40 m? 
 
 
 
 
Re: a) 82.6 W/m2; b) 1.7 MW 
 
 
 19 
Solução 
Dados: i) Potência da luz emitida pelo laser P = 3.0 mW; ii) Ângulo de abertura do cone 
 = 0.17 mrad 
a) Irradiância 
A
P
I = 
 
 
 
 
d
r
=




tan  

=

dr  Área 

==

 
d
rA 
 Substituindo  = 0.1710−3 radianos e d = 40 m  A = 3.6310−5 m2. 
 Irradiância 
A
P
I = = 8.26104 mW/m2 = 82.6 W/m2 
 
b) Para uma fonte pontual emitindo luz em todas as direções  = dA  
 A potência IAP = = 82.6 W/m2  4(40 m)2 = 1.66106 W = 1.66 MW 
 
• Pressão de radiação. 
 
1) Qual a pressão de radiação exercida em uma superfície que absorve luz de intensidade 
180 W/cm2 ? 
Re: 610−3 Pa 
SOLUÇÃO 
hI =  


hI =  Pc
h
I == 

  
c
I
P = = 3106 − Pa 
 
2) A intensidade média do sol ao meio-dia é de aproximadamente 1 kW/m2. Qual a força 
exercida pela radiação em um painel solar medindo 60 cm por 2.5 m? Considere que o 
painel absorve toda a luz e está orientado em ângulo reto com a radiação incidente. 
Re: 510−6 N 
SOLUÇÃO 
 
F = PA e 
c
I
P =  683 105)103(10)5.26.0( −===
c
AI
F N 
r 
A =  r2 
 /2 
d 
 20 
 
3) Um astronauta com 65 kg de massa está flutuando no espaço livre. Se ele liga uma 
lanterna que emite luz de 1 W de potência em uma certa direção, quanto tempo levaria 
para o astronauta atingir uma velocidade de 10 m/s? 
Re:  6103 anos 
SOLUÇÃO 
maF = e Fmvavtatv === 
Utilizando a expressão que relaciona pressão de radiação e irradiância 
c
I
PR = e 
multiplicando ambos os lados pela área A  
c
IA
APR =  
c
P
F O= , com 1=OP W. 
3118 1061095.1)1()103)(10)(65( == sWsmsmkgt anos 
 
4) Quantos fótons vermelhos com  = 633 nm atingem uma superfície totalmente refletora no 
intervalo de tempo de 1 s, se a força exercida na superfície é de 1 N. (1.5 pt). 
SOLUÇÃO 
=

==

 hh
c
I
Prad
222
, com [] = Fótons/m2s 
Multiplicando pela área 

)(2 Ah
APF radrad

== 
A quantidade A representa o número de fótons/segundo que atinge a superfície. Assim: 
26
34
9
1078.4
)10626.6(2
)1)(1(10633
2
=


=

=
=
−
h
tF
N rad

 fótons (por segundo). 
 
 
 
5) Um feixe laser está direcionado verticalmente para cima. Qual a potência óptica 
necessária para suportar uma lâmina de alumínio com 30 g de massa e diâmetro igual ao 
do feixe? Assuma a refletância da placa R = 100% e a aceleraçãodevido à gravidade g = 
9.8 m/s2. 
Re:  4.3104 W 
 
 
 21 
SOLUÇÃO 1 
radiaçãogravidade FmgF == (no equilíbrio) 
Utilizando a expressão que relaciona pressão de radiação e irradiância 
c
I
PR
2
= e 
multiplicando ambos os lados pela área A  
c
IA
APR
2
=  
c
P
F O
2
= , com 
2
cF
PO = a 
potência óptica. 
Logo ( )cmgcFP RO
2
1
2
1
== = WsmN 78 1041.4)103)(294.0)(21( = 
 
SOLUÇÃO 2 
radiaçãogravidade FmgF == (no equilíbrio) 
hE ph = : Energia de um fóton 

h
p = : momento de um fóton 
tempo
momento de variação
=


=
t
p
Fradiação 

h
dp 2= : variação de momento devido à reflexão de um único fóton (o fator 2 deve-se à 
reflexão) 

h
Np 2= : variação de momento devido à reflexão de N fótons 
Dividindo por t e em seguida substituindo  c= : 
ct
Nhh
t
N
t
p
Fradiação
1
22

=

=


=


 
Onde identificamos Potência
t
Nh
=


 = Energia dos N fótons por unidade de tempo 
Logo ( )cmgcFPot radiação
2
1
2
1
. == = WsmN
78 1041.4)103)(294.0)(21( =