Limites no infinito

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EXERCÍCIOS SOBRE LIMITES NO INFINITO 
01. Explique com palavras o que significa cada um dos itens abaixo: 
a) lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 7 b) lim
𝑥→−∞
𝑔(𝑥) = 2 
02. Use as propriedades dos limites para calcular cada limite abaixo: 
a) lim
𝑥→∞
2𝑥2 − 3𝑥 + 5
5𝑥2 + 4𝑥 − 7
 b) lim
𝑥→−∞
(5𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
(3𝑥 + 4)(2𝑥 − 1)
 c) lim
𝑥→∞
3𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑥4 + 1
 
d) lim
𝑥→∞
6𝑥 − 5
√𝑥2 + 1
 e) lim
𝑥→−∞
6𝑥 − 5
√𝑥2 + 1
 
f) lim
𝑥→∞
√
8 + 𝑥2
𝑥(𝑥 + 1)
3
 
03. Ache as assíntotas horizontais do gráfico de 𝑓 em cada caso: 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥2 + 5
 a) 𝑓(𝑥) =
√𝑥2 + 1
2𝑥 + 5
 
04. Calcule o valor de lim
𝑥→−∞
(√𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥). 
05. Use a definição para provar que lim
𝑥→∞
1
√𝑥
= 0. 
06. Use a definição para demonstrar que lim
𝑥→−∞
1
𝑥
= 0. 
07. Demosntre que se lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→−∞
𝑔(𝑥) existem, então lim
𝑥→∞
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥) 
08. Esboce o gráfico de uma função 𝑓 que satisfaz as seguintes condições: 
a) lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 0 b) lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 2 c) lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = −∞ d) c) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = ∞ 
09. Se𝑓, 𝑔: (𝑎, +∞) → ℝ são funções tais que 𝑓 é limitada e lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥) = 0, prove que lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 0. 
Em seguida, use este fato para calcular os dois limites abaixo 
a) lim
𝑥→∞
sen 𝑥
𝑥
 b) lim
𝑥→∞
sen 𝑥
𝑥+cos 𝑥
 
 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
01. a) lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 7 significa que quando 𝑥 cresce sem limite 𝑓(𝑥) se aproxima de 7 o quanto quisermos. 
b) lim
𝑥→−∞
𝑔(𝑥) = 2 significa que quando 𝑥 decresce sem limite 𝑔(𝑥) se aproxima de 2 o quanto quisermos. 
𝟎𝟐. a) lim
𝑥→∞
2𝑥2 − 3𝑥 + 5
5𝑥2 + 4𝑥 − 7
 = lim
𝑥→∞
2𝑥2 − 3𝑥 + 5
𝑥2
5𝑥2 + 4𝑥 − 7
𝑥2
 = lim
𝑥→∞
2 −
3
𝑥 +
5
𝑥2
5 +
4
𝑥 −
7
𝑥2
 = 
lim
𝑥→∞
(2 −
3
𝑥 +
5
𝑥2
)
lim
𝑥→∞
(5 +
4
𝑥 −
7
𝑥2
)
= 
 =
lim
𝑥→∞
2 − lim
𝑥→∞
3
𝑥 + lim𝑥→∞
5
𝑥2
lim
𝑥→∞
5 + lim
𝑥→∞
4
𝑥 − lim𝑥→∞
7
𝑥2
=
2 − 0 + 0
5 + 0 − 0
=
2
5
 
b) lim
𝑥→−∞
(5𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
(3𝑥 + 4)(2𝑥 − 1)
= lim
𝑥→−∞
5𝑥2 + 6𝑥 + 1
6𝑥2 + 5𝑥 − 4
= lim
𝑥→−∞
5𝑥2 + 6𝑥 + 1
𝑥2
6𝑥2 + 5𝑥 − 4
𝑥2
= lim
𝑥→−∞
5 +
6
𝑥 +
1
𝑥2
6 +
5
𝑥 −
4
𝑥2
= 
 =
lim
𝑥→−∞
(5 +
6
𝑥 +
1
𝑥2
)
lim
𝑥→−∞
(6 +
5
𝑥 −
4
𝑥2
)
=
lim
𝑥→−∞
5 + lim
𝑥→−∞
6
𝑥 + lim𝑥→−∞
1
𝑥2
lim
𝑥→−∞
6 + lim
𝑥→−∞
5
𝑥 − lim𝑥→−∞
4
𝑥2
=
5 + 0 + 0
6 + 0 − 0
=
5
6
 
c) lim
𝑥→∞
3𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑥4 + 1
= lim
𝑥→∞
3𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑥4
𝑥4 + 1
𝑥4
= lim
𝑥→∞
3
𝑥2
−
1
𝑥3
+
1
𝑥4
1 +
1
𝑥4
=
lim
𝑥→∞
(
3
𝑥2
−
1
𝑥3
+
1
𝑥4
)
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥4
)
= 
 =
lim
𝑥→∞
3
𝑥2
− lim
𝑥→∞
1
𝑥3
+ lim
𝑥→∞
1
𝑥4
lim
𝑥→∞
1 + lim
𝑥→∞
1
𝑥4
=
0 − 0 + 0
1 + 0
=
0
1
= 0 
d) lim
𝑥→∞
6𝑥 − 5
√𝑥2 + 1
= lim
𝑥→∞
6𝑥 − 5
√𝑥2 (1 +
1
𝑥2
)
= lim
𝑥→∞
6𝑥 − 5
√𝑥2 ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
= lim
𝑥→∞
6𝑥 − 5
|𝑥| ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
= 
= lim
𝑥→∞
6𝑥 − 5
𝑥 ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
= lim
𝑥→∞
𝑥 (6 −
5
𝑥
)
𝑥 ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
= lim
𝑥→∞
6 −
5
𝑥
√(1 +
1
𝑥2
)
=
lim
𝑥→∞
(6 −
5
𝑥
)
lim
𝑥→∞
√(1 +
1
𝑥2
)
= 
=
lim
𝑥→∞
6 − lim
𝑥→∞
5
𝑥
√ lim
𝑥→∞
1 + lim
𝑥→∞
1
𝑥2
=
6 − 0
√1 + 0
=
6
1
= 6 
e) lim
𝑥→−∞
6𝑥 − 5
√𝑥2 + 1
= lim
𝑥→−∞
6𝑥 − 5
√𝑥2 (1 +
1
𝑥2
)
= lim
𝑥→−∞
6𝑥 − 5
√𝑥2 ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
= lim
𝑥→−∞
6𝑥 − 5
|𝑥| ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
= 
 = lim
𝑥→−∞
6𝑥 − 5
−𝑥 ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
= lim
𝑥→−∞
𝑥 (6 −
5
𝑥
)
−𝑥 ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
= lim
𝑥→−∞
6 −
5
𝑥
−√(1 +
1
𝑥2
)
= 
=
lim
𝑥→−∞
(6 −
5
𝑥
)
− lim
𝑥→−∞
√(1 +
1
𝑥2
)
==
lim
𝑥→−∞
6 − lim
𝑥→−∞
5
𝑥
−√ lim
𝑥→−∞
1 + lim
𝑥→−∞
1
𝑥2
=
6 − 0
−√1 + 0
=
6
−1
= −6 
f) lim
𝑥→∞
√
8 + 𝑥2
𝑥(𝑥 + 1)
3
= √ lim
𝑥→∞
8 + 𝑥2
𝑥2 + 𝑥
3
= √ lim
𝑥→∞
8 + 𝑥2
𝑥2
𝑥2 + 𝑥
𝑥2
3
= √ lim
𝑥→∞
8
𝑥2
+ 1
1 +
1
𝑥
3
= √
lim
𝑥→∞
(
8
𝑥2
+ 1)
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥)
3
 
= √
lim
𝑥→∞
8
𝑥2
+ lim
𝑥→∞
1
lim
𝑥→∞
1 + lim
𝑥→∞
1
𝑥
= √
0 + 1
1 + 0
3
= √1
3
= 1
3
 
 
03. a) Observe que 
𝑥 + 1
𝑥2 + 5
=
𝑥 + 1
𝑥2
𝑥2 + 5
𝑥2
=
1
𝑥 +
1
𝑥2
1 +
5
𝑥2
 
Assim, lim
𝑥→−∞
𝑥+1
𝑥2+5
= lim
𝑥→∞
𝑥+1
𝑥2+5
=
0+0
1+0
= 0. Logo a única assíntota horizontal de 𝑓 é 𝑦 = 0. 
b) Observe que 
√𝑥2 + 1
2𝑥 + 5
=
√𝑥2 (1 +
1
𝑥2
)
𝑥 (2 +
5
𝑥
)
=
√𝑥2 ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
𝑥 (2 +
5
𝑥
)
=
|𝑥| ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
𝑥 (2 +
5
𝑥
)
 
Assim, 
lim
𝑥→−∞
√𝑥2 + 1
2𝑥 + 5
= lim
𝑥→−∞
−𝑥 ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
𝑥 (2 +
5
𝑥)
= lim
𝑥→−∞
−√(1 +
1
𝑥2
)
2 +
5
𝑥
=
−√1 + 0
2 + 0
= −
1
2
 e 
lim
𝑥→∞
√𝑥2 + 1
2𝑥 + 5
= lim
𝑥→∞
𝑥 ∙ √(1 +
1
𝑥2
)
𝑥 (2 +
5
𝑥)
= lim
𝑥→∞
√(1 +
1
𝑥2
)
2 +
5
𝑥
=
√1 + 0
2 + 0
=
1
2
 
Logo, as assíntotas horizontais de 𝑓 são 𝑦 = −
1
2
 e 𝑦 =
1
2
. 
𝟎𝟒. lim
𝑥→−∞
(√𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥) = lim
𝑥→−∞
[(√𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥) ∙
√𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥
√𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥
] 
= lim
𝑥→−∞
(√𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥)(√𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥)
√𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥
 
= lim
𝑥→−∞
𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥2
√𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑥 + 1
√𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥
 
= lim
𝑥→−∞
𝑥 + 1
√𝑥2 (1 +
1
𝑥
+
1
𝑥2
) − 𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑥 + 1
√𝑥2 ∙ √1 +
1
𝑥
+
1
𝑥2
− 𝑥
 
= lim
𝑥→−∞
𝑥 + 1
|𝑥| ∙ √1 +
1
𝑥 +
1
𝑥2
− 𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑥 + 1
−𝑥 ∙ √1 +
1
𝑥 +
1
𝑥2
− 𝑥
 
= lim
𝑥→−∞
𝑥 + 1
𝑥
−𝑥 ∙ √1 +
1
𝑥
+
1
𝑥2
− 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→−∞
1 +
1
𝑥
−√1 +
1
𝑥 +
1
𝑥2
− 1
 
=
lim
𝑥→−∞
1 + lim
𝑥→−∞
1
𝑥
−√ lim
𝑥→−∞
1 + lim
𝑥→−∞
1
𝑥 + lim𝑥→−∞
1
𝑥2
− lim
𝑥→−∞
1
=
1 + 0
−√1 + 0 + 0 − 1
= −
1
2
 
05. Devemos mostrar que dado 𝜖 > 0, ∃𝑀 > 0 tal que 𝑥 > 𝑀 ⇒ |
1
√𝑥
− 0| < 𝜖. Para isso, considere 𝜖 > 0 
um número real dado e observe que: 
|
1
√𝑥
− 0| < 𝜖 ⇔ |
1
√𝑥
| < 𝜖 ⇔
1
√𝑥
< 𝜖 ⇔ √𝑥 >
1
𝜖
 ⇔ 𝑥 > (
1
𝜖
)
2
 
Assim, tomando 𝑀 = (
1
𝜖
)
2
 temos que 𝑥 > 𝑀 ⇒ |
1
√𝑥
− 0| < 𝜖. Isso mostra que lim
𝑥→∞
1
√𝑥
= 0. 
06. Devemos mostrar que dado 𝜖 > 0, ∃𝑁 < 0 tal que 𝑥 < 𝑁 ⇒ |
1
𝑥
− 0| < 𝜖. Para isso, considere 𝜖 > 0 
um número real dado e observe que: 
|
1
𝑥
− 0| < 𝜖 ⇔ |
1
𝑥
| < 𝜖
∗
⇔ −
1
𝑥
< 𝜖 ⇔ −𝑥 >
1
𝜖
 ⇔ 𝑥 < −
1
𝜖
 
Assim, tomando 𝑁 = −
1
𝜖
 temos que 𝑥 < 𝑁 ⇒ |
1
𝑥
− 0| < 𝜖. Isso mostra que lim
𝑥→−∞
1
𝑥
= 0. 
(*) como 𝑥 está tendendo a −∞ podemos considerar 𝑥 < 0 e protanto |
1
𝑥
| = −
1
𝑥
 
07. Considere lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥) = 𝐾. Assim devemos mostrar que dado 𝜖 > 0, ∃ 𝑀 > 0 tal que 
𝑥 > 𝑀 ⇒ |(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) − (𝐿 + 𝐾)| < 𝜖. Para isso considere 𝜖 > 0 um número real dado. Como 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥) = 𝐾, então existem 𝑀1 e 𝑀2 positivos tais que: 
𝑥 > 𝑀1 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| <
𝜖
2
 
𝑥 > 𝑀2 ⇒ |𝑔(𝑥) − 𝐾| <
𝜖
2
 
Tomando 𝑀 = 𝑚á𝑥{𝑀1, 𝑀2} e usando a desigualdade triangular temos: 
𝑥 > 𝑀 ⇒ |(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) − (𝐿 + 𝐾)| = |(𝑓(𝑥) − 𝐿) + (𝑔(𝑥) − 𝐾)| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝐿| + |𝑔(𝑥) − 𝐾| 
 <
𝜖
2
+
𝜖
2
= 𝜖 
Isso mostra que lim
𝑥→∞
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥). 
08. 
 
09. Devemos mostrar que dado 𝜖 > 0, existe 𝑀 > 0 tal que 𝑥 > 𝑀 ⇒ |𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 0| < 𝜖. 
Caminhemos neste sentido. Sendo 𝑓 limitada, existe 𝐾 > 0 tal que |𝑓(𝑥)| ≤ 𝐾, ∀𝑥 ∈ (𝑎, +∞). Agora 
considere 𝜖 > 0 um número real dado. Como lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥) = 0, existe 𝑀1 tal que 𝑥 > 𝑀1 ⇒ |𝑔(𝑥)| <
𝜖
𝐾
. 
Assim tomando 𝑀 = 𝑀1 temos 
𝑥 > 𝑀 ⇒ |𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 0| = |𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)| = |𝑓(𝑥)| ∙ |𝑔(𝑥)| < 𝐾 ∙
𝜖
𝐾
= 𝜖 
Isso mostra que lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 0. 
a) Considere 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 e 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
. Analisando essas funções vemos que 𝑓 é limitada e lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥) = 0. 
Assim, pelo teorema em questão lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→∞
sen 𝑥
𝑥
= 0. 
b) analogamente ao item a) temos que lim
𝑥→∞
cos 𝑥
𝑥
= 0. Assim, 
lim
𝑥→∞
sen 𝑥
𝑥 + cos 𝑥
= lim
𝑥→∞
sen 𝑥
𝑥
𝑥 + cos 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→∞
sen 𝑥
𝑥
1 +
cos 𝑥
𝑥
=
lim
𝑥→∞
sin 𝑥
𝑥
lim
𝑥→∞
1 + lim
𝑥→∞
cos 𝑥
𝑥
=
0
1 + 0
= 0 
. 
 
 
 
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