Lista de exercícios - Cálculo 1 - LIMITES

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Instituto de Matemática - UFRJ
Cálculo I
Ilir Snopche
Limites de funções UFRJ
Exerćıcio 1: Calcule o limite, se existir.
(a) lim
x→−3
x2 − 9
x2 + x− 12
(b) lim
x→5
x− 5√
x2 + 5
(c) lim
x→3
x2 − 9
x2 + x− 12
(d) lim
x→1
x2 − 7x + 6
x2 − 4x + 3
(e) lim
x→−1
x2 + 3x + 2
x3 + 2x2 + x
(f) lim
x→−2
3x3 + 24
x3 + x2 − 2x
(g) lim
x→1
x3 − 1
x7 − 1
(h) lim
x→0
√
1 + x− 1
x
(i) lim
x→4
√
2x + 1− 3
√
x− 2−
√
2
(j) lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
(k) lim
x→2
√
2x2 + 1
3x− 2
(l) lim
x→−2
( x2 + 6
x2 + x− 7
)3
(m) lim
h→0
(x + h)3 − x3
h
(n) lim
h→0
1
(x+h)2
− 1
x2
h
Exerćıcio 2: Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça
todas as condições dadas.
(a) lim
x→1−
f(x) = 2, lim
x→1+
f(x) = −2, f(1) = 2.
(b) lim
x→3+
f(x) = 4, lim
x→3−
f(x) = 2, lim
x→−2
f(x) = 2, f(3) = 2,
f(−2) = 1, f(0) não está definido.
Exerćıcio 3: Seja
f(x) =
{
x2 + 1, se x < 1
(x− 2)2, se x ≥ 1
(a) Encontre lim
x→1−
f(x) e lim
x→1+
f(x).
(b) lim
x→1
f(x) existe?
(a) lim
x→0
f(x) existe?
(d) Esboce o gráfico de f .
Exerćıcio 4: Seja
f(x) =

x, se x < 1
3, se x = 1
2− x2, se 1 < x ≤ 2
x− 3, se x > 2
(a) Determine as quantidades a seguir, se existirem.
(i) lim
x→1−
f(x)
(ii) lim
x→1
f(x)
(iii) f(1)
(iv) lim
x→2−
f(x)
(v) lim
x→2+
f(x)
(vi) lim
x→2
f(x)
(b) Esboce o gráfico de f .
Exerćıcio 5: Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por
quê.
(a) lim
x→5
(5x + |x− 5|)
(b) lim
x→−2
2x + 4
|x + 2|
(c) lim
x→0−
(1
x
− 1
|x|
)
(d) lim
x→0+
(1
x
− 1
|x|
)
Exerćıcio 6: Encontre
(a) lim
x→−2+
x + 1
x + 2
(b) lim
x→3−
ex
(x− 3)3
(c) lim
x→1
2
(x− 1)2
(d) lim
x→2+
x2 − 2x− 8
(x2 − 5x + 6)2
(e) lim
x→5+
ln (x2 − 25)
(f) lim
x→π−
cotg x
Exerćıcio 7: Encontre as asśıntotas verticais das seguintes funções.
(a) f(x) = 7
x2−3x+2 (b) f(x) = ln (2x + 1) (c) f(x) = ln (x
2 + 9)
Exerćıcio 8: Se lim
x→1
f(x)− 8
x− 1
= 10, encontre lim
x→1
f(x).
Exerćıcio 9: Existe um número a tal que lim
x→−2
3x2 + ax + a + 3
x2 + x− 2
exista? Caso
exista, encontre a e o valor do limite.
Exerćıcio 10: Seja
f(x) =

x4 + 5, se x ≤ −2
ax + b, se − 2 < x ≤ 1
x2 − 1, se x > 1
Determine os valores de a e b para que lim
x→−2
f(x) e lim
x→1
f(x) existam.
Exerćıcio 11: Seja
f(x) =
{
9−x2
4−
√
x2+7
, se x > 3
6 + 3
√
x + a, se x ≤ 3
Determine o valor de a para que lim
x→3
f(x) exista.
Exerćıcio 12: Se 3x− 4 ≤ f(x) ≤ x2 − 3x + 5 para x ≥ 0, encontre lim
x→3
f(x).
Exerćıcio 13: Demonstre que
(a) lim
x→0
x4 cos
5
x
= 0 (b) lim
x→0+
√
xe sen (π/x) = 0
Respostas:
Exerćıcio 1: (a) 0, (b) 0, (c) 6
7
, (d) 5
2
, (e) não existe, (f) 6, (g) 3
7
,
(h) 1
2
, (i) 2
√
2
3
, (j) 2
3
, (k) 2
3
(l) -8, (m) 3x2, (n) − 2
x3
.
Exerćıcio 3: (a) 2 e 1, (b) não existe, (c) 1.
Exerćıcio 4: (a): (i) 1, (ii) 1, (iii) 3, (iv) -2, (v) -1, (vi) não existe.
Exerćıcio 5: (a) 25, (b) não existe, (c) −∞, (d) 0.
Exerćıcio 6: (a) −∞, (b) −∞, (c) ∞, (d) −∞, (e) −∞, (f) −∞.
Exerćıcio 7: (a) x = 1 e x = 2, (b) x = −1
2
, (c) não possui asśıntotas verticais.
Exerćıcio 8: 8.
Exerćıcio 9: a = 15, o limite é -1.
Exerćıcio 10: a = −7, b = 7.
Exerćıcio 11: a = 5.
Exerćıcio 12: 5.