Robortella Vol 04 Óptica Geométrica

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Pobortdb
AvdinocETGdson
A coleção consta de 
oito volumes:
/ Mecânica: Cinemática 
Mecânica: Dinâmica
JS^VIecânica: Estática, Hidrostática e Gravitação 
^ 7 Óptica Geométrica 
 ̂S) Termologia
C') Oscilações, Ondas e Acústica
7 Eletricidade: Eletrodinâmica
f S Eletricidade: Eletrostática e Eletromagnetismo
Cada capítulo apresenta as 
seguintes partes:
0. Introdução Teórica
L Questões Resolvidas
C Questões Propostas
d Respostas
»l»;
. Introdução à 
Optica Geométrica
A luz é essencial para todo tipo de vida que há sobre a Terra. 
Podemos até mesmo dizer que a vida na Terra é regulada pela luz. 
É graças a ela que o homem sobrevive, que as plantas se desenvol­
vem armazenando energia do Sol e que podemos perceber movi­
mentos. formas e cores. Enfim, todos os seres vivos são afetados 
direta ou indiretamente pela luz.
A visão é o único sentido que nos permite estabelecer um quadro 
detalhado do que ocorre nas nossas proximidades e em lugares mais 
afastados de nós. Por sua vez. a visão também depende fundamental­
mente da luz: se há luz, podemos ver; se não há luz, não podemos ver.
A óptica * é a parte da Física que estuda o comportamento da luz.
Portanto:
Luz — ► Energia
Óptica — ► Estudo do comportamento da luz
Podemos observar corpos próximos e afastados graças ao agente físico luz. 
Se há luz. podemos ver; se não há luz. não podemos ver.
* A palavra Óptica deriva do grego o t it i x i) (optiqué).
Óptica Geométrica
Muitos fenômenos observados na Natureza, em que participa o 
agente físico luz, podem ser analisados com o auxilio da Geometria. 
Esse estudo é feito na Óptica Geométrica através de um modelo sim­
ples: o raio de luz. Tal análise dispensa o conhecimento das teorias 
que explicam a natureza da luz.
Raio de luz
Em Óptica Geométrica, representamos o caminho percorrido pela
luz por intermédio de raios de luz. Um raio de luz consiste em uma 
linha associada a um sentido de propagação.
Pincel de luz
Raio de 
luz ♦
Representação 
gráfica da 
propagação da luz
Um conjunto de raios de luz representa uma região do espaço na 
qual a luz se propaga. Esta região é chamada pincel de luz.
Utilizando uma lanterna podemos observar uma região iluminada 
do espaço. Esta região é o pincel de luz.
Em óptica Geométrica 
representamos os fenô­
menos que observamos 
com a luz. por moio dc 
um elemento simples: 
o raio de luz. 
Representação 
tíe um pincel 
ce luz.
Os pincéis de luz são classificados em:
• Pincel cônico divergente — ê uma região cônica do espaço na 
qual a luz se propaga, onde os raios de luz divergem de um ponto.
Representação gráfica de 
um pincel cônico divergente 
A '•eprescntação da prop8gaçao 
da luz em Óptica Geométrica é 
feita sempre com o auxilio 
dos raios de luz
• Pincel cônico convergente — É uma região cônica do espaço na 
qual a luz se propaga, onde os raios de luz convergem para um ponto.
O pincel cônico convergente 
corresponde a una concentração 
da energia luminosa.
/
A representação gráfica da convergência da uz para um ponto é feita através 
dc raios de luz.
12
• Pincel cilíndrico — É uma região cilíndrica do esoaço na qual a 
luz se propaça. onde os raios de luz são paralelos.
Pince!
l
I
I
I
I
cilíndrico I
I
I
I
I
i
Representação 
gráfica de um 
cilindro de luz
♦
Pincel cilíndrico 
(raios paralelos)
W ,3
Fontes de luz
São todos os corpos que emitem luz. As fontes de luz podem 
ser classificadas em:
• Fontes primárias ou corpos luminosos — São corpos que pro­
duzem a luz que emitem; portanto, emitem luz própria.
Exemplos:
O Sol ó a mais importante fonte Uma lâmpada acesa é uma fonte
primária de luz para a Terra. primária de luz.
Raios do 
luz
Representação
gráfica
A chama de uma vela ó uma fonte primária.
14
• Fontes secundárias ou corpos iluminados — As fontes secundárias 
de luz enviam luz às suas vizinhanças, mas não produzem a luz que 
emitem. Elas enviam ao espaço parte da luz que recebem de uma 
fonte primária.
Exemplo:
O papol 6 uma fonte secundária de luz. fcle recebe luz de uma fonte 
primária (uma lâmpada, por exemplo) e envia aos olhos do observador parte 
dessa luz que recebe. Outros exemplos de fontes secundárias: uma 
mesa. uma cadeira, uma caneta. Enfim, a maioria dos co-pos que nos 
rodoiam são fontes secundárias ce luz.
15
\ f í - x
Os conceitos de fonte primária e fonte secundária expostos anteriormente são 
conceitos relativos. Dependendo das condições físicas em que se encontra, 
um corpo pode ser classificado como uma fonte primária ou como 
uma fonte secundária.
Exemplo:
Lâmpada acesa (fonte primária de luz). O farol do automóvel, quando aceso, 
é uma fonte primária de luz.
Lâmpada apagada (fonte secundária de luz). O farol do automóvel, quando 
apagado. 6 uma fonte secundária de luz.
© Complemento 
As fases da Lua
A Lua dá uma volta completa cm torno da Terra em 27.2 dias (movimento de 
translação), no mesmo sentido em que a Terra gira em torno do seu próprio eixo.
Neste mesmo intervalo de tempo, a Lua também executa uma volta completa 
em torno de seu eixo (movimento de rotação).
Assim, sendo os períodos de rotação e translação da Lua iguais. e'a sempre nos 
apresenta a mesma face. Todavia, como a Lua é uma fonte secundária de luz. nós 
vemos desta face apenas a região que está sendo iluminada pelos raios solares, e 
que envia luz à Terra.
Na ilustração a seguir podemos acompanhar a jornada da Lua ao redor da Terra 
em um mês.
Um observador localizado na Terra verá a região iluminada da Lua de diferentes 
formas, de acordo com a posição do satélite em relação ao planeta.
Como consequência teremos, então, as diversas fases da Lua.
16
Meios transparentes, translúcidos e opacos
A luz se comporta de diferentes modos ao atravessar as diversas 
substâncias encontradas na Natureza. Dependendo do modo como a 
luz se comporta podemos distinguir três tipos diferentes de meios.
• Meio transparente — Permite que a luz se propague por distân­
cias consideráveis. Além disso, através dele podemos ver objetos 
com nitidez. Isto ocorre porque a propagação da luz em um meio 
transparente é regular.
Luz proveniente Vidro
A água. o vidro e o ar são exemplos dc meios transparentes. Através 
deles, a luz se propaga de modo regular o os objetos são identificados com 
nitidez. Outros exemplos de meios transparentes: o vácuo, uma folha 
de papel celofane e o álcool.
• Meio translúcido — Permite a propagação da luz, embora não seja 
possível através dele visualizar nitidamente a fonte de luz. Isso ocorre 
porque a propagação da luz em um meio translúcido é irregular.
O vidro fosco, o vidro leitoso das lâmpadas fluorescentes, as nuvens, as 
porcelanas finas e o papel vegetal são exemplos de meios translúcidos. A luz 
emitida pela chama (fonte primária) caminha no ar, no papel e atinge os 
olhos do observador. Entretanto, o observador não tem uma visão nítida das 
velas, porque a folha de papel ó um melo translúcido, c o comportamento 
da luz não ó regular. Por esse motivo são utilizados vidros foscos 
nos banheiros.
18
• Meio opaco — A luz praticamente não se propaga neste tipo de 
meio. Exemplos de meios opacos: um pedaço de madeira, uma placa 
de metal.
• Meio homogêneo — Um meio é homogêneo quando possui as 
mesmas propriedades em todas as porções de volume que tomamos 
para estudo.
Os conceitos ce transparência, translucidez e opacidade são conceitos
relativos. Assim, uma única folha de papel celofane é transparente; já um 
maço pouco espesso de folhas desse mesmo papel pode ser considerado 
translúcido, enquanto que um pacote bastante espesso de folhas de 
papel celofane pode ser considerado opaco. Neste caso. a espessura 
é importante para caracterizar o meio quanto à propagação da luz.
Visão dos objetos
Utilizando os raios de luz. façamos uma representação esquemá­
tica de diversas situações que encontraremos ao longo de nosso 
estudo (figura seguinte).
Podemos concluir, através dessa figura, que para um objeto 
ser visto por um observadorduas condições simultâneas devem ser 
satisfeitas:
• o objeto deve ser uma fonte de luz (primária ou secundária);
• a luz emitida deve chegar ao olho do observador.
Este observador 
vê a fonte, pois 
esta envia luz 
aos seus olhos.
Este observador 
vê a fonte pois 
ela envia luz aos 
seus olhos.
iste observador 
náo vê a fente. 
pois a luz emitida 
por esta rão 
chega aos seus olhos.
Este observador não 
vê a fonte, pois a 
luz emitida por ela 
não chega aos seus 
olhos.
meio opaco
Luz
p'ovemente
da fonte 
primária 
(chama)
Vidro:
transparente
secundária
Este observador 
vê a fonte secundária 
pois ela envia 
aos seus olhos parte 
da Ilz que recebe de 
uma fonte pr mária
20
Complementos
• A luz emitida por uma fonte luminosa pode ser recebida por um observador 
situado nas proximidades da fonte ou bastante afastado dela. A posiçào em que 
um observador se encontro em relação à fonte é bastante importante para caracte­
rizar o pincel de luz. Observe o esquema o seguir:
Fonte
Angulo de 
abertura 
do pincel.
Pincel 
cônico 
divergente.
próximo ã fonte.
Observador 
bastante 
afastado 
da fonte.
Pincel praticamente 
cilíndrico - * raios de luz 
praticamente paralelos.
• Para o observador bastante afastado da fonte, os raios de luz que este recebe 
constituem um pincel de luz de abertura muito pequena. Ou soja. os raios de luz 
rocebidos pelo observador muito afastado da fonte podem ser considerados prati­
camente paralelos. Ouando a fonte se encontra muito afastada, dizemos, em óptica, 
quo a fonte está no infinito em relação ao observador.
A fonte está 
no infinito.
____________________________________________________________ <
• Aplicação
Os raios de iuz provenientes de uma ostrela (o Sol. por exemplo), ao atingirem 
uma região da Terra, podem ser considerados praticamente paralelos, pois provém 
de uma fonte luminosa muito distante.
Fenômenos ópticos
Ouando a luz atinge a super­
fície S que separa dois meios 
quaisquer podemos observar di­
versos fenômenos, que apresen­
taremos a seçuir:
• Reflexão da luz — Ouando um pincel cilíndrico que se propaga 
no ar atinge a superfície plana e polida (lisa) de um metal, obser­
vamos experimentalmente que o pincel de luz retorna ao meio no 
qual se propagava, também de forma'cilíndrica. Este fenômeno é 
chamado reflexão regular da luz, ou simplesmente reflexão da luz. 
Dizemos que a luz foi refletida. A superfície metálica em estudo re­
cebe o nome de superfície refletora ou espelho.
A luz sofre reflexão om um espelho. Representação gráfica da reflexão da
luz. utilizando raios de luz.
• Difusão da luz — Se a super­
fície que a luz atinge é rugosa 
(por exemplo, uma folha de pa­
pel branco), a luz retorna ao 
meio de origem, propagando-se 
em todas as direções do espaço. 
Este fenómeno é chamado difu­
são da luz.
Representação gráfica da difusão da 
luz. utilizando raios de luz
Aplicações
1. é costume pintar com tinta branca a letra X nos vidros transparentes das janelas 
dos prédios em construção Esse recurso tem por finalidade fazer com que a luz 
sofra difusão na superfície branca e evitar que algum operário cm circulação, 
náo percebendo a existência do vidro transparente, venha a colidir com eld.
2. Outra aplicação prática desse fenômeno sào as faixas brancas pintadas nas rodo 
vias. Ao receberem a luz do farol de um veiculo, essas faixas provocam a difu­
são da luz c permitem ao motorista uma orientação segura em relação ò estrada.
22
• Refração da luz — Quando um pincel cilíndrico que se propaga 
no ar atinge a superfície plana de um bloco de vidro transparente, 
observamos que o pincel de luz passa a se propagar no vidro ainda 
de forma cilíndrica. A passagem da luz de um meio transparente (ar) 
para outro meio transparente diferente (vidro) é denominada refração 
da luz. Dizemos que a luz foi refratada.
Um exemplo dc refração da luz. Representação gráfica da refração da
A passagem da luz do ar para o vidro. luz. utilizando raios de luz.
Aplicação
O vidro do pára-brisa de um automóvel é um meio transparente A luz prove­
niente dos objetos situados na estrada sofre refração no pára-brisa o atinge os 
olhos do motorista, permitindo que olo erxergue os objetos.
• Absorção da luz — Quando 
a luz atinge a superfície netjra 
de um corpo (S). observamos que 
a maior parte dela não é refle­
tida. difundida ou refratada. Di­
zemos. então, que a Itiz é absor­
vida pela superfície. Nesse caso. 
a energia luminosa será incor­
porada à superfície na forma de 
energia térmica, provocando a 
elevação da temperatura do corpo, 
dc roupas escuras no verão, pois essas roupas absorvem a luz e. con- 
seqüentemcnte. aumentam a temperatura. Devido à absorção da luz, 
no verão o interior de um carro preto é mais quente do que o de 
um carrq branco. Já as superfícies brancas difundem predominante­
mente a luz e. por isso. é interessante o uso de roupas claras em dias 
quentes.
As superfícies negras 
absorvem a energia 
luminosa.
Superfície negra 
Pnr isso à inennvftniftnte n uso
23
A Óptica Geométrica tem interesse em estudar apenas os fenô­
menos reflexão da luz e refração da luz. As superfícies onde ocor­
rem esses fenômenos são chamadas de sistemas ópticos. Dessa 
forma, analisaremos o comportamento dá luz ao atingir um sistema 
óptico refletor ou um sistema óptico refrator.
Princípios da Óptica Geométrica
Já discutimos em Mecânica o significado dos princípios da Dinâ­
mica. Os princípios são ieis físicas de caráter geral, confirmadas 
pela experiência, embora não sejam demonstráveis matematicamente. 
O estudo da Óptica Geométrica está baseado em três princípios: •
• Principio da propagação retilínea dos raios de luz
Nos meios homogêneos c transparentes a luz 
se propaga em linha reta.
24
Comprovemos a veracidade deste princípio através de alguns 
exemplos:
1} O ar de uma sala de projeções é um meio homogêneo e trans­
parente. A luz emitida pelo projetor ilumina as partículas em sus­
pensão (poeira) que se encontram no ar. Desta forma, constatamos 
a propagação retilínea da luz.
2) Por meio de uma fresta em uma janela a luz penetra na sala. 
Através das partículas em suspensão no ar podemos observar a 
propagação retilínea dos raios de luz.
Aplicações
t. Sombras e penumbras
A formação de sombras evidencia que:
• a luz não se propaga em meios opacos a ela.
• a luz so propaga em linha reta num meio homogêneo e transparente.
Assim, se colocarmos um objeto opaco entre uma fonte pontual e um anteparo, o 
contorno da sombra projetada no anteparo será semelhante ao do objeto opaco
»
Sombra projetada 
no anteparo
Ouando tivermos mais de uma fonte pontual notaremos no anteparo a formação 
das seguintes regiões:
1) região totalmente iluminada;
2) região parcialmente iluminada (penumbra);
3) região totalmente escura (sombra).
Esta região recebe luz de 
apenas uma fonte Ê parcialmente 
Iluminada (penumbra).
Esta região recebe luz 
das duas fontes 
(totalmente iluminada).
-----
Esta região não 
recebe luz (sombra).
Uma fonte extensa pode ser entendida como um conjunto de fontes pontuais. 
Neste caso, a região que não recebe os raios de luz é reduzida consiceravelmente.
2. Eclipse
Como o Sol é uma fonte primária extensa e a Terra um corpo opaco, temos a 
formação de regiões de sembra e de penumbra.
Quanco a Lua se encontra no cone de sombra da Terra, dizemos que está ocor­
rendo um eclipse total da Lua. Quando apenas uma parte da Lua se encontra 
no cone de sombra da Terra, dizemos que está ocorrendo um eclipse parcial da 
Lua
Se em vez da Terra, S Lua interceptar cs raios solares, teremos ura eclipse do
Quando uma região da Torra se encontra no cone de sombra da Lua. dizemos que, 
para um observador ali postado, está ocorrendo um eclipse total do Sol.
Quando uma região da Terra se encontra na penumbra da Lua. dizemos que. para 
um observador ali postado, está ocorrendo um eclipse parcial do Sol.
• Principio da independência dos raios de luz
Os raios de luz são independentes; ao se interceptarem,cada 
um mantém o seu caminho, como se os outros não existissem.
Na figura seguinte, a moça vê a chama B porque esta envia luz 
aos seus olhos, e o rapaz vê a chama A porque esta envia luz aos 
seus olhos.
Os raios de luz são independentes, pois. ao se cruzarem, não 
alteram a sua direção de propagação.
Na região em que ocorre a intersecção de pincéis de luz. veri­
fica-se eventualmente um reforço na iluminação, mas não há desvio 
na direção de propagação de nenhum dos pincéis.
• Principio da reversibilidade dos raios de luz
A trajetória seguida pelos raios de luz 
não depende do sentido de propagação.
Observe a montagem abaixo.
A fonte colocada em A emite luz que, após refletir nos dois es­
pelhos, chega à tela, em D.
Fonte
Espelho
♦>
28
Colocando a fonte em D. a iuz percorre o caminho inverso e chega 
à tela, em A.
Graças a este princípio, quando no trânsito um motorista A vê 
pelo espelho retrovisor outro motorista B. ele sabe que o motorista 
B também tem condições de enxergá-lo.
Da mesma forma, usando o espelho retrovisor, um motorista de 
táxi pode conversar com um passageiro sentado no banco traseiro, 
sem desviar totalmente sua atenção do trânsito.
Complementos
• Comentários sobre a velocidade da luz
1. Quando a luz se propaga ao longo de um meio, cia o faz com uma certa veloci­
dade. Essa velocidade de propagação da energia luminosa ó altíssima quando 
comparada com as velocidades registradas nos fenómenos cotidianos. No vácuo, 
por exemplo, a luz caminha com uma velocidade da ordem do 300 000 km/s, ou 
seja:
v l t * * «o »ácuo - c - 300 000 km/s - 300 000 000 m /s = 3,00 . 10s m/s
Este é também o valor aprox mado da velocidade da luz no ar 
A velocidade com quo a luz caminha depende do meio em que ela se propaga. 
No vácuo, a velocidade da luz é máxima, sendo menor nos meios materiais trans­
parentes. Esta característica da luz será abordada mais detalhadamente no capí­
tulo Refração da Luz. Como aplicação prática deste assunto, vamos calcular o 
intervalo de tempo que a luz emitida pelo Sol gasta para atingir o nosso planeta.
Fonte
Sendo d = distância média da Terra ao Sol = 1,50 . 1011 m e V — c = velocidade 
da luz no vácuo - 3.00 . 10® m/s. temos:
V = ^ c = J L 
At At
Logo:
d 1.50 . 10» i m
At = — ------------------------ =>
c 3,00 . 10® m/s
Ou seja: \ At =---: 8.3 min [ .
I At - 500 s
2. Um ano-luz é a distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de 
tempo de um ano. Note que ano-luz é uma medida de comprimento pois é a 
medida de uma distância.
Assim:
At = 1 ano = 365.2 dias = 3.156 . 107 s 
V = c = 3,00 . 10® m/s
1 ano-luz = c . At = 3.00 . 10® . 3.156 . 107 => 
=> h ano-luz <== 9.47 . 10*5 m|
1. ITA — A sombra de uma nuvem sobre o solo tem a mesma forma 
e tamanho que a própria nuvem porque os raios solares são:
a) praticamente paralelos.
b) muito divergentes.
c) pouco numerosos.
d) todos convergentes para um mesmo ponto.
e) muito numerosos.
Resolução: Devido à grande 
distância que o Sol está da 
Terra, os raios solares, ao atin­
girem uma região do nosso 
planeta, podem ser considera­
dos pruticamcntc paralelos. As­
sim, as sombras projetadas 
devido aos raios solares têm as 
mesmas dimensões do objeto.
Resposta: alternativa a.
30
2. CESCEA — Entre uma fonte pontual e um anteparo coloca-se um 
objeto opaco de forma quadrada e de 30 cm de lado. A fonte e o 
certro da placa estão numa mesma reta que. por sua vez, é per­
pendicular ao anteparo. O objeto encontra-se a 1.50 m da fonte e 
a 3.00 m do anteparo. A área da sombra do objeto, produzida no 
anteparo, em rrr, é:
a) 0,18. c) 0.81. e) 0.60.
b) 0,36. d) 0.54.
Resolução: A fonte pontual projeta no anteparo uma sombra cujo con­
torno é uma figura semelhante ao do objeto opaco. Assim, a área da 
sombra do objeto será a área do quadrado de lado L representado na
figura.
Fonte
pontual
Da semelhança dos triângulos FAB e F'A'B\ podemos escrever: 
FO FO'
AB A'B'
Substituindo as distâncias pelos valores numéricos,
1,50 4,50 m 4 ,5 0 .0 ,3 0
-------------= --------------=* Z — --------------------- =>
0,30 m i 1,50
A sombra do objeto terá área:
S _ P = (0,90)2 S = 0,81 m2
vem:
( = 0,90 m
Resposta: alternativa c.
3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura abaixo estão repre­
sentados um morro, uma árvore e um observador (O). A altura 
da árvore é de 50 m e a distância entre ela e o observador, de 
300 m. A distância entre o observador e o ponto M é de 800 m. 
Qual é aproximadamente a altura (H) do morro, se. do ponto de 
vista do observador, o topo da árvore e o topo do morro estão
Resolução: Inicialmente, observemos que a altura do observador é con­
siderada desprezível em relação às alturas do morro e da árvore (enun­
ciado). Assim, o olho do observador será admitido ao nível do solo. 
O morro e a árvore são fontes secundárias de luz. O observador en­
xerga o topo da árvore c o topo do morro, pois eles enviam luz aos 
seus olhos.
32
Quando o topo da árvore e o topo do morro estão alinhados com o 
observador, os raios luminosos atingem o olho O segundo a mesma reta, 
como é representado na figura anterior l emos, então, a formação dc 
dois triângulos retângulos semelhantes: AOMN c AOPQ.
Portanto, podemos escrever:
MN _ MO H 800
PQ ~ PO 50 ~ 300
Resposta: alternativa a.
4. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Uma fonte luminosa projeta luz 
sobre as paredes de uma sala: um pilar intercepta parte dessa 
luz. A penumbra que se observa é devida:
a) ao fato de a fonte luminosa não ser pontual.
b) ao fato de a luz não se propagar rigorosamente em linha reta.
c) aos fenômenos de interferência da luz, depois de, tangenciar 
as bordas do pilar.
d) aos fenômenos de difração.
e) à incapacidade do globo ocular de concorrer para uma diferen­
ciação eficiente da linha divisória entre luz e sombra.
Resolução: Observando o esquema abaixo, notamos que a formação de 
penumbra decorre do fato de a fonte de luz primária não ser pontual 
(fonte extensa). Note que na região em que ocorre a penumbra uma 
parte da luz emitida pela fonte é recebida na parede.
Penumb-a
Sombra
Penumbra
Observação: A única fonte extensa que não produz penumbra é aquela que 
emite raios de luz paralelos.
H 133 m
Resposta: alternativa a.
5. PUC (SÀO PAULO) — Num eclipse total da Lua, a posição rela­
tiva dos três astros Sol, Lua e Terra é:
a) ® © © d) ' ( s j © ©
b) ©
©
© *> © ©©c) © © ©
Resolução: Num eclipse total da Lua, esta deve estar no cone de som­
bra da Terra. Assim, a Lua deixará dc ser uma fonte secundária de 
luz c não poderá ser vista.
Eclipse total da Lua
Cone de 
sombra
Resposta: alternativa d.
8. CESCEA — Uma câmara escura de orifício tem um anteparo 
fosco quadrado de 10 cm de lado. A distância do orifício até o 
anteparo é de 30 cm. Quando se focaliza uma árvore de uma 
certa distância, sua imagem excede 2 cm do tamanho da altura 
do anteparo. Aumentando em 1,50 m a distância entre a árvore 
e a câmara, a imagem adquire o mesmo tamanho do lado do ante­
paro. A altura da árvore é de:
a) 7.5 m.
b) 9 m.
c) 3 m.
d) 6 m.
e) 4,5 m.
34
Resolução: A câmara escura de orifício c corístituída basicamente de 
uma caixa dc paredes opacas, com um pequeno orifício que permite 
a passagem de luz. Na parte posterior podemos colocar uma folha dc 
papel vegetal, que é um material translúcido. Os raios de luz que 
partem do ponto A atravessam o orifício O da câmara c atingem o 
papel translúcido no ponto A', como indica a figura:
Observador
Folha de papel 
vegetal (anteparo)
O observador verá, então, uma mancha luminosa no ponto A'. Quando 
um objeto extenso AB for colocado diante da câmara, a cada ponto 
do objeto corresponderá um ponto projetado sobre o papel vegetal, da 
mesma forma que o ponto A analisado anteriormente. Teremos, então, 
projetada sobre a folha, uma figura semelhante ao objeto c invertida 
em relação a este. Esta figura é também chamada dé “imagem” do 
objeto AB.
35
Aplicação numérica no exercício:
Situação inicial — O tamanho da imagem (yi— 12 cm) excede cm 
2 cm a altura do anteparo (10 cm). '
Situação final — Afasta-sc a câmara 1,50 m = 150 cm da árvore:
y* _ x 10 30
Y X + 1 5 0 Y X + 150
(II) .
De (II), vem 10 . (X 4 150) = 30Y => X + 150 = 3Y =*
X - 3Y - 150
Igualando (III) c (IV):
(IV)-
3 Y - 150 = 2 ,5Y 
3Y - 2,5Y = 150
0,5 Y = 150
Y = 300 cm ou
Resposta: alternativa c.
36
7. FUVEST — Uma estrela emite radiação que percorre a distância 
de 1 bilhão de anos-luz até chegar à Terra c ser captada por um 
telescópio. Isto quer dizer que:
a) a estrela está a 1 bilhão de quilômetros da Terra.
b) daqui a 1 bilhão de anos a radiação da estrela não será mais 
observada na Terra.
c) a radiação recebida hoje na Terra foi emitida pela estrela há 
1 bilhão de anos.
d) hoje a estrela está a 1 bilhão de anos-luz da Terra.
e) quando a radiação foi emitida pela estrela ela tinha a idade 
de 1 bilhão de anos.
Resolução: Um ano-luz é a distância percorrida pela luz, no vácuo, 
durante um ano/
Assim, sc a estrela emitiu uma radiação que percorreu uma distância 
de 1 bilhão dc anos-luz, até chegar à Terra, isto significa que o início 
desta emissão foi há 1 bilhão dc anos atrás.
Note que, ao receber esta luz, um astrônomo está recebendo informa­
ções I bilhão dc anos atrasadas sobre a estrela. Vale dizer: “olhar 
para as estrelas é olhar para o passado”.
Resposta: alternativa c.
1. FMU — O vidro leitoso é um corpo:
a) transparente. d) luminoso.
b) translúcido. c) Nenhuma das respostas anteriores.
c) opaco.
2. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO — Um raio de luz, ao sc refletir 
sobre uma superfície, apresenta-se refletido difusamente. Isto mostra que:
a) a superfície refletora é plana.
b) a superfície refletora é côncava.
c) a superfície refletora é convexa.
d) a superfície refletora absorve parcialmente a luz incidente,
c) a superfície refletora é rugosa.
.V FMU — O fato dc que a luz proveniente elo Sol nos atinge, prova que a luz:
a) se propaga cm linha reta.
b) necessita dc um corpo material para sc propagar.
c) sc propaga no vácuo.
d) se propaga em grande velocidade, 
c) tem caráter ondulatório.
4 ESCOLA TÉCNICA DE CAMPINAS — No vácuo c cm qualquer meio de 
transporte que seja opticamcnte homogêneo, a luz sc propaga seguindo uma 
trajetória:
a) circular.
b) parabóhca.
c) sinuosa.
d) retilínea.
c) diversa de qualquer uma das acima especificadas.
5 FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA - A formação dc som­
bras evidencia que:
a) a luz se propaga cm linha reta.
b) a velocidade da luz não depende do referencial.
C) a temperatura do obstáculo in flu i sobre a luz que o atravessa.
d) a luz sofre difração.
c) a luz é necessariamente fenômeno de natureza corpuscular.
ft UNIVERSIDADE DE MINAS GERAIS — Um menino de 1,50m dc 
altura observa, num dia de sol, as sombras dc uma torre de rádio-emissora 
c u sua própria. Não dispondo dc fita métrica ou de trena, ele toma um 
cordão, mede sua sombra c a compara com a da torre, verificando ser esta 
10 vezes maior do que a sua. Assim, o menino conclui que a altura da 
to rre :
ii) é dc 15 m.
b) é superior a 15 m.
0 6 inferior a 15 m.
il) depende da inclinação dos raios solares.
c) só poderia ser calculada sc ele dispusesse de uma escala para medir sua 
sombra.
7 MEDICINA DA SANTA CASA — Durante um cclipsc do Sol:
a) uma pessoa no Hemisfério Sul poderá ver as estrelas que à noite são visí­
veis no Hemisfério Norte.
b) não poderão ser vistas estrelas.
c) o Sol seria invisível para um cosmonauta que estivesse na face da Lua 
voltada para a Terra.
d) a Terra toda estaria no cone de sombra projetado pela Lua. 
c) Nada do que se afirmou é verdadeiro.
38
8. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Na figura abaixo vemos uma íon;e 
dc luz. com a forma dc letra F, situada em frente a um pequeno orifício 
numa caixa fechada.
A imagem da letra formada no fundo da caixa tem a seguinte forma:
9. PUC (SÀO PAULO) — Um ano-luz é uma medida de:
a) tempo. d) aceleração.
b) comprimento. c) intensidade luminosa.
c) velocidade.
10. FEI — A luz demora 10 minutos para vir do Sol à Terra. Sua velocidade 
é de 3 . 105 km/s. Qual a distância entre o Sol c a Terra? 1
1. b 2. e 3. c 4. d 5. a S. a 7. c 8. c 9. b
CfiríTULO
Introdução aos ôistemas 
Ópticos-Gspelho Plano
40
No capítulo anterior vimos que a luz, ao atingir uma superfície 
(sistema óptico), pode apresentar dois tipos de fenómenos: reflexão 
e refração.
Esquema gráfico de um raio Esquema gráfico de um raio
sofrendo reflexão. sofrendo refração.
Neste capitulo nossa preocupação estará voltada para a caracte­
rização de duas situações:
• Como a luz se propaga antes de atingir um sistema óptico?
• Como a luz se propaga^depois de atingir um sistema óptico e 
de ter sofrido um fenômeno óptico (reflexão ou refração)?
As soluções destas questões estarão diretamente associadas a 
dois conceitos fundamentais da Óptica Geométrica: ponto-objeto e 
ponto-imagem.
Por sua vez. os conceitos de ponto-objeto e ponto-imagem estão 
associados aos vértices dos pincéis incidentes e dos pincéis emer­
gentes, em relação a um dado sistema óptico.
Um pincel de luz é incidente em relação a um sistema óptico 
S quando seus raios de luz se aproximam de S.
Um pincel de luz é emergente em relação a um sistema óptico 
S quando seus raios de luz se afastam de S.
y
41
Estudo geral dos pincéis incidentes
Um pincel incidente num sistema 'óptico pode ser divergente, 
convergente ou cilíndrico.
• Pincel incidente cônico divergente — Colocando-se um ponto 
lumlroso diante de um sistema óptico, a luz emitida pela fonte incide 
no sistema na forma de um pincel cônico divergente.
Luz incidindo em diversos sistemas ópticos:
Superfície plana, 
motéllca o 
polida — espelho. 
IRlatema refletor)
Superfície esférica 
metálica e 
polida espelho. 
ÍSistema refletor)
Lente de vidro 
(Sistema refrator)
Pincel incidente 
no sistema. /
Pincel incidente 
no sistema.
Vértice do 
pincel que incide 
no espelho.
Vértice do 
pincel que incide 
no espelho.
Vértice do 
pincel que incide 
na lente.
An trôs situações podem ser representadas simplificadamcnte. da forma esque­
matizada abaixo.
Vértice do 
pincel de luz 
que incide 
no sistema.
Pincel 
incidente
no sistema 
(pincel
cônico divergente).
Representa 
qualquer um 
dos sistemas 
em que a luz 
incide
42
• Pincel incidente cônico convergente No figura abaixo, mostra* 
mos como se pode obter um pincel incidente cônico convergente em 
relação a um sistema óptico S.
Pincel incidente 
no sistema óptico S s
Após sof'er 
refração no vidro, 
o pincel converge 
para este ponto
Sistema óptico estó 
o
Este pincei 
cilíndrico incide 
na iente
LU2
incidente 
em S. 
------------►
A situaçáo discutida acima 
pode ser representada 
simplificadamcnte. 
da forma 
esqjemati;ada 
ao lado.
Este ponto é o 
vórtice do pincel 
cônico convergent« 
que incide em S.
Neste caso. 
o vértice só tem 
existência 
geométrica.
O pincel luminoso cónico convergente incide no sistema óptico S.
Plncol Incidente cilíndrico — A luz também pode incidir em um 
«lelnma óptico na forma de um pincel cilíndrico. Observe os exem- 
nbiilxo: •
•u(t«Hfote plana.
« polida — espelhe 
lMiet«ma refletor)
Lenre de vidro. 
(Sistema refratorj
Superficie esférica 
metálica e 
polida — espelho. 
(Sistema refletor]
provém de 
uma fonte muito 
distante do sistema 
(no infinito).
Quando a fonte de luz está muito afastada do sistema dizemos 
nu® o fonte está no infinito, em relação ao sistema. Os raios rece­
bidos pelo sistema são praticamente paralelos.
Iloprenentaçào gráfica 
almpllflcada:
Este pincel
cilíndrico está incidindo 
no sistema óptico S
Reprosentaçào de 
um sistema óptico 
qualqjer.
44
Ponto-objeto
Em relação a um sistema óptico, definimos ponto-objeto como 
sendo o vértice do pincel de luz incidente neste sistema. De acordo 
com o tipo de pincel incidente, o ponto-objeto pode ser real, virtual 
ou impróprio. Observe o quadro abaixo: ,
no sistema.
Resumindo: i
Ponto- Incidência dc iuz no
-objeto sistema óptico
Estudo geral dos pincéisemergentes
Após incidir no sistema óptico o pincel de luz sofre um fenô­
meno óptico, reflexão ou refração. dependendo da superfície em 
estudo
Em seguida, os raios de luz se afastam do sistema, constituindo 
um pincel de luz emergente. Este pincel pode ser divergente, con­
vergente ou cilíndrico, e depende:
• do tipo de pincel que incide no sistema:
• das características do sistema óptico (tipo de espelho, tipo de 
lente, etc.).
• Pincel emergente cônico convergente — Observe as ilustrações 
obalxo. onde os pincéis emergentes são cônicos convergentes:
As duas situações podem ser representadas simplificadamente, 
iia forma esquematizada abaixo:
O pincel 
converge para
este ponto.
O pincel convergo 
para este ponto.
Luz
S Representa qualquer um dos sistemas de 
onde a luz emerge.
---------Vértice òo pincel
p* de luz que emerge 
do sistema.
Pincel emergente do sistema 
(pincel cônico convergente).
46
• Pincel emergente cônico divergente — Nas ilustrações a seguir 
representamos situações onde os pincéis emergentes são cônicos 
divergentes:
Representação gráfica simplificada:
Este ponto
é o vértice geométrico 
do pincel divergente 
que emerge do 
sistema.
Reprosenta qualquer um
Pincel emergente do sistema 
(pincel côniccr divergente).
• Pincel emergente cilíndrico — A luz também pode emergir de 
um sistema na forma de um pincel cilíndrico. Observe os exemplos 
abaixo:
Superfície esférica, 
metálica o pol da — espelho. 
(Sistema refletor)
Lente de vidro. 
(Sistema rc?rator)
. \
Esto pmcel 
está emergindo 
dc sistema.
Superfície plana.
e polida —
espelho.
(Sistema refletor)
Representação gráfica simplificada:
Representa 
um sistema 
óptico qua quer.
Pincel emergente 
do sistema 
(pincel cilíndrico).
48
Ponto-imagem
Em relação a um sistema óptico, definimos ponto-imagem como 
sendo o vértice do pincel de luz emergente deste sistema.
De acordo com o tipo de pincel emergente, o ponto-imagem pode 
ser real. virtual ou impróprio.
Observe o quadro abaixo:
Sistema
Resumindo:
Ponto-imagem
Emcrgóncla de luz 
do sistema óptico
o Complemento• Pontos conjugados f
Observe o exemplo abaixo. Nolo estão representados um sistema óptico,o pincel 
Inciderte no sistema e o pincel emergente do mesmo. Apliquemos ao exemplo os 
conceitos de ponto-objeto e ponto-imagem.
Como podemos observar, se um pincel do luz incide em um sistema óptico, 
hnveró sempre em correspondência um pincel de luz que omerge do sistema. Ao 
vórtice do pircel incidente (objeto) corresponde o vértice do pincel emergonte (ima­
gem). O ponto-objeto e o ponto-imagem são chamados de pontos conjugados. No 
exemp o ilustrado, dizemos que P' é a imagem do objeto P. conjugada pelo sistema 
óptico S.
Leis da reflexão
Nas considerações anteriores estudamos os sistemas ópticos em 
gorai e, em relação a estes, aplicamos os conceitos de ponto-objeto 
o ponto-imagem. A nossa atenção agora estará voltada para o estudo 
inols detalhado dos sistemas ópticos refletores (ou espelhos). O 
ostudo da reflexão da luz nos espelhos pode ser desenvolvido a partir 
(iu descrição do comportamento de um raio de luz ao incidir em uma 
iijperfície refletora. Tomando esse conhecimento como ponto de
50
partida, podemos explicar como se formam as imagens nos espelhos 
e seu significado físico. A seguir, descreveremos a reflexão de um 
raio de luz em um espelho e os elementos mais importantes asso­
ciados ao fenômeno.
Face
espelhada
Espelho plano
Face • 
espelhada
Espelho curvo
Representação de uma superfície refletora da luz (espelho).
• Elementos associados ao fenômeno da reflexão de um raio de luz
— Em relação à superfície refletora (espelho) podemos definir os 
seguintes elementos:
• Raio de luz incidente - * a
• Raio de luz refletido -» b
• Ponto de incidência —* I (ponto no qual o raio incidente atinge 
a superfície)
• Plano tangente à superfície passando pelo ponto I -> r.
• Reta normal N (reta perpendicular à superfície passando 
pelo ponto I)
• Plano de incidência (definido pela reta normal e pelo raio inci­
dente) a
• Ângulo de incidência —► i (ângulo que o raio incidente forma 
com a normal)
• Ângulo de reflexão - * r (ângulo que o raio refletido forma com 
a normal)
*
Espelho
Espelho plano — superfície plana refletora da luz
51
• Leis da reflexão — A experiência nos mostra que. para uma 
•Uperfície refletora:
1/ Lei
O raio'incidente, o raio refletido e a normal pertencem 
ao mesmo plano (plano de incidência).
2: Lei
O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência.
i = r
Apliquemos as leis da reflexão a alguns casos particulares:
O raio de luz incide no espc ho. reflete c volta sobre si mesmo.
Observe que. neste caso. o raio incidente e 0 raio refletido colncidom com 
a normal.
52
Importante: Lembre-se que os ângulos i e r são medidos em re­
lação à normal, e não em relação à superfície.
Incidência rasante: i = r - 90’
Espelho plano
A uma superfície plana, me­
tálica e polida chamaremos es­
pelho plano.
Esses espelhos são de gran­
de utilidade na prática, como po­
deremos comprovar, logo a seguir, 
no estudo de suas propriedades.
• Formação da imagem de um 
ponto em um espelho plano —
Na sequência de figuras a seguir 
estudaremos a formação da ima­
gem de uma fonte de luz pontual 
em um espelho plano.
* p
Fonte de 
luz pontual
Espelho plano
I
53
0 ponto P emite luz. que incide no espelho. Podemos representar 
o pincel de luz incidente por meio de dois raios de luz. O ponto P é 
um ponto-objeto-real (POR), pois o pindel incidente é cônico diver­
gente.
a — raio de luz incidente.
normal à superfície, 
a' — raio de luz Incidente, 
oblíquo à superfície.
O pincel de luz sofre reflexão no espelho e emerge do mesmo. 
Podemos visualizar o pincel refletido no espelho, aplicando as leis 
da reflexão aos raios incidentes: a e a'. O raio a volta sobre si mes­
mo (incidência normal). Para o raio a', temos uma incidência oblíqua.
O vértice P' do pincel emergente do espelho pode ser obtido 
prolongando-se os raios de luz. (Nesse caso, o vértice está “atrás" 
do plano que contém o espelho.) O ponto P' é um ponto-imagem- 
virtual (PIV), pois o pincel emergente é cônico divergente.
54
Ooserve que todos os raios de luz refletidos no espelho parecem 
provir do ponto P\
• Significado físico da imagem virtual — O observador colocado em 
O recebe os raios de luz como se viessem do ponto P\ Se o ponto 
P é uma fonte luminosa pontual (uma pequena lâmpada), para o obser­
vador tudo se passa como se enxergasse uma lâmpada colocada 
"atrás" do plano do espelho. O observador, na realidade, enxerga a 
imagem virtual do ponto P. Dizemos também que o observador en­
xerga o ponto P por reflexão. Fisicamente, isto pode ser explicado 
da seguinte forma: se não existisse o espelho e no ponto P' colo­
cássemos uma pequena lâmpada, o globo ocular do observador rece­
beria um pincel de luz idêntico àquele que recebe depois da reflexão 
da luz no espelho. Portanto, o efeito óptico para o olho do observador 
é o mesmo nos dois casos. Devido a isso. para o observador parece 
existir uma lâmpada atrás do espelho.
da
55
• Relação entre as distâncias do objeto ao espelho e da imagem 
•o espelho— Na figura abaixo, seja P um ponto-objeto-real em relação 
no espelho plano e P' o correspondente 'ponto-imagem-virtual.
Os triângulos retângulos PAB e P'AB são congruentes, pois têm 
dois ângulos iguais e um lado comum (AB).
Portanto, PA = P'A.
Assim, o ponto-objeto e o ponto-imagem estão sempre à mesma 
distância do plano do espelho.
Dizemos, então, que o ponto-objeto e o ponto-imagem são simé­
tricos em relação ao plano do espelho.
56
• Objeto virtual em relação a um espelho plano — Com o auxílio 
de uma lente de vidro podemos obter um pincel de luz cônico conver­
gente. Façamos este pincel incidir num espelho plano E e analisemos 
o seu comportamento.
Observando a figura notamos que, em relação ao espelho, o ponto 
P é um ponto-objeto-virtual (vértice de um pincel incidente cônicoconvergente).
O espelho plano conjuga, nesse caso. um ponto-imagem-real (P'l 
— vértice de um pincel emergente cônico convergente.
Portanto, a um ponto-objeto-virtual P o espelho plano conjuga um 
ponto-imagem-real P'. simétrico de P em relação ao plano do espelho.
• Objeto impróprio em rela­
ção ao espelho plano — Raios de 
luz paralelos, ao atingirem um 
espelho plano, o fazem com ân­
gulos de incidência iguais. Pela
2.* lei da reflexão, os ângulos de 
reflexão também serão iguais en­
tre si. originando raios de luz re­
fletidos paralelos. Assim, quan­
do um pincel incidente no espe­
lho plano for cilíndrico (ponto- 
-objeto-impróprio). o pincel emer­
gente também será cilíndrico 
(ponto-imagem-impróprio).
• Estigmatismo de um espelho plano — 0 espelho plano é um sis­
tema óptico que a um ponto-objeto conjuga um único ponto-imagem.
Dizemos, então, que o espelho plano é urrj sistema estigmático. Do 
ponto de vista prático, isto significa que os espelhos planos forne­
cem sempre imagens nítidas dos objetos. Existem muitos outros 
sistemas ópticos, como veremos adiante, que a um ponto-objeto não 
conjugam somente um ponto-imagem, mas. sim, uma mancha (vários 
pontos). Nesse caso. a imagem não é nítida, e o sistema óptico é 
denominado astigmático.
• Imagem de um objeto extenso — Na maioria das situações prá­
ticas os objetos colocados diante de um espelho plano não são fontes 
pontuais, mas. sim, objetos extensos, isto é, possuem dimensões não- 
desprezíveis.
O objeto extenso pode ser entendido como um conjunto de 
pontos-objeto. Para determinarmos a imagem de um objeto extenso, 
determinamos a imagem de cada ponto do objeto. Portanto, o objeto 
n a Imagem são simétricos ponto por ponto em relação ao plano que 
contém o espelho.
Da simetria do objeto e da imagem ponto por ponto em relação 
no plano do espelho, podemos concluir que:
As dimensões da imagem são iguais às dimensões do objeto, 
qualquer que seja a distância do objeto ao espelho
58
êj$ôW JO (% teâ------------------ ---------------------
1. Como podemos observar na figura, para um espelho plano o objeto e a 
imagem têm sempre a mesma orientação. (No exemplo abaixo, o objeto e a 
imagem estão de “ cabeça para cima’ .) Dizemos, então, que a imagem 
é direita em relação ao objeto.
2. Devido à simetria ponto por ponto do objeto o da Imagem em relação 
ao espelho plano, o laco direito da imagom é imagem co lado esquerdo do 
objeto, e vice-versa. Este fenômeno é chamado reversão.
w
Complementos
Campo de um espelho plano — Sabemos que a imagem de um ponto-objeto em 
um espelho plano é simétrica em relação ao plano que contém o espelho. Os ralos 
de luz que partem do oonto P são refletidos pelo espelho plano e retornam ao meio 
inicial de propagação, "como se viessem do ponto-imagem’ P\ Na figura seguinte, 
os observadores, cujos olhos estão posicionados na região delimitada pelos raios 
a e a', enxergam a magem do ponto P. pois a luz refletida pelo espelho atinge os 
seus olhos. Os observadores cujos olhos estão colocados fo'a desta região não 
enxergam a imagem do ponto P. pois a luz refletida não atinge seus olhos.
Estes observadores enxergam
Se um observador 0 colocar o o ho no lugar do ponto P. pelo princípio do cami­
nho Inverso só poderá receber a luz refletida pelo espelho dos pontos que estão 
no reglfio delimitada pelos raios a e a Portanto só poderá ver per reflexão os 
pontoe que estão dentro desta regão. A regiáo delimitada pelos 'aios a e a' é 
i linmnda de campo visual do espelho para a posição do observador O.
Assim, para a determinação do campo visual do espelho para a posição do olho
0 dovemos:
• determinar o ponto simétrico do olho em relação ao plano co espeiho (O );
• inlr O’ aos pontos extremos do espelho, obtcndo-sc o campo visual oara a posi­
ção O do observador.
O observador em O só poderá ver. por reflexão, os objetos que estão dentro do 
niunpo visual.
1. O campo visual depende da posição do olho em relação ao espelho
Aproximanco o olho do espelho, o campo visual aumenta.
2. O campo visual do espelho depende da posição lateral do olho em relação ao 
espelho.
1. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um objeto pontual está em 
frente a um espelho plano e a 20 cm dele. O olho de um obser­
vado' está a 30 cm do espelho e sobre a mesma linha que liga 
o objeto à imagem do objeto. A que distância do olho do obser­
vador se forma a imagem do objeto?
a) 10 cm d) 40 cm
b) 20 cm e) 50 cm
c) 30 cm
R e s o lu ç ã o : Para um ponto-objeto-real ( P ) , o espelho plano conjuga u n i 
ponto-imagem-virtual ( P ') . O objeto e a imagem são s im é t r ic o s em 
relação ao plano do espelho. Como o observador está situado a 30 cm 
do espelho, a distância entre o seu olho c a imagem P' é de 50 cm 
(veja a figura).
O oojeto pontual (P) está em frente ao espelho plano. Portanto, é um 
ponto-objeto-real.
Resposta: alternativa c.
61
2. ESCOLA POLITÉCNICA DA USP — Uma pessoa de altura H acha- 
-se defronte a um espelho plano retangular e vertical. Sendo h 
a distância do olho do observador ao chão, determine:
a) a menor altura d que esse espelho deve ter para que o obser­
vador possa mirar-se da cabeça aos pés no espelho:
b) a distância r da borda inferior do espelho ao solo.
R e s o lu ç ã o : Uma pessoa dc altura H é considerada um o b je to e x te n s o . 
A imagem conjugada pelo espelho plano c simétrica do objeto, ponto 
por ponto, em relação ao plano do espelho. A imagem c o objeto são 
sempre do mesmo tamanho.
1’uru que o observador possa mirar-se da cabeça aos pés no espelho, 
deve enxergar através do espelho a imagem dos pontos extremos de 
■eu corpo. Assim, podemos construir o percurso de dois raios de luz:
• o raio dc luz que parte de P é refletido pelo espelho e atinge o 
olho O , como se viesse da imagem P ';
• o ruio de luz que parte dc C é refletido pelo espelho e atinge o olho 
C), como se viesse da imagem C'.
h
H
T
62
Portanto, como mostra a ilustração, MN é a menor altura que o espelho 
deve ter para que o observador possa mirar-se da cabeça aos pés.
a) Os triângulos OMN e OC'P' são semelhantes.
Logo:
MN OK d _ x
C P ' OO' H _ 2x ^
A altura do espelho deve ser metade da altura do observador.
b) Os triângulos NGP' e OPP' são semelhantes. 
Logo:
NG
OP
GP'
PP' 2x
A distância da borda inferior do espe ho ao solo deve ser a me­
tade da distância do olho do observador ao chão.
Observe que os resultados obtidos são válidos q u a lq u e r q u e s e ja a d is ­
tâ n c ia d o o b s e r v a d o r a o e s p e lh o (x ) .
R e s p o s ta : a) d — — ; b ) r = — .
2 2
63
I I NGENHARIA DE SAO CARLOS (USP) — Um homem aproxima-se 
de um espelho plano e depois se afasta. Qual dos gráficos repre­
senta o tamanho real h de sua imagem em função do tempo?
ItcN n lu ção : A imagem de um objeto obtida através de um espelho plano 
lt m N cm pre o m e s m o ta m a n h o d o o b je to . Assim, quando um homem 
aproxima do espelho e em seguida se afasta, o tamanho da imagem 
u i a constante e sempre igual ao tamanho do próprio indivíduo.
«»ii seja, o gráfico h X t será uma reta paralela ao eixo dos tempos.
d, d.
Oii«l(|uor que seja a distância do oajeto ao espelho plano, o tamanho da 
lin«U«m Boró igual ao tamamo do objeto.
Itrspoida: alternativa d.
64
Observações complementares 
ao exercício número 3
Ângulo visual
Muitas vezes, o sentido da visão pode conduzir-nos a algumas con­
clusões erradas a respeito das situações que nos envolvem. Somos geral- 
rnente traídos por certas “ilusões ópticas". Na questão de número 3. 
em que um observador se aproxima do espelho e depois se afasta, o 
ta m a n h o d a im a g e m p e r m a n e c e c o n s ta n te . Entretanto, para o obser­
vador, p a r e c e que a imagem aumenta de tamanho quando o objeto sc 
aproxima do espelho, c que diminui quando se afasta. Este fato pode 
ser compreendido através do conceito de â n g u lo v isu a l.
Quando observamos um objeto AB, todos os seus pontos enviam luz 
aos nossos olhos.Os pontos extremos do objeto enviam aos nossos 
olhos os raios que definem o â n g u lo v isu a l sob o qual contemplamos 
o objeto (veja a figura).
0 observador O contempla o objeio AB sob o ângulo visual a
65
Como podemos observar, quanto mais perto do objeto o observador se 
encontra, m a io r s e r á o â n g u lo v is u a l correspondente. Consequente­
mente, embora o tamanho do objeto seja sempre o mesmo, parccc que 
rir fica maior à medica que o observador se aproxima dele, e menor 
.1 medida que se afasta. Na figura, o objeto tem altura constante. Sendo 
i j t y os ângulos visuais do objeto cm relação aos olhos do obser­
vador, podemos escrever: I T > 3 > a
\ ln iv A o : Quando o observador se aproxima do espelho plano, o ta- 
luiiulu) da sua imagem permanece constante e igual a h. Entretanto, 
quanto mais perto do espelho se encontrafo observador, maior será o 
Angulo visual (y > 3 > *) com que este contempla a sua imagem. De­
vido a isto, quando o observador sc aproxima do espelho, c!c tem a 
ImpressAo de que o tamanho de sua imagem aumenta, mas na realidade 
ii que aumenta c apenas o ângulo visual.
66
4. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA — O observador O verá através 
do espelho plano E os objetos:
1
E
=□
• 4
d) 1. 3.
e) 3. 4.
Resolução: O observador poderá ver através do espelho a imagem dos 
objetos que estiverem dentro do campo visual do espelho, para a posi­
ção do observador O.
Unindo o ponto O' (simétrico de O) às bordas do espelho, definimos 
a região do espaço que constitui o campo visual do espelho.
Portanto, o observador O poderá ver através do espelho apenas os 
objetos que estiverem dentro deste campo visual. No exercício em 
questão, o observador só poderá enxergar através do espelho os objetos 
1 e 3, como podemos ver no esquema abaixo. Note que o campo visual 
depende do tamanho do espelho e da posição do observador cm relação 
a este.
• 5
a) 1. 2, 3.
b) 1, 3. 5.
c) 3. 5.
Resposta: alternativa d.
Ô // /m w 67
I ! UNDAÇÂO CARLOS CHAGAS — Um observador O encontra-se 
numo posição fixa a 10 cm de um espelho plano móvel. Quando 
*»»to se afasta para uma nova posição, paralela à primeira, verifi- 
««moa que a imagem do observador se deslocou para uma nova 
poilçâo I, a 17 cm do espelho. Concluímos, então, que a imagem 
no dnslocou. em relação à sua posição inicial, de:
l(r< ioluvfio: na figura, notamos que quando o espelho plano E é trans­
ladado dc uma distancia d. a imagem correspondente do objeto P 
inmhcm é transladada, no mesmo sentido, de uma distância II.
t *tijli|n lixo
a iiiiic ito
ImIi ImÍ
Posição Inicial g 
do espelho
Ob)oto lixo
Deslocamento do 
P espelho
7 ï
•Ih iftç lo
final
Posiçáo inicial
y y / i,ra9em
'Deslocamento da 
imagem
Posição final 
do ospolho.
Posição final da 
imagem
fintipArando as duas situações ilustradas, podemos escrever:
I
•I
Dc dom mento do espelho:
PB PA - b - a => (D
h e a lo c a m e n to d a im a g e m :
M PP" - PP' = 2b - 2a = 2(b - a) => 
hubMltuindo(l) em (2), vem: ] D = 2d
D = 2(b - a) (2)
68
C o n c lu s ã o : Quando um espelho plano é transladado lateralrr.ente de 
uma distância d, numa direção perpendicular ao seu plano, a imagem 
correspondente a um objeto fixo translada-se, no mesmo sentido, dc 
uma distância 2 d.
■ ■ - - = = 1
No exercício em questão temos os seguintes elementos: 
a = 1 0 cm 
b = 17 cm
d = b — a — 17 — 10 = 7 cm
D = 2d = 3
D = ?
D — 14 cm
R e s p o s ta : alternativa b .
Observação: Tomando o objeto como referencial, note que em um mesmo 
intervalo de tempo A t o deslocamento (2d) da imagem é o dobro do desloca 
mento (d) do espolho.
P
Cbjeto fixo Imagem cm 
movimento
Espelho em 
movimento
Sendo V. = velocidade do espelho em reiaçáo ao objeto = ------ e V, -
At
2 d
= velocidade da imagem em relação ao objeto --------- , então
At
Vs = 2 . 
Portanto:
d \
w
= 2Ve.
V, - 2V. A velocidade da imagem é Igual ao dobro da 
velocidade do espelho (em relação ao objeto].
• Aplicações
I (Juando um automóvel movimentasse com uma velocidade V em 
rclução a um observador fixo no solo, o observador vê a sua própria 
imiigem no espelho retrovisor movimentando-se com uma velocidade 
2V em relação a ele.
Espelho (retrovisor) 
em movimento
Imagem em 
movimento
A velocidade da imagem em relação ao espelho ou em relação ao 
motorista poderá ser obtida a partir das velocidades cm relação 
no solo:
Velocicade do motorista Velocidade da imagem
Velocidade da imagem cm relação 
ao motorista — 2V — V — V
I templo:
Sc ii carro se movimenta com a velocidade de 80 km/h em relação à 
mirada, a imagem, no retrovisor, dos objetos fixos na estrada movi- 
iiirnta-sc também com a velocidade de 80 km/h em relação ao m o to - 
rUfii
70
6. FEI — Um objeto pontual O encontra-se em frente a um espelho, 
conforme mostra a figura. Se o espelho girar em torno do eixo 
A. com velocidade angular constante o>. qual será a velocidade 
escalar da imagem?
• o
□ x o * —
Resolução:
Quando um espelho plano gira de um ângulo a em torno de um eixo 
À contido no seu próprio plano, a imagem de um objeto O gira de 
um ângulo 2a em torno do mesmo eixo c no mesmo sentido (veja 
esquema abaixo).
im r
Dados
OA = 20 cm
0) = 0.5 rad/s
Angulo de 
rotação do espelho
A
Objeto fixo
Posição inicial 
do espelho
Posição final 
do espolho
Posição inicial 
da imagem
Deslocamento 
da imagem
Angulo de rotação 
da imagem
Durante certo intervalo de tempo, o espelho gira de um ângulo a em 
torno do eixo A. Em cada posição que o espelho se encontra, a ima­
gem será simétrica do objeto em relação ao plano do espelho. A ima­
gem dcsloca-sc de ()' até O"
Sendo O' o simétrico dc O, vem
a posição final do espelho, vem
71
O ponto-objeto O c as imagens obtidas cm cada posição distam igual- 
mente do ponto A. Portanto, as imagens c o ponto-objeto encontram- 
sobre uma circunferência de centro rA. Nesta circunferência po­
demos observar que:
• é o ângulo central que subentende o arco Ó ^ " .
• a é o ângulo inscrito na circunferência que subentende o mesmo 
urco CVO".
Portanto, da Geometria vem } = 2%
I timbrando que o>e = velocidade angular do espelho =
deslocamento angular do espelho a
------- ;-----------------------------------= e o), = velocidade an­
imer valo de tempo-----------------At
deslocamento angular da imagem £
gulnr da imagem = 
2a
intervalo de tempo At
At
-, temos ü>i — 2 . CO» — 2o>c
At
I ogo, to, = 2 .0 ,5 =$ w, = l,0rad/s.
I >j i Cinemática angular: V = wr.
I ogo:
V, o),r,, onde rs — AO = AO' = AO" = 20 cm 
V, 1 . 20 => Vj = 20cm /s ou V; = 0,2 m/s
Itriposta: A velocidade escalar da imagem será de 0,2 m/s.
1 I AU - - Determine o desvio sofrido pelo raio refletido por um 
nipnlho plano, que gira de um ângulo 0, em torno de um eixo 
ixintldo em seu plano.
Eixo qje
ItrHolução: A figura pertence
«Iralío representa um dõ espelho
('•púlho plano que gira 
de um Angulo 0 em tor­
no dc um eixo r con­
tido cm seu plano, des- 
I«k iiiiclo-se de uma po- 
mIvA» inicial até uma 
IMHilva» final.
Posição fina! 
do espelho
72
Quando o espelho plano está na posição inicial, o raio dc luz incide 
no ponto I e sofre reflexão.
Quando o espelho plano está na posição final, o raio de luz incide no 
ponto r c sofre reflexão.
Os raios refletidos em I e I ' definem o ângulo x, que corresponde ao 
desvio sofrido pelo raio refletido.
Vejamos qual a relação entre 0 e a.
Vamos analisar os triângulos obtidos no esquema simplificado:
A O I K - AMI'K=>0 = p (1)
Pela lei angular de Thaïes, V =
= î+ P=>3=î'-î (2)
Pela lei angular dc Thales, 2i,*= 
= 2 ? -M = > a = 2 ( í ' - í ) (3)
Substituindo (3) por (2), temos
x = 2p. Da relação (1), vem |~~ g — 20
Resposta: Quando o espelho plano girar de um ângulo 0, o raio refle­
tido sofrerá um desvio de 20.
73
I I I NDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual das seguintes figuras representa
melhor um raio de luz refletido por um espelho plano (E)?
ii) sempre virtual c simétrica do objeto.
H) icmpre real.
•) ical ou virtual, dependendo da distância entre o espelho c o objeto, 
d) Nenhuma das alternativas anteriores.
i UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — A imagem de uma pessoa for- 
iinulu cm um espelho plano é, em relação à pessoa: 
o) direita. d) aumentada.
l o invertida. e) Nenhuma das alternativas anteriores.
. > reduzida à metade.
4 UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA — Voltando à questão anterior, 
pndomos afirmar que:
ii) ii distância da pessoa ao espelho é igual à distância da imagem ao espelho, 
lo n distância da pessoa ao espelho é maior que a distância da imagem ao 
espelho.
. ) a distância da pessoa ao espelho é menor que a distância da imagem ao 
espelho.
d l Nmla podemos afirmar.
•) Nenhuma das respostas anteriores.
I I NUENHARIA DE ITATIBA — Um objeto c colocado a 20 cm de um
• .|n l h o plano. A imagem que sc forma dista desse objeto:
ii) tem. c) 20cm.
lo 10 em. d) 40 cm.
74
6 UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA Coloca-sc a ponta dc um lápis 
apoiada em um espelho plano fixo de 2 mm de espessura. A distância entre 
a ponta-objeto c a ponta-imagem será de:
a) 10 mm. d) 2 mm.
b) 20 mm. e) 4 mm.
c) I mm.
7. FUVEST Maria e Joana são gêmeas e têm a mesma altura. Maria está 
se olhando num espelho vertical e encontra-se a 5 m deste. O espelho 6 reti­
rado e Maria ve Joana na mesma posição e com as mesmas dimensões com 
que via sua própria imagem. A distância d entre Maria e Joana, nestas con­
dições, é de:
5 m_____
d
a) 5 m.
b) 7,5 m.
c) 10 m.
d) 15 m. 
c) 20 m.
8. UNIVERSIDADE DE JUIZ DE FORA Um observador com 1,6 m de 
altura encontra-se dc pé em um piso espelhado. Distante 2,0 m dele há uma 
parede c, sobre ela. um quadro dc 1,0 m de altura, cujo lado inferior está 
a 60 cm do piso. O observador vê o quadro através do piso. A altura da 
imagem do quadro no piso espelhado mede:
a) 100 cm. d) 45 cm.
b) 90 cm. c) 30 cm.
c) 60 cm.
9. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS Um observador localizado no ponto 
1* está olhando no espelho plano a imagem do objeto O. conforme a figura 
abaixo. O raio de luz que permite ao observador ver a imagem no espelho 
sofre reflexão no ponto:
a) U. Espelho
b) T.
c) S. Q R S T U#
d) R. 1
e) Q.
10. ENGENHARIA DE SÃO CARLOS (USP) — Um observador (CP) de altura 
II encontra-se em frente a um espelho plano AB. retangular e vertical. A 
distância do olho do observador ao solo é h.
I Determine a altura v do espelho, bem como a distância u de sua borda 
inferior B ao solo. a fim de que o observador veja sua imagem em corpo 
inteiro, mostrando também que u e v independem da distância do obser­
vador ao espelho.
b) l ntre o observador e o espelho coloca-se uma mureta MN de espessura 
desprezível c altura ni (m < u). cuja distância ao espelho é d Deter­
mine a menor distância do observador à mureta. com a condição dc 
que esta não reduza a visibilidade da imagem vista pelo observador.
1 1 I liVliST — Na figura estão representados um ponto luminoso P c um espe­
lho plur.o E. Desenhe a região dentro da qual deve estar o olho do obser­
vador para que ele veja a imagem do ponto P.
• P
7777/
\ i t i St jR AN RIO — Olhando para o espelho plano E. o observador O vê as 
Imagens dos objetos:
e m .
a) I, 2 e 3. 
li) 4.
• ) J, 4 e 5. 
ill I o 4. 
iM I, 3 c 4.
H M SC I A — Um feixe dc luz propagando-se na direção definida pela reta 
VO incide num espelho plano Elt de forma que o raio refletido OB seja per­
pendicular a AO. conforme mostra a figura a seguir. Um outro espelho 
plano Eb deve ser colocado dentro do retângulo pontilhado, dc forma que 
i* ínxc OB seja novamente desviado para a direção AO, com o mesmo sen­
tido (feixe CD).
A
1'nnt conseguir isto, o espelho Ea deve ser colocado:
«) pnrulclo a AO. d) paralelo a Ex.
•d piupcndicular a AO. e) em qualquer posição.
• i perpendicular a K,.
76
14. MEDICINA DA ESP — O ângulo formado por dois espelhos planos E c 
D c a. Um raio de luz incide em E e, depois de sofrer reflexão, incide cm 
D, sofrendo nova reflexão. Volta, então, a incidir cm E. Sendo p o ângulo
15. ENGENHARIA DE ITAT1BA — Quando um observador se aproxima de 
um espelho plano com velocidade V, sua imagem:
a) aproxima-se do espelho com velocidade 2V.
b) permanece fixa.
c) aproxima-se do observador com velocidade 2V.
d) aproxima-se do observador com velocidade V.
16. FILOSOFIA DA USP — Um objeto é colocado cm frente a um espelho 
plano, a uma distância de 10 m deste. Se o espelho sofre uma translação, 
afastando-se 2 m do objeto, a distância entre o objeto e a imagem varia de:
a) 4 m. d) 1 m.
b) 2 m. e) 8 m.
c) 1/2 m.
17. FACULDADE DE ENGENHARIA SÀO PAULO Uma partícula cai 
verticalmente sobre um espelho plano horizontal, que está com sua face 
polida voltada para cima. A aceleração da partícula em relação à sua ima­
gem no espelho vale, aproximadamente:
a) 10m/s2. d) 15 m/s2.
b) 20 m/s2. e) 0 m/s2.
c) 5 m/s2.
IH. FEI — Quando giramos um espelho plano de um ângulo a em torno de um 
eixo perpendicular ao plano do espelho, a imagem:
a) gira de um ângulo 2a em torno do mesmo eixo.
b) gira de um ângulo 3a em torno do mesmo eixo.
c) não se altera.
d) também gira dc um ângulo a cm torno do mesmo eixo.
19. PUC (SÃO PAULO) — Um raio luminoso incide em um espelho plano, for­
mando com a normal um ângulo de 30°. Girando o espelho no ponto de 
incidência, de tal modo que na nova posição cie fique perpendicular ao raio 
refletido anteriormente, qual será o novo ângulo dc reflexão?
a) 15° d) 60°
b) 30° e) 90°
c) 45°
H» MACKENZIE — Seja E um espelho que pode girar em torno do eixo 
il' «cu plano, com velocidade angular constante, como mostra a figura.
4 o ponto iluminado, quando o espelho está na posição E, e X é o ponto 
Iluminado, quando o espelho está em outra posição, de modo que OM = MN. 
I )i no modo. dizemos que o espelho girou de um ângulo £ igual a:
«I n rad.
b) rad.
4
u) rad.
2
dl 2it rad.
»1 — rad.
R
• I MAC KENZIE
U,1 » paru ir üc
n I - rad/ s.
4
lu -ir. rad/s.
' i * rad/s.
2
• 4 .1 IJ d 14. S = 2a 15. c 16. a 17. b 18. c 19. d 20. e 21. a
— Em relação ao teste anterior, se o ponto iluminado levou 
M ate N, a velocidade angular do espelho ç de;
d) —— rad/s.
5
e) Nenhuma das anteriores.
2 
c
îrJBÉr
SS*
CRfïïULO
3
Gspelhos Gsféricos
O que é um espelho esférico
Neste capítulo analisaremos a formação de imagens em espelhos 
< ujni superfícies refletoras da luz são esféricas ou, mais propria- 
rnante, calotas esféricas.
Uma calota esférica pode ser obtida seccionando-se uma esfera 
Nlritvés de um plano. Submetendo a calota esférica a um espelha- 
»!'*•!ito teremos um espelho esférico.
Calota 
esférica
corta a esfera
Quando a superfície espelhada é a parte interna da calota o es 
l»'.liit» naférlco é chamado de espelho esférico côncavo.
Quando a superfície espelhada é a parte externa da calota o 
espelho esférico é chamado de espelho esférico convexo.
80______________________________________________________________
Elementos geométricos de um espelho esférico
Os elementos que caracterizam a geometria do espelho são os 
elementos associados à geometria da esfera. Assim, podemos definir 
diversos elementos geométricos do espelho esférico:
• centro de curvatura (C) — é o centro de curvatura da esfera que 
contém a calota esférica;
• raio de curvatura (R) — é o raio de curvatura da esfera que 
contém a calota esférica:
• vértice do espelho (V) — é o pólo da calota esférica;
Eixo
principal
Calota
esférica
• eixo principal — é a reta que contém o centro C e o vértice V 
do espelho;
• eixo secundário — qualquer reta que contém o centro C, mas 
não contém o vértice V do espelho;
• ângulo de abertura (a) — é o ângulo x, de vértice localizado em 
C. e cujos lados passan pelos pontos A e B (pontos extremos do 
contorno da calota e simétricos em relação ao eixo principal);
• plano frontal — qualquer plano perpendicular ao eixo principal; 
no caso da figura, um plano frontal seria perpendicular ao pla-io 
da página do livro;
• plano meridiano — qualquer plano que contém o eixo principal; 
o plano da página do livro contémo eixo principal e é, portanto, 
um exemplo de plano meridiano.
Reflexão de um raio de luz em um espelho esférico
Quando um raio de luz incide em um ponto de um espelho es;é- 
rico sofre reflexão, obedecendo às duas leis da reflexão já estudacas 
anteriormente. No entanto, no caso especial da superfície esférica, 
algumas particularidades são significativas:
• A reta normal em um ponto da superfície esférica pode ser ob­
tida unindo este ponto ao centro de curvatura da esfera.
/✓
82
• Os raios de luz incidentes no espelho pertencem a um plano de 
incidência que coincide com um plano meridiano. (No nosso caso, 
é o próprio plano da página do livro.)
Guando o raio de luz incidir no espelho esférico, passando pelo centro 
de curvatura, coincidirá com a normal no ponto de incidência.
Então, após sofrer reflexão no espelho, ele voltará sobre si mesmo, 
passando novamerte pelo centro de curvatura.
Note que, no caso do espelho convexo, é o prolongamento do raio de luz que 
passa pelo centro de curvatura do espelho. ___________
Condições de Gauss *
Restrições práticas na utilização dos espelhos esféricos
No capitulo anterior introduzimos o conceito de sistema óptico estigmático. 
Vimos que este sistema fornece imagens nítidas dos objetos, ou seja. a cada ponto- 
-objeto o sistema óptico conjuga um só ponto-imagem (6 o caso do espolho plano). 
Podemos voriflear cxperimentalmcnto que nesse sistema óptico as imagens obser­
vadas são nítidas e sem distorções: a imagem de uma figura plana é também uma 
figura plana.
Ao contrário dos espelhos planos, a experiência mostra que as imagens apre­
sentam-se distorcidas numa esfera espelhada. (Observe, por exemplo, a imagem de 
seu rosto cm uma “ bola de Natal’ .)
Podemos então concluir que. nos espelhos esféricos, a imagem dc um ponto 
nào é um único ponto, mas, sim. uma mancha som n tidez. e a imagem do uma 
figura pana apresenta-se encurvada Estas aberrações na formação do imagens são 
ocasionadas pola esfericidade da superfície. Dai receberem o nome de aberrações 
esféricas.
Entretanto, sob certas condições, os espe hos esféricos podem ser utilizados de 
modo satisfatório, fornecendo imagens praticarncnte sem aberrações. Essas condi­
ções foram vorificadas expenmentalmontc por Gauss e. por isso. recebem o nome 
de condições de nitidez de Gauss:
1. O ângulo dc abertura (a) deve ser pequeno, no máximo 10’ . Ou seja. a < 10"-
Superfície
plana
Guardo o ângulo de abertura é ocquenofx <. 10’). o comportamento do espelho 
esférico aproxima-se do comportamento do espelho plano quanto á nitidez da 
Imagem. Assim, as aberrações esféricas diminuem
‘ Cari Friedrich Gauss (1777-1855) Grande matemático, astrônomo o físico alemão, 
contribuiu decisivamente para a formação da teoria dos números 
lo l um dos pioneiros na Matemática aplicada ã Gravitação, à Eletricidade, 
no Magnetismo e à Óptica Geométrica.
84
2. Os raios de luz devem estar próximos do eixo principal e pouco Inclinados em 
relação ao mesmo eixo. Nessas condições, os raios de luz são chamados de 
raios paraxiais.
Eixo
principal
Os espelhos esféricos que obedecem a essas condições são chamados de espe­
lhos esféricos de Gauss. Todas as considerações a respeito da reflexão da luz nos 
espelhos esféricos serão feitas daqui oor diante, supondo que o espelho esférico 
obedece às condições de Gauss. que sáo as condições de interesse prático para a 
utilização dos espelhos esféricos.
Foco principal de um espelho esférico de Gauss
Quando um pincel de luz cilíndrico incide paralelamente ao eixo 
principal de um espelho esférico de Gauss, a experiência mostra que 
o comportamento óptico do espelho côncavo é diferente do compor­
tamento do espelho convexo. Analisemos as duas situações:
• Ao refletir o pincel cilíndrico, o espelho esférico côncavo dá 
origem a um pincel cônico convergente. O pincel de luz emer­
gente converge para o ponto F. sobre o eixo principal. O espelho 
côncavo “ transforma" um pincel cilíndrico num pincel conver­
gente. Devido a isso, dizemos, então, que o espelho côncavo é 
um sistema óptico convergente.
Ao ’■efletir o pincel cilíndrico, o espelho esférico convexo dá ori­
gem a um pincel cônico divergente. O pincel de luz emergente 
diverge e o vértice do pincel encontra-se sobre o eixo principal, 
no ponto F. Neste caso. o vértice F só tem existência geomé­
trica (prolongamento de raios de luz). O espelho convexo “ trans­
forma" um pincel cilíndrico em um pincel divergente. Devido a 
isso, dizemos, então, que o espelho convexo é um sistema óptico
Observando a reflexão do pincel cilíndrico nos espelhos côncavo 
»» convexo, podemos notar que. quando o objeto está no infinito (ponto- 
objeto-impróprio) e sobre o eixo principal, a imagem se localiza sobre 
D ponto F. De maneira geral, em Óptica, quando o pincel incidente 
•i cilíndrico (PO,*.), o ponto em que se forma a imagem é chamado 
•lo foco. Assim, o ponto F é um foco do espelho. Como o foco F está 
iobre o eixo principal é chamado de foco principal. No caso do es-
86
pelho côncavo, o foco é um elemento real. pois o sistema é conver­
gente. No caso do espelho convexo, o foco é um elemento virtual, 
pois o sistema é divergente. Aplicando o princípio do caminho in­
verso a um objeto colocado no foco F, o espelho irá conjugar uma 
imagem no infinito (Piso).
Tanto no caso do espelho côncavo como no caso do espelho 
convexo, a experiência nos mostra que o foco principal F é aproxima­
damente o ponto médio da distância entre o centro de curvatura C 
e o vértice do espelho V. A distância FV é chamada de distância 
focal. Esta propriedade só é válida para os espelhos esféricos de 
Gauss. (Veja Leitura Complementar I.)
forma" um plncol cilíndrico em um pincel convergente. Podemos, dessa forma, 
aproveitar a energia solar para aquecer um recipiente ou construir um isqueiro.
V
88
2. Colocando uma lômpads sobro o foco F do espelho côncavo obtemos um pincel 
cilíndrico. Esta propriedade pode ser utilizada na construção do uma lanterna 
ou de um farolete.
No quadro a seguir, resumimos tudo o que foi estudado até agora sobre espe­
lhos esféricos-
Quadro I — Espelhos esféricos de Gauss
Espelho côncavo 
Luz - Classificação geométrica Luf p
Espelho convexo
C J V
A superfície interna 
da calota 
é espelhada.
Eixo Eixo
principal principal y l C
A superfície externa 
da calota 
é espelhada.
Classificação física Comportamento óptico
Propriedades dos raios incidentes nos espelhos 
esféricos de Gauss •
A partir dos vários exemplos vistos anteriormente sobre a 
reflexão da luz nos espelhos esféricos, podemos estabelecer algu­
mas propriedades básicas dos raios incidentes. O conhecimento 
dessas propriedades é fundamental para que se possa fazer a cons­
trução gráfica das imagens nos espelhos esféricos de Gauss.
©
Quadro II — Propriedades dos raios incidentes 
nos espelhos esféricos de Gauss
Todo raio de luz que incide paralelamente ao e xo principal do espolho é 
refletido, passando pelo foco principal.
90
Construção gráfica de imagens nos espelhos de Gauss
Colocando um objeto diante de um espelho esférico, e com auxí­
lio das propriedades resumidas no Quadro II. podemos determinar 
graficamente as características da imagem conjugada através do
espelho.
91
Torremos, como exemplo, o espelho côncavo e o objeto A mos­
trados na figura abaixo. A técnica a ser desenvolvida neste exemplo 
ó válida para outras posições do objeto em relação ao espelho e inde­
pende do tipo de espelho (côncavo ou convexo).
• Seqüência para determinação gráfica da imagem
1. A luz que parte do ponto-objeto A incide no espelho, na forma de 
pincel de luz.
Representamos o pincel incidente por meio de dois raios de luz. 
obedecendo às propriedades do Quadro II. O ponto A é o vértice 
de um pincel incidente cônico divergente Portanto, é um ponto- 
•objeto-real (POR). No exemplo, os dois raios de luz que definem 
o pincel incidente são:
• raio incidente paralelo ao eixo principal:
• raio incidente que passa pelo foco.
2. Opincel incidente sofre reflexão. Aplicando as propriedades do 
Quadro II aos raios que representam o pincel incidente, podemos 
visualizar o pincel refletido. O ponto A' é o vértice do pincel emer­
gente cônico convergente. Portanto, é um ponto-imagem-real (PIR).
3. Para determinar a imagem de um objeto AB frontal (perpendicular 
ao eixo) e com uma extremidade sobre o eixo principal (ponto B), 
é suficiente determinar a imagem do ponto A Sendo o espelho 
esférico de Gauss. a imagem será também perpendicular ao eixo. 
Unindo o ponto A' ao eixo principal, determinamos a imagem A'B'.
4. Observe que se utilizássemos um terceiro raio incidente, a ima­
gem determinada graficamente apresentaria as mesmas caracterís­
ticas. como você pode ver no esquema abaixo.
Conclusão: Para o exemplo analisado, podemos escrever:
Natureza da imagem: A imagem é de natureza real.
Posição da imagem em relação ao espelho: A imagem encon­
tra-se entre o centro de curvatura (C) e o foco principal (F). 
Tamanho da imagem: A imagem é menor do que o objeto.
Orientação: Dizemos que a imagem é invertida em relação ao 
objeto, pois o objeto e a imagem estão em lados opostos do 
eixo principal.
A imagem de um ponto-objeto B local zado sobre o eixo principal encontra-se 
também sobre esse mesmo eixo.
• Construções gráficas no espelho côncavo para diversas posições
94
A imagem é real, maior
Objeto entre o centro ■ que o objeto c
c o foco “ invertida, e está além
do centro C.
95
• Construção gráfica no espelho convexo — Para um objeto colo­
cado diante dc um espelho convexo de Gauss, façamos a construção 
gráfica da respectiva imagem.
Pincel
Imagem virtual, menor que o objeto e direita. 
Objeto diante do w O espelho convexo conjuga de um
nupelho (real) objeto real uma imagem sempre virtual
(“atrás" do espelho).
96
• Conclusões gerais — Analisando as diversas construções gráfi­
cas estudadas anteriormente, podemos tirar algumas conclusões 
gerais para os espelhos côncavo e convexo, as qua:s apresentamos 
no quad-o a seguir.
I Apiicacão
Devido ao fato de seu campo visual ser maior do que o do espe ho plano, o 
espelho convexo é usado como retrovisor de motocicletas cu de grandes veículos.
Ôh///yy ^ 9y
Quadro III — Conclusões gerais — Espelhos de Gauss
• Os elementos reais (objeto e imagem) estão sempre na frento da .superfície 
espelhada, e os elementos virtuais estão sempre ‘'atrás* da superfície espe­
lhada.
Os objetos luminosos sào sempre reais e estão colocados sempre na frente 
do espelho.
• Quando <> objeto e a imagem têm a mesma natureza (por exemplo, objeto real 
e imager» tambóm real), a imagem é sempre invertida.
• Quandr o objeto e a imagom têm naturezas opostas (por exemplo, objeto real 
e imajem virtual), a imagem é sempre direita.
98
• O elemento (objeto ou imagem) mais distante do espelho é sempre o elemento 
de maior tamanho. (Exemplo: Se a distância da imagem ao espelho 6 maior do 
que a distância do objeto ao espelho, então o tamanho da imacem é rnaior do 
quo o do objeto.) So o objeto e a imagem estão à mesma distância do espe­
lho. então eles têm o mesmo tamanho (objeto sobre o centro)
Importante:
Só as imagens reais podem ser projetadas em anteparos (telas). Na figura, 
a imagem real A'B' é definida pela convergência dos raios no ponto A'. Os raios 
de luz atingem o anteparo e a imagom pode ser recebida sobre elo.
Estudo analítico dos espelhos 
esféricos de Gauss
• Referencial de Gauss — Através das construções gráficas estu­
dadas anteriormente podemos determinar diversas i aracterísticas 
das imagens conjugadas pelos espelhos esféricos. Podemos saber se 
a imagem conjugada é real ou virtual, ou seja. se está 'ocalizada na 
frente ou “ atrás" do espelho, se é maior ou menor do que o objeto 
e sc é direita ou invertida. Quando desejamos determinai numerica­
mente as características da imagem conjugada pelo espelho (distância 
da imagem ao espelho e tamanho da imagem), utilizamos um processo 
analítico, com o auxílio das seguintes equações:
• equação de conjugação dos pontos (equação de Gauss);
• equação do aumento linear transversal.
As equações mencionadas acima utilizam um referencial para 
definir a posição do objeto e a posição da imagem em relação ao 
espelho. Esse referencial é chamado de referencial de Gauss e apre­
senta as seguintes características:
• origem — vértice (V) do espelho;
• eixo das abscissas — coincidente com o eixo principal do es­
pelho e orientado no sentido contrário ao da luz incidente. Por­
tanto, a região positiva do eixo estará sempre na frente do es­
pelho. e a região negativa do eixo estará sempre “ atrás" do 
espelho. Em conseqüência disto:
— os elementos reais terão abscissas positivas, pois estão sem­
pre na frente do espelho;
— os elementos virtuais terão abscissas negativas, pois estão 
sempre “ atrás" do espelho;
• eixo das ordenadas — eixo vertical orientado no sentido ascen­
dente. As ordenadas positivas correspondem à região acima do 
eixo principal. As ordenadas negativas correspondem à região
abaixo do eixo principal
Abscissas
positivas
Sentido da
luz incidente \ ( Eixo das
Abscissas
negativas
_ - ♦
Região dos elementos 
reais objeto e 
imagem.
“t"
I ordenaüas
________ * ________
Região dos elementos 
virtuais — objeto
e imagem.
Origem
^ Eixo das 
abscissas
V
Referencial de Gauss — Espelho côncavo
Referencial de Gauss — Espelho convexo
100
-
Para um referencial de Gauss. adota-se a seguinte convenção: 
p — abscissa do objeto;
p' — abscissa da imagem;
f — abscissa do foco principal;
y — ordenada do ponto extremo do objeto (ponto A);
y' — ordenada do ponto extremo da imagem (ponto A').
Observe os exemplos seguintes:
1. Objeto diante de um espelho côncavo.
De acordo com a convenção adotada, temos:
AB —► objeto real —» abscissa p positiva p > 0
A'B' -► imagem real -► abscissa p' positiva ->■ p' > 0
Espelho sistema óptico foco abscissa f —y —> —>
côncavo convergente real positiva
Objeto acima do eixo principal -» y > 0 
Imagem abaixo do eixo principal - * y' < 0
2. Objeto diante de um espelho convexo.
f < 0
De acordo com o que foi exposto, temos:
AB -+ objeto real -► abscissa p positiva -> p > 0
A B' -> imagem virtual -> abscissa p' negativa -► p' < 0
Espelho sistema óptico foco abscissa f —► —► —>
convexo divergente virtual negativa
Objeto acima do eixo principal y > 0
Imagem acima do eixo principal —► y' > 0
• Equação de conjugação dos pontos (equação de Gauss) — Utili­
zando o referencial de Gauss, podemos estabelecer uma relação entre 
obscissas p, p' e f. Tal relação é expressa através da equação de 
conjugação dos pontos.
Prova-se que, para um espelho de Gauss:
(Veja Leitura Complementar III.)
• Equação do aumento linear transversal — Define-se aumento 
linear transversal (A) como:
y
Utilizando o referencial de Gauss. podemos estabelecer uma re­
lação entre y, y \ p e p'. Tal relação é expressa através da equação 
do aumento linear transversal.
Prova-se que:
(Veja Leitura Complementar III.)
£ ^ i • Aplicação
A eqjação do aumento linear transversal apresenta uma relaçáo linear bastante 
importante entro o tamanho da imagem e o tamanho do objeto e as distâncias 
desses elementos ao espelho.
Em módulo, temos:
Tamanho da imagem Distância da imagem ao espelho 
Tamanho do objeto Distância do objeto ao espelho
"O tamanho da imagem está para o tamanho do objeto, assim como a distância 
da imagem ao espelho está para a distância do objeto ao espelho ”
Exemplo:
Se a distância da imagem ao espelho é duas vezes maior que a distância do 
objeto ao ospelho, então o tamanho da imagem também é duas vezes maior que o 
tamanho do objeto. Genericamente, podemos dizer que. em relaçáo ao espelho, o 
tamanho da imagem será tantas vezes maior que o tamanho do objeto, quantas 
vezes ela estiver mais longe do espelho que o objeto Analogamente, se a imagem 
estiver mais perto do espelho que o objeto, será menor do que esto. mantendo 
também a relação linear.
Resumindo: