LISTA 4

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4ª Lista de Estruturas Algébricas
Professor Crocco
1. Prove que os anéis 2Z e 3Z não são isomorfos.
2. Sejam A e B dois anéis. Defina as seguintes operações em A×B :
(a,b)+ (a′,b′) = (a +a′,b +b′) e (a,b) · (a′,b′) = (a ·a′,b ·b′).
(Os sinais “+” e “·” possuem significados distintos em cada ocorrência acima. Certifique-se de en-
tender isto.)
(a) Prove que (A×B ,+, ·) é um anel.
(b) Prove que π1 : A×B → A, dada por π1(a,b) = a, é um homomorfismo sobrejetivo.
(c) Determine o núcleo de π1.
3. Seja f : A → B um homomorfismo e J um ideal de B .
(a) Prove que f −1(J ) = {a ∈ A : f (a) ∈ J } é um ideal de A.
(b) Prove ou dê um contra-exemplo: Se I é um ideal de A, então f (I ) é um ideal de B .