leis de newton

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3 VETORES 
3.1 CARACTERÍSTICAS .......................................................................................... 2 
3.2 EXEMPLO: O VETOR DESLOCAMENTO ....................................................... 2 
3.3 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR .............................. 3 
3.4 SOMA DE VETORES – MÉTODO GRÁFICO .................................................. 3 
3.5 PROPRIEDADES DA SOMA VETORIAL ........................................................ 4 
3.6 DIFERENÇA ENTRE DOIS VETORES ............................................................. 4 
3.7 COMPONENTES VETORIAIS ........................................................................... 5 
3.7.1 Caso bidimensional ........................................................................................ 5 
3.7.2 Caso tridimensional ........................................................................................ 6 
3.8 VETORES UNITÁRIOS ...................................................................................... 7 
3.9 SOMANDO VETORES ATRAVÉS DAS COMPONENTES ............................ 7 
3.10 PRODUTOS ENTRE VETORES ....................................................................... 8 
3.10.1 Produto escalar ............................................................................................. 8 
3.10.2 Produto vetorial ............................................................................................ 8 
3.10.3 Produtos escalar e vetorial em termos das componentes vetoriais .............. 9 
3.11 DERIVAÇÃO DE VETORES .......................................................................... 12 
 
x 
y 
d

 
 
C 
D 
d

 
 
A 
B 
3 VETORES 
 
 
3.1 CARACTERÍSTICAS 
 
 
Estas grandezas possuem módulo (número positivo, indicador de intensidade), direção e 
sentido. 
 
Ex: posição, deslocamento, velocidade, aceleração 
 
 
Há regras específicas para a combinação de vetores. 
 
 
3.2 EXEMPLO: O VETOR DESLOCAMENTO 
 
 
Indica a mudança na posição da partícula mas não fornece qualquer indicação a 
respeito da trajetória seguida. Representa apenas o efeito global do movimento e 
não o movimento em si. 
 
 
 
Todas as trajetórias que ligam 
 
o ponto A ao ponto B têm o 
vetor d

 como deslocamento. 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor deslocamento que liga o ponto C ao ponto D é mesmo que liga os pontos A 
e B (ambos possuem módulo, direção e sentido idênticos). 
 
3.3 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR 
 
 
 














=
=
0s se a de ao oposto
0s se a de mesmo o
 : sentido
a de mesma a : direção





asm
asm
 
 
 
 
3.4 SOMA DE VETORES – MÉTODO GRÁFICO 
 
 
 
 
ACBCAB ddd

=+ 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. Qual a soma cbas

++= dos três vetores abaixo? 
 
 
 
 
 
BCd

 
C 
ABd

 
A 
B 
ACd

 
a

 
b

 
c

 
c

 a

 
b

 
cbas

++=
 
3.5 PROPRIEDADES DA SOMA VETORIAL 
 
 
 
i) Comutatividade 
 
abba

+=+ 
 
 
 
 
ii) Associatividade 
 
 
 ( ) ( ) cbacbacba 

++=++=++ 
 
 
 
 
iii) Existência de elemento inverso 
 
 
Para cada vetor a

, existe um vetor a

− com mesmo módulo e mesma 
direção que a

 mas com sentido oposto: 
 
 
 ( ) 0

=−+ aa 
 
 
 
 
3.6 DIFERENÇA ENTRE DOIS VETORES 
 
 
( )baba

−+=− 
b

 
a

 
ba

+ 
b

 
a

 
ab

+ 
3.7 COMPONENTES VETORIAIS 
 
 
3.7.1 Caso bidimensional 
 
 
 
 





 20
0 a
 
 
 
 



−=
−=
ify
ifx
yya
xxa
 
 
 
 
 
Os pares ( ),a e ( )yx aa , fornecem a mesma informação. 
 
 
Da figura temos: 
 
 
( )
( )

sin
cos
aa
aa
y
x
=
=
 (1) 
 
 
Relações inversas de (1): 
 
 
 
i) 
22
yx aaa += 
 (2) 
ii) 







=





= −
a
a
a
a yx 1sinarccos 
 
 
xi xf 
yi 
yf 
a

 
x 
y 
3.7.2 Caso tridimensional 
 
 
 
 
 









20
0
0 a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ternos ( ) ,,a e ( )zyx aaa ,, fornecem a mesma informação. 
 
 
Da figura temos: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )


cos
sinsin
cossin
aa
aa
aa
z
y
x
=
=
=
 (1’) 
 
 
Relações inversas de (1’): 
 
 
i) 
222
zyx aaaa ++= 
 
ii) 





=
a
azarccos (2’) 
 
iii) ( ) ( )







=





=




sin
arcsin
sin
arccos
a
a
a
a yx
 
 
ay 
ax 
az 
a

 
x 
y 
z 

 
3.8 VETORES UNITÁRIOS 
 
 
Vetor unitário de uma direção: 
 
vetor de módulo 1 que aponta 
na direção considerada. 
 
 
 
 
 
Qualquer vetor pode ser expresso em termos de suas componentes em um sistema 
de eixos cartesianos e dos unitários destes eixos: 
 
 
kajaiaa zyx
ˆˆˆ ++=

 
 
 
 
3.9 SOMANDO VETORES ATRAVÉS DAS COMPONENTES 
 
 
( ) ( ) ( )kbajbaiba
kbjbibkajaiabas
zzyyxx
zyxzyx
ˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
+++++=
+++++=+=

 
 
 
Logo: 
 
zzz
yyy
xxx
bas
bas
bas
+=
+=
+=
 
( )yj ˆˆ 
( )xi ˆˆ
 x 
y 
z 
( )zk ˆˆ
 
3.10 PRODUTOS ENTRE VETORES 
 
3.10.1 Produto escalar 
 
É um número tal que : 
 
 
( )cosbaba =

 
 
 
3.10.2 Produto vetorial 
 
 
É um vetor c

 tal que : 
 
 
( )







 =
→=
 direita mão da regra pela dado : sentido
b e apor definido plano aolar perpendicu : direção
 absinc


bac
 
 
 
 
Convenção para desenho plano: 
 
 
 
 
ba

 p/ dentro do plano 
 
 
 
 
 
 
ab

 p/ fora do plano 

 
a

 
b

 
a

 
b

 
c

 
 
 
 
a

 
b

 
 
a

 
b

 
 
 
3.10.3 Produtos escalar e vetorial em termos das componentes vetoriais 
 
 
Problema 1. Mostre que 
 
1ˆˆˆˆˆˆ === kkjjii 0
ˆˆˆˆˆˆ === kijkji 
 
 
Solução. 
 
( ) 10cos11ˆˆ == ii ( ) 090cos11ˆˆ == ji 
 
 
 
 
 
Problema 2. Obtenha a expressão para o produto escalar de dois vetores a

 e b

 em 
termos de suas componentes cartesianas. 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )kkbajkbaikbakjba
jjbaijbakibajibaiiba
kbjbibkajaiaba
zzyzxzzy
yyxyzxyxxx
zyxzyx
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
01
++++
++++=
++++=

 
 
 
 
zzyyxx babababa ++=

 
 
Problema 3. Calcule o produto vetorial entre os unitários dos eixos cartesianos (use 
sistemas de coordenadas dextrogiros). 
 
 
a) ( ) 00sin11ˆˆ == ii 0ˆˆˆˆˆˆ

=== kkjjii 
 
 
b) ( ) 190sin11ˆˆ == ji 
 
 
kjiji ˆˆˆ
k̂ de mesmo o : módulo
k̂ de mesmo o : sentido
k̂ de mesma a : direção
ˆˆ =






 
 
 
c) ( ) 190sin11ˆˆ == jk 
 
 
ijkjk ˆˆˆ
î de mesmo o : módulo
î de ao oposto : sentido
î de mesma a : direção
ˆˆ −=






 
 
 
 
 
ijkikj
jkijik
kijkji
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
−==
−==
−==
 
Problema 4. Obtenha a expressão para o produto vetorial de dois vetores a

 e b

 em 
termos de suas componentes cartesianas. 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )kkbajkbaikbakjba
jjbaijbakibajibaiiba
kbjbibkajaiaba
zzyzxzzy
yyxyzx
k
yxxx
zyxzyx
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆ0
++++
++++=
++++=



 
 
 
 
( ) ( ) ( )kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzy ˆˆˆ −+−+−=

 
 
 
 
O cálculo o determinante abaixo reproduz o resultado acima: 
 
 
 
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
ˆˆˆ
=

 
 
 
 
 
3.11 DERIVAÇÃO DE VETORES 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )ktzjtyitxtr ˆˆˆ ++=

 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
dt
kd
tzk
dt
tdz
dt
jd
tyj
dt
tdy
dt
id
txi
dt
tdx
tv
dt
trd ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ +++++==


 
 
 
Os vetores unitários dos eixos cartesianos não variam; logo: 
 
 
0
ˆˆˆ 
===
dt
kd
dt
jd
dt
id
 
 
 
O resultado da derivação é,portanto: 
 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
k
dt
tdz
j
dt
tdy
i
dt
tdx
tv
dt
trd ˆˆˆ ++==


 
 
 
Logo, para derivar um vetor descrito em um sistema de coordenadas cartesianas, 
basta derivar suas componentes.