AULA DE VETORES

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VETORES
1
Vetores são grandezas que têm:
- módulo ou intensidade;
- direção;
- sentido
Um vetor “0A” é representado geometricamente por um 
segmento de reta orientado, de origem em “0” e 
extremidade em “A”. O seu sentido é representado pela 
ponta de flecha em “A”. 
Representação de um vetor:
Ex.: força, deslocamento, velocidade, aceleração, etc.
VETORES
Um vetor é caracterizado por:
- Módulo;
- Direção;
- Sentido. 
2
A
0
0A
Módulo do vetor: é indicado pelo comprimento da flecha (usa-se uma 
escala apropriada para desenhar o vetor).
Direção do vetor: é indicada pela própria direção da flecha que 
representa o vetor.
Sentido do vetor: é indicado pelo próprio sentido da flecha que 
representa o vetor.
VETORES
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Soma de vetores: Método Gráfico 
a b
a b+ = s
a b
s
VETORES
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Etapas para efetuar a soma de dois vetores - Método 
gráfico: 
1) Desenhe, em escala, o primeiro vetor com direção e sentido 
corretos em um sistema de coordenadas adequado.
2) Desenhe o segundo vetor, na mesma escala, com sua origem na 
ponta do primeiro vetor (anteriormente desenhado).
3) Trace uma linha com origem no primeiro vetor até à extremidade 
do segundo vetor. Obtém-se assim, o vetor soma.
Observação:
No caso da soma de mais de dois vetores, cada vetor é 
sucessivamente colocado com sua origem na ponta do vetor anterior. 
O vetor soma é desenhado da origem do primeiro vetor até à 
extremidade do último.
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Subtração de vetores: Método Gráfico 
O negativo de um vetor é um outro vetor de mesmo módulo e 
direção, mas de sentido oposto.
a b- a - b
a b- = a ( -b )+
Assim, a subtração segue a mesma regra da soma.
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Exercícios
1) Um barco parte de um ponto “P” e executa os seguintes deslocamentos 
retilíneos sucessivos: 50 Km para o oeste; 30 Km para o norte e 20 Km para 
o leste, atingindo um ponto “Q’. Pede-se:
a) Faça um desenho que mostra por meio de vetores o movimento do barco;
b) A distância percorrida pelo barco.
c) O deslocamento total do barco, indicando o módulo, a direção e sentido.
2) Um estudante, inicialmente em repouso, parte de um ponto “A” de uma 
praça, desloca-se, a partir daí, 50m a norte, em seguida, 40m a leste, e 
finalmente, 20m a sul, chegando a um ponto “B”. Pede-se:
a) Faça um desenho que mostra por meio de vetores o movimento do 
estudante;
b) A distância percorrida pelo estudante;
c) O deslocamento total do estudante, indicando o módulo, a direção e 
sentido.
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Exercícios
3) Uma criança movimenta-se a parte de um ponto “A” da seguinte forma: 
60m a sul, seguido de 40m a leste, quando, por fim, se desloca de 30m a 
norte, chegando a um ponto “B”. Pede-se:
a) Faça um desenho representando o movimento da criança, por meio de 
vetores, do ponto “A” até o ponto “B”;
b) A distância percorrida pela criança;
c) O deslocamento total da criança, indicando o módulo, a direção e sentido.
4) Um avião foi de uma cidade “A” até uma cidade “B”, efetuando um 
deslocamento vetorial de intensidade 400Km, direção vertical e sentido 
norte. Em seguida, o avião foi da cidade “B” para a cidade “C”, efetuando um 
deslocamento vetorial de intensidade 300Km, direção horizontal, sentido 
leste. Com base nesses dados, pede-se:
a) A distância percorrida pelo avião;
c) O deslocamento total do avião, indicando o módulo, a direção e sentido.
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Soma de vetores: Método Analítico
A soma de vetores pelo método analítico envolve a decomposição 
de um vetor em suas componentes com relação a um sistema de 
coordenadas particular.
a
ax x
y
ay
0
α
ax= a.cosα
ay= a.senα
a = ax2 + ay2
tg α = 
ay 
ax 
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Exercício
1) Um avião viaja 209Km em um curso retilíneo a 22,5o a leste do 
norte. Qual o deslocamento para norte e para leste do avião, em 
relação ao seu ponto de partida.
2) Um carro viaja para leste numa estrada plana por 32Km. Ele 
então vira para norte em um cruzamento e viaja 47Km antes de 
parar. Ache o deslocamento resultante do carro.
3) Uma motocicleta viaja para norte numa estrada retilínea por 
50Km. Ela então vira para leste em um cruzamento e viaja 80Km 
antes de parar. Determine o deslocamento resultante da 
motocicleta.
4) Um helicóptero viaja 150Km em um curso retilíneo a 30o a leste 
do sul. Qual o deslocamento para sul e para leste do helicóptero, em 
relação ao seu ponto de partida.
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EM TRÊS DIMENSÕES 
ax= a.senα .cos θ
ay= a.senα .senθa
ay
y
z
az
0
α
x
ax θ
az = a.cos α
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j
y
z
0
x
i
k
OBSERVAÇÃO: Quando um vetor e decomposto em suas 
componentes, é conveniente utilizar vetores unitários ( i , j , k ) nos 
sentidos positivos dos eixos “x”, “y” e “z”, respectivamente. 
Deste modo, um vetor “ a “ em um 
sistema de coordenadas 
tridimensional é escrito em termos 
de suas componentes e dos 
vetores unitários.
a = ax i + ay j + az k
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Exemplo 1: tridimensional
a = ax i + ay j + az k
a
ay
y
z
az
0
α
x
ax θ
Considere: α = 30o; θ = 60o e 
intensidade do vetor a = 20m. Pede-
se: escreva o vetor a em termos de 
suas componentes e dos vetores 
unitários ( i , j , k ).
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Uma partícula se move em um plano “xy” de tal forma que suas 
coordenadas “x” e “y” variam com o tempo de acordo com x(t) = t3 - 
32t e y(t) = 5t2 + 12. Aqui “x” e “y” estão expressos em metros e “t” 
em segundos. Ache a posição, velocidade e aceleração da partícula 
quando t = 3s.
Exemplo 2: Movimento bi-dimensional
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Soma de vetores: Método das Componentes 
a b+=s
Se dois vetores são iguais, eles têm de ter:
- mesmo módulo;
- mesma direção;
- mesmo sentido.
Isto somente pode ocorrer se suas componentes correspondentes 
são iguais.
+=sx i sy j+ ax i ay j bx i+ + by j
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Soma de vetores: Método das Componentes 
Como as componentes correspondentes são iguais, tem-se:
=sx i sy j+ (ax + bx) i + (ay + by) j
Sx = ax + bx e Sy = ay + by
Módulo e direção de S:
S = Sx2 + Sy2 S = (ax+bx)
2 + (ay+by)2⇒
tgθ 
= 
Sy 
Sx 
⇒ tgθ 
= 
ay + by 
ax + bx 
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Exercícios 
1) Três vetores coplanares são expressos com relação a um certo 
sistema de coordenadas retangular como: a = 4,3 i - 1,7 j ; b = -2,9 i 
+ 2,2 j ; c = -3,6 j , nas quais as componentes são dadas em 
unidades arbitrárias. Determine o vetor “ s “ (módulo e direção) que 
é a soma dos três vetores.
2) Quatro vetores coplanares são expressos com relação a um certo 
sistema de coordenadas retangular como: a = 5,2 i + 3,4 j ; b = -3,6 i 
+ 6,2 j ; c = -2,8 j ; d = - 3 i , nas quais as componentes são 
dadas em unidades arbitrárias. Determine o vetor “ s “ (módulo e 
direção) que é a soma dos quatro vetores.
VETORES
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Multiplicação de vetores
Como os vetores têm módulo, direção e sentido, a 
multiplicação vetorial não segue exatamente as mesmas 
regras algébricas da multiplicação escalar.
Tipos de operações de multiplicação de vetores que 
vamos estudar:
1) Multiplicação de um vetor por um escalar;
2) Multiplicação de dois vetores resultando em um escalar;
3) Multiplicação de dois vetores resultando em outro vetor.
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Multiplicação de um vetor por um escalar
a 1,4 a
-0,5 a
Observação: A multiplicação de um vetor “ a “ por um 
escalar “c” resulta no vetor “c a “, cujo módulo é “c” vezes 
o módulo de “ a “. O vetor “c a “ tem o mesmo sentido de “ 
a “ se “c” é positivo e sentido oposto se “c” é negativo. 
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Multiplicação de dois vetores resultando em um escalar
O produto escalar de dois vetores “ a “ e “ b “ é definido 
como:
a
b
θ
 a b = a. b cos θ
ângulo entre os dois vetores a e b 
Exemplos de grandezas físicas que podem ser descritas 
como produto escalar de dois vetores:
- Trabalho mecânico; - Energia potencial; - Potência elétrica.
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Observação: Se dois vetores são perpendiculares entre si, 
seu produto escalar é nulo.
j
y
z
0
x i
k
i . i = j . j = k . k = 1
i . j = i . k = j . k =0
Resultados do produto escalar entre os vetores unitários 
cartesianos ( i , j , k ): 
VETORES
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j
y
z
0
x i
k
a = ax i + ay j + az k
Produto escalar entre dois vetores ( a ) e ( b ) em um 
sistema de coordenadas tridimensional “xyz”: 
b = bx i + by j + bz k
a . b = (ax.bx )+(ay.by)+(az.bz)
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Multiplicação de dois vetores resultando em outro vetor
O produto vetorial de dois vetores “ a “ e “ b “ é definido 
como: (um outro vetor), cujo: a Λ b = c
  a Λ b  = a. b senθMódulo de c é: 
Direção de c é: a perpendicular ao plano formado por a e b. 
 Sentido de c é: Regra da mão direita (o dedo polegar indica 
o sentido).
a
b
θ
c = a Λ b 
a
b
θ
c = b Λ a 
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Observação: Se dois vetores são paralelos entre si, seu 
produto vetorial é nulo.
j
y
z
0
x i
k
i Λ i = j Λ j = k Λ k = 
0
i Λ j = k
Resultados do produto vetorial entre os vetores unitários 
cartesianos ( i , j , k ): 
j Λ k = i
k Λ i = j
j Λ i = -k
k Λ j = -i
i Λ k = -j
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j
y
z
0
x i
k
a = ax i + ay j + az k
Produto vetorial entre dois vetores ( a ) e ( b ) em um 
sistema de coordenadas tridimensional “xyz”: 
b = bx i + by j + bz k
a Λ b = (aybz - azby) i + (azbx - axbz) j + (axby - aybx) k
VETORES
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1) Um certo vetor “ a “ no plano “xy” está dirigido a 250o no sentido anti-
horário a partir do eixo “x” e tem módulo de 7,4 unidades. O vetor “ b “ 
tem módulo de 5 unidades e é paralelo ao eixo “z”. Pede-se:
a) O produto escalar (a . b);
b) O produto vetorial (a Λ b).
Exercícios
Exemplos de grandezas físicas que podem ser descritas com produto 
vetorial de dois vetores:
- Torque; - Momento angular; - Fluxo de energia eletromagnética.
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