Vetores e Forças

Prévia do material em texto

Vetores e Forças
Mecânica para engenharia
Escalares e Vetores
• Escalar: Uma quantidade caracterizada por um número
negativo ou positivo é chamada de escalar.
• Por exemplo, massa, volume e comprimento.
Escalares e Vetores
• Vetor é uma quantidade que tem intensidade e direção.
• Na estática, as quantidades vetoriais encontradas com
frequência são posição, força e momento.
• O vetor é representado geralmente por uma letra com uma
flecha sobre ela, como em �.
Escalares e Vetores
• Um vetor é representado graficamente por uma flecha,
usada para definir sua intensidade, direção e sentido.
• A intensidade do vetor é o comprimento da flecha.
• A direção é definida pelo ângulo entre o eixo de
referência e a reta de ação da flecha.
• O sentido é indicado pela ponta da flecha.
Operações Vetoriais
• Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar. O produto do
vetor A pelo escalar a, dando aA, é definido como o vetor de
intensidade �� .
• O sentido de aA é o mesmo de A, desde que a seja positivo, e é
oposto a A, se a for negativo.
Operações Vetoriais
• Adição vetorial. Dois vetores A e B podem ser somados para
formar um vetor ‘resultante’ R = A + B usando-se a lei do
paralelogramo.
Operações Vetoriais
• Adição vetorial. Pode-se também adicionar A e B usando a
construção de triângulos, que é um caso especial da lei do
paralelogramo.
Procedimento para análise
• Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser
resolvidas como se segue:
• Lei do paralelogramo; e
• Trigonometria.
Adição de um Sistema de Forças Coplanares
• Notação Escalar. Como os eixos x e y têm direções positivas
e negativas designadas, a intensidade e o sentido de direção
dos componentes retangulares da força podem ser
expressos em termos de escalares algébricos.
Adição de um Sistema de Forças Coplanares
• Notação de Vetor Cartesiano. Também é possível
representar os componentes de uma força em termos de
vetores cartesianos unitários.
• Em duas dimensões, os vetores cartesianos unitários i e j
são usados para designar as direções dos eixos x e y,
respectivamente. Esses vetores têm intensidade unitária.
Adição de um Sistema de Forças Coplanares
• Resultantes de Forças Coplanares.
Adição de um Sistema de Forças Coplanares
• Resultantes de Forças Coplanares.
Adição de um Sistema de Forças Coplanares
• Resultantes de Forças Coplanares. O vetor resultante é dado
por:
Adição de um Sistema de Forças Coplanares
• Se for usada notação escalar, uma vez que x é positivo para a
direita e y é positivo para cima, teremos:
• Os resultados são os mesmos que os componentes i e j de
��.
Exemplo
Determine os
componentes x e y de
�� e �� que atuam
sobre a lança mostrada
na figura. Expresse
cada força como vetor
unitário.
• Notação escalar
• Notação escalar
• Notação Vetorial Cartesiana. Tendo determinado a
intensidade e a direção dos componentes de cada força,
pode-se expressar cada um deles como um vetor cartesiano.
Exemplo
• O elo da figura está submetido a duas forças �� e ��.
Determine a intensidade e a orientação da força resultante.
• Notação escalar.
• Notação Vetorial Cartesiana. Cada força é expressa como um
vetor cartesiano:
Vetores Cartesianos
• Sistema de Coordenadas
Utilizando a Regra da Mão Direita.
Diz-se que um sistema de
coordenadas cartesianas é da mão
direita desde que o polegar dessa
mão direita aponte na direção
positiva de z, quando os dedos
dessa mão são dobrados em torno
desse eixo e orientados a partir do
eixo x positivo para o eixo y
positivo.
Componentes Retangulares de um Vetor
Vetor Unitário
• Vetor Unitário. A direção de A é especificada usando-se um
vetor unitário, que tem esse nome porque apresenta
intensidade 1.
Vetores Cartesianos Unitários
• Vetores Cartesianos Unitários. Em três dimensões, o
conjunto de vetores unitários i, j e k é usado para designar as
direções dos eixo x, y e z, respectivamente.
Representação de um Vetor Cartesiano
Intensidade de um Vetor Cartesiano
Direção de um Vetor Cartesiano
• Direção de um Vetor Cartesiano. A orientação de A é
definida pelos ângulos diretores coordenados � (alfa), �
(beta) e � (gama), medidos entre a origem de A e os eixos
positivos x, y e z localizados na origem de A.
Esses números são conhecidos como cossenos diretores de A.
Direção de um Vetor Cartesiano
Direção de um Vetor Cartesiano
Adição e Subtração de Vetores Cartesianos
Sistema de Forças Concorrentes
Exemplo
Expresse a força
F, mostrada na
figura, como um
vetor cartesiano.
• Pela figura, é necessário que � = 60°, desde que �� esteja na direção +x.
Exemplo
• Determine a
intensidade e os
ângulos diretores
coordenados da
força resultante
que atua sobre o
anel, conforme a
figura.
Exemplo
Expresse a 
força ��
como vetor 
cartesiano.
Exemplo
Duas forças atuam
sobre o gancho
mostrado na figura.
Especifique os
ângulos diretores
coordenados de ��,
de modo que a
força resultante ��
atue ao longo do
eixo positivo y e
tenha intensidade
de 800 N.
Para satisfazer essa equação, os componentes i, j e k
correspondentes do lado esquerdo e direito devem ser iguais.
Vetor posição
• Vetor posição. O vetor posição r é definido como um vetor
fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro.
Vetor Posição
• Pela adição de vetores ponta-cauda, é necessário que: 
Exemplo
Uma fita
elástica está
presa aos
pontos A e B.
Determine seu
comprimento e
sua direção,
medidos de A
para B.
Exemplo
Determine o
comprimento do
elemento AB da
treliça
estabelecendo
primeiro o vetor
posição
cartesiano de A
para B e depois
determinando
sua intensidade.
• ��� = 2,89 0,8 � + 1,5 1,2 � = 2,09� + 0,3� �
• ��� = 2,09
� + 0,3�
�
= 2,11�
• A (0,8; 1,2); B (0,8+0,3+
�,�
��� ��°
; 1,5) = (2,89; 1,5)