AD1 C2 2019 1 Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – AD1 (2019/1) – Gabarito 
 
 
1ª Questão (2,5 pontos) Considere as funções 
( ) 2 3f x x 
 e 
2
( ) 2sen
x
g x
 
 
 

 
(a) Calcule a área total da região limitada pelos gráficos das funções 
f
 e 
g
e pelas retas 
0x 
 e 
1x 
. 
(b) Calcule 
 
1
0
( ) ( )f x g x dx
 . 
(c) Interprete o resultado do item (b) em termos de áreas. 
(d) Usando o conteúdo visto até a Semana 5 do cronograma, calcule também 2
1
2
arcsen
2
x
dx

 
 
 

 
Obs.: o ponto de interseção dos gráficos das funções ocorre em 
1y 
. 
 
Solução da 1ª Questão (a) 
 
 
 
Os gráficos das funções 
f
 e 
g
são mostrados na figura 1.1 a seguir: 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2019/1 
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P
ág
in
a2
 
 
 
Figura 1.1 
 
No ponto de interseção dos gráficos, tem-se 
1y 
 e portanto 
1
3
x 
. Como a função 
f
 é maior que a 
função 
g
 no intervalo 
1
[0, ]
3
 e menor, no intervalo 
1
[ ,1]
3
 , a região precisa ser dividida em duas regiões 
1R
 e 
2R
, como mostra a figura 1.2 a seguir: 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2019/1 
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P
ág
in
a3
 
 
 Figura 1.2 
e neste caso 
 
1 1
3 3
1
0 0
( ) ( ) ( ) 2 3
2
2sen
x
A R f x g x dx x dx
  
       
  
 
 (1) 
 
 e 
 
 
1 1
2
1 1
3 3
( ) ( ) ( ) (2 3 )
2
2sen
x
A R g x f x dx x dx
  
      
  
 
 (2) 
 
Calculemos as primitivas necessárias aqui: 
i) 
 
23
2 3 2
2
x
x dx x  
 
 
ii) 
4
cos
2 2
2sen
x x
dx
 

    
     
    

 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2019/1 
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P
ág
in
a4
 
 
 
Sendo assim, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo e substituindo as primitivas obtidas em (1) e 
(2), obtemos: 
 
 
1/3
2
1
0
3 4
( ) 2 cos
2 2
2 3 4 4
cos cos 0
3 18 6
1 2 3 4 1 4 2 3
(*)
2 2
x x
A R x



 
  
   
       
   
    
        
    
   
       
  
 
 
1
2
2
1/3
4 3
( ) cos 2
2 2
4 3 4 2 3
cos 2 cos
2 2 6 3 18
1 2 3 1 2 3
(**)
2 2
x x
A R x


 
 
 
    
        
     
          
                  
          
  
       
   
 
 
 
 
 
 
Juntando os valores obtidos em (*) e (**), obtemos 
 
1 2
1 4 2 3 2 3 1 4 3 4
( ) ( ) ( ) u.a . 1,432 u.a .
2 2
A R A R A R           
 
 
 
 
 
Solução da 1ª Questão (b) 
 
 
Utilizando a proposição 2.2 do caderno didático, podemos decompor 
 
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P
ág
in
a5
 
 
     
   
   
1 2
1 1/3 1
0 0 1/3
1/3 1
0 1/3
1/3 1
0 1/3
( ) ( )
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (***)
A R A R
f x g x dx f x g x dx f x g x dx
f x g x dx f x g x dx
f x g x dx g x f x dx
A R A R
     
     
    
 
  
 
 
 
 
Substituindo em (***) os valores obtidos em (*) e (**), temos 
 
 
 
 
21
1
0
( )( )
1 4 2 3 2 3
( ) ( )
2
1 4
0,773 0
2
A RA R
f x g x dx
 

   
   
       
   
  
    

 
 
 
 
 
Solução da 1ª Questão (c) 
 
Como o valor obtido no item (b) é negativo (aproximadamente igual a -0,773) e se verificou em 
(***) que a integral representa a diferença entre as áreas das regiões 
1R
 e 
2R
, temos que a área 
da região 
2R
 é maior que a da região 
1R
. 
 
 
 
 
Solução da 1ª Questão (d) 
 
Note que invertendo a função 
2
2sen
x
y
 
 
 

, obtém-se 
2
arcsen
2
y
x

 
  
 
. 
Desta forma, a integral corresponde à área mostrada na figura 1.3, composta das regiões R3 e R4. 
 
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P
ág
in
a6
 
 
Figura 1.3 
 
 
 Sendo assim, 
 
3
1 1
( ) 1
3 3
A R   
 
 
 
11
4
1 1/3
3
4
( ) 2 2 cos
2 2
4 2 4
2 cos cos
2 3 6
2 4 3 4 2 3
2 .
3 2 3
2sen
x x
A R dx x
 

 
 
 
       
            
       
      
          
      
 
     
 

 
 
Desta forma: 
 
2
3 4
1
2 1 4 2 3 5 2 3
arcsen ( ) ( )
2 3 3 3
x
dx A R A R  
    
          
     

 
 
 
 
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P
ág
in
a7
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,5 pontos) 
Sendo 
 
 
 3
9
5
log arctg(2 )
2log arcsen( )
( ) tg 3
x
x
tF x dt 
, calcule 
' ( )F x
 e 3
'
2
F
 
  
 
. 
 
 
Solução da 2ª Questão 
 
Usando a proposição 2.2 do caderno didático, tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 9 3
9
3
9
5
log arctg(2 ) 2log arcsen( ) log arctg(2 )0
5 5 5 5
2log arcsen( ) 0 0 0
log arctg(2 )
2log arcsen( )
( ) tg 3
tg 3 tg 3 tg 3 tg 3
x x x
x
x
x
t
t t t t
F x dt
dt dt dt dt
 
    

   
 
 
 
(obs.: o valor intermediário de integração escolhido – 
0t 
, no nosso caso – não tem qualquer importância 
especial. Poderia ter sido escolhido qualquer outro valor no domínio da função do integrando.) 
 
Seja 
 5
0
( ) tg 3
x
tH x dt 
 . Neste caso, 
( ) ( ( )) ( ( ))F x H a x H b x  
 , em que 
 9( ) 2log arcsen( )a x x
 
e 
 3( ) log arctg(2 )b x x
. 
 
Pelo T.F.C., temos 
 
 5'( ) tg 3xH x 
 (1) 
 
 
Também, pela regra da cadeia, temos que 
 
 
'( ) '( ( )). '( ) '( ( )). '( )F x H a x a x H b x b x  
 
 (2) 
 
Assim, devemos calcular 
'( )a x
 e 
'( )b x
, usando a regra da cadeia. A saber: 
 
 
 
9
2
2ln arcsen( ) 1
( ) 2log arcsen( ) ( ) '( )
ln9 arcsen( ). 1 .ln 3
x
a x x a x a x
x x
    

 e 
 
 
 
 3 2
ln arctg(2 ) 2
( ) log arctg(2 ) '( )
ln 3 arctg(2 ). 1 4 .ln 3
x
b x x b x
x x
   

 
 
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P
ág
in
a8
 
 
Substituindo em (2) usando (1) temos 
 
   
 
   
 
5 59 3
22
5 5
22
2log arcsen( ) log arctg(2 )1 2
'( ) tg 3 . tg 3 .
arctg(2 ). 1 4 .ln 3arcsen( ). 1 .ln 3
1 2
tg arcsen( ) . tg arctg(2 ) .
arctg(2 ). 1 4 .ln 3arcsen( ). 1 .ln 3
x x
F x
x xx x
x x
x xx x
              
         
  
     
     
 
 
   
   
   
5
5
5 22
5 5
5 22
2
5 5
3 22
sen arcsen( ) 1 2
. (2 ) .
cos arcsen( ) arctg(2 ). 1 4 .ln 3arcsen( ). 1 .ln 3
1 64
.
arctg(2 ). 1 4 .ln 3arcsen( ). 1 .ln 31
64
arctg(2 ). 1 4 .ln 3arcsen( ). 1 .ln 3
x
x
x x xx x
x x
x xx xx
x x
x xx x  
   
     
 
    
  
  

 
Assim: 
 
 
   
5 5
3 22
64
'( )
arctg(2 ). 1 4 .ln 3arcsen( ). 1 .ln 3
x x
F x
x xx x
  

 
 
Para calcular 3
'
2
F
 
  
 
, basta agora fazer 3
2
x 
 na expressão obtida. Ou seja: 
 
 
 
5 5
3 22
3
3 3
64
2 23
'
2 3 33 3 arctg 2. . 1 4 .ln 3arcsen . 1 .ln 3
2 22 2
9 3 9 3
64.
32 32
33 3
arctg 3 . 1 4 .ln 3arcsen . 1 .ln 3
42 4
9 3
F
   
   
                                                  
   
            
    
 
 
3
9 3
64.
54 3 27 3 81 332 32
ln 3 .2.ln 3 .2.ln 31 . 1 3 .ln 3. .ln 3
33 4
   
     
  
 
 
 
 
 
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P
ág
in
a9
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (2,5 pontos) Considere a região 
R
 do plano, limitada pelas curvas 
12 xy 
 , 
3 6 0x y  
 , 
5 2 26 0x y  
 e 
2 9 17y x x   
, com 
4x  
. 
 
 a) Esboce a região 
R
. 
 b) Represente (sem calcular!) a área de 
R
 por uma ou mais integrais definidas em termos de 
x
. 
 c) Represente (sem calcular!) a área de 
R
 por uma ou mais integrais definidas em termos de 
y
. 
 d) Encontre a área da região 
R
 (Use a representação mais conveniente). 
 
Solução da 3ª Questão (a) 
 
 
 
A região é esboçada na figura 3.1 a seguir. 
 
 
 
Figura 3.1 
 
 
 
 
 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2019/1 
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P
ág
in
a1
0
 
Solução da 3ª Questão (b) 
 
 
 
Neste caso, verificamos que é necessário dividir a região em três sub-regiões, como mostra a figura 
3.2 a seguir . 
 
 
 
Figura 3.2 
 
 
Temos portanto: 
 
 
1 2
3 2
2 (1 )
4 3
( ) ( )
5 5
( ) 13 9 17 13 2 2 2
2 2 3 3
x
A R A R
x x x x
A R x x dx dx dx
3
0
2
( )A R
 
 
 
 
 
 
 
Solução da 3ª Questão (c) 
 
 
 
Para representar a área da região 
R
 em termos de
y
 , precisamos dividi-la em três 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2019/1 
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P
ág
in
a1
1
 
sub-regiões , como mostra a figura 3.3 a seguir, além de expressar 
x
 como função de 
y
 . 
Na parábola 
2 9 17x xy
, completando quadrados temos 
2
2
2
9 81 81
2. 17
2 4 4 2 4
9 13
2 4 2 4
9 13
9 13
x x x
x y x y
y
 
o que nos dá os dois ramos da parábola correspondendo às partes em que 
9
2
x
 e 
9
2
x
. 
Para a função 
(1 )2 xy
, tem-se 
2 2log log
2
2 2 2
2
2
x
x
y x x
y y
y
. 
As funções lineares são facilmente invertidas: 
 
5 2 26
13
2 5 5
x y
y x
 
 
2 3 6
3
x
yy x
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 
 
 
Temos portanto: 
 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2019/1 
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P
ág
in
a1
2
 
1 2
2 3
2 2
1 2
( ) ( )
9 13 9 13
( ) 3 6 log log
2 4 2 2 4 2
A R A R
y y
A R y y dy y dy
3
8
3
( )
2 26
5 5
A R
y
dy
 
 
 
 
 
Solução da 3ª Questão (d) 
 
Usando a expressão do item (b) , obtemos: 
 
 
1 2
3 2
2 (1 )
4 3
( ) ( )
5 5
( ) 13 9 17 13 2 2 2
2 2 3 3
x
A R A R
x x x x
A R x x dx dx dx
3
0
2
( )
3 2 0
2 ( )
4 3 2
3 2 0
3 2 2 ( ) 2
4 3 2
23 13
30 11 2.2 2
2 6 3
23 13 2.2
30 11 2
3 4 12 ln 2 6
27
3
A R
x
x
x x x
x dx dx dx
x x x x
x x x
23.9 64 23.16 52 117 2 8 4
90 120 22 33 4
4 3 4 12 12 ln 2 ln 2 6
 
 
 
 
 
4ª Questão (2,5 pontos) Calcule a integral seguinte 
 
52 2 3
4
64
log (7 )3 arcsen(7 ) 5 arctg(2 )
( )
1 4 111 49
xx x x x
F x dx
x xx
 
   
 

 
 
Solução da 4ª Questão 
 
52 2 3
4
64
52 2 3
4
64
log (7 )3 arcsen(7 ) 5 arctg(2 )
( )
1 4 111 49
log (7 )3 arcsen(7 ) 5 arctg(2 )
1 4 111 49
II IIII
xx x x x
F x dx
x xx
xx x x x
dx dx dx
x xx
 
    
 
    
      
     

  
 
 
 
Cálculo de I : 
 
Considere a substituição 
 
Cálculo II AD01 – Gabarito 2019/1 
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P
ág
in
a1
3
 
 
2
2 4 4
2
14 14 3 3
arcsen(7 )
141 49 1 491 7
x x du x
u x du dx du dx dx
x xx
      
 
 
 
Assim: 
 
 
2
22 2
4
3 arcsen(7 )3 arcsen(7 ) 3 3
14 28 281 49
xx x u u
dx du
x
   
     
  
 
 
 
 
 
Cálculo de II : 
 
Considere a substituição 
 
 
2 2 2
3
2 6 6
3
6 6 5 5
arctg(2 )
1 4 6 1 41 2
x x du x
u x du dx du dx dx
x xx
      
 
 
 
Assim: 
 
 
2
32 3 2
6
5 arctg(2 )5 arctg(2 ) 5 5
1 4 6 12 12
xx x u u
dx du
x
   
     
   
 
 
 
 
Cálculo de III : 
 
Considere a substituição 
 
5 4
5
4 5
ln(7 ) 35 5 ln 4. 1
log (7 )
ln 4 7 .ln 4 .ln 4 55 11
x x du
u x du dx du dx dx
x x x
       
 
 
Assim: 
 
 
2
55 2
44
ln 4. log (7 )log (7 ) ln 4. ln 4.
11 55 110 110
xx u u
dx du
x
   
     
  
 
 
 
 
Juntando os resultados , tem-se: 
 
 
 
     
2 2 2
2 3 5
43 arcsen(7 ) 5 arctg(2 ) ln 4. log (7 )
( )
28 12 110
x x x
F x C   