Exercícios de Física: Frequência Natural e Vibração

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Exercícios 
 
1. Uma prensa industrial está montada sobre uma camada de borracha para isolá-la de sua base. Se 
a borracha está comprimida 5 mm pelo peso próprio da prensa, determinar a freqüência natural 
do sistema. 
 
st
st
g
m
k
kmg

  
 
rad/s 29,44
005,0
81,9

st
n
g
m
k

 
 
Hz 050,7
2
3,44
2



n
n
f 
 
 
2. O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 1 possui um pistão com m = 0,3 kg e está 
suportado por uma mola helicoidal de d = 1 mm (diâmetro do arame), D = 10 mm (diâmetro da 
mola), n = 10 espiras e G = 1,05 x 1011 N/m2. Determinar a freqüência natural da vibração do 
pistão se não há óleo no cilindro. 
3
4
8nD
Gd
k  
 
 
Figura 1 
 
N/m 5,1312
01,0108
001,01005,1
8 3
411
3
4




nD
Gd
k 
 
rad/s 1,66
3,0
5,1312

m
k
n
 
 
Hz 5,10
2
1,66
2



n
n
f 
 
 
3. O núcleo móvel de um relé eletromagnético mostrado na Fig. 2 possui massa m = 12 gr, e está 
suportado por uma mola com k = 3000 N/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que 
estão montados em lâminas flexíveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lâmina móvel 
possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada. 
Determinar a freqüência natural com o relé aberto e fechado. E = 2,1 x 1011 N/m2. 
 
 
Figura 2 
 
 Com o relé aberto: 
 
 rad/s 500
012,0
3000

m
k
n
 ou 
 
 Hz 6,79
2
500
2



n
n
f 
 
 Com o relé fechado 
 
a) lâmina móvel – dupla viga engastada 
 
N/m 161280
2
02,0
12
0008,0006,0
101,23
2
3
3
3
11
3
1
1
















l
EI
k 
 
b) lâmina fixa – viga engastada 
 
N/m 47787
015,0
12
0008,0006,0
101,23
3
3
3
11
3
2
2




l
EI
k 
 De cada lado ocorre associação em série de k1 e k2 
 
 N/m 36864
47787161280
47787161280
21
21
1






kk
kk
k
eq
 
 
 Estes dois conjuntos estão associados em paralelo 
 
 N/m 737283686422
1

eqeq
kk 
 
 A freqüência natural com relé fechado será 
 
 rad/s 2529
012,0
300073728



m
k
eq
n
 ou 
 
 Hz4,402
2
2529
2



n
n
f 
 
 
4. Três molas e uma massa estão presas a uma barra rígida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 3. 
Achar a freqüência natural de vibração do sistema. 
 
 
Figura 3 
 
Do diagrama de corpo livre da barra PQ, considerada como de massa desprezível, a 2ª Lei de 
Newton para movimentos angulares (Lei de Euler), pode ser escrita para momentos em relação 
ao ponto P como 
 
  0
333
2
22
2
11
 xllklklk  
 
De onde se tem que 
 
x
lklklk
lk










2
33
2
22
2
11
33 
 
Do diagrama de corpo livre da massa m, a 2ª Lei de Newton pode ser escrita para as forças 
atuantes na massa 
 
  xmxlk 
33
 
 
Substituindo a segunda expressão na terceira chega-se à equação do movimento em x 
 
 
 
0
2
33
2
22
2
11
2
22
2
113 


 x
lklklkm
lklkk
x 
 
De onde se extrai a freqüência natural como sendo 
 
 
 2
33
2
22
2
11
2
22
2
113
lklklkm
lklkk
n


 
 
 
5. Uma massa m é montada na extremidade de uma barra de massa desprezível e pode assumir três 
diferentes configurações como mostra a Fig. 4. Determinar a configuração que proporciona a 
maior freqüência natural. 
 
 
Figura 4 
 
a) 
l
g
n
 
 
b)  22 mlakmgl  
   022   akmglml  
 
2
2
ml
mglka
n

 
 
c)  22 mlakmgl  
   022   mglakml  
 
2
2
ml
mglka
n

 
 
A configuração que proporciona a maior freqüência natural é a b). 
 
6. A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Fig. 5, e a colisão é 
plástica. Determinar a resposta do sistema. 
 
 
Figura 5 
 
Conservação da quantidade de movimento 
 
   
010
vmmvm 
 
ghv 2
0
 
 
gh
mm
m
v 2
1
0 








 
 
Condições iniciais 
 











1
0
0
2
mm
m
ghv
k
mg
x
 
 
Freqüência natural 
 
1
mm
k
n

 
 
Amplitude do movimento 
 
 
1
22
2
1
1
22
02
00
22
mmk
ghm
k
mg
k
mm
mm
ghm
k
mgv
xX
n























 

























 
 
Ângulo de fase 
 
  
















































 
1
1
1
11
0
01 2tan
2
tantan
mmg
hk
k
mg
mm
k
mm
m
gh
x
v
n

 
 
A resposta do sistema será 
 
     tXtx
n
cos
0
 
 
 
7. Para o pêndulo invertido mostrado na Fig. 6 que modela um tipo de sismógrafo: 
a. Determinar a freqüência natural, utilizando o Princípio da Conservação da Energia. 
b. Se a mola k1 é removida para que o valor da constante de mola k2 a freqüência natural 
será zero? 
 
 
Figura 6 
 
a. Freqüência natural utilizando o Princípio da Conservação da Energia 
     
 2
2
22
2
11
2
1
cos
2
1
2
1


LmT
LLmghkhkU


 
  0sin 22
22
2
11
   mLmglhkhkUT
dt
d
 
 sin 
  02
22
2
11
2   mgLhkhkmL 
 
 
2
2
22
2
11
mL
mgLhkhk
n

 
 
b. Com k1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 
 
2
2
2
2
22
h
mgL
kmgLhk 