MAT- modulo 10 equações e sequencias

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Módulo 10 - Equações e sequências
Matemática - 3º Bimestre - 8º Ano - Ensino Fundamental
10.1. Equações fracionárias do 1. grau com uma incógnita
Suas experiências
Resolva a equação fracionária a seguir, determinando o conjunto solução, a condição de existência e o
conjunto universo, sendo U = .
 Exploração e descoberta
Já vimos equações fracionárias; neste módulo, avançaremos em nossos cálculos resolvendo algumas
situações-problema em que esse tipo de equação é utilizada.
Lembramos que as equações algébricas fracionárias precisam ser resolvidas atendendo a algumas
restrições, pois não podemos realizar divisões por zero.
Resolução de uma equação fracionária
O modo de resolver equações fracionárias é semelhante à forma de solucionar, vista até agora, as outras
equações. Apenas devemos atentar-nos em excluir os valores reais das incógnitas que anulam os
denominadores da equação. Vejamos na prática alguns exemplos.
Qual a resolução da equação , sendo U = , com x ≠ 0, ou seja U = *, ou U = – {0}? 

o
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Logo, temos que 
 
2. Qual a solução da equação , com x ≠ 4 e x ≠ 0, ou seja U = {x ∈ / x ≠ 4 e x ≠ 0}, ou
U = – {0, 4}, ou U = * – {4}?
5x = 4x – 16
5x – 4x = – 16
x = – 16
Logo, temos que S = {–16}.
 Pensando no assunto
Conjunto universo e conjunto solução
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Devemos tomar cuidado para não confundir o conjunto
universo com o conjunto solução.
Quando determinamos o conjunto universo de uma
equação, definimos todos os possíveis valores para a
incógnita. Somente depois de resolvê-la, determinamos o
conjunto solução (ou conjunto verdade) da equação, que
são os valores do conjunto universo que tornam a
igualdade verdadeira.
 
Demonstre seus conhecimentos
1. Resolva as equações fracionárias determinando seu conjunto universo e seu conjunto solução.
 
2. A fração é equivalente à fração .
Determine x.
3. É verdade que o conjunto solução da equação é S = {2}? Por quê?
Resp.: 
4. Se R$ 200,00 forem divididos igualmente entre os meninos de um grupo, cada um receberá a mesma
quantia que receberiam as meninas, se dividissem igualmente entre elas R$ 120,00. Porém, o número de
meninas e de meninos neste grupo não é igual, há duas meninas a menos.
Qual o número de meninos e de meninas?
Quanto cada um recebeu?
Resp.: 
5. Todo ano a família Souza ara, limpa e planta os 15 000 m2 de seu sítio, divididos em partes iguais para
que cada pessoa da família cuide de uma parte. Neste ano, Paulo e Eduardo foram estudar na cidade e os
que ficaram resolveram cuidar apenas da mesma área que cuidaram no ano passado (somente 10 000 m2
serão preparados para o plantio). Quantas pessoas da família Souza trabalharão no sítio neste ano?
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Resp.: 
 Ampliação dos saberes
Equações impossíveis e indeterminadas
Será que sempre obteremos uma solução ao resolvermos qualquer equação? Podemos escrever qualquer
equação, isso é uma tarefa fácil! Mas resolvê-la pode ser um pouco mais complicado, às vezes até
impossível!
Vejamos os exemplos:
Resolva as equações U = .
1) 
12x + 6 = 12x + 21
12x – 12x = 21 – 6
0x = 15 Existe algum número que, multiplicado por zero, resulte em 15?
Esta é uma equação impossível, já que nenhum número racional consegue torná-la verdadeira.
Representamos seu conjunto solução assim:
S = { } ou S = Ø
2)
2x – 1 –2x = –1
2x – 2x = –1 + 1
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0x = 0 Qualquer valor, multiplicado por zero, será zero.
S = 
Uma equação como essa, com infinitas raízes, é chamada de indeterminada.
Agora, é a sua vez!
1. Resolva as seguintes equações, lembrando que algumas podem ser impossíveis ou indeterminadas.
2. Quando uma equação é impossível?
Resp.: 
3. Quando uma equação é indeterminada?
Resp.: 
 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 28 “Equações fracionárias do 1. grau
com uma incógnita".
10.2. Sistemas de equações fracionárias
 Suas experiências
Resolva o sistema a seguir, utilizando o método que preferir.
Resp.: 
 Exploração e descoberta
Já aprendemos a resolver sistema de equações do 1.º grau com uma incógnita. Neste módulo, seguiremos
um pouco mais em nossos conhecimentos de álgebra, resolvendo os sistemas de equações fracionárias,
isto é, pelo menos uma das equações do sistema contém uma ou mais incógnitas em seu denominador.
Para isso, relembraremos os possíveis métodos de resolução de um sistema de equações.
o
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Método da Adição
Determinar o valor de x e y no sistema:
1.º passo: Verificamos que as duas
equações apresentam termos opostos (+y
na primeira e –y na segunda).
2.º passo: Adicionamos uma equação a
outra, membro a membro. Isso permite que
cancelemos as incógnitas opostas, de forma
a obtermos uma única equação
3.º passo: Resolvemos normalmente a
equação do 1.º grau e obtemos o valor de
x.
4.º passo: Substituímos o valor de x por 18
em qualquer das equações do sistema e
obtemos y.
Efetuando a
substituição
na 1.ª
equação,
temos:
5.º passo: Obtemos a solução, que será
um par ordenado na forma (x, y).
S = {(18;
7)}
 
Método da Substituição
Como a divisão por zero não é possível, vamos excluir os valores das incógnitas que anulam os
denominadores. Nesse sistema, devemos ter que y ≠ 0.
1.º passo: Normalizamos a segunda
equação para facilitar os cálculos.
Efetuando a
substituição na
1.ª equação,
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2.º passo: Observe que a incógnita x
está isolada na 2.ª equação. Utilizaremos
a segunda equação para substituí-la
na primeira.
1.ª equação,
temos:
x + y = 6
2y + y = 6
3y = 6
y = 2
3.º passo: Calculamos o valor da outra
incógnita na expressão obtida,
substituindo-a pela resposta que
acabamos de encontrar.
Se y = 2 e x =
2y, então:
x = 2 . 2
x = 4
4.º passo: Obtemos a solução, que será
um par ordenado na forma (x, y).
S = {(4; 2)}
 
Método da Comparação
1.º passo: Normalizamos as equações
para facilitar os cálculos.
2.º passo: Escolhemos uma incógnita
para isolá-la nas duas equações.
– y = 2x → y = –
2x
y + x = 5 → y =
5 – x
3.º passo: Igualamos as duas
expressões obtidas, resultando em
uma equação com uma única
incógnita, para resolvê-la
normalmente.
–2x = 5 – x
–2x + x = 5
–x = 5
x = –5
4.º passo: Calculamos o valor da
outra incógnita em uma das
expressões obtidas quando isoladas.
Se x = –5,
substituindo a
incógnita em
qualquer equação,
temos:
y + x = 5
y – 5 = 5
y = 10
5.º passo: Obtemos a solução, que
será um par ordenado na forma (x, y).
S = {(–5; 10)}
 
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Demonstre seus conhecimentos
1. Utilizando o método que preferir, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações.
Considere U = x .
2. Mariana fez uma vitamina misturando banana e mamão na razão de . Qual a quantidade de cada fruta
que ela usou para preparar a vitamina, sabendo que foram utilizadas 4 frutas no total?
Resp.: 
3 . Uma fração é equivalente a . Se adicionarmos 2 ao denominador dessa fração, ela se torna
equivalente a . Qual é a fração?
Resp.: 
10.3. Problemas envolvendo equações
 Suasexperiências
 Situação problema
Observe os seguintes retângulos, que representam a planta baixa de dois terrenos de uma cidade.
Sabendo que a soma dos perímetros dos dois terrenos é igual a 540 m, responda:
a) Quais as dimensões dos terrenos?
Resp.: 
b) Qual a diferença de preço entre os terrenos se o valor por metro quadrado é de R$ 2000,00
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b) Qual a diferença de preço entre os terrenos se o valor por metro quadrado é de R$ 2000,00
Resp.: 
 Exploração e descoberta
Já sabemos resolver equações do
1.º grau com uma incógnita, equações fracionárias e até sistemas de equações fracionárias do 1.º grau.
As equações do 1.º grau podem ser explícitas, envolvidas em algum problema, ou até mesmo estar em
tabelas e gráficos.
A forma geral de uma equação do 1.º grau é ax + b = 0, em que a e b são coeficientes da equação (a ≠ 0)
e x é a variável.
Uma equação do 1.º grau pode ter apenas uma solução ou nenhuma.
Veremos, agora, como aplicar todo esse conhecimento para a resolução de problemas envolvendo as
equações do 1.º grau.
Por isso, listamos algumas dicas para facilitar a montagem e a execução dos cálculos:
Demonstre seus conhecimentos
1. Em uma sala de jantar será construído um jardim de inverno com formato retangular. Esse jardim de
inverno terá comprimento igual ao triplo da sua largura e perímetro de 18 metros. Após a construção do
jardim, sobrará, da sala de jantar, uma área útil de 25,5 metros quadrados. Qual a área total útil da sala de
jantar antes da construção do jardim?
Resp.: 
2. (IFSP) – Quatro sócios decidiram montar uma lavanderia e, para isso, cada um investiu uma
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determinada quantia de dinheiro. O primeiro sócio contribuiu com um terço do investimento total. O
segundo sócio contribuiu com um quarto do investimento total. O terceiro sócio contribuiu com um sexto do
investimento total. E o quarto sócio contribuiu com R$ 15 000,00. Desta forma, o valor total investido foi
de:
a) R$ 40 000,00
b) R$ 45 000,00
c) R$ 50 000,00
d) R$ 55 000,00
e) R$ 60 000,00
3. (ENEM) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma
passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o
atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o
salto é realizado.
(Disponível em: <www.cbat.org.br>. Adaptado.)
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para
o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5
m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada
no primeiro salto teria de estar entre:
a) 4,0 m e 5,0 m
b) 5,0 m e 6,0 m
c) 6,0 m e 7,0 m
d) 7,0 m e 8,0 m
e) 8,0 m e 9,0 m
4. (ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido
entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00,
e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida
em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das
50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55
pessoas?
R$ 14,00
b) R$ 17,00
c) R$ 22,00
d) R$ 32,00
e) R$ 57,00
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 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 30 “Problemas envolvendo equações".
10.4. Equação polinomial do 2. grau do tipo ax = b
 Suas experiências
Uma feira de artesanato está sendo organizada. O local da feira terá estandes idênticos em formato
quadrado. Sabendo que a área total designada a todos os estandes é de 400 m2 e que teremos 16 estandes
no total. Qual a medida do lado de cada um desses estandes?
Resp.: 
 Exploração e descoberta
A partir deste momento daremos início a um dos principais assuntos de Álgebra para a Matemática, a
equação do 2. grau. Existem registros de uso das equações entre os babilônios, egípcios e gregos na
resolução de situações-problema.
A equação do 2. grau auxilia na resolução de problemas associados à geometria aplicada no cotidiano e é
utilizada por vários profissionais das áreas de exatas ao exercerem suas atividades, por exemplo:
engenheiros, físicos, administradores, economistas, entre outros.
Iniciaremos analisando uma simples aplicação.
• Qual a medida do lado de um quadrado, sabendo que sua área é de 144 cm ?
Uma das maneiras de resolver problemas como este exemplo é utilizando a sentença matemática:
x = 144
Ou seja, estamos querendo descobrir qual número positivo que, elevado ao quadrado, resulte em 144.
Como estamos buscando o comprimento do lado de um quadrado, iremos considerar apenas o valor
positivo. Logo, o lado do quadrado é de 12 cm.
Ao utilizarmos essa sentença matemática para representarmos o problema, estamos utilizando equação do
o 2
o
o
2
2 
o
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2. grau com uma incógnita.
Uma equação do 2. grau pode ser escrita na forma ax =
b, sendo a e b números racionais e a ≠ 0.
Resolver uma equação do 2. grau é encontrar até dois valores que tornam a sentença verdadeira, ou seja,
é determinar seu conjunto solução. No caso das equações do tipo ax = b, podemos utilizar os princípios
multiplicativos e aditivos da igualdade para isolar o elemento desconhecido, como fazemos nas equações do
1. grau.
Veja mais alguns exemplos de resolução, sendo U = :
1) 2x = 72
 Dividimos ambos os lados por 2
x = 36 Devemos descobrir um número que, elevado ao quadrado, resulte em 36
 Obtemos como solução 
x = ±6 Logo, temos como solução –6 e 6
S = {–6, 6}
2) 5x – 125 = 0
5x – 125 + 125 = 0 + 125 Adicionamos 125 a ambos os lados
 Dividimos ambos os lados por 5
x = 25 Devemos descobrir um número que, elevado ao quadrado, resulte em 25
 Obtemos como solução 
x = ±5 Logo, temos como solução –5 e 5
S = {–5, 5}
3) 3x + 16 = 0
x + 16 – 16 = 0 – 16 Adicionamos – 16 a ambos os lados
x = –16 Descobrir um número que, elevado ao quadrado, resulte em –16
 Não obtemos solução, pois não existe no conjunto dos racionais um número que,
elevado ao quadrado, resulte em um número negativo
S = ∅ Logo, não temos solução
 Pensando no assunto
Raízes de uma equação
Quando dizemos “raiz de uma equação", estamos nos
referindo ao resultado final de uma equação qualquer.
As equações do 1. grau do tipo ax + b = 0, em que a e b
o
o 2
o 
2
o
2
2
2 
2
2
2
2
2
o
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são números reais com a ≠ 0, possuem um único valor
para a incógnita, ou seja, possuem apenas uma raiz.
As equações do 2. grau, por exemplo do tipo ax = b, em
que a e b são números reais com a ≠ 0, podem possuir
até dois valores para a incógnita, ou seja, até duas raízes.
Demonstre seus conhecimentos
1. Resolva as equações, sendo U = .
a) x = 100.
b) x = 441
c) 4x = 256
d) 3x + 10 = 685
e) 5x – 12 = –7
f) 4x = 49
g) x + 9 = 0
 Cultura digital
Após realizar os exercícios acesse o QR Code ou o site www.wolframalpha.com, clique em Álgebra e depois
em Solve a polynomial equation. Você irá escrever cada item do exercício 1 e conferir se resolveu correta
mente.
2. Identifique qual(is)equação(ões) tem(têm) solução definida no conjunto dos racionais:
 
 
a) ( ) x = 100
b) ( ) x – 1 = –2
c) ( ) x = –100
d) ( ) x + 9 = 90
3. A área de um quadrado é igual a 400 cm .
Qual a medida de seu lado?
Resp.: 
 
4. Assinale equação que tem como raízes – 5 e 5.
a) ( ) x = 5
b) ( ) 4x = 100
o 2
2
2
2 
2
2
2
2
2
2 
2 
2
2
2
2 
2
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c) ( ) 2x = 10
d) ( ) x – 5 = 5
5. Observe o exemplo e resolva os exercícios:
a) 0,25x = 1
b) 0,4x = 40
 Sua criação
6.Agora que já estudamos o assunto “Equação polinomial do 2. grau do tipo ax = b", você vai elaborar um
problema, utilizando os conhecimentos que adquiriu até aqui, cujo resultado sejam as raízes + 9 e – 9.
Resolva-o e, depois, verifique se seu amigo também conseguiu criar um problema.
 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 31 “Equação polinomial do 2.o grau do
tipo ax = b".
10.5. Sequências recursivas e não recursivas
Padrões, modelos e regularidades estão presentes no nosso cotidiano e na natureza, como em pinturas de
paredes, em ladrilhos, em tecidos estampados, nos números, nas plantas, nas conchas, na órbita da Terra,
2
2
2
2
o 2
2
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nas notas musicais, entre outros.
Foi através da observação da natureza que algumas regularidades foram percebidas pelos seres humanos,
por exemplo o dia e a noite, as estações do ano e a duração deste.
 Suas experiências
Observe as sequências de figuras e responda.
1.
a) Quais figuras geométricas espaciais formam esta sequência?
Resp.: 
b) Existe uma regra de formação da sequência? Qual?
Resp.: 
c) Qual seria a próxima figura da sequência?
Resp.: 
d) Há a necessidade de sabermos o termo anterior para determinarmos o próximo termo?
Resp.: 
2.
a) Apenas analisando o desenho, determine a quantidade de quadrados e a quantidade de estrelas do 4º
termo.
Resp.: 
b) Comparando as duas sequências, quadrados e estrelas, há alguma relação entre elas?
Resp.: 
c) Analisando a quantidade de quadrados e a quantidade de estrelas em cada termo, é possível determiná-
las por meio de um padrão? Explique cada um.
Resp.: 
d) Há a necessidade de sabermos o termo anterior para determinarmos o próximo termo da sequência de
estrelas?
Resp.: 
 
3.
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a)
Figura
Quantidade
total de
quadrados
Quantidade
de
quadrados
azuis
Quantidade
de
quadrados
brancos
1 1 1 0
2 4 2 2
3 9 3 6
4 
5 
n 
 
b) Quantos quadradinhos brancos devemos ter na décima figura? E no total?
Resp.: 
Conclusão:
Quando há necessidade de sabermos o termo anterior para descobrirmos o próximo termo de uma
sequência, chamamo-la de sequência recursiva.
Quando não há necessidade de sabermos o termo anterior para descobrirmos um termo qualquer de
uma sequência, chamamo-la de sequência não recursiva.
 Exploração e descoberta
Sequências numéricas
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Sequência é sucessão, encadeamento, de fatos.
É comum percebermos em nosso dia a dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem,
obedecendo a uma sequência.
Na matemática, a sequência numérica é uma sucessão finita ou infinita de números, obedecendo a uma
determinada ordem preestabelecida.
Ao representarmos uma sequência numérica, devemos colocar seus elementos entre parênteses.
Vejamos alguns exemplos de sequências numéricas:
(3, 5, 7, 9,…) é uma sequência de números ímpares positivos.
(0, 4, 8, 12, 16,…) é uma sequência de números múltiplos de 4.
(15, 20, 25, 30, 35) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que 10 e menores que 40.
Podemos classificar as sequências numéricas em finitas, quando é possível determinar a quantidade de seus
elementos, ou infinitas, quando isso não é possível. Vejamos a forma genérica desta representação:
Sequência finita: (a , a , a , …, an)
Sequência infinita: (a , a , a , …,
an, …)
 
Leitura dos termos:
 
a : a índice 1 ou primeiro termo
a : a índice 2 ou segundo termo
a : a índice 3 ou terceiro termo
a : a índice n ou enésimo termo
 
Vejamos alguns exemplos:
Sequência finita: (0, 2, 4, 6, 8)
Sequência infinita: (0, 2, 4, 6, 8, …)
1 2 3
1 2 3
1
2
3
n
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Podemos também ter uma sequência com figuras geométricas, com uma gravura em diferentes posições,
com letras, ou qualquer situação. Para isso, é preciso analisar o que muda de uma imagem para a outra e
reconhecer o padrão utilizado para formar a sequência; depois de identificá-lo, é possível descobrir as
próximas imagens ou os números que as representam.
Sequências recursivas e não recursivas
Considere os quatro primeiros termos da sequência figural a seguir.
O total de quadradinhos de cada figura forma uma sequência numérica:
(1, 6, 15, 28,…)
É possível descobrir a quantidade de quadradinhos brancos e azuis que formam a quinta figura, sem que
haja necessidade de construí-la. Se construirmos uma tabela com as informações, podemos utilizar
linguagem matemática para descobrir as leis de formação de cada sequência.
Para isso, devemos relacionar o resultado de cada coluna com o número da posição da respectiva figura,
por meio de uma operação matemática, e escrever uma sentença algébrica generalizada
Figura Quadrados
brancos
Quadrados
azuis
Total de
quadrados
1 1 = 1 0 = 1 . 0 1 + 0 = 1
2 4 = 2 2 = 2 . 1 4 + 2 = 6
3 9 = 3 6 = 3 . 2 9 + 6 = 15
4 16 = 4 12 = 1 . 0 16 + 12 = 28
 
n n n.(n–1) n +n –n=2n
–n
Assim, temos que o número total de quadradinhos que formam a sexta figura será 2n – n, para n = 6:
2 . 6 – 6 = 2 . 36 – 6 = 72 – 6 = 66
Logo, temos que a sexta figura terá 66 quadradinhos.
Como sabemos, uma sequência numérica tem como característica a ordem de seus elementos, sendo
2
2
2
2
2
2 2 2
2
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assim, em algumas delas é possível estabelecer uma lei de formação, ou seja, uma sentença algébrica
que permite determinar qualquer termo de sua composição.
Outra maneira de observarmos o número de quadradinhos que formam cada figura desta sequência é
buscarmos, a partir da segunda figura, uma relação entre elas.
Neste processo, o número de quadradinhos de cada figura levará em consideração a quantidade deles
presentes na figura imediatamente anterior. Veja:
Essa sequência cujos termos podem ser obtidos por meio de aplicação de uma regra que recorre ao termo
anterior é chamada de sequência recursiva.
Sequência recursiva é toda sequência na qual cada
termo, a partir do segundo, é determinado em relação ao
termo anterior.
 
Observando a sequência formada apenas pelos quadradinhos brancos, no mesmo exemplo, temos:
(1, 4, 9, 16, 25,…)
Podemos observá-la de duas maneiras:
A primeira seria recorrer ao termo anterior para descobrirmos o próximo termo, o que a tornaria uma
sequência recursiva.
A segunda, entretanto, seria observá-la como quadrados perfeitos:
(1, 4, 9, 16,...)
Assim, de forma não recursiva, podemos encontrar qualquer termo da sequência atravésda expressão
algébrica n .
Sequência não recursiva é toda sequência na qual cada
termo é determinado independentemente do termo
anterior. Em alguns casos dessas sequências, podemos
levar em consideração a posição do termo para descobrir
seu valor.
As sequências não recursivas podem não ter uma “lógica de formação", e sim apenas uma organização de
elementos (números), como por exemplo as senhas de um banco ou de um cofre.
Fluxograma
Um recurso que podemos utilizar é o fluxograma. Veja como podemos obter os 6 primeiros números da
sequência do total de quadrados do exemplo anterior, com os seguintes passos.
2
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Seguindo os passos do fluxograma, temos:
I) Iniciamos com a 1. figura com n = 1.
II) Chamamos de a = 1 o valor inicial.
III) Registramos o número 1 como primeiro da sequência.
IV) Aumentamos uma unidade ao valor de n : n = 1 + 1 = 2 (2. figura).
V) Respondemos à pergunta: “n é maior que 6". Não, 2 < 6.
VI) Como a resposta foi “não", seguimos calculando: 2 . 2 – 2 = 8 – 2 = 6.
VII) Registramos na sequência o novo valor de a .
VIII) Procedemos da mesma maneira até obtermos os 6 primeiros números (1, 6, 15, 28, 45, 66).
Demonstre seus conhecimentos
1. Observe as três primeiras figuras formadas por palitos de fósforo.
a) Quantos palitos de fósforo são acrescentados a uma figura para obtermos a próxima?
Resp.: 
b) Complete a tabela e escreva uma expressão algébrica que possibilite obter o número de palitos de
fósforo de uma figura n qualquer.
 
 Figura 
 
Números de
palitos
 
 
 
 
 
c) Quantos palitos tem a 12. figura?
Resp.: 
2. Uma sequência numérica é definida pela expressão a = 5n + 1, em que n é um número natural.
a
n
a
2
n
a
n
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Escreva os quatro primeiros termos da sequência.
3 . Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de um triângulo
equilátero. Veja:
Qual é o número triangular da 6. figura? E o da 9. figura? Registre como chegou à sua resposta.
4. Complete com três termos as sequências a seguir:
a) (0, 2, 4, 6, 8, ____, _____, _____, ...) 
b) (3, 6, 11, 18, ____, _____, _____, ...) 
c) (1, 4, 9, 16, _____, _____, _____, ...) 
d) (1, 1, 2, 3, 5, 8, ____, _____, _____, ...) 
e) (6, 11, 16, 21, _____, _____, _____, ...) 
f) (S, T, Q, Q, ____, ____, ____, ...) 
5. A aplicação do fluxograma a seguir gera uma sequência finita. Obtenha todos os termos.
6. A aplicação do fluxograma a seguir gera uma sequência infinita. Obtenha os 5 primeiros termos.
a a
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7. Observe a sequência que foi formada com uma regularidade.
a) Qual figura vem após o último coração?
Resp.: 
b) Se no total tivermos 42 figuras na sequência, quantos sóis teremos
Resp.: 
8 . Determine os três próximos termos de cada sequência. Em seguida, complete o fluxograma que
determina cada termo da sequência.
a) (4, 8, 12, 16, ___, ____, ____, ...) 20, 24, 28
b) (32, 29, 26, 23, ____, ____, ____, ....) 20, 17, 14
9. Construa um fluxograma que forme a sequência determinada pela expressão a = n . 3. Em seguida
registre os 5 primeiros termos da sequência.
10. Crie um fluxograma que determina os n primeiros termos do total de bolinhas dessa sequência
n 2
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 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 32 “Sequências recursivas e não
recursivas".
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Equações
fracionárias do 1.°
grau com uma
incógnita (I)
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Equações
fracionárias do 1.°
grau com uma
incógnita (II)
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Sistemas de
equações fracionárias
(I)
Professora: Rosana
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https://tvweb3.unip.br/player/Transmissao?id=eef892fa-898c-47b5-bd0b-6a86324230d2&instituto=objetivo&referencia=200612_RosanaSantos_Matematica_IV_8Ano_AD
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Perleto dos Santos
Aula: Sistemas de
equações fracionárias
(II)
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Problemas
envolvendo equações
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Equação
polinomial do 2.° grau
do tipo ax² = b
 
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Sequências
recursivas e não
recursivas (I)
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Sequências
recursivas e não
recursivas (II)
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