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2. Conceitos Fundamentais 
 
2.1 A Idéia do Fluido Contínuo 
 Ao se apresentar algumas propriedades do fluido no capítulo anterior, não houve qualquer 
referência ao fato de que estes materiais se constituem de moléculas e que aquelas propriedades 
representam macroscopicamente a manifestação de grupos de moléculas. Note que o interesse da 
engenharia ao analisar problemas de escoamento não reside em compreender os fenômenos 
intermoleculares e sim em quantificar e relacionar estes efeitos macroscópicos. 
Na análise destes problemas, são propriedades como a temperatura (proporcional ao nível de 
agitação molecular), a pressão (efeito das colisões moleculares sobre uma determinada superfície), 
a densidade (quantidade média de moléculas contidas em uma unidade de volume) ou a viscosidade 
(efeito da migração de moléculas entre grupos com diferentes quantidades de movimento) que 
devem ser quantificadas e relacionadas entre si para efeito de dimensionamento e estudo de 
situações onde um fluido escoa. 
 Esta forma de avaliar o comportamento de um fluido não se utiliza de ferramentas como a 
teoria cinética dos gases, a mecânica ou a termodinâmica estatísticas apropriada quando se objetiva 
analisá-lo do ponto de vista molecular. 
 Perceba que esta metodologia de estudo passa a considerar o fluido como um meio contínuo 
onde não existe a ocorrência de vazios ou pontos de descontinuidades (ou variações abruptas) na 
matéria. Admite-se que, em qualquer ponto de uma massa fluida, há sempre um número médio de 
moléculas suficiente para que as propriedades macroscópica possam ser medidas. Esta hipótese tem 
como conseqüência principal a continuidade destas propriedades em qualquer ponto fluido 
posicionado em relação a um sistema de coordenadas independentemente do instante de tempo 
considerado. As funções que descrevem como estas propriedades (ρ, por exemplo) variam de valor 
no espaço e no tempo são, portanto, funções contínuas das coordenadas espacial e temporal 
( , onde f é uma função contínua). ρ = f x y z t( , , , )
 Há, no entanto, que se resolver um problema: como determinar os valores destas 
propriedades em cada ponto sem que se passe a trabalhar no domínio molecular ? E mais, como 
medir propriedades associadas a identificação de volumes ou superfícies, como a densidade e a 
pressão, respectivamente, em pontos matemáticos que, por definição, não têm dimensão ? 
Conceitos Fundamentais 10
Buscando responder estas questões, considere o ponto P da ilustração seguinte onde procura-
se determinar a densidade do fluido. Conforme introduzido anteriormente, a densidade representa a 
quantidade de massa contida em um determinado volume. Na tarefa de medir ρP da forma mais 
precisa possível, poder-se-ia partir do próprio volume total do recipiente que contém o fluido 
calculando-a pela razão entre a massa de fluido contida e este volume. Em um processo de 
elaboração desta estratégia, o volume de fluido a ser considerado pode ser continuamente reduzido 
(δV) para que, mais e mais, se restrinja ao ponto P. 
 Volume V
Massa m 
Volume δV
Massa δm 
δm
δV
δVδV’ 
ρP
 
 
 
 
 P 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 2.1 - Determinação da densidade em um ponto fluido (a) e efeito da 
 redução contínua do volume δV sobre o valor da densidade (b). 
 
 Em função da discussão inicial desta seção, este processo deve ter como limite um volume 
(δV’) onde as oscilações moleculares passem a se manifestar sob a forma de rápidas flutuações no 
valor da densidade ρP. Matematicamente, pode-se sumariar este raciocínio na expressão 
 ρ
δ
δδ δP V V
m
V
=
→ ′
lim (2-1) 
onde δV’ representa o limite de validade da hipótese do contínuo. 
 Este volume identifica o que de agora por diante denominar-se-á partícula fluida. O conceito 
de partícula fluida associa-se, portanto, a menor porção de fluido identificada em um escoamento 
onde a hipótese do contínuo permanece válida. 
 Do ponto de vista matemático, associa-se a uma partícula fluida somente um conjunto de 
propriedades (ρ, P, T, por exemplo) identificadas em um determinado instante por um ponto de 
coordenadas espaciais definidas. 
Mecânica dos Fluidos Aplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
 11
2.2 Forças nos Fluidos e Campos de Tensões 
 Na busca da compreensão de como os meios fluidos escoam, percebem-se algumas 
diferenças entre a dinâmica dos corpos rígidos estudados na mecânica clássica e a dinâmica de 
materiais fluidos, objeto do atual curso. Na primeira, o movimento é causado por forças aplicadas de 
forma pontual ou distribuída e forças associadas a campos (eletromagnético ou gravitacional, por 
exemplo) que as converte internamente em tensões. A força de coesão molecular nos meios sólidos 
é suficientemente forte para que o efeito de uma força aplicada em um determinado ponto se 
transmita por todo o corpo. 
 
 
 
Figura 2.2 - Tipos de força presentes na mecânica clássica. 
Nos fluidos, as interações moleculares são bem mais tênues, não se verificando a 
possibilidade de forças localizadas tornarem-se agentes de seu escoamento. Identificam-se, desta 
forma, apenas dois tipos de esforços: as forças associadas a um campo e as forças distribuídas 
transmitidas ao fluido através de uma superfície de contato. 
Organograma 1.1 - Forças Atuantes nos Fluidos
Normal Tangencial
Forças de Superfície
Gravitacional Eletromagnética
Forças de Campo ou de Massa
Tipos de Força
 
 O organograma acima identifica estas forças denominando-as de forças de campo ou de 
massa (em função do campo agir igualmente sobre cada unidade de massa do fluido) e força de 
superfície por razão bastante óbvia. Perceba que imposição de forças ao fluido através de uma 
superfície pode ocorrer de forma tangencial (placa deslizando sobre uma camada de óleo) ou normal 
(como no caso do êmbolo da Figura 1.4). 
Cada uma destas forças de superfície converte-se em tensões através da área de aplicação 
sobre o fluido transmitindo-se através do mesmo. Uma definição precisa destas tensões 
forçosamente deve envolver, além das forças, a precisa identificação da área em relação a qual ela é 
definida. 
Conceitos Fundamentais 12
 
 
 
 C
δ
r
F
δ
r
A
C
δ
r
F t
n 
δA
δFt
δFn
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 2.3 - Porção fluida sob a ação de esforço de superfície 
 (a) e direções normal e tangencial em C (b). 
Para expressar as tensões tangencial e normal sobre a partícula fluida C identificada na 
massa fluida da Figura 2.3, devem-se conhecer os vetores força e área a serem considerado. A 
primeira vista pode soar estranho se relacionar uma área ao conceito de vetor, mas não há nenhuma 
imprecisão nesta afirmação. 
 O vetor área δ
r
A tem módulo igual à área δA (ver Figura 2.3(b)) e orienta-se sempre 
segundo a direção normal para fora de δA. Decompondo a força nas direções normal e tangencial, 
definem-se as tensões em cada uma destas direções por 
 σ
δ
δδn A
nF
A
=
→
lim
0
 (2-2) 
 τ
δ
δδn A
tF
A
=
→
lim
0
 (2-3) 
designadas pelas letras σ e τ, respectivamente. Nestas definições, apesar de se aplicar o limite com 
δA → 0, lembre-se que este zero é puramente matemático, tendo em vista a discussão sobre meios 
contínuos. 
 σyy
y
dx
dz
 
 
 
 
 τxy τyx τyz
 σxx
 τzy x 
d
 
 
y τzx τxz
 σzzz 
 
 
 
Figura 2.4 - Identificação de campo de tensões sobre elemento cartesiano. 
Mecânica dos Fluidos Aplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
 13
Para a partícula fluida limitada pelo paralelepípedo diferencial cartesiano dx.dy.dz da Figura 
2.4, emprega-se uma notação indicial para identificar tanto a área em relação a qual a tensão é 
definida, como também a direção em que a mesma atua. Um primeiro índice indica a direção 
normal à área considerada e um segundo encarrega-se de definir a direção segundo a qual a tensão 
atua. Desta forma, a tensão τxy é a tensão tangencial queatua numa superfície cuja normal é paralela 
à direção x orientada segundo a direção y. 
 Esta necessidade da tensão estar correlacionada a uma área faz surgir uma nova entidade 
matemática denominada de tensor. Enquanto os vetores são completamente especificados pelo 
módulo, direção e sentido, os tensores necessitam ainda da área em relação a qual eles estão 
definidos para complementar sua definição. Aos vetores, costuma-se atribuir a designação de tensor 
de 1a ordem e às grandezas tensoriais a de tensores de 2a ordem. 
 Vetor (ou tensor de 1a ordem) 
⎧
⎨
⎩
 
Módulo 
Direção 
Sentido
 Tensor (ou tensor de 2a ordem) 
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 
Módulo 
Direção 
Sentido 
Área de Definição
 As nove componentes do tensor tensão da Figura 2.4 são usualmente representadas sob a 
forma de matriz, conforme a equação seguinte, e a barra dupla sobre o símbolo de identificação do 
tensor tem a mesma função da seta sobre os vetores, ou seja, informa que a grandeza assim denotada 
é tensorial. 
 T
xx xy xz
yx yy yx
zx zy zz
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
 
 
 
 (2-4) 
2.3 Classificação Reológica dos Fluidos 
 Conforme visto no capítulo anterior, o critério de definição sobre a natureza fluida de um 
determinado material é baseado no seu comportamento quando submetido a esforços tangenciais. 
Este tipo de esforço impõe ao material deformações angulares que, mantido o nível de tensão 
aplicada, ocorrem de forma diferenciada para cada tipo de fluido. Um experimento bastante simples 
pode ser empregado para demonstrar as distintas respostas dos fluidos sob cisalhamento, conforme 
ilustrado a seguir. 
Conceitos Fundamentais 14
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.5 - Fluido em escoamento unidimensional sob deformação angular. 
 δl 
 P’M’ P M 
 O N y 
x 
 δFx; δu 
 δα 
 t t + δt 
 δy 
 δx 
 O espaço entre duas placas planas é preenchido por um fluido, permanecendo a inferior fixa 
e a superior movendo-se com velocidade constante δu. Para que este movimento ocorra, uma força 
δFx é aplicada para vencer a resistência viscosa que o fluido interpõe ao movimento da placa 
superior. Admite-se escoamento a baixa velocidade de forma que efeitos turbulentos não se fazem 
presente6. 
 Nesta condição, as camadas fluidas deslizam umas em relação às outras nos pontos entre as 
duas placas e, nas interfaces fluido-contorno das placas, vale a condição de não escorregamento. 
Esta condição afirma que a camada fluida imediatamente em contato com a superfície sólida 
encontra-se agregada a mesma e movimenta-se com a mesma velocidade desta superfície. Esta 
condição tem sido confirmada experimentalmente em todas as situações onde a hipótese do contínuo 
pode ser admitida. Alguns estudiosos a interpretam como sendo resultado da iteração entre as 
moléculas do fluido e da superfície limitante do sólido que encontram-se desbalanceadas do ponto 
vista de equilíbrio de forças moleculares (ver discussão sobre a tensão superficial no item 1.3). Estas 
moléculas atraem as moléculas do fluido para o contorno sólido buscando se estabilizar do ponto de 
vista da interação molecular. Existe ainda aqueles que atribuem esta condição à própria 
característica viscosa do fluido que tenderia a se fixar a um contorno sólido ao entrar em contato 
com a mesmo. De qualquer forma, o fluido em contato com a placa superior desloca-se solidário à 
mesma, enquanto que a camada fluida sobreposta à placa inferior permanece imóvel. 
 Na situação em análise, a cada intervalo δt, o fluido deforma-se de um ângulo δα em função 
da ação da tensão tangencial 
 τ
δ
δδyx A
x
y
x
yy
F
A
dF
dA
= =
→
lim
0
 (2-5) 
 
6 Ver item 2.5, letra v) para maiores detalhes sobre regimes de escoamento laminar e turbulento. 
 
Mecânica dos Fluidos Aplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
 15
transferida pela placa superior. 
 É obvio que a velocidade de deformação verificada depende das características constitutivas 
do fluido entre as placas. Matematicamente, esta taxa de deformação angular ( ) é expressa por &α
 & limα
δα
δ
α
δ
= =
→t t
d
dt0
 (2-6) 
onde, pela geometria do problema, identifica-se 
 tg δα = 
δ
δ
l
y
 (2-7) 
 Convertendo este experimento para uma situação onde duas camadas fluidas movimentam-se 
em torno de um ponto (limite com δy → 0 implicando em δu → du) e buscando identificar a taxa de 
deformação instantânea no tempo t (limite com δt → 0, ou seja, δl → dl e δα → dα), obtém-se da 
equação anterior 
 lim ( ) ( ) .
δ
δα α
α
α
t
tg tg d
d
d
dy
dy d
→
=
≅
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ =
0
 dl l (2-8) 
 Para esta situação, o deslocamento dl se deu durante um intervalo dt a uma velocidade 
relativa du. Assim, 
 dl = du.dt = dy.dα ⇒ d
dt
du
dy
α
= (2−9) 
 O resultado expresso pela equação (2-9) informa que, para determinar a taxa instantânea de 
deformação angular em qualquer ponto entre as duas placas, basta conhecer a “intensidade” com 
que a velocidade varia com a cota y representada pela derivada no segundo membro daquela 
equação. 
 Formuladas a tensão e a deformação sofrida pelo fluido, resta conhecer qual a relação que 
existe entre elas. Com esta função, surgiu a ciência da reologia cuja finalidade consiste em estudar o 
comportamento dos materiais e estabelecer suas relações constitutivas onde as deformações 
angulares sofridas são associadas às tensões aplicadas. Desde então, a reologia tem se deparado com 
os mais variados tipos de relação tensão-deformação onde destacam-se: 
 2.3.1 Fluidos Newtonianos 
 São fluidos onde a relação tensão-deformação é linear e o fluido se deforma por menor que 
seja a tensão aplicada. Os fluidos incluídos nesta classificação (ar, água, glicerina, melaço e 
Conceitos Fundamentais 16
alcatrão, por exemplo) apresentam relação de proporcionalidade entre as tensões aplicadas e as 
deformações observadas, ou seja, τyx α 
du
dy
. Observa-se, no entanto, que quando diferentes fluidos 
são submetidos a um mesmo esforço tangencial, taxas de deformação de valores distintos são 
verificadas. Este comportamento particular de cada fluido é associado, portanto, a uma propriedade 
física dos mesmos denominada de viscosidade absoluta ou dinâmica μ. Introduzindo-a na relação 
de proporcionalidade escrita anteriormente, obtém-se 
 τyx = μ.
du
dy
 (2-10) 
que representa a relação constitutiva dos fluidos newtonianos. 
 2.3.2 Fluidos Não-newtonianos
 Todo material que não apresenta comportamento tal qual o dos fluidos newtonianos ou que, 
dependendo das condições impostas aos mesmos, se comporte como fluido pode ser incluído neste 
tipo de classificação. Os hidrocarbonetos de cadeias longas (derivados de petróleo, por exemplo), 
em sua maioria são exemplos deste tipo de fluido. 
 Em boa parte dos materiais assim classificados, não se verifica relação tensão-deformação 
linear e as equações constitutivas apresentam-se da seguinte forma 
 τyx = k.
du
dy
k
du
dy
du
dy
n n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
−
. .
1
 (2-11) 
onde, para se obter uma equação semelhante a dos fluidos newtonianos, define-se a viscosidade 
aparente η por 
 η = k
du
dy
n
.
−1
 (2-12) 
 Perceba que, de acordo com a definição anterior, a viscosidade aparente não mais representa 
uma propriedade unicamente associada à constituição física do fluido, passando a depender 
também das caraterísticas do escoamento. De forma simplificada, a equação constitutiva de fluidos 
não-newtonianos é escrita por 
 τyx = η
du
dy
 (2-13) 
 Existem, no entanto, alguns fluidos não-newtonianos que se assemelham bastante aos sólidos 
enquanto o seu estado de tensão mantém-se abaixo de um determinado limite crítico denominado 
Mecânica dos Fluidos Aplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
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tensão de escoamento (τ0). Superado este limite, o material passa a escoar continuamente 
apresentandorelação linear entre a tensão e a deformação. A este tipo de comportamento associa-se 
a denominação de plástico ideal ou plástico de Bingham, cuja equação constitutiva pode ser 
expressa genericamente por 
 τyx = τ0 + k
du
dy
 (2-14) 
 Inclui-se nesta classificação o creme dental, suspensões de argila, fluido de perfuração de 
poços e tinta a óleo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 2.6 - Perfis típicos de alguns fluidos em diagramas Tensão x Taxa de 
 Deformação (a) e Viscosidade Aparente x Taxa de Deformação(b). 
 Além da não-linearidade descrita, alguns fluidos apresentam comportamento com 
dependência em relação ao tempo. Desta forma, é instrutivo apresentar outros exemplos de fluidos 
não-newtonianos subdividindo-os de acordo com este critério. 
 Dentre aqueles que independem do tempo, destacam-se os fluidos denominado de 
pseudoplástico e dilatante. Enquanto a viscosidade aparente do primeiro diminui com a deformação, 
os fluidos dilatantes aumentam a resistência ao escoamento à medida que este ocorre, ou seja, η 
cresce com a deformação. Desta forma, a equação constitutiva destes fluidos apresentam, 
respectivamente, expoente (n) menor e maior que a unidade. 
Taxa de Deformação 
du
dy
 
 
Dilatante 
Newtoniano
Pseudoplástico 
Taxa de Deformação 
du
dy
 
τ 
Plástico Ideal ou de Bingham
Plástico Real
Newtoniano
Dilatante
Pseudoplástico
τ0
Conceitos Fundamentais 18
 Como exemplo de pseudoplásticos, podem ser citadas as soluções polímeras, como graxa, 
tinta de impressão e BPF, soluções coloidais e a polpa de papel diluída em água. Já as suspensões de 
amido e de areia, bem como o silicato de potássio, constituem exemplos de fluidos dilatantes. 
 Em relação aos fluidos com comportamento variável com o tempo, podem ser citados os 
al o fluido é submetido a um determinado esforço são 
fatores importantes na determinação do estado de deformação atual. Estes são os fluidos com 
r e de dependência em relação aos estados 
o de propriedades tais como a densidade, a 
mper
idade, acelerações, tensões e forças), necessariamente deve-se determinar como 
estes p
Resolver o escoamento, portanto, consiste em determinar as relações de dependência que 
 e a ao tempo. Exemp
velocidade, busca-se determinar o campo expresso matematicamente por 
 = (x,y,z,t) = u.î + v. + w.
tixotrópicos, cuja viscosidade aparente diminui com o tempo, e os reopéticos, que apresentam 
comportamento oposto. Algumas tintas são classificadas no primeiro grupo e os materiais que 
contém solventes voláteis (como colas e vernizes) constituem exemplos do segundo. 
 Existe ainda fluido em que além do estado atual de deformação e das tensões atuantes no 
mesmo não determinam completamente o escoamento. O histórico de deformação do fluido, assim 
como o intervalo de tempo durante o qu
memória ou viscoelástico onde as características não-linea
de deformação anteriores estão presentes. 
2.4 Representação Matemática dos Escoamentos 
 Ao apresentar o conceito de partícula fluida associando-o à idéia do contínuo, foi postulado 
que cada partícula apresenta um único conjunt
te atura, a pressão, etc, em um determinado instante. Este raciocínio também deve ser estendido 
àquelas propriedades intrinsecamente associadas ao escoamento tais como a velocidade, a 
aceleração e as tensões que atuam em cada ponto. 
 Nos capítulos e seções que seguem, ficará bastante claro para o iniciante no estudo do 
movimento fluido que, para determinar todas as variáveis de interesse para a análise da dinâmica do 
escoamento (veloc
arâmetro dependem das coordenadas espaciais (x, y e z, no caso cartesiano) em cada instante 
de tempo. Diz-se, assim, que os campos de velocidade e das demais grandezas de interesse devem 
ser determinados. 
estas variáveis apresentam m relação ao esp ço e lificando para o caso da 
r
V
r
V $j $
( , , , )
( , , , )
( , , , )
k
u u x y z t
v v x y z t
w w x y z t
 
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
 (2-15) 
Mecânica dos Fluidos Aplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
 19
 2.4.1 Operações Vetoriais em Mecânica dos Fluidos 
 No estudo da mecânica dos fluidos, freqüentemente se necessita expressar e trabalhar 
variáveis com características vetoriais e tensoriais, como visto na apresentação do campo de tensões 
e do campo de velocidade. Na formulação dos princípios de conservação, estas variáveis são 
correlacionadas e expressas genericamente sob a forma de equações vetoriais que independem do 
sistema de coordenadas considerado, onde novos operadores vetoriais são incluídos ao lado de 
operações já conhecidas como os produtos escalar (ou interno) e vetorial. 
 Objetivando relembrar o conceito destas operações e apresentar novos operadores 
envolvidos na mecânica dos fluidos, considere os vetores 
r
V = u.î + v. + w. e = a$j $k ra x.î + ay. + 
a
$j
z. e o escalar ρ. As principais operações envolvendo um vetor nas equações de conservação que 
formulam o escoamento fluido são resumidamente apresentadas em seguida. Para não ser repetitivo, 
aquelas operações já familiares ao estudante de engenharia foram simplesmente expressas, 
resguardando-se os comentários para aquelas agora introduzidas. 
$k
 
 
 
 
 
Figura 2.7 - Vetores exemplo para demonstração de operações vetoriais. 
 
 a) Produto de um escalar por um vetor 
 ρ. = ρ ara x.î + ρ ay. $ + ρ aj z. $k (2-16) 
 b) Produto Escalar ou Interno 
 
r
V •ra = 
r
V . ra .cosθ (2-17) 
 • = (u.î + v. $ w. $k •(a
r
V ra j + ) x.î + ay. $j a+ z. $k = u.a) x + v.ay + w.az (2-18) 
 c) Produto Vetorial 
 
r rVxa = 
r
V . ra .senθ (2-19) 
 
r r
V a x = (v.az - w.ay)î + (w.ax - u.az) + (u.a$j y - v.ax) (2-20) $k
$k θ
r rVxa
$j 
raî 
r
V
Conceitos Fundamentais 20
 d) Derivação de Vetores 
 Menos comum nos textos de matemática até então estudados, a derivação de vetores é uma 
operação que é fartamente utilizada em mecânica dos fluidos, muito embora a expressão r
r
a
dV
dt
= 
seja nenhuma novidade para aqueles que já se deparam com a mecânica clássica. Por definição, a 
derivada de um vetor consiste simplesmente na derivação de suas componentes, ou seja, 
 não
 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
r
V
x
u
x
i
v
x
j
w
x
k= + +$ $ $ (2-21) 
 e) Divergente de Vetores 
 Antes de introduzir esta operação, cabe apresentar o operador envolvido na mesma, o 
operador nabla ( ). Trata-se de uma designação de um grupo de termos bastante encontrado nas 
equações da mecânica feita com o intuito de torná-las mais concisas contribuindo para a agilização 
da linguagem matemática aqui empregada. A equação (2-22) apresenta a definição deste operador 
aplicado a uma grandeza qualquer (...) e, pela quantidade de termos do primeiro e segundo 
membros, já se percebe a vantagem de empregá-lo quando escreve-se equações que envolvem os 
termos do segundo membro. 
r
∇
 (...) = 
r
∇
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(... ) $ (... ) $ (...) $
x
i
y
j
z
k+ + (2-22) 
 Lembre-se que, apesar da equação (2-22) expressá-lo para a geometria cartesiana, este 
operador apresenta definições distintas para cada sistema de coordenadas considerado, algumas 
delas apresentadas no apêndice B. Perceba também que, de acordo com esta mesma equação, 
r
∇ é 
um vetor assim definido. 
 O divergente representa a operação do produto escalar entre o operador nabla e um vetor 
qualquer resultando, portanto, em um valor escalar. Para o vetor 
r
V, por exemplo, o divergente 
resultaria na expressão 
 
r
∇•
r
V
u
x
v
y
w
z
= + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 (2-23) 
 f) Rotacional de Vetores 
 A exemplo do divergente, esta operação também se utiliza do operador nabla empregado 
desta vez como um dos vetores envolvido do produto vetorial que a define, tal como segue. 
 
r r
∇ = −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟xV
w
y
v
z
i
u
z
w
x
j
v
x
u
y
k
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. $ . $ . $ (2-24) 
Mecânica dos FluidosAplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
 21
 Mais uma vez, a motivação para a criação de tal operação teve por base a concisão dos textos 
e equações. vale lembrar que o resultado desta operação é um vetor. 
 g) Gradiente de Escalar 
 Por último, quando o operador é aplicado sobre um escalar, resulta na identificação do vetor 
gradiente deste escalar definido para o escalar ρ por 
 ρ = 
r
∇
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂x
i
y
j
z
k$ $+ + $ (2-25) 
 
2.5 Classificação dos Escoamentos 
 A configuração de um escoamento depende de uma série de parâmetros onde pode-se 
destacar as características do próprio fluido que escoa, à geometria por onde o mesmo ocorre, ao 
nível de velocidade observado, dentre outras. De acordo com as peculiaridades de cada caso, os 
escoamentos podem ser classificados de acordo com uma série de parâmetros que muitas vezes 
induzem, por exemplo, em simplificações das equações de conservação e na adoção de formulações 
mais adequadas às suas características. 
 De forma geral, os escoamentos podem ser classificados de acordo com os seguintes 
parâmetros: 
 
 i) Número de Coordenadas do Problema 
 Unidimensional: somente uma coordenada espacial é necessária para a descrição do campo 
de velocidades como nos tubos retilíneo de seção constante; 
 Bidimensional: duas coordenadas espaciais são necessárias para a descrição do campo de 
velocidades (dutos formados por duas placas divergentes); 
 Tridimensional: todas as três coordenadas espaciais são necessárias para a descrição do 
campo de velocidades como acontece na maioria dos escoamentos reais. 
 
 ii) Variação do Perfil Velocidade 
 Escoamento Uniforme: o módulo da velocidade é constante ao longo da seção de 
escoamento. Trata-se de uma simplificação da condição clássica de não escorregamento 
do fluido em contato com um contorno sólido e é normalmente adotada quando não há 
Conceitos Fundamentais 22
interesse na distribuição de velocidade ou como condição de contorno na entrada de uma 
tubulação. Além da velocidade, esta classificação também pode ser adotada em relação a 
outras propriedades do fluido ou do escoamento; 
 Campo Uniforme de Escoamento: a velocidade apresenta os mesmos módulo e sentido em 
todos os pontos do escoamento, ou seja, u, v e w apresentam o mesmo valor em todo o 
campo. 
 iii) Dependência em Relação ao Tempo 
 Escoamento em Regime Permanente: caracteriza-se pela invariância das propriedades do 
fluido e do escoamento em relação ao tempo, ou seja, 
∂φ
∂t
 = 0, onde φ = , ρ, T, P, etc. 
Estas propriedades podem, no entanto, apresentar variação no domínio espacial do 
problema ou, de acordo com a notação matemática adotada, φ = φ(x,y,z); 
r
V
 Escoamento Transiente: refere-se ao escoamento quando o campo de velocidades e as 
demais variáveis ainda encontram-se em desenvolvimento e são funções do tempo. 
 iv) Presença de Efeitos de Compressibilidade 
 Escoamento Compressível: nesta condição, a pressão, além de se constituir em um agente do 
escoamento, atua sobre a densidade do fluido (ρ = ρ(P,T) gerando compressão do fluido 
em determinadas regiões do escoamento. Esta é a classificação na qual se enquadra a 
maioria dos escoamentos a alta velocidade, onde o critério do número de Mach (Ma = 
V/s)7 maior ou igual a 0,3 é empregado como limite entre os escoamentos compressível 
e incompressível. Em função de suas constituições, tais efeitos são mais freqüentes em 
gases do que em líquidos. Na abordagem de veículos que viajam em escala sub, super ou 
hipersônica, os efeitos de compressibilidade obrigatoriamente devem ser incluídos no 
modelo de escoamento; 
 Escoamento Incompressível: a densidade não apresenta variações em função da pressão, 
podendo ser admitida constante em todo o domínio de problemas onde não se verifica ou 
não se está avaliando a transferência de calor. Para efeito de estudos envolvendo 
 
7 Nesta definição, V é a máxima velocidade do escoamento e s é a velocidade do som no meio fluido 
considerado. Para o ar, onde s = 343 m/s nas condições padrão, a partir do limite de 1234,8 km/h, a compressibilidade 
torna-se importante na análise do escoamento. 
 
Mecânica dos Fluidos Aplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
 23
unicamente a mecânica dos fluidos onde não há transferência de calor, esta classificação 
implica em ρ constante. 
 v) Regime de Escoamento 
 Escoamento Laminar: o fluido escoa em camadas sobrepostas, deslizando umas sobre as 
outras, sem cruzamentos de partículas fluidas entre as mesmas. É neste tipo de 
escoamento que a equação constitutiva dos fluidos newtonianos (2-10) é válida; 
 Escoamento Turbulento: caracteriza-se pelo movimento aleatório de partículas que 
apresentam, no entanto, uma determinada orientação de escoamento. Um dos modelos 
de turbulência mais difundidos tem por base a subdivisão do campo de velocidade (u, 
por exemplo) em uma parcela responsável pelo movimento global na direção 
preferencial (u ) e uma parcela relacionada às flutuações e efeitos de vórtices e 
aleatoriedade do escoamento (u’), ou seja, u = u + u’. A tensão cisalhante apresenta uma 
componente viscosa e uma parcela turbulenta, onde a primeira predomina nas regiões 
próximas a uma interface sólida. A maioria dos escoamentos reais acontecem de forma 
turbulenta. 
 vi) Existência de Superfície Limitante 
 Escoamento Interno: a orientação e a seção por onde o fluido escoa são determinadas por 
uma superfície limitante sólida e na maior parte das aplicações impermeável. A grande 
diferença em relação aos escoamentos externos diz respeito a conservação da massa 
quando o domínio global do problema é considerado que impõe que a vazão mássica 
entre duas seções de um escoamento permanente se conserva. Escoamentos no interior 
de tubos, dutos, bocais e difusores são exemplos desta categoria. 
 Escoamento Externo: o fluido escoa livremente e não há limitação nem orientação imposta 
pela existência de paredes sólidas. Massas fluidas não limitadas interagindo com 
contornos sólidos são observadas, por exemplo, na análise da placa plana, aerofólios e 
outros corpos completamente imersos na mesma denominados corpos bojudos; 
 Escoamento em Canal: algumas características dos escoamentos interno e externo são 
percebidas quando um fluido escoa através de uma tubulação ou canal aberto não 
preenchendo completamente a seção disponível para tal. O fluido além de interagir com 
Conceitos Fundamentais 24
uma parede sólida mantém interface com um outro fluido em sua superfície livre. Tubos 
não preenchidos e canais de uma forma geral estão incluídos neste item. 
 vii) Viscosidade do Fluido 
 Escoamento Invíscido ou de Fluido Perfeito ou Ideal: admite-se a hipótese de fluido de 
invíscido ou de viscosidade (μ) nula. Apesar de não corresponder fielmente à realidade, 
a análise deste tipo de situação produziu importantes conclusões a respeito da natureza 
dos escoamentos fluidos. Os teóricos matemáticos dos primórdios da hidrodinâmica a 
introduziram para tornar possível a resolução matemática das equações de conservação 
do escoamento8. 
 Escoamento Viscoso: escoamento onde os efeitos viscosos são percebidos e representam 
importante termo na conservação da quantidade de movimento. Com o advento dos 
primeiros computadores e o desenvolvimento de técnicas numéricas adequadas, as 
equações de conservação com todos o seus termos puderam ser resolvidas tornando a 
hipótese de fluido perfeito desnecessária. Tais desenvolvimentos têm sido aplicadas em 
várias áreas, destacando-se o estudo de problemas como a aerodinâmica de automóveis 
de competição e o projeto de aeronaves (Boeing 737, ônibus espacial) e meios de 
transporte de alta velocidade (trem-bala japonês ou o Train a Grant Vitesse - TGV 
francês). 
2.6 Representação Gráfica e Visualização de Escoamentos 
 Existem vários métodos de visualização disponíveis para tornar visíveisos escoamentos e 
alguns de seus fenômenos complexos como recirculações, vórtices e redemoinhos. Seja para 
aplicação em gases (injeção de fumaça e gases visíveis, fiapos, birefrigência ótica, etc), como para 
líquidos (bolhas de hidrogênio e corantes, por exemplo), todos este métodos geram imagens9 que 
devem ser interpretadas sob a luz dos conceitos das linhas identificadas nos fluidos. 
 Entre estas linhas, existem as imaginárias (trajetória e linha de corrente) e aquelas que 
realmente se consegue ver no interior da massa fluida que escoa (filete e linha de emissão). A 
trajetória consiste de uma linha imaginária que descreve o caminho percorrido por uma determinada 
 
8 No quinto capítulo do presente trabalho, tais equações são desenvolvidas passo a passo, originando para os 
fluidos newtonianos as famosas equações de Navier-Stokes. 
9 Alguns dos métodos citado são fartamente empregados no vídeo Flow Visualization do Nationall Committee 
for Fluid Mechanics Films. 
Mecânica dos Fluidos Aplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
 25
partícula. Em ar parado, a fumaça descarregada pelos aviões da esquadrilha da fumaça em suas 
apresentações configurariam um exemplo em que é possível visualizar-se a trajetória percorrida 
pelos mesmos. A linha de corrente, por sua vez, é uma linha também imaginária que em cada 
instante são tangentes ao vetor velocidade (ou direção do escoamento) em cada ponto do 
escoamento. 
 Das linhas reais, o filete é de domínio mais comum e consiste de uma linha formada por 
partículas igualmente identificadas ou marcadas (por corante, fumaça, bolha de hidrogênio, ou outro 
método) a partir de um mesmo ponto do escoamento. As linhas de emissão, apesar de menos 
conhecidas, constituem ferramenta importante na visualização de fenômenos invisíveis a olho nu, tal 
como as mudanças no perfil de velocidade quando o escoamento ocorre em dutos com estreitamento 
ou ampliação de seção. Por definição, estas linhas são formadas por um conjunto de partículas 
fluidas identificadas em um mesmo instante em pontos diferentes do campo de escoamento. Vale 
como exemplo desta ferramenta de ilustração de escoamento, a deposição de pó (de madeira, por 
exemplo) com densidade inferior a do líquido que escoa com superfície aberta como em tanques, 
canais e rios. 
2.7 Escoamento Viscoso e Camada Limite 
 A esta altura do curso, já se sabe que a presença de um contorno em contato com um fluido 
que escoa influencia a disposição deste escoamento tanto em função da condição de não 
deslizamento, como pela característica viscosa dos fluidos. Resta ainda avaliar como a "informação" 
da existência deste contorno, percebida inicialmente pela porção de fluido imediatamente em 
contato com a mesmo, se propaga através das outras regiões do fluido. 
 Para explicar este fenômeno, considere o escoamento laminar de fluido incompressível sobre 
uma placa plana estacionária que se aproxima da mesma com perfil uniforme U∞, de acordo com a 
ilustração. 
 Para associar esta situação a um caso presente no dia-a-dia de todos, imagine que a 
superfície de uma escrivaninha representa a placa plana e que esta peça mobiliária encontra-se no 
interior de uma sala estanque onde inexistem correntes de ar entrando ou saindo da mesma. O ar no 
seu interior encontra-se estático e circunda toda a superfície da escrivaninha. Imagine agora que um 
ventilador de dimensões bem maiores que as da escrivaninha seja acionado e que o ar se aproxime 
da superfície da mesma com perfil uniforme, como ilustrado acima. 
 U∞UB∞ B 
Borda da 
y u = u(x y)
Camada
Conceitos Fundamentais 26
 
 
 
Figura 2.8 - Desenvolvimento de camada limite e perfil de velocidade sobre placa plana. 
 A camada fluida adjacente à esta superfície encontra-se estacionária e, a medida que o fluido 
escoa sobre a mesma a partir da borda de ataque (origem do sistema de coordenadas x-y também 
denominado de ponto de estagnação em função da velocidade ser nula nesta posição), a informação 
de que ali existe uma superfície estacionária é transferida à camada fluida imediatamente superior. 
A viscosidade é o agente envolvido nesta transmissão que tende a desacelerar o fluido que antes se 
deslocava com velocidade U∞. Se forem consideradas outras posições na direção do escoamento x, 
mais e mais fluido passa ser perturbado pela presença da placa permanecendo, no entanto, sempre 
uma região afastada da mesma que não é afetada. 
 Conforme representado na Figura 2.8, existe em cada ponto x uma posição y a partir da qual 
as camadas fluidas viajam todas à mesma velocidade (U∞) e, conseqüentemente, não verifica a 
ocorrência de efeito viscosos. O fluido nesta região pode ser tratado como ideal e as equações 
desenvolvidas nos primórdios da hidrodinâmica servem para sua formulação. Por outro lado, a 
região do escoamento entre a superfície e esta posição "limite" y é fortemente influenciada pelo 
contorno através da força viscosa. 
 A visualização do escoamento tal como descrito foi realizada originalmente por Prandtl em 
1904 ao introduzir o conceito de camada limite. Este autor a define como uma camada imaginária 
que limita a região do escoamento próxima à interface entre o fluido que escoa e um outro corpo 
onde os efeitos viscosos determinam a configuração do escoamento. No interior da camada limite, o 
perfil de velocidade varia entre o valor nulo na parede até a velocidade de escoamento não 
perturbado, conforme esboçado na Figura 2.8 para duas posições x. Note a semelhança entre estes 
perfis e que, a rigor, a única diferença entre eles é a posição y que identifica a borda da camada 
limite, também chamada de espessura da camada limite. 
 Apesar desta apresentação do conceito de camada limite ter considerado por hipótese o 
escoamento como laminar, ele continua válido também para casos onde fenômenos associados à 
turbulência (tais como vórtices e redemoinhos) são percebidos. 
Mecânica dos Fluidos Aplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
 27
 Neste caso de placa plana, o fluido têm sua inércia "consumida" apenas por efeitos viscosos, 
sendo a velocidade e a quantidade de movimento do fluido determinada apenas por estes dois 
parâmetros. A pressão, que normalmente é o principal agente do escoamento, foi admitida constante 
para efeito didático na apresentação da camada limite. 
 
 (a) (b) 
Figura 2.9 - Comportamento de escoamentos em torno de cilindro trans- 
 versal para fluidos real (viscoso) (a) e ideal (invíscido) (b). 
 [Extraída de FOX et McDONALD, 1985] 
 Para visualizar ainda mais as divergências entre os escoamentos real e ideal, considere o caso 
do escoamento externo sobre um tubo cilíndrico transversal. A ilustração anterior apresenta, sob a 
forma de corte transversal, a configuração típica das linhas de corrente dos escoamentos real (a) e 
potencial associado ao fluido invíscido (b). 
 Ao contrário do caso de placa plana, a seção de escoamento do fluido é reduzida pela 
disposição do cilindro transversalmente ao escoamento o que no mínimo força o fluido a se desviar 
desta resistência imposta, mesmo para o escoamento de fluido ideal (Figura 2.9(b)). Esta ilustração 
merece ainda uma outra observação sobre a disposição das linhas de corrente. Perceba que há uma 
aproximação entre as linhas de corrente a medida que o fluido se desvia do tubo. 
 Como a linha de corrente é sempre tangente ao vetor velocidade, por definição, não há 
escoamento através de uma linha de corrente e a vazão10 entre duas linhas de corrente permanece 
constante. Desta forma, uma aproximação entre duas linhas de corrente representa uma redução na 
seção de escoamento e, para que se mantenha a vazão, uma aceleração do fluido. 
 Conforme também será demonstrado no sexto capítulo, a um crescimento da velocidade 
corresponde sempre um decréscimo da pressão no escoamento de fluidoideal. Para o escoamento 
em análise, a pressão apresenta um valor máximo no ponto A da Figura 2.9(b) e decresce até atingir 
o menor valor, quando a velocidade é máxima, no ponto D. A pressão volta a crescer entre os pontos 
 
10 Considerando o escoamento uniforme, a vazão volumétrica pode ser obtida pelo produto entre a velocidade e a 
seção por onde o escoamento acontece. 
Conceitos Fundamentais 28
D e E, retornando o valor máximo do ponto A e o escoamento torna-se simétrico em relação aos 
eixos x e y. 
 Muito embora a relação entre a pressão e a velocidade não seja descrita pela mesma equação, 
qualitativamente observa-se o mesmo comportamento da pressão em torno do cilindro sob a carga 
do fluido real da Figura 2.9(a). A pressão também cresce entre D e E, mas não atinge o valor 
máximo do ponto de estagnação A. É esta diferença de pressão entre as faces anterior e posterior 
que faz surgir uma força que tende a arrastar o cilindro na direção do escoamento conhecida como 
força de arrasto. Além da parcela devido a pressão, o atrito viscoso constitui outra importante fonte 
de arrasto sobre corpos imersos em meios fluidos. 
 A viscosidade também impõe a formação de uma camada limite laminar a partir do ponto de 
estagnação A que cresce em espessura até se tornar instável onde qualquer perturbação (ruído, 
vibração ou transferência de calor) podem concorrer para sua transição para o regime turbulento. 
Este fenômeno é identificado pelo ponto B denominado de ponto de transição. A camada limite 
turbulenta mantém-se desenvolvendo até que ocorre o fenômeno do descolamento. 
 Para compreender os efeitos que regulam o descolamento, considere uma partícula fluida no 
interior da camada limite entre os pontos A e C. Entre A e B, a partícula com uma certa quantidade 
de movimento é impulsionada pela diferença favorável de pressão entre estes pontos para vencer a 
resistência viscosa ao seu escoamento. Entre os pontos B e C, no entanto, ambas a diferença de 
pressão e a força de atrito viscoso reúnem-se para impedir que a partícula escoe entre estes pontos. 
Como a partícula já não dispõe de inércia suficiente para vencer este duplo campo contrário ao 
movimento, a partícula é desacelerada até o repouso e passa a deslocar-se segundo a orientação C-B, 
caracterizando o descolamento designando pelo ponto B na ilustração. 
 O esboço a seguir ilustra os perfis de velocidade durante a evolução para o descolamento 
onde os aspectos descritos podem ser verificados. O descolamento é caracterizado pela inversão do 
perfil de velocidade no interior da camada , ou seja, quando 
∂
∂
u
y
 = 0. 
 
Mecânica dos Fluidos Aplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
 29
Figura 2.10 - Perfis de velocidade no interior da camada 
 limite com gradiente de pressão adverso. 
 [Extraída de STREETER et WYLIE, 1980] 
 Após o descolamento, o escoamento torna-se completamente desordenado e ocorre a 
formação da esteira de vórtices que perdura até que a turbulência é amortecida por efeitos viscosos. 
Quanto mais intensa a perturbação da esteira de vórtices, maior a queda provocada na pressão na 
região posterior do cilindro após o ponto C. 
 
Figura 2.11- Disposição de escoamento sobre perfil aerodinâmico. 
 [Extraída de FOX et McDONALD, 1985] 
 Uma das grandes preocupações dos projetistas especializados em aerodinâmica consiste em 
minimizar a esteira com o fim de reduzir o máximo possível o arrasto. Tais técnicas são conhecidas 
como controle da camada limite e consiste manipular geometricamente os corpos para "atrasar" o 
máximo o surgimento da transição e do descolamento. Provocar este atraso consiste em trabalhar a 
geometria do perfil de modo que tanto a transição quanto o descolamento ocorram o mais próximo 
ao ponto equivalente ao ponto E da Figura 2.9(b). Perceba que esta providência reduz 
significativamente as parcelas do arrasto devido à viscosidade (a maior parte da camada limite é 
laminar e esta apresenta um arrasto menor) e devido à diferença de pressão (uma área menor estará 
submetida às pressões menores observadas na esteira de vórtices). 
Conceitos Fundamentais 30
 Uma das primeiras metodologias capazes de produzir este efeito consiste em "adicionar 
contorno sólido" na direção do escoamento reduzindo o gradiente de pressão e a sua parcela da força 
de arrasto. A seção do corpo da Figura 2.11 e o escoamento em torno da mesma demonstra este 
aspecto onde verifica-se uma redução bastante acentuada da esteira de vórtices. Apesar da área de 
contato entre o fluido e a superfície deste corpo crescer em relação ao cilindro, provocando um 
acréscimo no arrasto devido ao atrito viscoso, a perfilação de corpos submetidos a escoamentos 
induzem à redução do arrasto total. 
2.8 Métodos de Análise 
 Da mesma forma que a mecânica de corpos rígidos clássica emprega o diagrama de corpo 
livre e a termodinâmica os conceitos de sistemas aberto e fechado, a mecânica dos fluidos requer 
que sejam adotados métodos de análise adequados às peculiaridades do meio em estudo, ou sejam, 
os fluidos. Ao contrário dos corpos rígidos, o material analisado aqui se deforma continuamente se 
contraindo e se expandindo, apresenta também distorções angulares tornando o diagrama de corpo 
livre inadequado para sua abordagem e formulação. 
 Os princípios de conservação da termodinâmica associados às equações da mecânica escritas 
de forma conservativa se mostram mais eficientes nesta tarefa. Posteriormente, cada um destes 
princípios de conservação (massa, quantidade de movimento linear, quantidade de movimento 
angular, energia e geração de entropia - 1a e 2a Leis da Termodinâmica, respectivamente) será 
devidamente apresentado. Existe, no entanto, um problema a ser considerado quando da utilização 
destes princípios que reside no fato deles postularem a conservação de propriedades de sistemas 
fechados. De acordo com sua definição, este tipo de sistema encerra sempre a mesma massa que é 
delimitada para estudo sem que haja fluxo de massa através da superfície que o limita. Para 
empregar esta ferramenta, ter-se-ia que acompanhar cada partícula fluida do escoamento que se 
constituiria no próprio sistema. 
 A mecânica dos fluidos, assim, tem que proceder uma adaptação destes princípios com o 
intuito de adequá-los às suas necessidades. Ela o faz tendo por base os conceitos de sistema e 
volume de controle. Faz-se referência ao termo sistema quando qualquer quantidade fixa de fluido é 
isolada da sua periferia para efeitos do estudo. Apesar de impermeável ao transporte de massa, 
podem ocorrer fluxos de energia sob a forma de trabalho e/ou calor através da superfície do sistema. 
Perceba que esta definição equivale a dos sistemas fechados da termodinâmica e que, apesar da 
Mecânica dos Fluidos Aplicada - Prof. Raimundo Nonato Calazans Duarte 
 31
massa contida no sistema não variar, podem ocorrer expansões e contrações do volume que a 
encerra e, portanto, variações da densidade do fluido contido no mesmo ao longo do escoamento. 
 O volume de controle, por sua vez, consiste de um volume identificado por uma superfície 
real ou imaginária, denominada superfície de controle, orientado em relação a um sistema de 
coordenadas onde calor, trabalho e massa podem fluir livremente através de sua superfície. Esta 
ferramenta se mostra mais adequada à análise de escoamentos e problemas correlacionados, pois 
limita a análise a regiões do problema, em vez de acompanhar cada partícula fluida ao longo do 
escoamento. A solução das equações associadas ao volume de controle que resulta nos campos das 
variáveis de interesse como a velocidade , a pressão, as tensões, etc. 
 Para identificar convenientemente um volume de controle, as características do problema a 
ser estudado devem ser conhecidas e o domínio, no qual as variáveis do escoamento devem serobtidas, estabelecido. Em situações onde o interesse se resume ao conhecimento de comportamentos 
globais (vazão em duto ou taxa de renovação de ar em uma sala, por exemplo), não se faz necessária 
a adoção de volumes de controle diferenciais onde a distribuição espacial (ponto a ponto) das 
propriedades resulta da resolução do conjunto de equações diferenciais que expressam os princípios 
de conservação. Nestes casos, a identificação de um volume de controle que coincide com o 
domínio global do problema satisfaz a necessidade identificada. A solução do problema, neste caso, 
é gerada a partir de equações integrais também obtidas a partir dos princípios de conservação, tema 
do quarto capítulo do atual trabalho. 
2.9 Formas de Descrição de Escoamento 
 De acordo com a discussão do item anterior, existem duas formas de descrever os escoamento 
denominadas de: 
 a) Método Lagrangiano: descreve o escoamento acompanhando cada partícula fluida 
individualmente. Estuda o escoamento admitindo que cada partícula fluida constitui um 
sistema gerando um conjunto de equações de conservação para cada um deles; 
 b) Método Euleriano: avalia o movimento fluido atendo-se a uma determinada posição fixa no 
espaço. Utiliza-se do conceito de volume de controle identificado em relação a um sistema 
de coordenadas fixo em relação ao observador (laboratory coodinates). 
	2.1 A Idéia do Fluido Contínuo 
	2.2 Forças nos Fluidos e Campos de Tensões 
	2.3 Classificação Reológica dos Fluidos 
	2.4 Representação Matemática dos Escoamentos 
	 2.4.1 Operações Vetoriais em Mecânica dos Fluidos 
	2.5 Classificação dos Escoamentos 
	2.6 Representação Gráfica e Visualização de Escoamentos 
	 Das linhas reais, o filete é de domínio mais comum e consiste de uma linha formada por partículas igualmente identificadas ou marcadas (por corante, fumaça, bolha de hidrogênio, ou outro método) a partir de um mesmo ponto do escoamento. As linhas de emissão, apesar de menos conhecidas, constituem ferramenta importante na visualização de fenômenos invisíveis a olho nu, tal como as mudanças no perfil de velocidade quando o escoamento ocorre em dutos com estreitamento ou ampliação de seção. Por definição, estas linhas são formadas por um conjunto de partículas fluidas identificadas em um mesmo instante em pontos diferentes do campo de escoamento. Vale como exemplo desta ferramenta de ilustração de escoamento, a deposição de pó (de madeira, por exemplo) com densidade inferior a do líquido que escoa com superfície aberta como em tanques, canais e rios. 
	2.7 Escoamento Viscoso e Camada Limite 
	2.8 Métodos de Análise 
	 Da mesma forma que a mecânica de corpos rígidos clássica emprega o diagrama de corpo livre e a termodinâmica os conceitos de sistemas aberto e fechado, a mecânica dos fluidos requer que sejam adotados métodos de análise adequados às peculiaridades do meio em estudo, ou sejam, os fluidos. Ao contrário dos corpos rígidos, o material analisado aqui se deforma continuamente se contraindo e se expandindo, apresenta também distorções angulares tornando o diagrama de corpo livre inadequado para sua abordagem e formulação. 
	 Os princípios de conservação da termodinâmica associados às equações da mecânica escritas de forma conservativa se mostram mais eficientes nesta tarefa. Posteriormente, cada um destes princípios de conservação (massa, quantidade de movimento linear, quantidade de movimento angular, energia e geração de entropia - 1a e 2a Leis da Termodinâmica, respectivamente) será devidamente apresentado. Existe, no entanto, um problema a ser considerado quando da utilização destes princípios que reside no fato deles postularem a conservação de propriedades de sistemas fechados. De acordo com sua definição, este tipo de sistema encerra sempre a mesma massa que é delimitada para estudo sem que haja fluxo de massa através da superfície que o limita. Para empregar esta ferramenta, ter-se-ia que acompanhar cada partícula fluida do escoamento que se constituiria no próprio sistema. 
	 A mecânica dos fluidos, assim, tem que proceder uma adaptação destes princípios com o intuito de adequá-los às suas necessidades. Ela o faz tendo por base os conceitos de sistema e volume de controle. Faz-se referência ao termo sistema quando qualquer quantidade fixa de fluido é isolada da sua periferia para efeitos do estudo. Apesar de impermeável ao transporte de massa, podem ocorrer fluxos de energia sob a forma de trabalho e/ou calor através da superfície do sistema. Perceba que esta definição equivale a dos sistemas fechados da termodinâmica e que, apesar da massa contida no sistema não variar, podem ocorrer expansões e contrações do volume que a encerra e, portanto, variações da densidade do fluido contido no mesmo ao longo do escoamento. 
	2.9 Formas de Descrição de Escoamento