Lista: Retas álgebra vetorial com gabarito

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3ª Lista de Exercícios:
1)Ache equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P e é paralela ao vetor .
a)P(4, 2, –3) e b) P(0, 0, 0) e
c) P(5, 0, –2) e d) P(-2, 4, 10) e
2)Ache equações paramétricas da reta por P1 e P2. Determine (se possível), os pontos em que
a reta intercepta cada um dos planos coordenados.
a)P1 (5, –2, 4) e P2(2, 6, 1) b) P1 (2, 0, 5) e P2(–6, 0, 3)
3)Se tem equações paramétricas , ache equações
paramétricas da reta por P(–6, 4, –3) paralela a .
4)Determine se as duas retas se interceptam; em caso afirmativo, ache o ponto de intersecção.
a) b)
5)Dão-se as equações de duas retas e . Ache o ângulo entre elas.
a) b) e .
c) d)
6)Ache as equações simétricas da reta que passa pelos pontosr P1 e P2 :
a)P1 = (5, –2, 4) e P2=(2, 6, 1) b) P1 = (4, 2, –3) e P2=(–3, 2, 5)
7)Determine a posição relativa entre as retas dadas:
a) b)
c) d)
e) r1: (x, y, z) = (2, 4, 1) + t(1, -2, 3) e r2: (x, y, z) = (-1, 2, 5) + t(4, 3, -2)
f)
8) Dada a reta , determinar o ponto de r tal que:
a) a ordenada seja 6 b) a abscissa seja igual a ordenada c) a quota seja o quádruplo
da abscissa.
9) A reta r passa pelo ponto A(4, -3, -2) e é paralela à reta . Se P(m, n, -5) pertence
à reta r, determinar m e n.
10) O ponto P(m, 1, n) pertence à reta que passa por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Determinar P.
11) Seja o triângulo de vértices A(-1, 4, -2), B(3, -3, 6) e C(2, -1, 4). Escrever equações
paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto C.
12) Os vértices de um triângulo são os pontos A(-1, 1, 3), B(2, 1, 4) e C(3, -1, -1). Obter
equações paramétricas dos lados AB, AC e BC e da reta r que contém a mediana relativa ao
vértice B.
13)Obter o ponto de abscissa 1 da reta r: e encontrar um vetor diretor de
r que tenha ordenada 2.
14) Obter as equações reduzidas na variável x, da reta:
a) Que passa por A(4, 0, -3) e tem direção de .
b) Pelos pontos A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1).
c) Pelos pontos A(-1, 2, 3) e B(2, -1, 3)
d) Dada por x = 2 – t y = 3t z = 4t – 5 .
15) Determinar equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por :
a) A(3, -2, 4) e é paralela ao eixo dos x.
b) A(2, 2, 4) e é perpendicular ao plano xOz.
c) A(-2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y.
d) A(4, -1, 3) e tem a direção de (3, -2, 0).
e) A(3, -1, 3) e B(3, 3, 4).
16) Escrever equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A(4, -5, 3) e são,
respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy e Oz.
17) Determinar o valor de n para que seja de 30o o ângulo entre as retas:
a) b) e o eixo Oy
18) Sabendo que as retas r1 e r2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:
a)
b) , r2: reta que
passa por A(1, 0, m) e B(-2, 2m, 2m)
19) Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal
às retas r1 e r2:
a) A(3, 2, -1)
b) A é a interseção de r1 e r2
20) Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas:
a) b)
21) Determinar na reta um ponto eqüidistante dos pontos A(2, -1, -2) e B(1, 0, -1).
22)Escrever equações reduzidas da reta que passa por A(1, 3, 5) e intercepta o eixo dos z
perpendicularmente.
23) Determinar o ângulo que a reta que passa por A(3, -1, 4) e B(1, 3, 2) forma com a sua
projeção sobre o plano xy.
24) Dados o ponto A(3, 4, -2) e a reta ,
a) determinar equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r;
b) determinar o ponto simétrico de A em relação a r.
25)Calcule a distância do ponto P à reta r, nos casos:
a) P(2, 3, -1) r: b) P(1, -1, 0) r: c) P(3, 2, 1) r:
d) P(0, 0, 0) r : e) P (3, -1, 1) e r: (x, y, z) = (2, 3, -1) + t(1, -4,
2)
f) P(1, 2, 3) r :
26) Dê a distância entre as retas dadas:
a) r: e s: b) r:x = y = z e s:
c) r: e s: (x, y, z) = (2, -1, 2) + t(1, -1, 3) d) r: e s:
e) r: e s: f) r: e s: eixo z
Respostas:
1) a)x = 4+1/3 t, y = 2+2t , z= –3+1/2 t b)x = 0, y = t, z = 0
c)x =5 – t, y = –4t , z = –2 + t d)x = –2 + 3t, y = 4 + t, z = 10 – 8t
2)a)x = 5–3t, y = –2+8t, z = 4–3t ; (1, 26/3, 0), (17/4, 0, 13/4), (0, 34/3, –1)
b)x = 2–8t, y=0, z = 5–2t ; (–18,0,0), está no plano-xz, (0, 0, 9/2).
3)x=–6–3s, y= 4+s, z=–3+9s. 4)a)(5, –7, 3) b) Não se interceptam.
5)a) b) c) 75o d) 30o
6) a) b)
7) a) reversas b) paralelas c) concorrentes d) reversas e) reversas f) coincidentes
8) a) (-1, 6, -10) b) 5/2, 5/2, -3) c) (-4, 9, -16) 9) m = 13 n = -15
10) P(2, 1, 9) 11) x = 2 + t y = -1 –(3/2)t z = 4 + 2t
12) , , ,
13) (1, 4/3, -3) e
14) a) y = 2x – 8 e z = (5/2)x – 13 b) y = x/2 – 5/2 e z = -2x + 5
c) y = -x +1 e z = 3 d) y = -3x + 6 e z = -4x + 3
15) a) b) c) d) e)
16) , , 17) a) 7 ou 1 b)
18) a) m = -7/4 b) 1 ou -3/2 19) a) b)
20) a) -3 b) 4 21) (7/4, -1/4, -3/2) 22) y = 3x z = 5
23) 24) a) b) (-5, 4, 2)
25) a) b) c) d) e) 0 f) 4
26) a) b) c) d) 0 e) f) 5
Bibliografia:
SWOKOWSKI, Earl W., Cálculo com Geometria Analítica – Volume 2, Makron Books, São Paulo – SP
STEWART, James , Cálculo , Volume II, Pioneira Thomson Learning, 2002, São Paulo – SP.
WINTERLE. Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson