Geometria Analítica: Equações de Retas e Distâncias

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1
        Questão
	
	
	Dados os pontos A(1,0,5) e B(3,4,2), escreva as equações paramétricas da reta s que passa por tais pontos.
		
	 
	⎧⎨⎩x=2ty=1−4tz=5−3t{x=2ty=1−4tz=5−3t
	 
	⎧⎨⎩x=1+2ty=4tz=5−3t{x=1+2ty=4tz=5−3t
	
	⎧⎨⎩x=1−2ty=7tz=5+3t{x=1−2ty=7tz=5+3t
	
	⎧⎨⎩x=1−3ty=4tz=8−3t{x=1−3ty=4tz=8−3t
	
	⎧⎨⎩x=2+2ty=1+4tz=5+3t{x=2+2ty=1+4tz=5+3t
	Respondido em 01/03/2021 20:51:46
	
Explicação:
→v=B−A=(3,4,2)−(1,0,5)=(2,4,−3)v→=B−A=(3,4,2)−(1,0,5)=(2,4,−3)
⎧⎨⎩x=1+2ty=0+4tz=5−3t{x=1+2ty=0+4tz=5−3t
	
	
	 
		2
        Questão
	
	
	Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a direção do vetor v=(4,-4,-7).
		
	 
	x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7
	
	x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3
	
	x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3
	 
	x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7
	
	x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7
	Respondido em 01/03/2021 20:51:49
	
Explicação:
As equações simétricas  da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por  x-x' / x" = y-y' /y" = z-z' / z".
Basta então substituir os valores dados para se obter a equações pedidas.
	
	
	 
		3
        Questão
	
	
	Dois carros percorrem estradas diferentes representadas pelas retas 3x - y + 1 = 0 e 2x - y + 5 = 0. Estas estradas se interceptam no ponto P. Determine o ponto P de interseção entre as retas.
		
	 
	P(3,2)
	
	P(5,6)
	
	P(2,2)
	
	P(9,3)
	 
	P (4,13)
	Respondido em 01/03/2021 20:51:55
	
Explicação:
Transformando as equações na forma reduzida:
3x - y + 1 = 0
y = 3x + 1
E
2x - y + 5 = 0
y = 2x + 5
Devemos resolver o seguinte sistema:
y = 3x + 1
y = 2x + 5
Subtraindo a segunda da primeira equação:
y ¿ y = 3x + 1 - (2x + 5)
0 = 3x + 1 - 2x - 5
0 = x - 4
x = 4
Substituindo da primeira equação:
y = 3x + 1
y = 3.4 + 1
y = 12 + 1
y = 13
O ponto de interseção das retas é o ponto (4, 13).
	
	
	 
		4
        Questão
	
	
	Dados os vetores a = (2, 1, 0), b = (m + 2, -5, 2) e c = (2m, 8, m), determine o valor de "m" para que o vetor a + b seja ortogonal a c - a.
		
	 
	S = {-2, 3}
	
	S = {-2, 6}
	
	S = {-2, 3}
	 
	S = {-6, 3}
	
	S = {3, 6}
	Respondido em 01/03/2021 20:59:02
	
Explicação:
Inicialmente calculamos os vetores soma: 
a + b = (2, 1, m) + (m + 2, -5, 2) = (m + 4, -4, m + 2)
c - a = (2m, 8, m) - (2, 1, m) = (2m -2, 7, 0)
Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero.
[a + b] ¿ [c - a] = x1x2 + y1y2 + z1z2
                          0 = (m + 4).(2m - 2) + (-4)(7) + (m + 2) (0)
                          m2 + 3m - 18 = 0
Resolvendo a equação de 2o grau teremos: m' = 3 e m'' = -6.
Logo, os valores de m que satisfazem a condição dada são S = {-6, 3}.
	
	
	 
		5
        Questão
	
	
	Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem  à reta  (r):  2x+y-6 = 0. Qual a distância entre os pontos A e B?
		
	 
	4V5
	
	8V5
	 
	2V5
	
	3V5
	
	V5
	Respondido em 01/03/2021 20:59:04
	
Explicação:
A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2  =>  A(2,2)
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 =>  B(0,6)
 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)²  =  V4+16   =  V20  =  2V5
	
	
	 
		6
        Questão
	
	
	Determine d(Q, r) para Q(1, 2, 3) e r: {x - y + 2z + 1 = 0 e 2x + y - z + 3 = 0.
		
	 
	6√1476147
	
	6√143561435
	
	√147147
	
	6√14√3561435
	
	547547
	Respondido em 01/03/2021 20:59:06
	
Explicação:
d(Q,r)=[(1,9,7)×(−1,5,3)]√35=6√147d(Q,r)=[(1,9,7)×(−1,5,3)]35=6147
	
	
	 
		7
        Questão
	
	
	Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a direção do vetor v=(-4,-1,3).
		
	 
	x=2t
y=-3t
z=5t
	 
	x=2-4t
y=-t
z=5+3t
	
	x=-4+2t
y=-1
z=3+5t
	
	x=-4+t
y=-2-t
z=3-5t
	
	x=t
y=2t
z=5+3t
	Respondido em 01/03/2021 20:59:08
	
Explicação:
As equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") são dadas por:
x=x'+x"t
y=y'+y"t
z=z'+z"t
BAsta então substituir os valores dados para se obter as equações.
	
	
	 
		8
        Questão
	
	
	Considere uma reta r que passa pelo ponto B=(1,2,-1) e tem a direção de →u=(0,1,2)u→=(0,1,2). O ponto P que pertence à reta r, quando o parâmetro t é 2 será:
		
	 
	P=(1,4,3)P=(1,4,3)
	
	P=(2,1,2)P=(2,1,2)
	
	P=(1,2,−1)P=(1,2,−1)
	
	P=(−1,2,3)P=(−1,2,3)
	
	P=(0,1,2)P=(0,1,2)
	Respondido em 01/03/2021 20:59:13
	
Explicação:
r(x,y,z)=(1,2,−1)+t(0,1,2)r(x,y,z)=(1,2,−1)+t(0,1,2)
Se t=2 então P=(1,4,3)