Lista 04

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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Matemática
Disciplina: Geometria Analítica AL
Profo Danilo Santos
4a Lista de Exercícios
Questão 1. Verifique se os pontos P1(5,−5, 6) e P2 = (4,−1, 12) pertencem a reta
r :
x− 3
−1
=
x+ 1
2
=
z − 2
−2
Questão 2. Determine m e n de modo que o ponto P = (3,m, n) pertença a reta
r :

x = 2− t
y = 3 + t
z = 1− 2t
t ∈ R
Questão 3. Determine o ponto da reta r
r :

x = 1− 2t
y = −3− t
z = −4 + t
t ∈ R
que tenha cota abscissa igual a 4.
Questão 4. Considere a areta r dada por x−3
2
= y+1−1 =
z
−2 . Determine:
(a) Um ponto cuja abscissa seja igual a 5
(b) Um ponto cuja ordenada seja igual a 4
(c) Um ponto cuja cota seja igual a -3
Questão 5. Encontre o ponto P = (2,m, n), de modo que P pertença a reta que passa pelos pontos
A = (3,−1, 4) e B = (4,−3,−1).
Questão 6. Determine as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto
A = (4, 0,−3) e tem direção dada pelo vetor ~v = 2~i+ 4~j + 5~k
Questão 7. Determinar as equações reduzidas, com variável independente z, da reta que passa pelos
pontos P1 = (−1, 0, 3) e P2 = (1, 2, 7)
Questão 8. Cite um ponto e o vetor diretor de cada uma das retas abaixo:
(a) r :

x = 2t
y = −1
z = 2− t
t ∈ R
(b) r :
{
y = −x
z = 3 + x
(c) x = y = z
(d) r :
{
y = 3
z = −1
(e) r :
{
x = 2y
z = 3
(f) x+ 1 = 2y−3
5
= 2−z
4
Questão 9. Em cada item determine as equações paramétricas, reduzidas (com relação a qualquer varável
independente) e simétrica (quando possível)
(a) Reta que passa pelo ponto A = (1,−2, 4) e é paralela ao eixo 0x.
(b) reta que passa pelo ponto B = (3, 2, 1) e é perpendicular ao plano x0z
(c) reta que passa pelo ponto A = (2, 3, 4) e é ortogonal aos eixos 0x e 0y simultaneamente.
(d) reta que passa por A = (1, 2, 2) e tem direção dada pelo vetor ~v = 3~i−~j + ~k.
(e) reta que passa pelo ponto A = (4− 1, 2) e tem direção dada pelo o vetor ~v =~i−~j
(f) Reta que passa pelos pontos M = (2,−3, 4) e N = (2,−1, 3)
(g) Que passa pelo ponto A = (1,−3, 2) e é paralela a reta r :

x = 3 + 4t
y = −2− t
z = 9
(h) Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados
(i) reta que passa pelo ponto A = (1,−1, 2) e pelo ponto médio do segmento ~BC, onde B = (−1, 0, 1)
e C = (5, 2, 1)
(j) A reta que passa pelo ponto P = (1, 2, 5) e é paralela a reta que contém os pontos A = (3, 0, 1) e
B = (−1, 2, 1)
Questão 10. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P = (1,−2, 3) e é ortogonal
aos vetores ~u = (1,−1, 1) e ~v = −2~i+~j − ~k simultaneamente.
Questão 11. Encontre as equações reduzidas da reta que passa pela origem e e ortogonal as retas
r1 :

x = 2 + t
y = 5t+ 3
z = 6 + 6t
t ∈ R e r2 :

x = 1 + 3s
y = s
z = −7 + 2s
s ∈ R
Questão 12. Escreva o vetor ~v = (1, 2, 1) como combinação linear dos vetores ~u e ~w tal que ~u seja paralelo
a reta x−2
2
= y−1
3
= z + 1 e ~w seja perpendicular a esse reta.
Questão 13. Determine o ângulo entre as seguintes retas:
2
(a) r1 :

x = −2− 2t
y = 2t
z = 3− 4t
t ∈ R e r2 : x4 =
y+6
2
= z−1
2
(b) r1 :
{
y = −2x− 1
z = x+ 2
e r2 : y3 =
z+1
−3 =
x+1
2
(c) r1 :

x = 1 +
√
2t
y = t
z = 5− 3t
t ∈ R e r2 :
{
x = 0
y = 0
Questão 14. Determine o valor de m de modo que o ângulo entre as retas
r1 :
x− 2
4
=
y + 4
5
=
z
3
e r2 :
{
y = nx+ 5
z = 2x− 2
seja de 30o.
Questão 15. Encontre o valor de m de modo que a reta
r2 :
{
y = nx+ 5
z = 2x− 3
forme um ângulo de 30o com o eixo 0y.
Questão 16. Sabendo que a reta
r :

x = 1 + 2t
y = t
z = 3− t
t ∈ R
forma um ângulo de 60o com a reta que passa pelos pontos A = (3, 1,−2) e B = (4, 0,m)
Questão 17. A reta r1 passa pelo ponto A = (2,−1, 1) e é paralela a reta
r2 :

x = 2 + t
y = −3t
z = −t
t ∈ R.
Se P = (−3m,n) ∈ r1, determine m e n.
Questão 18. Quais as equações reduzidas da reta que passa pelo ponto A = (−2, 1, 0) e é paralela a reta
r : x+1
1
= y
4
= z−1?
Questão 19. A reta que passa pelos pontos A = (−2, 5, 1) e B = (1, 3, 0) é paralela à reta determinada
por C = (3,−1,−1) e D = (0, y, z). Determinar o ponto D.
Questão 20. Determine o valor de m para que a reta
r :
{
y = mx+ 3
z = x− 1
3
seja ortogonal a reta determinada pelos pontos A = (1, 0,m) e B = (−2, 2m, 2m)
Questão 21. Encontre o valor de m para que as seguintes retas sejam concorrentes
(a) r1 :
{
y = 2x+ 3
z = 3x− 1
e r2 : x−12 = −y =
z
m
(b) r1 :
{
x = −1
y = 3
e r2 :
{
y = 4x−m
z = x
(c) r1 : x−mm =
y−4
−3 ; z = 6 e r2 :
{
y = −3x+ 4
z = −2x
Questão 22. Encontre o ponto de interseção, caso exista, das retas:
(a) r1 :
{
y = 3x− 1
z = 2x+ 1
e r2 :
{
y = 4x− 2
z = 3x
(b) r1 : x−22 =
y
3
= z−5
4
e r2 :

x = 5 + t
y = 2− t
z = 7− 2t
t ∈ R
(c) r1 :
{
y = 2x− 3
z = 4x+ 1
e r2 : x = y−7−3 =
z−12
−7
(d) r1 :
{
y = −5
z = 4x+ 1
e r2 : x−12 =
z−5
−3 ; y = −5
Questão 23. Em que ponto a reta que passa por A = (2, 3, 4) e B = (1, 0,−2) intersecta o plano x0y?
Questão 24. Estabeleça as equações paramétricas da reta que passa pela origem e é simultaneamente
ortogonal as retas
r1 :
x
2
=
y
−1
=
z − 3
−2
e r2 :
{
y = 3x− 1
z = −x+ 4
Questão 25. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
r1 : x− 2 =
y + 1
2
=
z
3
e r2 :
{
x = 1− y
z = 2 + 2y
e é, ao mesmo tempo, ortogonal a reta r1 e r2.
Questão 26. Decomponha o vetor ~v =~i+2~j+~k como combinação linear dos vetores ~u e ~w, sabendo que
~u é paralelo a reta x−2
2
= y−1−3 =
z
4
e ~w é perpendicular a essa mesma reta.
Questão 27. Determine a posição relativa dos pares de retas abaixo, sua interseção (caso exista) e seu
ângulo.
(a) r1 : x−26 =
y+1
4
= z−3−4 e r2 : r2 :
x−1
9
= y−2
6
= z+3−6
4
(b) r1 :

x = −2 + 2t
y = −3t
z = 1 + 4t
t ∈ R e r2 :

x = 3 + s
y = 1 + 4s
z = 2s
s ∈ R
(c) r1 :

x = 2 + 6t
y = −1 + 4t
z = 3− 4t
t ∈ R e r2 :

x = 8 + 9s
y = 3 + 6s
z = −1− 6s
s ∈ R
(d) r1 :

x = 1
y = t
z = 1
t ∈ R e r2 :

x = s
y = 0
z = 1
s ∈ R
(e) r1 : x− 3 = z−27 ; y = 4 e r2 :
x−6
2
= z−4
14
; y = 8
(f) r1 :

x = 1 + 3t
y = 2 + 5t
z = 1 + 7t
t ∈ R e r2 :

x = 7 + 6s
y = 12 + 10s
z = 6 + 14s
s ∈ R
(g) r1 : x+ 1 = y−12 ; z = 5 e r1 :

x = 1 + 4n
y = 5 + 2n
z = 2 + 3n
n ∈ R
Questão 28. Dada a reta r1 :

x = 1 + 4n
y = 5 + 2n
z = 2 + 3n
n ∈ R, escreva as equações paramétricas da reta r2 de
modo que:
(a) r1 e r2 sejam reversas
(b) r1 e r2 sejam concorrentes
Divirta-se!!!
5