simulando conhecimento 3 3

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Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que  A(-1, 8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que passa pelos pontos.
	
	
	
	7 x + 3y + 1 = 0
	
	
	x + 55 y + 2 = 0
	
	
	x - 7 y + 3 = 0
	
	
	9x - 4y + 41 = 0
	
	
	3x + 2y + 2= 0
	
Explicação:
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que  A(-1, 8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que passa pelos pontos.
y - y0 = m (x - x0)
m =(8-(-1) )/ (-1 -(-5)) = 9/4
y - (-1) = 9/4 (x - (-5))
y + 1 = 9/4 (x+5)
y + 1 = 9/4 x + (9/4) 5
4y + 4 = 9 x + 45
-4y + 9x - 4 + 45 = 0
9x - 4y + 41 = 0
 
 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(4,2) e tem inclinação de 45° com eixo das abscissas.
	
	
	
	y = - x - 1
	
	
	y = x + 2
	
	
	y = x - 1
	
	
	y = - x - 2
	
	
	y = x - 2
	
Explicação:
y = ax + b (equação geral da reta), onde a = coeficiente angular = tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas
No exercício a = tg 45º = 1
y = x + b
Como P (4, 2) pertence a reta,
2 = 4 + b -> b = -2
y = x - 2
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Um pesquisador não conhece as coordenadas de P(m, 1, n) mas sabe que P pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B (4,-3,-1). Podemos definir que P é:
	
	
	
	P (3,3,1)
	
	
	P (3,4,5)
	
	
	P (2,1,9)
	
	
	P(0,1,3)
	
	
	P (4,2,1)
	
Explicação:
O ponto P(m, 1,n) pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B (4,-3,-1) , Determine P
Temos o vetor AB = B - A = (4,-3,-1) - (3,-1,4)= (1,-2,-5)
Com o vetor AB escrevemos a reta:  t . AB
Como P pertence a reta entao AP = P - A = ( m -3,1 - (-1), n - 4) = (m - 3, 2, n - 4)
Como AP  é paralelo a AB entao AP = t AB
Entao temos o sistema:
m -3 = 1 t
1+1 = - 2 t
n- 4 = -5 t
Portanto -2 t = 2 entao t = -1
m - 3 = 1 (-1)  entao m = 2
n - 4 = - 5 (-1) entao n = 9
P ( 2,1,9)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dados os vetores a = (2, 1, 0), b = (m + 2, -5, 2) e c = (2m, 8, m), determine o valor de "m" para que o vetor a + b seja ortogonal a c - a.
	
	
	
	S = {-6, 3}
	
	
	S = {-2, 6}
	
	
	S = {-2, 3}
	
	
	S = {-2, 3}
	
	
	S = {3, 6}
	
Explicação:
Inicialmente calculamos os vetores soma: 
a + b = (2, 1, m) + (m + 2, -5, 2) = (m + 4, -4, m + 2)
c - a = (2m, 8, m) - (2, 1, m) = (2m -2, 7, 0)
Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero.
[a + b] ¿ [c - a] = x1x2 + y1y2 + z1z2
                          0 = (m + 4).(2m - 2) + (-4)(7) + (m + 2) (0)
                          m2 + 3m - 18 = 0
Resolvendo a equação de 2o grau teremos: m' = 3 e m'' = -6.
Logo, os valores de m que satisfazem a condição dada são S = {-6, 3}.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		É importante ressaltar que a equação vetorial da reta no R³ não é única. A equação vetorial no R³ da reta que passa pelo ponto P(xp, yp, zp) e tem a direção do vetor v é dada por (x, y, z) = (xp, yp, zp) + t. (xv, yv, zv). Com base nessas informações, determine a equação vetorial da reta no R³ que passe pelo ponto P (1, 2, 3) e tenha a direção do vetor v = (1, 2, 4).
	
	
	
	(x, y, z) = (0, 2, 3) + t.(1, 2, -4)
	
	
	(x, y, z) = (1, 2, -3) + t.(1, -2, 4)
	
	
	(x, y, z) = (1, 2, -3) + t.(2, 2, 4)
	
	
	(x, y, z) = (1, 2, 3) + t.(1, 2, 4)
	
	
	(x, y, z) = (1, 0, 3) + t.(1, 2, 0)
	
Explicação:
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t.(1, 2, 4)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determinar o valor de m para que as retas  r:  y=mx-5     e     s:   x=-2+t       sejam ortogonais.
                                                                          z=-3x                     y=4-2t
                                                                                                        z=5t
	
	
	
	-15/2
	
	
	-9/2
	
	
	-11/2
	
	
	13/2
	
	
	7/2
	
Explicação:
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente u=(1,m,-3) e v=(1,-2,5)
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter: u.v=0
Daí: (1,m,-3).(1,-2,5)=0 -> 1-2m-15=0 -> -2m=15 -> m=-15/2
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem  à reta  (r):  2x+y-6 = 0. Qual a distância entre os pontos A e B?
	
	
	
	V5
	
	
	8V5
	
	
	3V5
	
	
	2V5
	
	
	4V5
	
Explicação:
A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2  =>  A(2,2)
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 =>  B(0,6)
 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)²  =  V4+16   =  V20  =  2V5
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Obter a equação geral da reta representada pelas equações paramétricas:
x = t + 9
y = t - 1
	
	
	
	x-y+10= 0
	
	
	2x-y+20=0
	
	
	x+y-10=0
	
	
	x-2y-20=0
	
	
	x-y-10=0
	
Explicação:
Isolando o parâmetro t:
x = t + 9
t = x - 9
 x = t + 9
            x = (y + 1) + 9
            x = y + 1 + 9
            x = y + 10
              ←
x - y - 10 = 0
Equação Geral da Reta: x - y + 10 = 0