Probabilidade usando a teoria de conjuntos- Diagrama de venn (gabarito)

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Gabarito- Lista de Exercícios- Probabilidade usando teoria dos conjuntos
1) Em uma sala de aula, a professora de Matemática decidiu fazer um levantamento dos lanches comprados pelos alunos. A professora verificou que, de um total de 35 alunos, dezenove compraram salgado; destes, quatro compraram pizza e salgado, e sete alunos não compraram lanche nesse dia. Escolhendo aleatoriamente um desses alunos.
a) Qual a probabilidade desse aluno ter comprado só pizza?
b) Qual a probabilidade desse aluno não ter comprado pizza?
Resolução:
Podemos montar um diagrama de Venn com as informações dadas no problema, e completando com “x” onde faltou informação.
Somando todas as regiões da figura, podemos afirmar que a soma é 35, pois foi informado no enunciado que o total de alunos consultado é 35.
A solução dessa equação nos levará ao valor de x:
x + 15 + 4 + 7 = 35
x = 35 – 26
x = 9
Portanto, nove alunos compraram apenas pizza.
Conhecendo os valores de todas as regiões, vamos resolver as Probabilidades:
P(A)= 
a) P(A)= ( Dentro do diagrama “pizza” sem contar os comuns ao “salgado
b) a) P(A)= ( todos que estão fora do diagrama “ pizza’)
2) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. 
Escolhendo aleatoriamente uma dessas pessoas, qual a probabilidade dela se informar:
a) Somente por um dos sites? b) Por meio dos dois sites?
Resolução:
A região central, comum aos dois diagramas, precisa ser o ponto de partida, sempre. E o enunciado informou que são 20 que buscam se informar pelos dois sites.
Em seguida, passamos as informações do enunciado para o desenho.
Nesta questão, não foi informado o total de pessoas consultadas. Precisamos dessa informação para a calcular a probabilidade. Vamos somar todas as regiões da figura e assim calcular esse total.
80 + 20 + 130 + 110= total total= 340 n(S)= 340
Agora vamos calcular as probabilidades pedidas:
a) Somente por um dos sites? P(A)== =
b) b) Por meio dos dois sites? P(A)= =
3- Todos os 84 operários de uma construtora precisaram responder um questionário sobre a disponibilidade de trabalhar fazendo hora extra no final de semana. Este foi o resultado: 52 podem no sábado; 37 podem no domingo; 15 não podem.
a) Qual a probabilidade de escolher aleatoriamente um deles e este ter a disponibilidade de trabalhar no sábado e no domingo?
b) Qual a probabilidade de escolher aleatoriamente um deles e este ter a disponibilidade de trabalhar só em um dos dois dias ?
Resolução:
Podemos montar um diagrama de Venn com as informações dadas no problema:
Devemos sempre iniciar pela interseção, mesmo sem ela ter sido informada. Chamaremos de x.
Se 52 operários fazem parte do conjunto Sábado e já temos X pessoas dentro do círculo correspondente a Sábado, nos restam 52 – x operários para completar o total. Agora, o conjunto Domingo possui 37 operários no total, entretanto devemos diminuir também X operários que pertence à intersecção entre Sábado e Domingo, ou seja, as que podem fazer hora extra no sábado e no domingo. Também devemos contar com os que não podem trabalhar em nenhum dos dois dias. 
Assim, montamos e resolvemos a equação
 52 – x + x + 37 – x + 15 = 84. Desse modo obtemos o número de pessoas que podem trabalhar fazendo hora extra no sábado e no domingo.
Logo teremos: 52 – x + x + 37 – x + 15 = 84
 52 + 37 – x + 15= 84
 -x = 84 – 52 -37 - 15 
. –x = 84 – 104 
 -x = -20 ( -1)
 x = 20	
Assim, temos que 20 operários podem trabalhar sábado e domingo fazendo hora extra.
Substituindo x por 20, fica:
Agora podemos determinar as probabilidades pedidas:
a) Qual a probabilidade de escolher aleatoriamente um deles e este ter a disponibilidade de trabalhar no sábado e no domingo?
P(A)== 
b) Qual a probabilidade de escolher aleatoriamente um deles e este ter a disponibilidade de trabalhar só em um dos dois dias ?
P(A)== =