MOMENTO DE DUAS PARTÍCULAS E FORÇA CENTRAL

Prévia do material em texto

1 Prof. Diogo Eduardo 
MOMENTO DE DUAS PARTÍCULAS E FORÇA CENTRAL 
MASSA REDUZIDA 
 
*não há forças externas... 
 
 
 
 
Descrever o movimento de m1 e m2; 
20 Lei de Newton: 
𝑚1. 𝑟1̈ = 𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝑚2. 𝑟2̈ = 𝐹21⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
CENTRO DE MASSA (CM) 
�⃗� =
𝑚1. 𝑟1̈ + 𝑚2. 𝑟2̈
𝑚1 + 𝑚2
 
Se houver n massas: 
*m total das partículas 
�⃗� =
∑ 𝑚𝑖 . 𝑟�̈�
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑚𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Trabalhando �⃗� para duas partículas: 
(𝑚1 + 𝑚2). �⃗� = 𝑚1. 𝑟1̈ + 𝑚2. 𝑟2̈ 
 
Derivando em relação a t: 
(𝑚1 + 𝑚2)�̇� = 𝑚1. 𝑟1̇ + 𝑚2. 𝑟2̇ 
Sabemos que: 𝑚1. 𝑟1̇ = 𝑃1⃗⃗ ⃗ e 𝑚2. 𝑟2̇ = 𝑃2⃗⃗⃗⃗ 
 
Logo, teremos que: 
 
(𝑚1 + 𝑚2)�̇� = 𝑃1⃗⃗ ⃗ + 𝑃2⃗⃗⃗⃗ = �⃗� – Constante 
 
2 Prof. Diogo Eduardo 
O movimento do Centro de Massa de duas partículas isoladas. 
(∑𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 0) é uniforme ou está em repouso 
 
�⃗� = 0 
 
Analisando o movimento do Centro do Massa 
 
𝑚1. 𝑟1̈ = 𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (.𝑚2) → 𝑚1.𝑚2. 𝑟1̈ = 𝑚2. 𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝑚2. 𝑟2̈ = 𝐹21⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (.𝑚1) → 𝑚1. 𝑚2. 𝑟2̈ = 𝑚1. 𝐹21⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
𝑚1. 𝑚2. (𝑟1̈ − 𝑟2̈) = (𝑚1 + 𝑚2) . 𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐹12⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹 
 
Sabemos que: 
𝜇 =
𝑚1. 𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
 
 
𝑟 = 𝑟1 − 𝑟2 
Logo: 
𝐹 = 𝜇. �̈� 
 
A vetor resultante é dado pelo �⃗� ; 
 
�⃗� =
(𝑚1. 𝑟1̈) + (𝑚2. 𝑟2̈)
𝑚1 + 𝑚2
 
 
Se 𝑟 = 𝑟1 − 𝑟2 então 𝑟1 = 𝑟 + 𝑟2 e 𝑟2 = 𝑟 + 𝑟1 
 
Substituindo 𝑟1 em �⃗� 
�⃗� =
[𝑚1. (�̈� + 𝑟2̈)] + (𝑚2. 𝑟2̈)
𝑚1 + 𝑚2
 
 
 
3 Prof. Diogo Eduardo 
�⃗� =
𝑚1. �̈� + [(𝑚1 + 𝑚2). 𝑟2̈]
𝑚1 + 𝑚2
 
 
�⃗� = 𝑟2̈ +
𝑚1
𝑚1 + 𝑚2
. �̈� 
 
𝑟2̈ = �⃗� −
𝑚1
𝑚1 + 𝑚2
. �̈� 
 
Fazendo as mesmas substituições encontraremos: 
 
𝑟1̈ = �⃗� −
𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
. �̈� 
Caso a massa 2 for muito maior que a massa 1 
 
𝑚2 ≫ 𝑚1 
 
A massa reduzida será aproximadamente a massa 2 
 
𝜇 ≈ 𝑚2 
 
𝐹 ≈ 𝑚2. �̈� 
 
#o centro de massa estaria localizado sobre 𝑚2. Portanto a partícula 𝑚1 se 
move em relação a 𝑚2.