1767241_Aula 1 - analise de dados

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PUC Minas 
Departamento de Física e Química – ICEI 
Laboratório de Física Geral II 
 
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ANÁLISE DE DADOS 
1. INTRODUÇÃO 
 
1.1 Tabelas 
O primeiro estágio de apresentação de uma série de medidas resultante de um 
experimento é através de tabelas que, em geral, já são montadas durante o processo 
de obtenção de dados. Embora em cada experimento se deva decidir pela forma de 
tabela mais conveniente, é mostrado a seguir um padrão de tabela que se adapta à 
maioria dos experimentos que serão feitos nas disciplinas experimentais de Física. 
Considere um experimento onde se aplica tensão elétrica V entre 10 e 50 V em um 
resistor e mede-se a corrente I gerada. A Tabela 1 mostra uma forma conveniente de 
apresentar os valores obtidos: 
 
Tabela 1: Valores da tensão aplicada no resistor e a correspondente corrente. 
Tensão (𝑽 ± 𝟏%) Corrente (10-3 A) (𝑰 ± 𝟏%) 
11,3 22,5 
19,5 40,0 
22,7 44,4 
29,1 59,2 
38,4 76,1 
42,3 83,8 
50,0 99,3 
 
Deve-se observar que: 
• toda tabela deve ter uma legenda; 
• no cabeçalho da tabela é importante vir a especificação das grandezas que 
foram medidas com suas unidades e a estimativa dos erros, absolutos ou 
relativos, a elas associados; se cada medida apresentar um erro diferente, deve-
se especificá-lo após cada uma; 
• número de algarismos significativos das medidas deve ser compatível com os 
erros especificados. 
 
1.2 Gráficos 
 
A construção de gráficos associando as variáveis medidas em um experimento 
é bastante interessante, pois permite uma visualização rápida do tipo de dependência 
existente entre as grandezas estudadas. Existem vários tipos de gráficos, cada um se 
adequando melhor às grandezas medidas e ao tipo de relações que se deseja fazer 
entre elas. Uma forma de gráfico bastante comum em experimentos de Física é aquele 
relacionando duas grandezas onde cada valor de uma está associado a um valor 
correspondente da outra. O gráfico a seguir, mostrando a relação entre as grandezas 
tensão e corrente representadas na tabela anterior, ilustra uma forma comumente 
utilizada. 
 
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Figura 1: Exemplo de um gráfico: Tensão elétrica V versus corrente I em um resistor. 
 
Deve-se ter atenção que um gráfico deve conter: 
• título e/ou legenda; 
• nome da grandeza em cada eixo com sua respectiva unidade; 
• dimensionamento correto da escala. 
 
Uma observação rápida do gráfico anterior permite identificar uma relação linear 
entre as duas grandezas analisadas. 
 
 Tratamento matemático de dados: Ajuste de uma reta por regressão linear 
 
O gráfico da seção anterior sugere, visualmente, que existe uma relação linear 
entre a tensão elétrica aplicada e a corrente no resistor. Isso significa que, procurando-
se uma relação matemática que associe a corrente I no resistor sujeito a uma tensão V, 
deve-se encontrar a equação de uma reta, ou seja, uma equação do tipo: 
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 
onde a constante A representa a inclinação da reta e a constante B o valor da grandeza 
y quando x = 0. Para o caso do resistor podemos escrever especificamente 
𝑉 = 𝐴𝐼 + 𝐵 
É possível traçar no gráfico uma reta que, visualmente, melhor equilibra os 
pontos medidos e, então, determinar os valores de A e B (faça isso). Entretanto, existem 
processos matemáticos objetivos que estabelecem a melhor reta que se ajusta aos 
pontos medidos. O processo mais utilizado com esse intuito é chamado regressão 
linear. 
Geralmente, todo processo operacional de ajuste, ou seja, de obtenção das 
constantes A e B que definem a reta, será feito por calculadora ou computador. No 
entanto é interessante que se tenha conhecimento da origem das fórmulas empregadas 
e do processo de cálculo envolvido. 
 
 
 
 
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Regressão Linear: 
 
Pode-se dizer que regressão linear é a: 
 
“determinação da equação de uma reta que melhor se sobrepõe aos resultados 
de medidas relacionando grandezas linearmente dependentes.” 
 
Considere a série de pontos experimentais genéricos (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) colocados no gráfico da 
Figura 2. 
 
 
Figura 2: Pontos experimentais definindo uma reta; 𝛿𝑖 é a diferença entre 
a ordenada 𝑦𝑖 medida para e 𝑥𝑖 o correspondente valor calculado pela 
equação da reta. 
 
Se a melhor curva que passa por estes pontos é a reta desenhada, podemos 
escrever sua equação na forma 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵, onde B é o ponto onde a reta corta o eixo 
vertical, em x = 0, e A é a inclinação da reta escolhida. 
Observando o gráfico da Figura 2 notamos que para o ponto xi, o valor 
experimental corresponde é , mas, pela reta escolhida, a ordenada correspondente a 
𝑥𝑖 será A𝑥𝑖 + B. Desta forma, para cada ponto 𝑥𝑖 existe uma diferença 𝛿𝑖, ou resíduo, 
entre o valor experimental medido e o valor de y calculado pela reta: 
𝛿𝑖 = 𝑦𝑖 − (𝐴𝑥𝑖 + 𝐵) 
Alguns resíduos são positivos e outros negativos. Uma grandeza que daria uma visão 
de “quão boa” é a reta calculada, seria: 
𝐷 = ∑(𝛿𝑖)
2 = ∑[𝑦𝑖 − (𝐴𝑥𝑖 + 𝐵)]
2 𝑒𝑞. 1 
a qual representa a soma dos quadrados dos resíduos de todos os pontos. 
 
 
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A melhor reta que ajusta os pontos experimentais é aquela que minimiza 
D, ou seja, deve-se achar os valores de A e B tais que D seja mínimo. 
 
Como D é uma função de A e B, para que ele seja mínimo devemos ter: 
𝜕𝐷
𝜕𝐴
= 0 𝑒 
𝜕𝐷
𝜕𝐵
= 0 
 
Derivando a equação 1 tem-se: 
 
𝜕𝐷
𝜕𝐴
= −2 ∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖]𝑥𝑖 𝑒 
𝜕𝐷
𝜕𝐵
= −2 ∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖] 
 
Assim, para que D seja mínimo, devemos ter: 
 
∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖]𝑥𝑖 = 0 𝑒 ∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖] = 0 𝑒𝑞. 2 
 
que é um sistema de duas equações com duas incógnitas A e B que determinam a 
melhor reta 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵, que passa pelos pontos experimentais (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖). 
 
A solução do sistema de equações 2 é simples e dá como resultado os seguintes 
valores para A e B: 
𝐴 =
𝑛 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖
𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 − (∑ 𝑥𝑖)
2 
𝐵 =
1
𝑛
[∑ 𝑦𝑖 − 𝐴 ∑ 𝑥𝑖] 
Todos os somatórios apresentados aqui são para i de 1 até N, onde N é o número de 
pares de valores experimentais (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖). 
Uma descrição mais completa do método nos permitiria ainda determinar 
estatisticamente os desvios (incertezas) associadas às constantes A e B calculadas. 
Aqui serão dados apenas os resultados dos cálculos destes desvios: 
∆𝐴 =
𝐷
(𝑛 − 2)√𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 − (∑ 𝑥𝑖)
2
 𝑒 ∆𝐵 =
𝐷
(𝑛 − 2)
√
∑ 𝑥𝑖
2
𝑛 ∑ 𝑥𝑖 2 − (∑ 𝑥𝑖)
2 
 
Observações 
1) Existe um parâmetro estatístico, chamado coeficiente de determinação, que permite 
avaliar a qualidade do ajuste. Para os propósitos das atividades deste curso esse 
parâmetro tem pouca relevância e, portanto, não será tratado. 
2) No método da regressão linear, todos os pares ordenados têm a mesma importância. 
Em alguns casos, condições físicas impõem que alguns pontos tenham mais 
importância que outros (muitas vezes, por exemplo, a reta deve passar pela origem). 
Neste caso, você pode entrar com os correspondentes pares de valores várias vezes 
para aumentar sua importância nos cálculos. A reta tenderá a passar mais próxima deste 
ponto. 
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Considerações gerais 
 
O processo de superpor uma curva descrita por uma equação a um conjunto de 
pontos experimentais não se aplica apenas quando a relação entre as grandezas é 
linear. Sempre que existir algum modelo ou previsão teórica para a relação matemática 
entre as grandezas, é possível encontrar os parâmetros que ajustem a curva 
correspondente com os resultados experimentais. O método matemático genérico que 
permite essetipo de ajuste é chamado de “Método de Mínimos Quadrados”, pois, 
como foi exemplificado no caso particular do ajuste da reta, são procurados os 
parâmetros que minimizem o quadrado das diferenças 𝛿𝑖 (eq.1) entre o valor medido e 
o correspondente valor calculado. Muitos programas atuais de tratamento de dados 
permitem fazer um ajuste diretamente de uma função matemática estabelecida pelo 
usuário. Na seção seguinte será apresentado um procedimento que permitirá, através 
da linearização de um gráfico, usar ainda a regressão linear apresentada na seção 3-
1. 
 
2. ATIVIDADES: 
 
Tratamento matemático de dados: linearização de gráficos 
 
É muito frequente em Física se lidar com fenômenos onde duas grandezas x e y 
se relacionam linearmente, ou seja, 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵. Nesses casos, a partir da regressão 
linear dos pares de resultados obtidos (𝑥, 𝑦), é possível encontrar as constantes A e B 
da reta que melhor se ajusta aos pontos experimentais, conforme descrito na seção 
anterior. Usando os valores dessas constantes é possível tirar informações importantes 
relativas ao experimento. 
Há, obviamente, experimentos onde a relação entre as grandezas estudadas 
não é linear, o que significa que essas grandezas não estão relacionadas por uma 
equação de reta. Em situações como esta, a obtenção de informações relevantes ao 
experimento pode ser feita de mais de uma maneira. Apresenta-se a seguir o 
procedimento de linearização, usando a Lei de Coulomb como exemplo. 
 
ATIVIDADE 1: Linearização 
 
Considere uma situação física onde duas pequenas esferas carregadas 
positivamente com cargas 𝑞1 e 𝑞2 estão separadas de uma distância 𝑟; existe uma 
repulsão elétrica mútua entre elas com forças iguais e opostas �⃗�1 e �⃗�2, como indicado 
na figura abaixo. 
 
Figura 3: Duas cargas positivas 𝑞1 e 𝑞2 separadas por uma distância 𝑟, se 
repelem com forças �⃗�1 e �⃗�2. Figura adaptada de [3]. 
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Foi realizado um experimento, dispondo-se de um equipamento apropriado, 
onde se variou a distância 𝑟 entre as cargas e mediu-se o valor do módulo 𝐹 da força 
de repulsão. Os resultados encontram-se na Tabela 3. 
 
Tabela 3: Força de repulsão entre duas cargas. 
F(N) r (cm) 
2,93 1,0 
2,5 1,2 
1,41 1,5 
0,96 1,8 
0,78 2,0 
0,51 2,5 
0,36 3,0 
0,2 4,0 
0,13 5,0 
0,09 6,0 
0,07 7,0 
0,05 8,0 
0,04 9,0 
0,03 10,0 
 
1) Plote um gráfico de 𝐹 × 𝑟 com as respectivas grandezas em Newton e metro. 
 
A Lei de Coulomb afirma que a força elétrica entre duas cargas pontuais varia 
com o inverso do quadrado da distância entre elas, ou seja, para valores de cargas 
constantes, pode-se escrever a lei física, que deve corresponder ao presente 
experimento, na forma: 
𝐹 = 𝐶 (
1
𝑟2
) 
onde 𝐶 é uma constante. 
2) Tendo em vista a lei de Coulomb, qual mudança de variável poderia gerar um 
gráfico com padrão linear? 
 
3) Definindo-se uma outra variável 𝑋 igual ao inverso do quadrado de 𝑟, tem-
se uma relação entre 𝐹 e 𝑋 que é linear, ou seja, definindo-se uma grandeza 
𝑋 ≡ 1/𝑟2, tem-se 𝐹 = 𝐶. 𝑋. 
Plote o gráfico de 𝐹 (ordenada) em função de 𝑋 (abscissa), e faça uma regressão 
linear para encontrar os parâmetros da reta do tipo 𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵 que melhor se ajustam 
aos pontos. Qual é o significado físico do coeficiente angular da reta? 
 
 
 
 
 
 
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O resultado da linearização está ilustrado na Figura 4. 
 
 
 
Figura 4: A força entre duas cargas elétricas é linear com o inverso do 
quadrado da distância entre elas. 
 
O procedimento para se linearizar um gráfico depende de cada situação, pois as 
equações envolvidas na análise do problema é que irão dar a “receita” do que deve ser 
feito para se encontrarem novas variáveis, que serão funções das anteriores, de 
maneira que elas tenham relação linear entre si. No caso aqui apresentado, o 
procedimento foi simplesmente representar a força e o inverso do quadrado da 
distância. 
 
ATIVIDADE 2: O uso da função logaritmo. 
 
Uma maneira muito comum de se procurarem relações que linearizem um gráfico 
é aplicar a função logaritmo. Entretanto, deve-se ter o cuidado em utilizar esse 
expediente apenas em situações em que pelo menos uma das variáveis envolvidas no 
experimento esteja no expoente. Apresenta-se a seguir o procedimento de linearização, 
usando a função logaritmo. 
 
Sabemos que quando dois objetos, com temperaturas diferentes, são colocados 
em contato térmico, há transferência de calor do objeto mais quente para o mais frio, 
até ambos atingirem a mesma temperatura. Segundo a lei de resfriamento de Newton, 
a taxa de resfriamento de um corpo em contato com o ambiente à temperatura 𝑇𝑎 é dada 
por 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘∆𝑇 
em que ∆𝑇 é a diferença entre a temperatura da superfície do corpo (𝑇) e do ambiente 
(𝑇𝑎). É possível demonstrar que a solução dessa equação diferencial é 
 
∆𝑇 = ∆𝑇0𝑒
−𝑘𝑡 
 
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em que ∆𝑇0 é a diferença entre a temperatura do corpo e do ambiente no instante de 
tempo 𝑡 = 0. A constante 𝑘 depende da superfície do corpo exposta ao ambiente, assim 
como das características do meio que constitui o ambiente. 
 
A tabela a seguir mostra a diferença de temperatura, ∆𝑇, em função do tempo da 
glicerina em contato com um fluxo de ar contínuo. 
 
Tabela 4: Variação da diferença de temperatura entre uma porção de glicerina e o ar 
em função do tempo. 
Tempo (min) ± 3% (∆𝑻 ± 0,5) 0C 
0 130,0 
1 116,5 
2 108,7 
3 91,1 
4 75,0 
5 62,0 
6 53,3 
7 47,0 
8 42,4 
9 38,8 
10 36,2 
15 28,0 
20 26,0 
25 25,5 
30 25,2 
35 25,2 
36 25,2 
37 25,2 
38 25,2 
 
1) Com auxílio do programa Scidavis, construa o gráfico ∆𝑇 versus 𝑡. Determine a 
constante 𝑘 e a diferença de temperatura inicial, ∆𝑇0 através do ajuste de uma função 
exponencial. 
2) Linearize o gráfico anterior e determine o valor de 𝑘 e ∆𝑇0 através do ajuste linear da 
curva. 
3) Compare os resultados obtidos. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] CORRADI, Wagner; et al. Física Experimental. Belo Horizonte, ed. UFMG, 2008. 
[2] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo 
Lúcio. Física experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 
2007. 
[3] CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W. Física: volume 1. 6.ed. Rio de Janeiro: 
LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2006.