movimento de projetil v1

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PUC Minas 
Departamento de Física e Química – ICEI 
Laboratório de Física 
 
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MOVIMENTO DE PROJÉTIL 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Consideremos um móvel percorrendo uma curva em um plano bidimensional. Nesse caso, sua posição 
deve ser representada por duas coordenadas (𝑥 e 𝑦) com em relação a uma origem fixa definida, O. Portanto, 
𝑥 e 𝑦 são as componentes de um vetor posição que é função do tempo, 𝑟(𝑡). Se em um instante 𝑡0 a posição 
do carro é 𝑟0(𝑡0), e a posição muda para 𝑟(𝑡) num instante posterior (𝑡 = 𝑡0 + ∆𝑡), então dizemos que o carro 
sofreu um deslocamento ∆𝑟 = 𝑟(𝑡) − 𝑟0(𝑡0), como indicado na Figura 1-a. 
 
 (a) (b) 
Figura 1: (a) Posições e deslocamento do carro entre dois instantes de tempo. Figura adaptada 
de [1]. (b) Sistema de coordenada cartesiano. Figura adaptada de [2]. 
 
Como a posição do carro muda com o tempo, então definimos a velocidade como 
 
�⃗�(𝑡) =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
e sua aceleração: 
�⃗�(𝑡) =
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
 
 
Observe que posição, velocidade e aceleração são quantidades vetoriais no espaço bidimensional 𝑥 − 𝑦. 
 Um tipo de movimento bidimensional que é amplamente estudado em física é o movimento de um 
projétil, sujeito à uma aceleração constante �⃗� = −𝑔𝑗̂, onde 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠² é a aceleração gravitacional e 𝑗̂ é 
o vetor unitário na direção positiva do eixo 𝑦 (como indicado na Figura 1-b). Como esse é um movimento com 
aceleração constante, então as componentes 𝑥 e 𝑦 da posição são dadas por: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡 
 
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𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑣0𝑦𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2 
 
onde 𝑣0𝑥 e 𝑣0𝑦 são as componentes da velocidade inicial ao longo dos eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente. 
 
O alcance horizontal, 𝑅 ≡ 𝑥𝑚á𝑥, de um projétil depende da velocidade inicial �⃗�0 com que ele é lançado. 
A Figura 2 mostra três trajetórias distintas para projéteis lançados horizontalmente com velocidades iniciais 
distintas, a uma altura inicial de 1 𝑚 em relação ao solo; é notável que 𝑣03 > 𝑣02 > 𝑣01. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Trajetória de três projéteis arremessados horizontalmente a partir da mesma posição 
inicial, mas com velocidades iniciais distintas. As setas indicam seus respectivos alcances, 𝑥𝑚á𝑥. 
 
Nessa prática iremos estudar justamente como o alcance horizontal varia em função da velocidade 
inicial de disparo de um projétil. Como o lançamento é horizontal, então 𝑣0𝑦 = 0 e 𝑣0𝑥 = 𝑣0; considerando 
𝑥0 = 0 𝑚, então as equações de movimento se reduzem a: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑣0𝑡 (1) 
 
𝑦(𝑡) = 𝑦0 −
1
2
𝑔𝑡2 (2) 
 
 
 
 
 
 
 
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2. ATIVIDADE 
 
Objetivos: Estudar o movimento de um projétil; compreender a relação entre o alcance e a velocidade inicial 
de um projétil disparado horizontalmente; analisar o tempo de queda de um projétil em um lançamento 
horizontal. 
 
Link da simulação: 
 https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-motion_pt_BR.html 
 
Abra a simulação na opção “Intro”. A figura 3 apresenta as opções da simulação. 
 
 
Figura 3: Tela inicial da simulação. 
 
PROCEDIMENTO: 
 
1) Mantenha o ângulo de lançamento do projétil em 0°, ou seja, mantenha o lançamento sempre na 
horizontal. 
2) Ajuste a altura, 𝑦0, do projétil e a mantenha constante durante todo a atividade. Anote esse valor. 
3) Posicione a fita métrica no piso abaixo do canhão, ao longo da linha vertical de onde o projétil é 
disparado. Observe a figura 5-a. 
 
 
https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-motion_pt_BR.html
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(a) (b) 
Figura 5: (a) Posicionamento da fita métrica. (b) Medida do alcance. 
 
4) Realize disparos com diferentes velocidades iniciais e meça com a fita métrica os respectivos 
valores de alcance horizontal do projétil até tocar o solo. Observe a figura 5-b. Anote os 
valores na tabela 1. 
5) Como a altura inicial 𝑦0 é constante, portanto o tempo de queda do projétil (no instante em 
que 𝑦 = 0 𝑚) é o mesmo em todos lançamentos, ou seja, independe da velocidade inicial. 
Demonstre, através da equação (2), que: 
 
𝑡𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 = √
2𝑦0
𝑔
 (3) 
 
6) Como o alcance é definido como 𝑅 ≡ 𝑥(𝑡 = 𝑡𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎), demonstre que: 
 
𝑅 = 𝑣0𝑡𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 (4) 
𝑅 = 𝑣0√
2𝑦0
𝑔
 (5) 
 
7) Plote um gráfico de 𝑅 × 𝑣0. Qual é a relação funcional entre o alcance e a velocidade inicial? 
Faça um ajuste linear e determine o significado físico da inclinação dessa reta. 
 
8) Com base na equação (3), calcule o tempo de queda do projétil e compare-o com o resultado 
obtido no item (7). 
 
 
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Tabela 1: Medidas de alcance e velocidade inicial. 
𝑅 (𝑚) 𝑣0 (𝑚/𝑠) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
 
[1] SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. São 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005.