Atividade para avaliação - Semana 4 Elementos_

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Informações do teste
PERGUNTA 1
I. Duas classes de equivalência módulo  distintas podem ter
interseção não vazia.
II. A classe de equivalência módulo  do elemento neutro 
 coincide com o ideal .
III. O ideal  particiona o anel  em duas classes de equivalência
distintas.
Seja  um anel comutativo e  um ideal de . Considere as
a�rmações:
Escrevendo V para “verdadeira” e F para “falsa”, as a�rmações acima
são, respectivamente:
F, F, V.
V, V, F.
F, F, F.
V, F, V.
F, V, F.
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PERGUNTA 2
Seja  . Sobre o núcleo  do homomor�smo de avaliação 
, é correto a�rmar que:
 é um ideal de  somente se . Nesse caso, tal
ideal consiste dos polinômios com coe�cientes reais que
possuem  como raiz.
 é um ideal de  independentemente do valor de .
Tal ideal consiste dos polinômios com coe�cientes reais que
admitem  como raiz.
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 é um ideal de  somente se . Nesse caso, tal
ideal consiste dos polinômios com coe�cientes reais que
possuem  como coe�ciente do termo de maior grau.
 é um ideal de  somente se . Nesse caso, tal
ideal consiste dos polinômios com coe�cientes reais que
admitem 0 como raiz.
 é um ideal de  independentemente do valor de .
Tal ideal consiste dos polinômios com coe�cientes reais que
possuem  como coe�ciente do termo de maior grau.
PERGUNTA 3
Dados dois anéis  , colocamos no produto cartesiano  as
seguintes operações de soma e produto: 
 e 
. Com tais operações,  se
torna um anel.
Considere o homomor�smo de anéis  de�nido por 
, em que  e  denotam
respectivamente as classes de congruência módulo 6 e módulo 18 do
inteiro  . Assinale a alternativa que contém o núcleo do
homomor�smo  :
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PERGUNTA 4
Consideramos no conjunto  de todas as funções
de  em  as operações de soma  e
de produto  (no conjunto , a soma e o
produto são os usuais). Assim,  é um anel comutativo. Seja 
 o homomor�smo de anéis de�nido por  . O
núcleo desse homomor�smo é composto:
Pelo número real 0.
Por todas as funções  .
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Por todas as funções  tais que  .
Por todas as funções  tais que  .
Pelo número real 1.
PERGUNTA 5
Seja  e seja  o conjunto das partes de A, isto é, o
conjunto de todos os subconjuntos de A. Em outras palavras, 
.
De�nimos em  as operações de soma 
 e de produto  .
(Aqui, denota a diferença dos conjuntos A e B, ou seja, 
). Com essas operações,  é um anel
comutativo.
Assinale a alternativa que contém a classe de equivalência de 
módulo o ideal  :
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PERGUNTA 6
Em quantas classes de equivalência o ideal  particiona o anel 
?
1
2
5
4
3
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PERGUNTA 7
Seja  um polinômio com coe�cientes em  .
Assinale a alternativa que contém o valor de  :
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PERGUNTA 8
Considere os polinômios  e  com
coe�cientes em  . Assinale a alternativa correta:
Os polinômios são distintos como elementos de , mas são
iguais como funções de  em .
Os polinômios são distintos tanto como elementos de ,
quanto como funções de  em .
Os polinômios são iguais tanto como elementos de ,
quanto como funções de  em .
Os polinômios são iguais como elementos de , mas são
distintos como funções de  em .
Os polinômios  e  não podem ser interpretados como
funções de  em .
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PERGUNTA 9
I. 
II. 
Considere as funções
em que  e  denotam respectivamente as classes de
congruência do inteiro  módulo 3, 4 e 12.
Para ter certeza que a função  realmente está bem de�nida,
precisamos veri�car que, se  (isto é, se ),
então  (isto é, ). Uma
observação análoga se aplica à função  .
É correto a�rmar que:
ambas as funções estão bem de�nidas. A função  é um
homomor�smo de anéis, mas a função  não é um
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homomor�smo de anéis.
ambas as funções estão bem de�nidas e são homomor�smos de
anéis.
nenhuma das duas funções está bem de�nida.
ambas as funções estão bem de�nidas. A função  é um
homomor�smo de anéis, mas a função  não é um
homomor�smo de anéis.
ambas as funções estão bem de�nidas, mas nenhuma das duas
é um homomor�smo de anéis.
PERGUNTA 10
I. estabelece uma bijeção entre as unidades de R e as unidades
de S.
II. estabelece uma bijeção entre os divisores de zero de R e os
divisores de zero de S.
III. Se todo elemento não-nulo de R possui inverso multiplicativo,
então todo elemento não-nulo de S possui inverso
multiplicativo.
Seja  um isomor�smo de anéis comutativos. Então,  é um
homomor�smo bijetor e é possível mostrar que a função inversa 
também é um homomor�smo de anéis (você deve utilizar esse fato e
não precisa demonstrá-lo). 
Considere as a�rmações:
Escrevendo V para “verdadeira” e F para “falsa”, as a�rmações I, II e III
são, respectivamente:
V, V, V.
F, F, F.
F, V, V.
V, V, F.
V, F, V.
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