Geometria Analítica: Retas e Planos

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Exercı́cio
1. Sejam P (x, y, z) ponto genérico; A(x1, y1, z1) ponto dado da reta e ~v = a~i+ b~j+ c~k
vetor diretor da reta r. Dê a equação paramétrica da reta r.
2. a) Determine as equações paramêtricas da reta r1 que passa por A(−1, 0, 1) e tem
vetor diretor −→v1 = (−2, 1, 0).
b) Determine as equações simétricas da reta r2 que passa porB(3,−1, 0) e tem vetor
diretor −→v2 = (1,−3, 1).
c) Determine as equações reduzidas da reta que é simultaneamente ortogonal a r1 e
r2. E passa por (x1, x2, x3).
3. Determinar o versor (ou seja o vetor unitário) do vetor projeção de
−→u = (1, 2,−3) na direção de −→v = (2, 1,−2).
4. Sejam r1 e r2 duas retas
r1 :
{
y = 3x+ 1
z = −2x− 1 e r2 :

x = −1 + 2t
y = 3− t
z = 5t
Determine as equações reduzidas da reta que é simultaneamente ortogonal a r1 e r2
e passa por (x1, x2, x3).
5. Considere o plano π : z − 3 = 0 e a reta
r :

x = t
y = 1 + t
z = 3 + t
A reta r está contida no plano π (justifique)? Ou a reta r é paralela ao plano π
(justifique)? Caso contrário, encontre o ponto de interseção.
6. Determinar as equações simétricas da reta que passa pelo pontoA(3, 6, 4) e tem vetor
diretor −→v = (1, 0, 0).
7. Considere o plano π : x+ 5y + 4z − 2 = 0 e a reta
r :
{
x− 1 = y + 3
−1
= z − 4,
será que a reta r é paralela ao plano π (justifique), ou além disto a reta r está contida
no plano π (justifique), caso contrário encontre o ponto de interseção.
8. Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 e se θ é o ângulo dos vetores ~u e ~v, mostre que
‖~u× ~v‖ = ‖~u‖‖~v‖ sen θ
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