Apostila 01 Matemática - 7º ano - 1º Bim - 1ª semana

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Matemática – 7º Ano. 
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APOSTILA 01 DE MATEMÁTICA 
Conteúdo: múltiplos e divisores 
Quando uma divisão de números naturais é exata, temos que o dividendo 
(20) é múltiplo do divisor (5) e do quociente (4). Conforme apresentado a seguir: 
 
 
 
20 é múltiplo de 5 e de 4, pois a divisão é exata. 
 
Exemplo: 
 é múltiplo de , pois ; 
 é múltiplo de , pois ; 
 e são divisões de ; 
 não é múltiplo de , pois a divisão de por não é exata. 
Como obter os múltiplos 
Os números 0, 10, 20, 30, 40, 50,... São os múltiplos naturais de 10. São obtidos 
multiplicando por 10 os naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Os múltiplos naturais de 4 são: 0, 4, 8, 12, 16, 
20, 24, ... 
Os múltiplos comuns de 10 e 4 são: 0, 20, 40, 60,... 
O menor múltiplo comum de 10 e 4, excluindo o zero, é 20, que chamamos mínimo múltiplo 
comum (mmc) de 10 e 4. 
Os múltiplos de um número natural são os números que obtemos quando multiplicamos 
por ele os naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dessa forma, para obter um múltiplo de determinado 
número temos que: 
 
 
 
 
 
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Critérios de divisibilidade 
o Critério de divisibilidade por 2: Um número natural é divisível por 2 quando é par, ou 
seja, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. 
o Critério de divisibilidade por 3: Um número natural é divisível por 3 quando a soma de 
seus algarismos é divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos 
é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 
ESCOLA MUNICIPAL ______________________________________________ 
ALUNO (A): ______________________________________________________ 
PROFESSOR (A): _________________________________________________ 
ANO: 7º TURMA: _____ 1º BIMESTRE DATA: _____/____/2021 
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o Critério de divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou 
quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. 
Exemplos: 
a) 1.800 é divisível por 4, pois termina em 00. b) 4.116 é divisível por 4, pois 16 é divisível 
por 4. 
o Critério de divisibilidade por 5: Um número natural é divisível por 5 quando ele termina 
em 0 ou 5. 
Exemplos: 
a) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 
b) 90 é divisível por 5, pois termina em 0 
o Critério de divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e 
por 3. 
Exemplos: 
a) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 
b) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 
o Critério de divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou 
quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. 
Exemplos: 
a) 7.000 é divisível por 8, pois termina em 000. 
b) 56.104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 
o Critério de divisibilidade por 9: Um número natural é divisível por 9 quando a soma de 
seus algarismos é divisível por 9. 
o Um número natural é divisível: 
• por 10 quando termina em 0; 
• por 100 quando termina em 00; 
• por 1.000 quando termina em 000. 
Exercícios: 
1) Jéssica faz bombons para vender. Em uma caixa cabem 6 bombons, como mostra a 
ilustração ao lado. Em um dia, ela fez 726 bombons. Quantas caixas de bombons ela 
poderá completar? Faltarão bombons para completar as caixas? Se faltarem, quantos? 
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2) Responda. 
 
a) Qual é o único número natural que é divisor de qualquer outro número natural? 
 
b) Qual é o número natural que nunca é divisor de outro? 
 
c) Que número natural, diferente de zero, é divisor de si mesmo? 
 
Cálculo: 
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3) A professora de Matemática disse para seus alunos: “A minha idade é um número múltiplo 
de 4 e ainda é divisor de 104”. Sabendo que a professora tem menos de 60 anos, 
responda: qual é a idade dela? 
 
Decomposição em fatores primos 
 
 
Os números primos têm apenas dois divisores, o 1 e o próprio número. Como esses dois 
divisores devem ser diferentes, o número 1 não é primo. Exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 
11, 13, 17. 
Os números compostos são maiores do que 1 e têm mais de dois divisores. 
Exemplos de números compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12. 
Todo número composto pode ser escrito, de maneira única, como o produto de números 
primos. Veja alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deste modo, o número 56 pode ser escrito como o produto de seus fatores primos: 
 . 
 
Mínimo múltiplo comum (mmc) 
Utilizando a decomposição em fatores primos, podemos obter o m.m.c. de dois ou mais 
números naturais. 
Vamos calcular, por exemplo, o m.m.c. dos números 126 e 105. Para isso, realizamos a 
decomposição simultânea desses números em fatores primos. 
 
O m.m.c. é dado pelo produto dos fatores primos obtidos. Assim: m.m.c. (126, 105) = 2 ⋅ 3 ⋅ 
3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 630. 
 
Máximo divisor comum (mdc) 
Para determinar o mdc dos números 630 e 294 utilizando a decomposição em fatores 
primos, inicialmente decompomos cada um dos números. 
Cálculo: 
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O m.d.c. de 630 e 294 é dado pelo produto dos fatores comuns às duas decomposições. 
Assim, m.d.c. (630, 294) = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42. 
Outra maneira de obter o mdc é decompor os números simultaneamente. 
 
Nesse caso, o m.d.c. é o produto dos fatores que dividem ambos os números. 
Assim, m.d.c. (630, 294) = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42. 
Quando o m.d.c. de dois ou mais números naturais é igual a 1, dizemos que esses 
números são primos entre si. Veja, por exemplo, os divisores dos números 20 e 63. 
o Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20. 
o Divisores de 63: 1, 3, 7, 9, 21 e 63. 
Note que o único divisor comum desses números é o 1, ou seja, mdc (20, 63) = 1. Deste 
modo, dizemos que os números 20 e 63 são primos entre si. 
Exercícios: 
1) Calcule. 
a) m.m.c. (15, 25) c) m.d.c. (18, 34) 
b) m.m.c. (42, 56) d) m.m.c. (64, 98, 120) 
 
 
 
2) Dois ônibus partem do mesmo terminal rodoviário. Um deles leva 32 minutos para fazer sua 
rota e voltar ao terminal e o outro, 40 minutos. Sabendo que esses ônibus saíram juntos do 
terminal às 6 horas, a que horas eles estarão juntos novamente nesse terminal? 
 
Dica: Lembre-se de que 1 hora corresponde a 60 minutos. 
 
Cálculo: 
Cálculo: 
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3) Para o aniversário de seu filho, Odete comprou 159 balas de coco e 265 balas de chocolate. 
Ela pretende distribuir os dois sabores de balas na maior quantidade possível de saquinhos, sem 
que haja sobras de balas, de maneira que em cada um deles seja colocada a mesma quantidade 
de balas de cada sabor. 
a) Quantos saquinhos de balas serão formados? _______________________________________ 
b) Quantas balas de coco Odetedeve colocar em cada saquinho? E quantas balas de chocolate? 
______________________________________________________________________________ 
 
 
 
4) Dê um exemplo de situação do dia a dia envolvendo m.m.c. e outra situação envolvendo 
m.d.c. 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 
Números Inteiros 
Números positivos e números negativos 
Quando queremos indicar certas temperaturas, saldos bancários, altitudes, entre outros, 
pode ser necessária a utilização de números menores do que zero, como 
 etc., chamados números negativos. 
Os números que indicam medidas acima de zero, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., são 
denominados números positivos, ou seja, são aqueles maiores do que zero. Esses números 
também podem ser representados precedidos do sinal . Assim, etc. 
O número zero não é positivo nem negativo. 
Saldo bancário 
Muitos bancos oferecem para seus clientes um serviço chamado limite de crédito. Nesse 
tipo de serviço o cliente pode, até certo limite, gastar mais dinheiro do que tem em sua conta 
bancária. Quando isso ocorre, a conta fica com o saldo negativo e o cliente passa a dever 
dinheiro ao banco. Quando o saldo é positivo, significa que o cliente tem dinheiro disponível no 
banco. A seguir está representado um exemplo de extrato bancário. 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo: 
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Nesse extrato bancário, com exceção dos saldos, as movimentações com o sinal + indicam 
que foi feito um crédito, isto é, houve uma entrada de dinheiro, e as movimentações com o sinal 
 indicam que foi feito um débito, isto é, houve uma retirada de dinheiro. 
Temperatura 
Os números negativos também são úteis para representar medidas de temperatura. No 
Brasil, a escala usada para medi-las é a Celsius, representada por ° . Nessa escala, as 
temperaturas são medidas acima e abaixo de zero. Observe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos notar que, na escala Celsius, as medidas de temperatura média dos meses de 
fevereiro, março e abril foram negativas, enquanto em maio, junho e julho foram positivas. 
Quando dizemos que o pico da Neblina tem 2.995,3 m, nos referimos à medida da altitude 
desse pico, utilizando como referência o nível do mar. Nesse caso, como o pico está acima do 
nível do mar, a medida da altitude é representada por um número positivo. Quando nos 
referimos a um ponto abaixo do nível do mar, representamos a medida de sua altitude por um 
número negativo. Veja no esquema como podemos representar tais medidas. 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Qual é a medida da temperatura média hoje na cidade onde você mora? 
 
2) A figura, a seguir, representa um extrato bancário da conta de Danieli. 
 
 
 
 
 
 
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a) Qual era o saldo da conta de Danieli ao final do dia 4 de setembro? 
 
 
 
b) Em qual dia indicado no extrato o saldo estava negativo? 
 
c) Qual foi o maior valor creditado na conta e apresentado no extrato? E o maior valor debitado? 
 
Números inteiros 
No 6º ano, vimos que os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... são chamados 
números naturais, usamos o símbolo : 
 
 
Para representar o conjunto dos números inteiros, usamos o símbolo ℤ: 
 
Podemos representar os números inteiros sobre uma reta, por pontos igualmente 
espaçados: 
 
Da esquerda para a direita, os números vão aumentando (estão em ordem crescente). 
Partindo do zero para a direita, encontramos os números positivos, aumentados de 1 em 1: 
 
 
Indo do zero para a esquerda, encontramos os números negativos, diminuídos de 1 em 1: 
 
O antecessor de um número natural qualquer, diferente de zero, é o número que vem 
imediatamente antes dele e que o sucessor é o número que vem imediatamente depois. 
 
Cálculo: 
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Observando a sequência dos números inteiros ou a representação desses números na reta 
numérica, também podemos comparar números inteiros. Quanto mais à direita um número 
estiver, na sequência ou na reta, maior ele será. 
Assim, percebemos, por exemplo, que: 
 • +7 é maior que 0 (representamos assim: 7 > 0 e lemos: “mais sete é maior que zero”); 
• 5 é menor que 1 (representamos assim: 5 < 1 e lemos: “menos cinco é menor que menos 
um”); 
 • 9 é menor que 3 (representamos assim: 9 < 3 e lemos: “menos nove é menor que mais 
três”); 
• 0 é maior que 4 (representamos assim: 0 > 4 e lemos: “zero é maior que menos quatro”). 
Exercícios: 
1) Em uma sorveteria, o armazenamento é feito em freezers com temperatura de 18 °C. 
Qualquer temperatura acima dessa medida é inadequada e pode alterar a qualidade do produto. 
 
 
 
 
 
a) Das temperaturas a seguir, quais são adequadas e quais são inadequadas para o 
armazenamento de sorvetes nessa empresa? 
 
 
Módulo, ou valor absoluto, de um número inteiro 
Observe os pontos A e B indicados na reta numérica a seguir e a medida da distância de 
cada um deles até a origem. 
 
Chamamos de módulo ou valor absoluto a medida da distância de um ponto na reta 
numérica até a origem O. 
Assim, como na reta numérica acima a medida da distância do ponto A à origem O é 4 
unidades, temos que o módulo de 4 é igual a 4. De maneira parecida, como a medida da 
distância do ponto B à origem O é 3 unidades, temos que o módulo de −3 é igual a 3. 
 
 
 
Indicamos o módulo de um número por | | . Veja alguns exemplos. 
• |8| = 8 (lê-se módulo de oito é igual a oito) 
• |−7| = 7(lê-se módulo de menos sete é igual a sete) 
 
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Exercícios: 
1) Explique, com suas palavras, por que o módulo de um número é sempre positivo. 
 
Números opostos ou simétricos 
Na reta numérica abaixo, podemos notar que os pontos −3 e 3 estão a uma mesma 
medida de distância da origem, porém, um à esquerda e outro à direita. Nesse caso, dizemos que 
os números 3 e −3 são números opostos ou simétricos. Exemplo: 
 
 
 e são números opostos ou simétricos. 
Exercícios: 
1) Na reta abaixo, as letras estão no lugar de números inteiros consecutivos. Cada letra é a 
inicial do nome de um aluno. Observe-a para fazer os exercícios 2, 3 e 4. 
 
Se V, de Vítor, está no lugar do zero, indique de quem é a inicial que está no lugar de: 
a) c) e) +3 
b) d) f) – 3 
Se C, de Cris, está no lugar do , indique em que lugar está a inicial de: 
a) Vítor c) Talita e) Enzo 
b) Deco d) Lalai f) Ingo 
 
2) Quanto é: 
a) o valor absoluto de 7? _______________ b) E o valor absoluto de 29? _____________ 
3) Quem fez uma afirmação errada? 
 
 
 
 
 
 
4) Em cada item, compare os números e substitua o pelo sinal (menor) ou (maior): 
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a) c) 
 d)5) Considere que na superfície do mar a altitude é zero. Use números negativos para indicar 
altitudes abaixo da superfície do mar e números positivos para indicar altitudes acima da 
superfície do mar. 
a) Em que altitude está o pássaro? 
b) Em que altitude está o peixe? 
c) Qual é a diferença entre as duas altitudes? 
 
 
6) Os resultados dos balanços de 5 anos da empresa M & N estão representados no gráfico a 
seguir. Números positivos representam lucros; números negativos, prejuízos. 
 
a) Considerando os 5 anos, a empresa está acumulando lucro ou prejuízo? De quanto? 
 
b) E considerando apenas os 3 últimos anos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências: 
DOLCE, Osvaldo; IEZZI, Gelson; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade: 6º ano. 9. ed. 
São Paulo: Atual, 2018. 
GAY, Mara Regina Garcia; SILVA, Willian Raphael. Araribá Mais: Matemática. 1 ed. São Paulo: 
Moderna, 2018. 
PATARO, Patrícia Moreno; BALESTRI, Rodrigo. Matemática Essencial 6° ano: ensino 
fundamental, anos finais. São Paulo: Scipione, 2018. 
 
 
 
Cálculos: