PPTs _ Capítulo 12 Deflexão em vigas e eixos (1)

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Capítulo 12
 
Deflexão em vigas e eixos
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slide 1
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slide ‹nº›
A Linha Elástica
Para curva elástica,o momento positivo interno tende a curvar a viga com a concavidade para cima, e vice versa.
Deve haver um pondo de inflexão em C, onde a curva passa de côncava para cima a côncava para baixo, visto que o momento neste ponto é nulo.
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A Curva Elástica
Relação Momento-Curvatura
Devido a carga, a deformação na viga é provocada pela força cortante interna, bem como pelo momento fletor.
Se o material for homogêneo e comportar-se de uma maneira linear elástica, a lei de Hooke é aplicável,
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A Curva Elástica
ρ = raio de curvatura em um ponto específico
M = momento fletor interno na viga no ponto ρ
E = módulo de elasticidade do material
I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro
EI = rigidez à flexão
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Inclinação e deslocamento
por integração
Na maioria dos problemas a rigidez à flexão será constante ao longo do comprimento da viga.
A inclinação e alteração da relação da viga é
Cada integração é usada para resolver todas as constantes de modo a obter uma solução única para um problema particular.
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Inclinação e deslocamento
por integração
Condições de contorno e continuidade
As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou deslocamento.
Esses valores são chamados de condições de contorno.
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A viga simplesmente apoiada mostrada na figura (a) suporta a carga triangular distribuída. Determine sua deflexão máxima. EI é constante.
Exemplo 12.2
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Devido à simetria, somente a coordenada x é necessária para a solução,
A equação para carga distribuída é . 
Por consequência,
Solução:
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Integrando duas vezes, temos
Para condição de contorno,
Portanto,
Para deflexão máxima em x = L/2, 
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A viga na Figura (a) está sujeita à carga P em sua extremidade. Determine o deslocamento em C. EI é constante.
Exemplo 12.4
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Devido à carga, 2 coordenadas x serão consideradas,
Usando os diagramas de corpo livre,
Portanto,
Solução:
e
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As quatro constantes de integração são determinadas usando três condições de contorno,
Resolvendo, temos
Portanto, resolvendo
equações.
Quando x2 = 0, temos
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Funções de descontinuidade
Para expresser a carga sobre a viga ou momento interno dentro dela usando uma única expressão, precisamos utilizar funções de descontinuidade.
1) Funções de Macaulay.
 é o ponto ao longo da viga e a é o local na viga onde ocorre a “descontinuidade”.
Equação geral pode ser usada para cargas distribuídas:
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As funções Macaulay abaixo descrevem ambas a carga uniforme e a carga triangular.
Funções de descontinuidade
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i) Descrever uma força
=
ii) Descrever um momento,
=
iii) A integração de ambas as equações dará
Funções de descontinuidade
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Exemplo 12.5
Determine a equação da linha elástica para a viga em balanço mostrada na figura (a). EI é constante.
Exemplo 12.5
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As condições de contorno exigem inclinação e deslocamento zero em A.
As reações no suporte A foram calculadas por estática e são mostradas em um diagrama de corpo livre,
Solução:
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Já que
Integrando novamente, temos
Visto que dv/dx = 0, x = 0, C1 = 0; e v = 0, C2 = 0. Portanto
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Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área
O método dos momentos de área determinam a inclinação e o deslocamento em pontos específicos sobre a linha elástica de uma viga ou eixo.
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Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área
TEOREMA 1
Ângulo entre as tangentes em 2 pontos quaisquer à curva elástica equivale a área sob o diagrama M/EI entre estes dois pontos.
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Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área
TEOREMA 2
O desvio vertical da tangente em um ponto (A) sobre a linha elástica em relação à tangente traçada desde outro ponto (B) é igual ao momento da
área sob o diagrama M/EI entre esses dois pontos (A e B). Esse momento é calculado em torno do ponto (A)onde o desvio vertical deve ser determinado.
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ou
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Determine a inclinação da viga na figura (a) nos pontos B e C. EI é constante.
Exemplo 12.7
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O diagrama M/EI será desenhado primeiro.
A força P provova deflexão na viga como mostrado.
Pelo desenho, o ângulo entre tan A e tan B é equivalente a θB/A, onde
Aplicando teorema dos momentos de área
Solução:
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Determine o deslocamento dos pontos B e C da viga mostrada na Figura (a). EI é constante.
Exemplo 12.8
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O diagrama M/EI será desenhado antes.
O momento conjugado em C provoca a deflexão da viga como mostrado, portanto
Aplicando teorema dos momentos de área, temos,
Solução:
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Como ambas as respostas são negativas, elas indicam que os pontos B e C encontram-se abaixo da tangente em A.
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slide ‹nº›
Determine o deslocamento no ponto C para a viga de aço em balanço com projeção mostrada na Figura (a). Considere Eaço = 200 GPa, I = 50 x 106 mm4.
Exemplo 12.12
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slide ‹nº›
O diagrama M/EI será desenhado antes.
A carga provoca deflexão na viga como mostrado, portanto
Aplicando teorema dos momentos de área, temos,
Solução:
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Substituindo os resutados dados
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Método da superposição
 satisfaz os dois requesitos necessários para aplicação do princípio da superposição.
1) Carga é linearmente relacionada a deflexão.
2) Espera-se que a carga não mude significativamente a forma da viga.
Utilizando resultados tabulados do Apêndice C, é possível determinar a inclinação e deslocamento em um ponto sobre a viga submetida a várias cargas.
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slide ‹nº›
Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga mostrada na Figura (a). EI é constante.
Exemplo 12.13
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A carga pode ser separada em duas partes componentes.
O deslocamento em C e a inclinação
em A são determinados por meio da tabela,
Para força concentrada de 8-kN,
Deslocamento total em C e a inclinação em A são,
Solução:
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slide ‹nº›
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34
Determine o deslocamento na extremidade C da viga em balanço mostrqada na figura. EI é constante.
Exemplo 12.15
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Do Apêndice C, a inclinação e deslocamento em B são
Visto que o ângulo é pequeno, o deslocamento em C torna-se
Solução:
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slide ‹nº›
Vigas e eixos estaticamente
indeterminados
Um elemento é classificado como estatisticamente indeterminado se
Para determinar as reações na viga que são estatisticamente indeterminadas:
Especifique as reações redundantes.
Determine as redundâncias pelo grau de indeterminação.
Aplique redundâncias e resolva as reações.
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Vigas e eixos estaticamente
indeterminados — método da integração
Há 3 métodos para resolver as redundâncias
1) Método de Integração
Requer duas integrações de diferentes equações:
2) Método Momento-Área
Cálculo de ambas as áreas sob o diagrama MEI e a localização do centróide desta área.
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slide ‹nº›
3) Método de superposição
Resolver as cargas redundantes nas vigas carregadas axialmente e torsionalmente carregadas.
=
+
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A viga na figura (a) está fixada em ambas as extremidades e sujeita à carga uniforme. Determine as reações nos apoios. Despreze o efeito da carga axial.
Exemplo 12.18
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Pelo diagrama de corpo livre,
Pela inclinação e curva elástica,
Solução:
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slide ‹nº›
Pelas condições de contorno, temos C1 = C2 =0, assim
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slide ‹nº›
A viga está sujeita à carga concentrada mostrada na Figura (a). Determine as reações nos apoios. EI é constante.
Exemplo 12.19
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slide ‹nº›
Usando o método da superposição, os diagramas M/EI separados para reação redundante By e para carga P. 
Visto que , então
Aplicando o Teorema 2, temos,
Solução:
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slide ‹nº›
As reações em A no diagrama de corpo livre são
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Determine as reações no apoio de rolete B da viga mostrada na Figura (a) e trace os diagramas de força cortante e momento fletor. EI é constante.
Exemplo 12.21
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Por inspeção, a viga é estatisticamente indeterminada de primeiro grau.
Considerando o dislocamento positivo para baixo, a equação de compatibilidade em B é
Deslocamentos podem ser obtidos diretamente da tabela do Apêndice C.
Solução:
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Substituíndo na Eq. 1 e resolvendo, obtemos
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slide ‹nº›
Determine as reações na viga mostrada na Figura (a). Devido à carga e à má construção, o apoio de rolete em B cede 12 mm. Considere E = 200GPa e I = 80(106) mm4.
Exemplo 12.22
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Por inspeção, a viga é indeterminada de primeiro grau.
Com referência ao ponto B, utilizando unidades métricas, exige-se que
Utilizando a tabela no Apêndice C,
Solução:
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Portanto, Equação 1 torna-se
Substituindo E e I, temos
Nós podemos calcular as reações em A e C usando as equações de equilíbrio.
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(
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