GEOMETRIA ESPACIAL 4

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Geometria 
espacial
APÊNDICE
UNIDADE 4
U4 - Inscrição, circunscrição e superfícies de revolução 1
UNIDADE 4: Inscrição, circunscrição e superfícies de revolução
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 4.1
1. Alternativa correta: B
Resposta comentada:
Segundo o enunciado do problema, trata-se de um cilindro reto. 
Dessa forma, a fórmula do volume do cilindro é:
V r h= p 2.
Ainda de acordo com o problema, podemos apontar que o volume 
do cone é:
V r h V r V r V r= ∴ = ∴ = ∴ =p p p p
2 2
2 2
3
9 2 4
3
3 2 4 7 2. . . , . . , ,
Sendo o volume do cone 20% maior que do cilindro, podemos 
multiplicar o volume do cilindro por 1,2 e igualar os volumes para 
encontrar a altura:
12 7 2 7 2
12
62 2, . . . , ,
,
p pr h r h h m= ∴ = ∴ =
Logo, temos como resposta a alternativa b, com altura equivalente 
a 6 metros.
2. Alternativa correta: A
Resposta comentada:
De acordo com o que estudamos nesta seção, quando temos uma 
esfera circunscrita a um cubo, a relação existente entre os sólidos 
é r a= 3
2
. De acordo com o enunciado, temos que a aresta do 
cubo equivale a 6 cm, Portanto: r r= ∴ =6 3
2
3 3 , logo:
Área
Área
r
a
Área
Área
esfera
cubo
esfera
cubo
= ∴ =
( )4
6
4 3 3
6 36
2
2
2
p p.
.
∴∴ = =
Área
Área
esfera
cubo
4 9 3
6 36 2
p p. .
.
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
U4 - Inscrição, circunscrição e superfícies de revolução2
3. Alternativa correta: D
Resposta comentada:
De acordo com o que estudamos nesta seção, quando temos uma 
esfera circunscrita a um octaedro, a relação existente entre os 
sólidos é r a= 2
2
, sendo (a) a aresta do octaedro. Assim, baseado 
do volume da esfera, dado no enunciado, encontraremos o raio da 
esfera. Observe: 
V r r r r r cmesfera = ∴ = ∴ = ∴ = ∴ =
4
3
36 4
3
4 108 27 3
3 3
3 3p p
p .
Logo, a aresta do octaedro vale:
3 2
2
3 2= ∴ =a a cm .
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 4.2
1. Alternativa correta: E 
Resposta comentada:
Aresta do octaedro
Chamando de x a aresta do octaedro, vimos nessa seção que a 
relação existente entre um octaedro inscrito no cubo é x a= 2
2
. 
Portanto: x x cm= ∴ =10 2
2
5 2 .
Volume do octaedro
A fórmula para o cálculo do volume do octaedro inscrito no cubo 
foi deduzida nessa seção, sendo: V aoctaedro =
1
6
3 . Logo, o volume do 
octaedro apresentado nesse exercício é: 
V V V cmoctaedro octaedro octaedro= ∴ = ∴ =
1
6
10 1000
3
500
3
3 3.
2. Alternativa correta: C
Resposta comentada:
Aresta do cubo
Sabendo que a aresta do tetraedro equivale à medida da diagonal 
U4 - Inscrição, circunscrição e superfícies de revolução 3
do cubo, podemos, dessa forma, identificar quanto vale a aresta do 
cubo. Logo, 6 2 6
2
3 2= ∴ = ∴ =a a a cm .
Área do cubo
Agora, basta recordarmos a fórmula da área do cubo considerando 
a aresta encontrada acima. Logo:
A a A A cmcubo cubo cubo= ∴ = ( ) ∴ =6 6 3 2 1082
2 2. 
3. Alternativa correta: A
Resposta comentada:
Chamando a aresta do cubo de x e a aresta do octaedro de a, temos 
que o volume pedido é representado por:
V
V
x
a
V
V
a
a
cubo
octaedro
cubo
octaedro
= ∴ =





3
3
3
32
3
2
3
2
3
∴∴ =
= ∴ =
V
V
a
a
V
V
cubo
octaedro
cubo
octaedro
3
3
2 2
27
3
2
2
9
.
.
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 4.3
1. Alternativa correta: B
Resposta comentada:
Figura 1 | Representação da revolução do losango
Fonte: <http://www.portalrumo.com.br/arquivos/provas/Fatecs/Prova-Resolvida-Rumo-Fatec-Ensino-Superior- 
-2SM-2006.pdf>. Acesso em: 28 jan. 2018.
U4 - Inscrição, circunscrição e superfícies de revolução4
A revolução do losango dado gera um cilindro de altura BC. O raio da 
base desse cilindro equivale ao segmento BH, ilustrado na Figura 1. 
Logo, aplicando a relação trigonométrica do triângulo retângulo, 
temos:
sen BH BH sen BH cm60
6
6 60 3 3º . º= ∴ = ∴ = 
O volume do losango de revolução BCEA é o mesmo que o volume 
do retângulo de revolução que forma o cilindro BCFG; dessa forma, 
o volume desse sólido de revolução é:
V r h V BH BC V V cm= ∴ = ( ) ∴ = ∴ =p p p p2 2 23 3 6 162. .( ) ( ) . ³
2. Alternativa correta: D
Resposta comentada:
Cada volta que o papel der em torno do cilindro terá o comprimento 
da circunferência da base do cilindro. Logo, lembremos que o 
comprimento de uma circunferência é dado por:
C r= 2p , ou, ainda, considerando o diâmetro da circunferência: 
C d= p , para cada volta. Como o enunciado informa que para a 
confecção do canudo são necessárias 5 voltas em torno do cilindro, 
basta multiplicar esse valor por 5. Portanto, a medida do lado do 
papel é de 5pd cm.
3. Alternativa correta: C 
Resposta comentada:
A figura plana será um triângulo retângulo de catetos 9 u.v e 
2 u.v. Ao rotacionarmos um triângulo retângulo geramos um cone. 
Como sabemos a fórmula de volume do cone, basta substituirmos 
os valores, logo:
V r h
V
V
cone = ⋅
= ⋅
=
1
3
1
3
9 2
54
2
p
p
p
²