Matemática aplicada Unid1

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Matemática aplicada: conceituação, números reais e lógica
A matemática aplicada e a lógica matemática cada vez mais têm sido utilizadas como subsídios para a obtenção de conclusões e resultados mais apurados, principalmente com o auxílio da probabilidade e estatística e da computação. Compreender essas ferramentas, além de como elas desempenham este papel tão importante, tornou-se uma habilidade imprescindível para um profissional inserido na sociedade moderna.
Esta seção, portanto, apresentará uma conceituação básica acerca da matemática aplicada, descrevendo um dos principais blocos construtores da matemática: os conjuntos numéricos. Aqui, analisaremos uma construção conjuntiva que parte dos números naturais até o alcance do entendimento de conjuntos mais complexos, como é o caso do conjunto dos números reais.
Além disso, expressaremos uma introdução à lógica matemática e suas principais estruturas e princípios, debatendo alguns aspectos acerca de proposições e argumentos, além de investigar inicialmente a forma lógica. Por fim, exploraremos sucintamente alguns exemplos matemáticos que utilizam a lógica como ferramenta analítica.
CONCEITUAÇÃO: MATEMÁTICA APLICADA
A utilização da matemática em diversas áreas de conhecimento é extremamente importante para que se possa trabalhar os conceitos de forma quantitativa. A capacidade representativa inerente da linguagem matemática, aliada à sua lógica, compõe uma ferramenta indispensável para diversos campos de estudo.
Os modelos matemáticos são utilizados, por exemplo, em operações no mercado financeiro. Decidir quando e quantas ações comprar de determinada empresa, avaliar seu risco e posteriormente decidir quanto e quando vender depende de modelos preditivos que tangem a probabilidade e a estatística.
Já na biologia, inúmeros modelos matemáticos referentes ao crescimento populacional são parâmetros norteadores de diversos estudos e, muitas vezes, de políticas públicas por eles guiados. Uma projeção de crescimento epidêmico, por exemplo, é realizada por meio de um modelo matemático exponencial, que avalia um espalhamento viral de determinada doença por meio da seguinte expressão matemática:
f (x) = k · aᵡ
A validade científica desses modelos é, também, fundamentada pela lógica matemática, uma ferramenta epistêmica ímpar para o desenvolvimento de representações e estudos vinculados a elementos da realidade. Essas representações e estudos matemáticos aplicados a diversas áreas são realizados, majoritariamente, em um ambiente computacional ou, mais especificamente, em sistemas computacionais.
A computação, não diferente de outras áreas do conhecimento, também se fundamenta na utilização de conceitos matemáticos. A lógica matemática é fundamental para o desenvolvimento de sistemas computacionais, principalmente no que se refere a operações denominadas de booleanas.
Isso posto, as áreas matemáticas de combinatória e probabilidade também são extremamente importantes para a computação. A contagem em certos procedimentos, utilizando bases binárias ou hexadecimais, ou o cálculo de chance de erros em processos eletrônicos são vitais para essa área tecnológica. Até mesmo a transmissão de sinais nas interações entre os componentes eletrônicos é permeada por conceitos matemáticos.
Em ciências sociais, a matemática aplicada desempenha papel importante na constituição de conhecimento e teorias explicativas da realidade. Por meio da estatística, pode-se organizar, sintetizar e interpretar dados quantitativos advindos de uma amostra ou população de interesse.
A física é outra área do conhecimento que faz uso de elementos matemáticos para o delineamento de modelos explicativos da realidade. A Segunda lei de Newton, por exemplo, é representada por uma relação algébrica em força (F), massa (m) e aceleração (a):
F=m . a
Em suma, pode-se afirmar que a aplicação matemática é fundamental para o desenvolvimento epistemológico de inúmeras áreas. Destaca-se, novamente, que tudo isso se dá majoritariamente pela capacidade representativa e de generalização matemática, pautada em alicerces lógicos bem delimitados. Essa seção tratará da apresentação dos conceitos relacionados à aritmética e à álgebra, os quais auxiliarão no entendimento acerca dos números e da capacidade de generalização matemática.
CONJUNTOS NUMÉRICOS: DOS NATURAIS AOS REAIS
Um dos conceitos mais introdutórios acerca da matemática, e que é trabalhado com os estudantes desde o ensino primário, é o conceito de número. Em seu sentido mais filosófico, entendido por meio da semiótica, o número é basicamente uma marca, ou símbolo, que representa uma entidade abstrata. Por exemplo, o símbolo “1” representa a ideia de unidade, ao passo que o símbolo “0” representa a ideia do nada, do vazio.
Isso posto, os símbolos utilizados para representar os números utilizados atualmente relacionam-se aos algarismos indo-arábicos. Eles se referem aos algarismos conhecidos por boa parte dos indivíduos desde suas infâncias: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Uma das inúmeras ideias possíveis para o trabalho com esses números se dá por meio de sua utilização para fins de contagem. O conceito de contagem consiste, basicamente, a relação desses algarismos com unidades físicas. Uma melhor noção deste conceito pode ser compreendida pela representação presente na Figura 1, que apresenta alguns desses algarismos associados a quantidade de objetos abaixo de si:
Os algarismos são associados a objetos físicos, resultando, assim, no que se denomina intuitivamente como contagem. Pode-se pensar nessas associações para todos os algarismos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Todavia, os objetos físicos existem em maiores quantidades que os algarismos e, desse modo, há a necessidade de ampliar a capacidade representativa e associativa desses algarismos.
Conforme a possibilidade de associação é aumentada, combinam-se os algarismos para uma nova possibilidade representativa. Por exemplo, depois do algarismo 9 é necessário uma combinação de algarismos para que se possa continuar associando números às unidades físicas, e a Figura 2 representa essa situação.
Desse modo, têm-se os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 associados a quantidades de objetos e, posteriormente, “novos” números associados a quantidades maiores (como 10, 11, 12, 13 e assim por diante), em que são representados pela combinação dos números anteriores. Portanto, expande-se a quantidade de números que se referem a quantidades de objetos físicos.
Pode-se pensar, intuitivamente, em um agrupamento desses números relacionados à contagem de objetos. Assim, esse agrupamento recebe o nome de conjunto. Portanto, a partir dessa ideia inicial, entende-se conjunto como um agrupamento de números, sendo que o conjunto dos números relacionados a contagem de objetos é um tipo específico de conjunto. Denomina-se esse conjunto como o conjunto dos números naturais, caracterizados por ℕ, e sua representação se dá da seguinte forma:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4...}
É importante destacar que o conjunto dos números naturais agrupa todos os números, que são infinitos, relativos à contagem, ou seja, sua representação estende-se indefinidamente para a direita. Adicionando-se os números opostos a esses, pode-se constituir outro conjunto numérico, denominado conjunto dos números inteiros, representado por ℤ e escrito da seguinte forma:
Destaca-se que o conjunto dos números inteiros conta também com os opostos dos números naturais, que são basicamente os mesmos números com um sinal de negativo. Assim, como o conjunto dos números naturais é infinito “para um dos lados”, se o conjunto dos números inteiros se refere aos naturais e seus opostos, ele é infinito “para ambos os lados”.
A partir do conjunto dos números inteiros, contendo negativos e positivos, compreende-se outro conjunto numérico. A operação numérica conhecida como divisão, por exemplo, pode ser representada por uma fração. Na divisão de um número por um número , ela se dá da seguinte forma:
Vale lembrar que tanto a quanto b só assumem valores inteiros, contidos no conjuntoℤ, e que b não pode assumir o valor 0, uma vez que a divisão por esse valor não é definida matematicamente. As representações a seguir exemplificam isso:
Essas frações, no entanto, não estão presentes no conjunto dos números naturais, tampouco no conjunto dos números inteiros. Elas pertencem a um outro conjunto numérico, o conjunto dos números racionais (ℚ) que, como o próprio nome sugere, contém números que podem ser expressos na forma de uma razão.
Assim sendo, com esses três conjuntos numéricos se auferem tanto os números positivos quanto negativos que podem ser representados em forma de frações. Porém, existem números que não pertencem a nenhum desses conjuntos, ou seja, não podem ser expressos como razões de dois outros números inteiros. A estes, dá-se o nome de irracionais, os quais compõem outro conjunto numérico denominado conjunto dos números irracionais. Alguns exemplos notórios pertencentes a esse conjunto numérico são:
O primeiro exemplo é o número Pi, relacionado à determinação de raios e perímetros de circunferências. O segundo é o número de Euler, descoberto por meio de um conceito de infinito aplicado à uma expressão matemática e muito utilizado nos cálculos das disciplinas de engenharia. O terceiro exemplo é a raiz quadrada de 2, conhecida como diagonal de um quadrado de lado 1 e entendida, primeiramente, como uma grandeza incomensurável.
Observando os conjuntos dos racionais e irracionais, obtém-se o conjunto dos números reais (ℝ), que representa o agrupamento de todos os números presentes nos outros dois conjuntos. O Quadro 1 apresenta um resumo de todos os conjuntos numéricos, detalhando seus símbolos representativos e alguns de seus elementos ou regras gerais:
Existem outras maneiras de se representar esses mesmos conjuntos numéricos de forma visual. A Figura 3 é o exemplo desse tipo de representação, em que se busca relacionar todos os conjuntos numéricos:
A partir dessa representação, é possível observar a relação entre os conjuntos numéricos. O conjunto numérico dos reais (ℝ), como apontado anteriormente, abarca o conjunto numérico dos racionais (ℚ) e irracionais (ℙ), ou seja, todo número racional ou irracional é um número real.
O conjunto numérico dos racionais, por sua vez, abrange o conjunto dos inteiros (Z), que tem como subconjunto numérico dos naturais (N). Portanto, todo numero natural é um numero inteiro, e todo numero inteiro é um número racional. Todavia, existem números que são racionais, mas	 não são números inteiros, como 7/11 ou 5/7, por exemplo.
Esses conjuntos numéricos podem também ser representados de outra maneira: por meio de retas numéricas. O conceito de representação por meio de uma reta numérica relaciona-se ao estabelecimento de uma ordenação entre os números pertencentes ao conjunto. O conjunto dos números naturais, por exemplo, pode ser representado da seguinte forma:
Tal como na representação por meio de conjuntos numéricos, observa-se que existe um limite na representação dos números naturais, e que não há maneira de demonstrar sua infinitude.
O conjunto dos números inteiros possui representação similar. Mas, considerando os números negativos que ficam à esquerda do zero e tendo em vista essa relação de ordenação numérica, a representação de tal conjunto numérico é realizada conforme a Figura 5:
A infinitude desse conjunto numérico também fica evidente ao se considerar as duas extremidades da reta numérica. O conjunto numérico dos números inteiros é infinito, tanto considerando os números positivos quanto os números negativos nele presentes. Ambas as extremidades da reta são impossíveis de serem representadas.
Outro ponto a se destacar acerca desses conjuntos numéricos é que não há nenhum número entre os números marcados sobre a reta. Em outras palavras, não existe um elemento que está, por exemplo, entre o número 0 e o número 1; há um espaço vazio entre os números. Isso ocorre, também, com a parte negativa da reta numérica referente ao conjunto dos números inteiros.
Essa mesma característica, porém, não é observada na reta numérica que representa, por exemplo, o conjunto numérico dos reais (ℝ). Suponha que a reta a seguir seja a representação de tal conjunto numérico:
Desse modo, nota-se que a reta real, além de conter os infinitos presentes na reta numérica dos números inteiros, contém outro tipo de infinito em sua natureza; um infinito que está presente entre os próprios números. Portanto, o conjunto dos números reais corresponde a todos os pontos na reta numérica, ao passo que o conjunto dos números naturais e inteiros corresponde somente a alguns.
INTRODUÇÃO À LÓGICA
Uma das principais ferramentas da matemática, seja ela pura ou aplicada, é a lógica. Por meio desta, o trabalho formal com o conceito de verdade de sentenças e afirmações torna-se possível. Com a lógica, é possível formalizar e analisar a verdade em determinados contextos, exercendo-a e preservando-a em meio às operações.
A lógica, porém, refere-se a um conceito que evoluiu ao longo do tempo e que surgiu com o nascimento da filosofia e da matemática grega, possuindo mais de dois mil anos de história. Outros campos do conhecimento, como física, química ou até mesmo matemática, possuem, também, uma evolução conceitual cronológica, conforme afirma Mortari, em seu livro Introdução à lógica, de 2001. 
Tem-se a lógica como um conceito de difícil definição e que adquire diversos contornos, dependendo do contexto em que é analisado. Em termos gerais, a lógica pode ser entendida como a teoria geral da racionalidade, uma vez que o ser humano se caracteriza por sua capacidade de ser racional e a lógica estuda seu fundamento.
Tendo isso em vista, é necessário estabelecer o contexto no qual será definida a lógica aqui tratada. Ela será compreendida como uma disciplina filosófico-matemática que estuda a racionalidade expressa em argumentos. Portanto, o argumento será o objeto de estudo definido no contexto dessa disciplina e, mais especificamente, um argumento matemático, ou seja, definido no contexto da matemática.
Isso posto, é necessário apresentar uma definição para o conceito de argumento. Assim, argumento pode ser descrito como uma sequência de proposições, de forma que algumas delas são chamadas premissas e outras são chamadas conclusões. Além disso, as premissas justificam as conclusões.
Algumas palavras-chave utilizadas para definir um argumento devem ser entendidas separadamente, a saber: proposições, premissas e conclusões. São esses os pilares construtores da lógica, e o bloco construtor mais simples é a proposição.
Uma proposição é definida como uma sentença declarativa em que se pode atribuir o valor de verdade ou falsidade. Por exemplo: 5 é um número ímpar.
Pode-se indagar a veracidade ou não dessa sentença declarativa, ou seja, se essa sentença é uma sentença falsa ou verdadeira. No contexto da matemática, verifica-se, portanto, se 5 é um número ímpar. Sabe-se que um número ímpar refere-se a um número que pode ser escrito na forma 2k+1, em que k é um número natural. Então, para k=2, tem-se a seguinte situação:
Desse modo, verificou-se que 5 é um número ímpar e, portanto, a proposição apresentada é verdadeira. Esta é uma característica de uma proposição: ela assume um valor verdadeiro ou um valor falso. Com a lógica, é possível formalizá-la e tentar descobrir seu valor veritativo.
Portanto, um argumento, como definido anteriormente, é uma sequência de frases, ou seja, proposições, que podem ser verdadeiras ou falsas. Algumas dessas proposições, porém, recebem o nome de premissas e outras de conclusões, e essa diferença se dá pelo seu posicionamento na estrutura do argumento.
As proposições iniciais de um argumento são denominadas premissas, e é a partir delas que se extraem as conclusões. As conclusões, por sua vez, são proposições advindas das premissas, ou seja, são consequências lógicas delas, sendo por elas justificadas.
Para um melhor entendimento desses conceitos, observe o seguinte argumento:
6 é um número par. 18 é um número par. Logo, 6 e 8 são números pares.As proposições iniciais (premissas) desse argumento são as frases “6 é um número par” e “18 é um número par”. Por meio dessas premissas, obteve-se a proposição final (conclusão) de que “6 e 18 são número pares”. A essa obtenção de uma conclusão, tendo como base premissas, dá-se o nome de inferência.
Existem dois tipos de inferência argumentativas: as deduções e as induções. Uma dedução é um argumento com uma conclusão cuja justificativa decorre da aceitação de suas premissas, tal como foi apresentado no exemplo dos números pares. As conclusões se seguem necessariamente de suas premissas.
Já as inferências indutivas diferem-se das dedutivas por levar em conta um outro conceito: a incerteza. Uma indução é um argumento com uma conclusão cuja justificativa decorre da incerteza de suas premissas. Em outras palavras, induções têm conclusões que se seguem plausivelmente de suas premissas.
De modo a deixar mais evidente o que define esse tipo de inferência, observe o seguinte argumento: pergunta-se a 1.000 estudantes de uma universidade se eles acreditam que o preço do salgado da lanchonete é justo. Desses, 700 respondem que não, 200 respondem que sim, e 100 não souberam opinar. Como essa universidade tem cerca de 10.000 estudantes, conclui-se que 70% deles acreditam que o preço do salgado da lanchonete não é justo.
Percebe-se que esse tipo de argumento tem premissas referindo-se a um grupo específico de indivíduos (1.000 estudantes da universidade) e sua conclusão referindo-se a um grupo universal de indivíduos (10.000 estudantes da universidade). Um argumento indutivo parte, usualmente, de premissas particulares para conclusões gerais.
O mesmo acontece, por exemplo, com pesquisas de intenção de voto em períodos eleitorais. Estuda-se a intenção de voto de um grupo particular (amostra) e tenta-se inferir a intenção de voto de um grupo universal (população). Assim, o estudo de argumentos indutivos envolvem conceitos de probabilidade e estatística.
A Figura 7 apresenta a estrutura de um argumento com os conceitos explicitados até o momento. Essa estrutura leva em conta as proposições iniciais (premissas), a conclusão e o processo inferencial, em que se parte das premissas e obtém-se a conclusão, sendo este um processo indutivo ou dedutivo.
Outro aspecto lógico importante a ser apresentado é a forma lógica. A forma lógica refere-se à maneira de se representar os elementos lógicos, ou seja, como escrever esses elementos dado um alfabeto lógico. Portanto, para se tratar da forma lógica, é necessário compreender que há um processo de tradução das sentenças escritas em português para o “logiquês”.
Definem-se, desse modo, símbolos lógicos que buscam representar esses elementos. Uma proposição, por exemplo, será representada por um símbolo lógico denominado símbolo proposicional. Um símbolo proposicional, um símbolo lógico que irá substituir uma proposição, é usualmente representado por uma letra, como p, q, r, entre outras.
Aqui, toma-se como exemplo, novamente, a proposição “5 é um número ímpar”. Ela pode ser traduzida logicamente por um símbolo proposicional arbitrário p, de tal forma que:
P: 5 é um número impar
Logo, para se referir à proposição apresentada, basta lançar mão da letra p. Por exemplo, ao dizer que a proposição p é verdadeira, está afirmando-se que “5 é um número ímpar” é uma proposição verdadeira. O segundo exemplo pode, também, ser traduzido para uma forma lógica: “6 é um número par. 18 é um número par. Logo, 6 e 8 são números pares”.
Considerando “6 é um número par” como p e “18 é um número par” como q, tem-se que:
q: 6 é um número par
r: 18 é um número par
O argumento assumiria a seguinte forma:
q, r. Logo q e r
As duas premissas iniciais “q” e “r” tem como consequência a conclusão “q e r”. As proposições que têm apenas um símbolo proposicional são chamadas de proposições simples, ao passo que as que têm dois ou mais símbolos proposicionais são chamadas de proposições compostas.
Essa opção de transformar proposições em letras ocorre devido à facilidade manipulativa que será concebida em argumentos grandes e complexos. Um menor número de símbolos para se manipular é algo que torna o trabalho com determinada ferramenta epistêmica muito mais simples. A própria matemática é um exemplo disso, uma vez que operações simples, como uma adição ou subtração, antigamente eram realizadas por extenso.
Outro aspecto da forma lógica, além dos símbolos proposicionais, refere-se ao valor lógico de uma proposição. Para afirmar, por exemplo, que uma proposição p é verdadeira ou falsa, utiliza-se os números 1 ou 0, respectivamente. Além disso, escreve-se V(p) para indicar esse valor veritativo. Tome como exemplo, novamente, a proposição “p: 5 é um número ímpar”.
Como foi verificado anteriormente, a proposição p é verdadeira, logo, seu valor lógico é 1. De acordo com a forma lógica supracitada, isso poderia ser representado da seguinte forma:
V(p)=1
Portanto, existem formas sucintas de representar as proposições, que são os símbolos proposicionais, e formas sucintas de se representar a verdade ou falsidade acerca dessas proposições, que são as representações de seus valores lógicos. O segundo argumento, por exemplo, tem seus valores lógicos definidos da seguinte forma:
V(q)=1
V(r)=1
Isso se deve ao fato de que sabe-se que a proposição q é verdadeira, assim como a proposição r, também verdadeira. Do mesmo modo, pode-se representar o valor lógico da conclusão desse argumento como:
V(q e r) = 1
Por fim, concluindo a apresentação introdutória da lógica, torna-se necessário delinear alguns de seus princípios, ou seja, um conjunto de regras ou axiomas que sempre devem valer para seu desenvolvimento, os quais estavam pressupostos nas discussões realizadas nessa seção. São eles:
· Princípio do terceiro excluído;
· Princípio da bivalência;
· Princípio da não-contradição.
O princípio da bivalência enuncia que existem dois valores veritativos: a verdade e a falsidade. Já o princípio da não-contradição aponta que as proposições não podem ser simultaneamente verdadeiras e falsas em um determinado contexto. Por fim, o princípio do terceiro excluído aponta que as proposições são verdadeiras ou falsas em um determinado contexto.
Os três princípios supracitados e a forma lógica das proposições e argumentos, somados ao valor lógico das proposições, fundamentam a lógica clássica. É a partir desses conhecimentos que se estrutura toda a lógica aqui explorada, sempre levando em conta o contexto matemático e tecnológico (sistemas computacionais).
Operações e propriedades
A seção anterior apresentou a conceituação teórica acerca de elementos básicos para o desenvolvimento da matemática: conjuntos numéricos e lógica matemática. Isto posto, esta seção apresentará outro conjunto de saberes relevantes no contexto da matemática aplicada: como operar os objetos matemáticos definidos no contexto dos conjuntos numéricos e da lógica matemática.
Primeiramente, serão apresentadas algumas propriedades relativas ao conjunto numérico dos números reais, referentes a multiplicação, divisão, adição e subtração. Esses conhecimentos estabelecem como os números devem ser operados e manipulados, tendo em vista propriedades e regras, como a regra de sinal, por exemplo.
Alguns tópicos matemáticos importantes para o desenvolvimento algébrico da disciplina serão explorados, como as frações, a radiciação e a potenciação. Uma definição formal para cada um desses conceitos será apresentada e, posteriormente, as regras operativas referentes a cada um deles. Tudo isso será resumido ao final de cada apresentação por um quadro de síntese.
Finalmente, será possível obter a compreensão acerca das manipulações de objetos como raízes e frações, além do conhecimento relativo às propriedades e regras referentes às operações realizadas no contexto dos números reais. Esses conceitos são fundamentais para o desenvolvimento dos tópicos subsequentes da matemática aplicada.
PROPRIEDADES E REGRA DE SINAL
Como dito, o conjunto dos números reais abarca outros conjuntos numéricosque contêm números com diversas características. Assim, números negativos, positivos, decimais, frações e números irracionais são números reais que devem ser operados algebricamente.
Para que as operações com números reais ocorram de maneira adequada, deve-se definir algumas regras algébricas. Tomando x, y e z como três números reais, observe algumas propriedades relacionadas a esse conjunto numérico.
Para quaisquer que sejam esses números, vale a seguinte relação conhecida como associatividade da adição:
Essa propriedade aponta que a ordem de resolução de uma adição de três termos não importa: pode-se somar x e y inicialmente e, depois, somar o resultado a z; ou somar y e z inicialmente e, depois, somar o resultado a x. Um exemplo dessa propriedade encontra-se a seguir, em que x = -1, y = 2 e z = 3:
Outra propriedade importante no contexto numérico dos reais refere-se à propriedade da comutatividade da adição entre dois números reais x e y. Essa propriedade enuncia a seguinte situação:
Essa propriedade indica que a ordem de operação da adição não interfere em seu resultado numérico. Em outras palavras, somar x a y ou somar y a x é numericamente igual, dentro desse contexto numérico. O mesmo vale para a subtração, uma vez que não há alteração do resultado numérico de acordo com a ordem de seus termos.
Isso posto, no contexto dos números reais, existe um elemento neutro para a adição e a subtração, denominado de 0. Esse elemento neutro tem a seguinte propriedade, dado um número real x:
A soma ou subtração de um número real x com o número 0 não altera numericamente seu valor. Portanto, do mesmo modo:
Por fim, outra propriedade associada à adição é a simetria. Todo número real x possui um número simétrico, também denominado oposto (-x). Isso fica evidente ao se considerar a reta numérica dos reais: o número 1, por exemplo, possui o seu oposto como -1, e isso é definido como simetria, uma vez que ambos estão à mesma distância da origem (0). Isso se traduz algebricamente da seguinte forma:
No que diz respeito à multiplicação, deve-se levar em conta, também, algumas propriedades dos números reais. A primeira propriedade a ser destacada, tal como na adição e subtração, é a de que a multiplicação é associativa. Em outras palavras, a ordem multiplicativa não altera o valor numérico da operação, assim pode-se observar na multiplicação de três números reais x, y e z:
Um exemplo dessa propriedade numérica pode ser evidenciado ao se considerar que x = 10, y = -3 e z = 2:
A comutatividade entre os elementos de uma multiplicação também é válida, tal como na adição e subtração. Portanto, a ordem multiplicativa dos termos não altera o resultado numérico dessa operação. Algebricamente, para y e x reais, tem-se que:
Assim como na adição e subtração, a multiplicação apresenta um elemento neutro; todavia, aqui esse elemento neutro é 1. A multiplicação por 1, portanto, não altera o valor numérico do número real. Logo, a relação algébrica que representa essa situação, considerando x real, é a seguinte:
Existe mais uma propriedade valiosa para a manipulação algébrica nesse conjunto numérico, que é a distributividade. Considerando x, y e z números reais, essa propriedade é descrita a partir da seguinte relação algébrica:
Um exemplo que ilustra a aplicação dessa propriedade é dado considerando x= 2, y =-3 e z=-1:
As operações de multiplicação e divisão, no entanto, devem ter alguns aspectos destacados, principalmente aqueles que são responsáveis pela maior quantidade de erros. Um desses aspectos é a manipulação algébrica envolvendo os sinais dos números, a qual deverá respeitar uma regra conhecida como regra de sinal.
Essa regra pode ser descrita para as duas operações, tanto a divisão quanto a multiplicação, de dois números x e y reais:
Analisando todas as possibilidades dos sinais numéricos desses dois números em ambas operações, pode-se afirmar que a regra que vale para a multiplicação vale, também, para a divisão. Apresentando a regra do sinal para a multiplicação, tem-se:
A fim de exemplificar o funcionamento dessa regra de sinais, analisam-se os casos particulares das multiplicações. O primeiro caso apresentado aponta a multiplicação de dois números positivos, resultando em um outro número positivo. Portanto, considerando 2 e 3 como números reais, tem-se que:
Já o segundo e o terceiro caso apontam que a multiplicação de um número positivo por um negativo, ou um negativo por um positivo, resultam em um número negativo. Tomando x e y como -2 e 3, tem-se que:
Por fim, o último caso aponta que, caso os dois números forem números negativos, o resultado seria positivo. Tomando -2 e -3 como exemplo, tem-se que:
Ressalta-se, novamente, que essa regra de sinal é válida, do mesmo modo, para a operação de divisão. Portanto, basta apenas alterar a multiplicação por uma divisão que os mesmos casos serão válidos, resultando nos mesmos sinais supracitados.
FRAÇÕES, POTENCIAÇÃO E RADICAÇÃO
Tendo em vista as propriedades manipulativas apontadas, destacam-se aqui algumas regras operativas de determinados objetos matemáticos. São eles: as frações, as potências e as raízes. Cada um deles possuem determinadas técnicas manipulativas que devem ser conhecidas, com o objetivo de exercer a aplicação da matemática em diversos contextos.
As técnicas manipulativas envolvendo as frações podem ser divididas em quatro tipos, a saber:
1
1- Adição e subtração com denominadores iguais;
2- Adição e subtração com denominadores diferentes;
3- Multiplicação;
4- Divisão.
Eles serão apresentados em sua forma geral e, posteriormente, serão evidenciados exemplos de cada um deles. No primeiro caso (I), consideram-se três números x, y e z reais que representam as operações de adição e subtração a seguir:
Em ambos os casos, o denominador das frações (z) é igual. Nesses casos, basta somar ou subtrair os numeradores das frações, resultando em:
Para o segundo caso (II), consideram-se quatro números reais a, b, c e d, tendo em vista as seguintes operações:
No caso II, diferentemente do caso I, os denominadores das frações são diferentes (𝑏 ≠ 𝑑). Portanto, determinam-se os seguintes algoritmos para a efetuação do cálculo em cada um dos casos:
No terceiro caso (III), consideram-se, tal como no caso anterior, quatro números reais quaisquer a, b, c e d em que se deseja realizar a seguinte operação:
Para esse caso, em que se estuda multiplicação de frações, o algoritmo se dá de forma simplificada, apenas multiplicando os numeradores e denominadores entre si, dando origem a uma nova fração. Isso é sintetizado pela notação algébrica a seguir:
Para a realização dessa operação, deve-se apenas inverter a segunda fração e realizar uma multiplicação de frações. Em outras palavras, transforma-se uma divisão de frações em uma multiplicação e realiza-se o algoritmo do terceiro caso (III), tal como é descrito pela seguinte relação algébrica:
Tendo em vista a forma geral dos quatro tipos de manipulações algébricas de frações discutidos anteriormente, observe o Quadro 2, um resumo com exemplos de aplicações de cada um dos casos e que apresenta o tipo de manipulação, a operação a ser calculada e o exemplo a ela referente:
Os próximos elementos matemáticos a serem estudados referem-se a objetos matemáticos definidos por operações inversas. As frações, por exemplo, simbolizam divisões, que são operações inversas às multiplicações. Da mesma maneira, a operação matemática radiciação é inversa à potenciação e, portanto, raízes e potências são objetos matemáticos definidos em contextos opostos.
Isso posto, define-se uma raiz enésima de um número real a da seguinte forma:
O número real a é denominado de radicando, enquanto o número natural n recebe o nome de índice, e o número real x é denominado raiz. O índice n, dentro do contexto de estudo dessa disciplina, é definido da seguinte forma:
Apesar de ser maior do que zero e pertencer aos números naturais, o valor de n = 1 não define uma operação com raízes, uma vez que quando n = 1:
Feitas essas ressalvas,apresentam-se algumas regrais gerais e exemplos de cada um dos casos referentes à operação de radiciação. A primeira regra geral apresentada é definida algebricamente da seguinte forma:
Ela estabelece uma relação entre um expoente fracionário e o cálculo de uma raiz. Portanto, é possível escrever uma raiz quadrada de um número real a por meio de uma potência, mesmo que seja com expoente fracionário. Isso permite que sejam aplicadas regras de potenciação que serão vistas posteriormente. Assim sendo, um exemplo da aplicação dessa regra geral pode ser evidenciado por:
Essa regra enuncia que, ao se realizar uma radiciação sobre uma radiciação, os índices dos radicais devem ser multiplicados. A fim de esclarecer como se dá a aplicação dessa regra, observe o exemplo a seguir:
Por fim, outro caso geral refere-se à radiciação de uma razão, ou seja, calcular a raiz de uma fração. Tal como no produto dos termos, é possível transformar uma radiciação de uma razão em uma razão de radiciações, com raízes de um mesmo índice. Essa regra geral é apresentada algebricamente para a e b reais como:
A aplicação dessa regra geral é realizada pelo seguinte exemplo:
Tendo em vista as regras gerais e as definições apresentadas acerca da radiciação, o Quadro 3 apresenta uma síntese desses elementos:
Por fim, apresenta-se a operação definida como inversa à radiciação: a potenciação. A potenciação também é conhecida como exponenciação, e trata-se de uma operação que tem o intuito de simplificar a notação de múltiplos produtos. Em outras palavras, ela refere-se a uma notação que sintetiza um certo tipo de multiplicação.
A potenciação pode ser definida a partir da seguinte relação algébrica, onde a refere-se a um número real e n a um número natural:
Nessa representação notacional, denomina-se o número real a como a base da potenciação, enquanto n recebe o nome de expoente. Tendo em vista essa definição, enunciam-se algumas propriedades e regras para as operações algébricas que envolvem esse conceito. Uma das definições refere-se a quando o valor de n = 0. Para esse caso, tem-se que:
Quando o valor de n = 1, tem-se outro caso particular em que se define a relação da seguinte maneira:
Acerca das operações de divisão e multiplicação, estas separam-se em dois tipos, com base em seus expoentes e bases. O primeiro tipo refere-se a números que tenham o mesmo expoente, e o segundo tipo é relativo a números que tenham as mesmas bases. O primeiro tipo tem seu produto definido da seguinte maneira, sendo a e b reais:
Referente à divisão, tem-se:
Portanto, o produto de dois números que têm o mesmo expoente é igual ao produto de ambos elevado ao expoente. O mesmo ocorre para a divisão: pode-se pensar na potenciação como primeiro passo para a resolução algébrica ou efetua-se a divisão primeiro e, posteriormente, executa-se a operação de potenciação.
Um exemplo referente à multiplicação para esse caso é:
Referente à divisão para esses casos, tem-se que:
No segundo tipo de operação referente a números que tenham a mesma base, tem-se o produto definido da seguinte forma:
Referente à divisão desses números, tem-se:
Para os números de base igual e expoentes diferentes deve-se somar os expoentes, ao passo que na divisão deve-se subtraí-los. As situações a seguir exemplificam essas regrais gerais. Para a multiplicação, tem-se:
Para a divisão com os mesmos números:
Por fim, é possível realizar a operação de potenciação mais de uma vez em um mesmo número real. Tendo isso vista, verifica-se a seguinte regra para esse caso, tendo como base um número real a:
Um exemplo que elucida a aplicação dessa regra geral pode ser apresentado conforme a seguinte relação:
Tendo em vista as definições e regras apresentadas ao longo dessa subseção acerca da potenciação, observe o Quadro 4, que sintetiza as informações trabalhadas:
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Pergunta 1
1 ponto
As frações são ferramentas matemáticas importantes para o desenvolvimento da Matemática Aplicada. Elas podem servir, por exemplo, como instrumento comparativo entre dois valores. Quando o resultado de uma razão definida por uma fração é maior do que 1, afirma-se que o denominador é menor do que o numerador. Quando o contrário acontece, afirma-se que o denominador é maior ou igual ao numerador.
o denominador y dessa fração é maior do que o numerador x.
uma razão que de comparação entre essas variáveis é válida em qualquer contexto numérico.
o numerador x dessa fração é menor que o denominador y.
o resultado indica que as variáveis possuem valores numéricos iguais.
o resultado indica que as variáveis possuem grandezas diferentes.Parte inferior do formulárioParte superior do formulário
Pergunta 2
1 ponto
Desde os tempos mais remotos da sociedade, os filósofos antigos utilizavam a Lógica como ferramenta do entendimento acerca de questões relacionadas à verdade. Com o passar do tempo, a Lógica teve sua definição evoluindo, adquirindo contornos contemporâneos, porém, seu objeto de estudo, em grande parte dos casos, manteve-se como a racionalidade.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre introdução à Lógica, afirma-se que a Lógica estuda a racionalidade expressa em um determinado objeto porque:
a multiplicidade de expressão desse mesmo objeto interfere no entendimento acerca da lógica.
as estruturas lógicas expressas nesse objeto são as proposições compostas e os quantificadores.
a dedução é parte fundamental desse objeto, diferindo-se da indução e da abdução.
o objeto ao qual se refere o enunciado trata-se do argumento e as suas estruturas independem de inferências.
é nesse objeto, argumento, que estão os principais elementos lógicos de interesse de estudo.
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Pergunta 3
1 ponto
As proposições são a base fundamental para a constituição da lógica. É por meio desse objeto lógico que se definem estruturas e conceitos mais avançados. Existem tipos diferentes de proposições, tal como simples e compostas. Elas também se divergem quanto ao método de obtenção de cada uma, por exemplo, caso sejam proposições iniciais ou proposições finais.
A figura abaixo representa a estrutura de um objeto lógico definido com base em um conjunto de proposições:
MATM APLIC UNID 1 QUEST 4.PNG
Considerando essas informações e os estudos sobre introdução à lógica, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A representação “A” refere-se a um conjunto de proposições denominadas proposições compostas.
II. ( ) A representação “B” refere-se a um processo conhecido como associação.
III. ( ) A representação “C” refere-se a uma proposição denominada conclusão.
IV. ( ) A estrutura lógica supracitada refere-se ao objeto lógico conhecido como argumento.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, V, F.
F, F, V, V.
V, F, V, F.
V, F, F, V.
F, V, V, V.
Pergunta 4
1 ponto
A Lógica é denominada uma disciplina filosófico matemática que estuda a racionalidade expressa em argumentos. A Matemática utiliza a Lógica como ferramenta básica, sendo que a Lógica pode compreender a racionalidade expressa em argumentos matemáticos. Um argumento, seja ele matemático ou não, é composto por: premissas e conclusões. Deve-se conhecer o que são esses elementos, e como eles relacionam-se com aspectos matemáticos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre introdução à lógica, analise as afirmativas a seguir.
I. As premissas matemáticas são um conjunto de regras lógicas aplicadas a uma determinada proposição.
II. As conclusões são proposições que advêm das premissas.
III. O processo de obtenção de conclusões por meio das premissas é denominado inferência.
IV. As proposições iniciais de um argumento são chamadas de deduções.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e III.
II e IV.
II e III.
I e IV.
I e II.
Pergunta 5
1 ponto
Para ser possível a utilização da linguagem matemática como ferramenta relevante para a Matemática Aplicada, é necessárioque se domine as manipulações de certos objetos matemáticos, tais como potências, raízes e frações. Esse domínio manipulativo refere-se à possibilidade de resolução de certas expressões matemáticas que envolvam esses objetos supracitados.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre raízes, potências e frações, pode-se dizer que a expressão 35×31 pode ser reescrita como 36  porque:
MATM APLIC UNID 1 QUEST3.PNG
I
IV
III
V
II
Pergunta 6
1 ponto
MATM APLIC UNID 1 QUEST 17.PNG
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre potenciação, afirma-se que qualquer número com expoente zero é igual a 1 porque:
V
IV
III
I
II
Pergunta 7
1 ponto
Para que se possa aplicar a Matemática devidamente, deve-se ser capaz de se trabalhar com um de seus blocos construtores, um de seus conceitos básicos, a saber, o conceito de conjunto numérico. Existem diversos conjuntos numéricos e cada um deles representa um conjunto de números com determinadas características matemáticas. Segue abaixo a relação dos conjuntos estudados:
MATM APLIC UNID 1 QUEST 11.PNG
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre conjuntos, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O conjunto representado pela letra E refere-se ao conjunto que abarca todos os outros.
II. ( ) O conjunto representado pela letra C é construído por meio do conjunto da letra B.
III. ( ) O conjunto descrito pela letra C refere-se ao conjunto dos números irracionais.
IV. ( ) O conjunto representado pela letra A refere-se ao conjunto dos números reais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, V.
F, V, V, F.
V, V, V, F.
V, V, F, F.
V, F, V, V.
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Pergunta 8
1 ponto
MATM APLIC UNID 1 QUEST 18.PNG
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de radiciação e potenciação, afirma-se que a radiciação é a operação inversa da potenciação porque:
III
V
I
II
IV
Pergunta 9
1 ponto
Os conjuntos numéricos, na matemática, definem o contexto de inúmeros objetos algébricos. Uma função ou expressão, por exemplo, pode ser válida de uma determinada maneira no conjunto dos números reais e não ser válida no conjunto dos inteiros. Esses conjuntos, porém, possuem similaridades representativas, por exemplo, no caso das retas numéricas dos reais e inteiros, representados pela mesma figura abaixo:
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre retas numéricas, analise as afirmativas a seguir.
I. Existe o mesmo número de elementos na reta numérica dos reais e dos inteiros.
II. A reta numérica dos números inteiros possui “buracos” entre os números que a compõem.
III. A reta numérica dos números reais possui “buracos” entre os números que a compõem.
IV. Os números representados pelos inteiros são racionais.
Está correto apenas o que se afirma em:
III e IV.
I e IV.
I e II.
I, II e IV.
II e IV.
Pergunta 10
1 ponto
Os conjuntos numéricos são de extrema relevância para o estudo algébrico, uma vez que definem o contexto matemático no qual valem as expressões e operações matemáticas. Portanto, é fundamental que se identifique a qual conjunto numérico um número pode pertencer. Entre os conjuntos estudados estão os números naturais (ℕ), os números inteiros (ℤ), os racionais (ℚ), os irracionais (ℙ) e os reais (ℝ).
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre conjuntos numéricos, analise as afirmativas a seguir:
Está correto apenas o que se afirma em:
I e III.
II e IV.
I, II e IV.
I e IV.
I e II.
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