Estatística I - usp

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ESTATÍSTICA
Amanda M. Eudes D’Andrea Juliana Cobre Mariana Cúri
1. APRESENTAÇÃO
1.1
eDisciplinas
https://edisciplinas.usp.br
https://edisciplinas.usp.br/acessar/
1. Ementa da disciplina
2. Plano de aulas
3. Monitoria
4. Controle de presença (quizzes)
5. Datas das avaliações
6. Referências bibliográficas
7. Slides e links para as videoaulas
8. Listas de exercícios
9. Links para as avaliações
1.2
Motivação
Pergunta de interesse
População
Amostra
Planejamento
O que avaliar:
- quem: UNIDADES AMOSTRAIS 
(samples/objetos)
- o que: VARIÁVEIS (atributos)
- quando: MOMENTOS / CONDIÇÕES de 
avaliação
A
n
álise D
escritiva
Análise I
nferenci
al
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e na Teo
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des)
BayesianaClássica
4
2
5
3
https://paises.ibge.gov.br/#/mapa/comparar/brasil?lan
g=pt
20,37%
15,61%
14,82%
4,73%
10,45%
12,38%
Fonte: https://www.worldometers.info/coronavirus/
A Estatística está em nosso dia a dia
https://paises.ibge.gov.br/#/mapa/comparar/brasil?lang=pt
https://paises.ibge.gov.br/#/mapa/comparar/brasil?lang=pt
https://www.worldometers.info/coronavirus/
Representações sofisticadas
Fonte: https://www.arcgis.com/apps/opsdashboard/index.html#/bda7594740fd40299423467b48e9ecf6
https://www.arcgis.com/apps/opsdashboard/index.html#/bda7594740fd40299423467b48e9ecf6
Em diversas áreas
Fonte: 
https://www.who.int/growthref/cht_wfa_girls_perc_5_10years.pdf?ua=1
Intervalo: 3:15 a 4:00
Fonte: 
https://www.youtube.com/watch?v=u7E1v24Dllk&t=1142s
“Normal distribution of temperatures”
“Statistically significant” 
https://www.who.int/growthref/cht_wfa_girls_perc_5_10years.pdf?ua=1
http://www.youtube.com/watch?v=u7E1v24Dllk
https://www.youtube.com/watch?v=u7E1v24Dllk&t=1142s
Cuidados com conclusões equivocadas
Fonte: 
Fonte: 
https://www.tylervigen.com/spurious-correlations
https://www.tylervigen.com/spurious-correlations
Manipulações?
Screen grab of chart showing unemployment rate under President Obama. (Fox News)
Fonte: https://www.washingtonpost.com/blogs/erik-wemple/post/fox-newss-unemployment-chart-better-graphics/2011/12/12/gIQAUVgNqO_blog.html
https://www.washingtonpost.com/blogs/erik-wemple/post/fox-newss-unemployment-chart-better-graphics/2011/12/12/gIQAUVgNqO_blog.html
Erros de aplicações da Estatística
Fonte: https://plus.maths.org/content/beyond-reasonable-doubt
https://plus.maths.org/content/beyond-reasonable-doubt
Sally Clark, advogada, 1964-2007
● condenada pelo assassinato dos dois filhos lactentes em 1999-2000
● testemunho de Roy Meadow: ‘uma morte súbita na infância é uma 
tragédia para a família, duas são suspeitas e três são assassínio a 
menos que existam provas em contrário’
● evidência estatística falha: ‘a probabilidade de dois lactentes de uma 
família abastada vir a óbito por morte súbita é 1 em 73 milhões
≅ (1/8500)2
● Libertada após 3 anos: evidências de infecção no líquor do 2º filho
os 2 eventos foram considerados independentes!!!!!
Estatística
● aplicada em muitas áreas
Statistical Significance Series da ASA (American Statistical Association)
https://www.amstat.org/ASA/Science-Policy-and-Advocacy/Statistical-Significance-Series.aspx
● conhecimento das metodologias disponíveis
● melhores resultados: conhecimentos em ambas as áreas 
(individual e/ou equipe)
● uso de softwares: R, SAS, SPSS, Minitab, Python, …
https://www.amstat.org/ASA/Science-Policy-and-Advocacy/Statistical-Significance-Series.aspx
2. PROBABILIDADES
2.1
CONCEITOS 
BÁSICOS
“... A tal senhora do título dizia que o gosto do chá fica diferente 
se alguém põe antes o leite na xícara e depois derrama o chá, 
ou se alguém põe antes o chá e depois derrama o leite. 
Ouvindo isso, naquela tarde de verão em Cambridge, Ronald Aymler 
Fisher propôs que se testasse a proposição: oferecer diferentes 
xícaras de chá com leite àquela senhora, convenientemente vendados 
os seus olhos, e verificar se ela era capaz de acertar a ordem da 
mistura.”
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Um experimento cujo resultado não se 
prevê com certeza, mesmo se repetido nas 
mesmas condições. 
chá
leite
leite
chá
Oferecer uma xícara de chá com leite à senhora e verificar se ela acerta 
ou não a ordem da preparação.
Desenho do Experimento
- sorteia-se um dos 2 tratamentos (tipos de preparo)
- olhos vendados
- repete-se 4 vezes o experimento
Ω = {acerta, erra}
A = {acerta}
ESPAÇO AMOSTRAL (Ω)
Conjunto cujos elementos são todos os 
possíveis resultados do experimento. 
Pode ser discreto (finito ou infinito 
enumerável) ou contínuo. 
EVENTO (A, B, ...)
Qualquer subconjunto de Ω. 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
A e B são dois eventos mutuamente 
exclusivos se não têm intersecção:
A ∩ B = ∅ 
chá
leite
leite
chá
Ω = {acerta, erra}
A = {acerta}
B = {erra}
Neste caso, como B = Ac, A e B também são complementares
A e B são 
mutuamente exclusivos
EVENTOS COMPLEMENTARES
A e B são dois eventos complementares se 
não têm intersecção e se sua união 
formam o espaço amostral:
A ∩ B = ∅ e A ∪ B = Ω 
https://www.facebook.com/203247256523779/videos/418521009057984
Fonte: g1.globo.com
Número de veículos que passam 
por uma praça de pedágio durante 
um certo intervalo: Ω = {0, 1, 2, ...}
https://www.facebook.com/203247256523779/videos/418521009057984
EXEMPLO DE ESPAÇO AMOSTRAL CONTÍNUO
Espaço amostral
(Hemoglobina)
Ω = 
A = [12; 16,5]
B = [11; 13]
C = [13,5; 18]
eventos mutuamente 
exclusivos
B ∩ C = ∅
Encontrar os valores de referência de normalidade para exames 
laboratoriais de hemograma da população brasileira.
Desenho do Experimento
- amostra de brasileiros sem doenças prévias
- limites estratificados por sexo, faixa etária
- 24h sem exercício físico e 48h sem álcool
Fonte: Wikipedia: https://pt.wikipedia.org/wiki/Hemograma
A
B
C
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hemograma
2.2
OPERAÇÕES 
COM EVENTOS
Ω
DIAGRAMA DE VENN
A BC
União: A ∪ B 
Intersecção: A ∩ B 
Mutuamente exclusivos 
ou disjuntos: B ∩ C = ∅
Complementares: 
A ∩ Ac = ∅ e A ∪ Ac = Ω 
Ω
PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL
A B
C
A, B e C formam uma 
partição de Ω se forem 
mutuamente exclusivos e 
se (A∪B∪C)=Ω 
LEIS DE DEMORGAN
2.3
DEFINIÇÕES DE 
PROBABILIDADE
DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE
Se os elementos de Ω são equiprováveis e 
mutuamente exclusivos, a probabilidade 
de um evento A (subconjunto de Ω) é: 
#: número de elementos no conjunto
- mesma quantidade de chá e de leite nos 2 tratamentos
- xícara com camada dupla para isolamento térmico
QUANTO SE ESPERA DE ACERTO AO ACASO?
ao acaso: P(acerto)=0,5
Ω = {acertar, errar}
A = {acertar}
P(A) = ½ ?
Apenas se P(acertar)=P(errar)
Lançamento de dois dados balanceados. Calcular a probabilidade de:
a) se obter soma das faces igual a 7
b) se obter soma maior do que 5
c) que o resultado do primeiro dado seja maior do que o resultado do 
segundo.
EXERCÍCIO
OUTRA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
Frequência relativa de vezes que ocorre o 
evento A em infinitas repetições do 
experimento: 
P(A) = lim nº de vezes que ocorre A
 n → n
ao acaso: P(acerto)=0,5
Se A1, A2, … são mutuamente exclusivos: 
AXIOMAS DA PROBABILIDADE
PROPRIEDADES DE PROBABILIDADE
Se , então 
Se , então 
Se , então 
Ω
P(A∪B∪C) 
=
A B
C x
x
x x
x
-x
P(A)
+P(B)
+P(C)
-P(A∩B)
-P(A∩C)
-P(B∩C)
+P(A∩B∩C)
2.4
PROBABILIDADE 
CONDICIONAL
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Se A e B ⊆ Ω, eventos, a probabilidade 
condicional de A dado que ocorreu B é: 
P(A|B) = P(A ∩ B) , se P(B)>0.
P(B)
Note que: P(A ∩ B) = P(A|B).P(B)
A fração de vezes que A ocorre dentre 
aquelas que B ocorre
P(A|B) P( ∙ |B) satifaz os axiomas da probabilidade:
❖ 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, ∀ A ⊂ Ω
❖ P(Ω|B) = 1
❖ Se A1, A2, … são mutuamente exclusivos:
P(∪ Ai|B)= ∑ P(Ai|B)i=1 i=1
nn
A fração de vezes que A ocorre dentre 
aquelas que B ocorre
P(A|B) P( ∙ |B) satifaz as propriedades:
❖ P(∅|B) = 0 
❖ Se A ⊂ Ω, P(A
c|B) = 1- P(A|B)
❖ Se A,C ⊂Ω, então:
P(A∪C|B) = P(A|B) + P(C|B) - P(A∩C|B)
Exemplo 1: 
No lançamento de dois dados.
A: sair 6 no primeiro
B: sair 6 no segundo
B interfere em A?
P(A) x P(A | B)
Exemplo 2: 
Na população de mulheres em idade 
fértil.
A: atraso menstrual
B: estar grávida
EXPERIMENTO SENHORA TOMA CHÁ
◸ 4 xícaras de chá: 2 leite+chá e 2 chá+leite
◸ escolhe-se aleatoriamente a xícara a ser oferecida em cada prova
◸ a cada xícara que ela prova, revela-se qual a ordem de 
preparação usada, após ela emitir sua opinião
◸ suponha que a senhora não consegue distingui-las pelo paladar
◸ a senhora usa seu conhecimento prévio do experimento e seus 
conhecimentos de probabilidade para dar o próximo palpite
Probabilidade condicional: árvore de probabilidades
Chá
Leite
Chá
Leite
Chá
Leite
Chá
Leite
Chá
Leite
Chá
Leite
Chá
Leite
Leite
Leite
Chá
Leite
Chá
Chá
0,5
0,5
1/3
2/3
2/3
1/3
0
1 1
0,5
0,5
1
1
0,5
0,5
1
1
1
1
0
P(C1C2L3L4) = P(C1).P(C2|C1).P(L3|C1∩C2).P(L4|C1∩C2∩L3)
P(C1L2C3L4) = 0,5 . 0,67 . 0,5. 1 = 0,167
P(C1L2L3C4) = 0,5 . 0,67 . 0,5 . 1 = 0,167
P(L1C2C3L4) = 0,5 . 0,67 . 0,5 . 1 = 0,167
P(L1C2L3C4) = 0,5 . 0,67 . 0,5 . 1 = 0,167
P(L1L2C3C4) = 0,5 . 0,33 . 1 . 1 = 0,167
Total = 1: soma de eventos mutuamente exclusivos 
que formam uma partição de Ω
ORDEM DE OFERECIMENTO DAS XÍCARAS
P(C1)
P(L1)
P(C2|C1)
P(L2|C1)
P(L2|L1)
P(C2|L1)
P(C3|C1∩C2)
P(L3|C1∩C2)
Qual a probabilidade de ela acertar as 4 xícaras?
Partição: (C1C2L3L4), (C1L2C3L4), (C1L2L3C4), (L1C2C3L4), (L1C2L3C4), (L1L2C3C4)
Ω
A
evento A: acertar as 4 xícaras
 P(A) = P(A ∩ (C1C2L3L4)) + P(A ∩ (C1L2C3L4)) + P(A ∩ (C1L2L3C4)) +
P(A ∩ (L1C2C3L4)) + P(A ∩ (L1C2L3C4)) + P(A ∩ (L1L2C3C4))
= 0 + 0,0417 + 0,0417 + 0,0417 + 0,0417 + 0 = 16,68% 
FÓRMULA DA PROBABILIDADE TOTAL
Se (B1,B2,B3, … , Bk) uma partição de Ω e A ⊆ Ω, então:
P(A) = P(B1) . P(A|B1) + P(B2) . P(A|B2) + … + P(Bk) . 
P(A|Bk)
FÓRMULA DE BAYES
Se (B1,B2,B3, … , Bk) uma partição de Ω e A ⊆ Ω, então:
Chá
Leite
Chá
Leite
Chá
Leite
Chá
Leite
Chá
Leite
Chá
Leite
Chá
Leite
Leite
Leite
Chá
Leite
Chá
Chá
0,5
0,5
1/3
2/3
2/3
1/3
0
1 1
0,5
0,5
1
1
0,5
0,5
1
1
1
1
0
P(C1C2L3L4) = 0,167
P(C1L2C3L4) = 0,167
P(C1L2L3C4) = 0,167
P(L1C2C3L4) = 0,167
P(L1C2L3C4) = 0,167
P(L1L2C3C4) = 0,167
Exp. 1 
acerta
erra
Exp. 2 
acerta
erra
Exp. 3
acerta
erra
Exp. 4
acerta
Estratégia 
da senhora: 
escolhe a 
preparação 
com maior 
probabilidad
e de ocorrer
“Árvore” de probabilidades
 P(A) = P(A ∩ (C1C2L3L4)) + P(A ∩ (C1L2C3L4)) + P(A ∩ (C1L2L3C4)) +
P(A ∩ (L1C2C3L4)) + P(A ∩ (L1C2L3C4)) + P(A ∩ (L1L2C3C4))
= 0 + 0,0417 + 0,0417 + 0,0417 + 0,0417 + 0 = 16,68% 
Exemplo: seguradora
Uma seguradora oferece apólices anuais a seus clientes 
classificando-os em dois grupos: aqueles propensos a acidentes, que 
correspondem a 45% de sua carteira de clientes, e aqueles não 
propensos a acidentes, correspondendo aos 55% restantes. Acidentes 
ocorrem com uma probabilidade de 12% no grupo propenso a 
acidentes e 8% no não propenso.
(i) Se um novo cliente chega para contratar o serviço, qual a 
probabilidade de ele ter um acidente dentro da apólice vigente?
(ii) Dado que houve um acidente, qual a probabilidade de que tenha 
sido com um cliente do grupo não propenso a acidentes?
Respostas: (i) 0,098 (ii) 0,45
Exemplo: seguradora
2.5
INDEPENDÊNCIA
EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos A e B em Ω são independentes se a 
informação da ocorrência ou não de B não altera a 
probabilidade de ocorrência de A.
P(A|B) = P(A), em que P(B)>0
Independência
Pode ser assumida ou verificada por uma das condições:
➢ P(A|B) = P(A), em que P(B)>0
➢ P(B|A) = P(B), em que P(A)>0
➢ P(A ∩ B) = P(A). P(B)
Consequências, se A e B são independentes:
Ac e B são independentes
Ac e Bc são independentes
A e Bc são independentes
Senhora toma chá
Sob que condições é razoável supor independência entre os acertos?
Ai: a senhora acerta a ordem de preparo da xícara i, para i=1, 2, 3 e 4
◸ 4 xícaras de chá: 2 leite+chá e 2 chá+leite
◸ escolhe-se aleatoriamente a xícara a ser oferecida em cada prova
◸ a cada xícara que ela prova, revela-se qual a ordem de 
preparação usada, após ela emitir sua opinião
◸ suponha que a senhora não consegue distingui-las pelo paladar
◸ a senhora usa seu conhecimento prévio do experimento e seus 
conhecimentos de probabilidade para dar o próximo palpite
Senhora toma chá
➢ Sob a condição de independência de Ai’s
➢ Seja p a probabilidade de acertar a ordem de preparo de cada xícara
➢ Errar a primeira e acertar as demais:
P(A1
c ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) = P(A1
c) . P(A2) . P(A3) . P(A4) = (1-p).p
3
➢ Acertar 3 ou mais ao acaso (p=0,5):
P(A1
cA2A3A4) + P(A1A2
cA3A4) + P(A1A2A3
cA4) + P(A1A2A3A4
c) + P(A1A2A3A4) 
= 4 . (0,5)3 . (0,5)1 + (0,5)4 = 0,25 + 0,0625 = 31,25%
Exemplo
Um atirador acerta 80% de seus disparos e outro (nas mesmas 
condições de tiro), 70%. Qual a probabilidade de o alvo ser 
acertado se ambos os atiradores disparam simultaneamente?
Bi :"o atirador acerta o alvo", i =1,2
P(B1)=0,8
P(B2)=0,7
P(B1∪B2) = P(B1) + P(B2) - P(B1∩B2) = P(B1) + P(B2) - P(B1).P(B2)
= 0,8 + 0,7 - 0,8.0,7 = 0,94
sob independência
Exercício: Paradoxo de Monty Hall
Quebrando a banca (2008)
1: 18 expõe o problema
Esclareça o raciocínio 
matemático usando 
probabilidade condicional e 
definindo os eventos 
pertinentes.
http://www.youtube.com/watch?v=ryBVlEzt8Lk
VARIÁVEIS 
ALEATÓRIAS
2.6
VARIÁVEL ALEATÓRIA (X)
Função que associa um valor real a cada 
elemento de Ω. Pode ser discreta (Ω é finito ou 
enumerável) ou contínua (Ω é infinito não 
enumerável).
Ω
Exemplos de variáveis aleatórias
X: resposta da senhora sobre a ordem de preparo da bebida
x = 0, 1
X = 
0, se erra a ordem de preparo
1, se acerta a ordem de preparo
maiúscula: variável aleatória (v.a.)
minúscula: valores que a v.a. assumeX é uma v.a. discreta
Exemplos de variáveis aleatórias
Y: número de acertos da senhora sobre a ordem de preparo da 
bebida nas 4 repetições do experimento
y = 0, 1, 2, 3, 4
Y é uma v.a. discreta
T: número de veículos que passam por uma praça de pedágio 
durante um certo intervalo de tempo
t = 0, 1, 2, ...
T é uma v.a. discreta
H: níveis de hemoglobina no sangue (g/100ml)
h ∊ 𝓡+
H é uma v.a. contínua
Eventos x V.A.
no caso de acerto ao acaso
Ai: a senhora acerta a ordem de preparo da xícara i, para i=1, 2, 3, 4
Y: número de acertos da senhora sobre a ordem de preparo
A1
cA2
cA3
cA4
c
A1A2
cA3
cA4
c
A1
cA2A3
cA4
c
A1
cA2
cA3A4
c
A1
cA2
cA3
cA4
A1A2A3
cA4
c
A1A2
cA3A4
c
A1A2
cA3
cA4
A1
cA2A3A4
c
A1
cA2A3
cA4
A1
cA2
cA3A4
A1
cA2A3A4
A1A2
cA3A4
A1A2A3
cA4
A1A2A3A4
c
A1A2A3A4
Y=0
Y=1
Y=2
Y=3
Y=4
Eventos x V.A.
P(A1
cA2
cA3
cA4
c)=0,54
P(A1A2
cA3
cA4
c)=0,510,5
3
P(A1
cA2A3
cA4
c)=0,54
P(A1
cA2
cA3A4
c)=0,54
P(A1
cA2
cA3
cA4)=0,5
4
P(A1A2A3
cA4
c)=0,54
P(A1A2
cA3A4
c)=0,54
P(A1A2
cA3
cA4)=0,5
4
P(A1
cA2A3A4
c)=0,54
P(A1
cA2A3
cA4)=0,5
4
P(A1
cA2
cA3A4)=0,5
4
P(A1
cA2A3A4)=0,5
4
P(A1A2
cA3A4)=0,5
4
P(A1A2A3
cA4)=0,5
4
P(A1A2A3A4
c)=0,54
P(A1A2A3A4)=0,5
4
P(Y=0) = 0,54
P(Y=1) = 4.0,54
P(Y=2) = 6.0,54
P(Y=3) = 4.0,54
P(Y=4) = 0,54
função de probabilidade de Y
(ou função massa de probabilidade)
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
Se X é uma v.a. discreta com possíveis valores no 
conjunto RX. Uma função f(x) é uma função de 
probabilidade (fp) se:
função de distribuição acumulada
Qual a probabilidade de acertar 3 ou mais xícaras ao acaso?
P(Y≥3) = P(Y=3) + P(Y=4) = 0,3125
y 0 1 2 3 4
f(y) 0.0625 0.25 0.375 0.25 0.0625
Quantas xícaras é esperado (em média) que ela acerte ao acaso?
E(Y) = 2
Qual a probabilidade de ela acertar menos do que o esperado?
P(Y<2) = P(Y=0) + P(Y=1) = 0,3125
P(Y≤2) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) = 0,6875
esperança
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
Se X é uma v.a. discreta com possíveis valores no 
conjunto RX e função de probabilidade f(x),a 
função de distribuição acumulada (fda) de X é:
y 0 1 2 3 4
f(y) 0.0625 0.25 0.375 0.25 0.0625
y 0 1 2 3 4
F(y) 0.0625 0.3125 0.6875 0.9375 1
+ = + = + =+ =
Propriedades 
de F(x)
ESPERANÇA OU VALOR ESPERADO
Se X é uma v.a. discreta, seu valor esperado é 
dado por:
No caso de dependência 
(sabe-se que são 2 de cada tipo e revela-se qual 
bebida provou, após cada resposta da senhora)
E(Y)=2,8
No caso de independência e acerto ao acaso
Y: número de acertos
y = 0, 1, 2, 3, 4
P(Y=0) = (1-0,5)4= 0,0625
P(Y=1) = 4. 0,51.(1-0,5)3 = 0,25
P(Y=2) = 6. 0,52.(1-0,5)2 = 0,375
P(Y=3) =0,25
P(Y=4) = 0,0625 
= 0 . 0,0625 + 1 . 0,25 + 2 . 0,375 + 3 . 0,25 + 4 . 0,0625 = 2
ESPERANÇA DE FUNÇAO DE UMA V.A.
Se Y = h(X), o valor esperado de Y é: 
em que f(x) é a função de probabilidade de X.
VARIÂNCIA
A variância de uma v.a. X é dada por:
V(X) é também denotada por 
+
+
Fórmula alternativa para a variância
No caso de independência e acerto ao acaso
Y: número de acertos
y = 0, 1, 2, 3, 4
P(Y=0) = 0,0625
P(Y=1) = 0,25
P(Y=2) = 0,375
P(Y=3) =0,25
P(Y=4) = 0,0625
 V(Y) = E(Y2) - E2(Y) = 
 = 0x0,0625 + 1x0,25 + 4x0,375 + 9x0,25 + 16x0,0625 - 4
= 1
USE A OUTRA FÓRMULA E CHEGUE AO MESMO RESULTADO!
Propriedades da Esperança e da Variância
Se X e Y são variáveis aleatórias e a e b são números reais:
◸ E(a)=a
◸ E(aX ± b) = aE(X) ± b
◸ E(aX ± bY) = aE(X) ± bE(Y)
◸ V(a)=0
◸ V(aX)=a2V(X)
◸ Se X e Y são independentes, então: V(aX ± bY) = a2V(X) + b2V(Y)
Se X é uma v.a. cóntínua
Definições de função de densidade de probabilidade, (fdp), acumulada, esperança e variância análogas às 
apresentadas para variáveis discretas, com ∑ substituído por ⟆. 
Função densidade de probabilidade: 
Função de distribuição acumulada:
do teorema fundamental de Cálculo:
Note que P(X=a)=0
Se X é uma v.a. cóntínua
Definições de função de distribuição (densidade) de probabilidade, acumulada, esperança e variância análogas às 
apresentadas para variáveis discretas, com ∑ substituído por ⟆. 
Exemplo: distribuição contínua
Suponha X uma v.a. com a seguinte fdp, chamada Uniforme(0,1):
Ideia intuitiva da distribuição é escolher um ponto aleatório em (0,1).
0 1
=
Exemplo: distribuição contínua
(i) Qual a probabilidade de X<0,1?
ou
(ii) Qual a esperança e a variância de X?
média teórica (calculada com a função de distribuição de probabilidade de X)
DISTRIBUIÇÕES 
DISCRETAS
2.7
Na prática
Supõe-se que a variável de interesse, X, segue determinada distribuição de 
probabilidades na população, ou seja, define-se o modelo probabilístico.
Binomial (4; ½)?Normal (μ; σ2)?
Na prática
George Box (1919-2013)
Academic Press, 1979
Modelos discretos
Modelos discretos: Bernoulli
Um experimento que resulta em sucesso ou fracasso
Exs:
● transmissão de dados com ou sem erro
● peça com ou sem defeito de uma linha de produção
● resultado + ou - de um exame para COVID-19
● tirar 6 ou outro valor no lançamento de um dado
● acertar ou errar um lance livre no basquete
X ~ Bernoulli (p):
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Fam%C3%ADlia_Bernoulli
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fam%C3%ADlia_Bernoulli
Modelos discretos: Binomial
X1= x1= 0 ou 1
X2= x2= 0 ou 1
X3 = x3= 0 ou 1
X4 = x4= 0 ou 1
…
Xn = xn= 0 ou 1
X1 ~ Bernoulli (p)
X2 ~ Bernoulli (p)
X3~ Bernoulli (p)
Xn~ Bernoulli (p)
independentes
~ Binomial(n,p)
Y: nº de sucessos em n 
repetições independentes do 
experimento Bernoulli (p)
Problema: contratar um jogador para uma posição num time de basquete;
bom potencial de arremesso
Tradução: alta probabilidade de acertar um arremesso (prob p de sucesso)
XLo ~ Bernoulli (pLo)
YLo ~ Binomial (n=5,pLo)
http://www.espn.in/video/clip?id=28146919
YMJ ~ Binomial (n=5,pMJ)
n=10, 20?
YKB ~ Binomial (n=5,pKB)
n=100?
https://docs.google.com/file/d/1GgPaRWwiAn7UYW96oxbnnJ_lX1B4kypc/preview
Modelos discretos: Geométrica
X: nº de repetições de Bernoulli’s (p, indep.) até a ocorrência do 1º sucesso
X ~ Geométrica(p)
Outra definição: nº de repetições que antecedem o 1º sucesso
1º sucesso
x-1 fracassos
1º sucesso
x fracassos
Modelos discretos: Binomial Negativa
X: nº de repetições de Bernoulli’s (p, indep.) até a ocorrência do kº sucesso, k≥1
X ~ Binomial Negativa(k,p)
kº sucesso
x-1 experimentos,
sendo k-1 sucessos
Modelos discretos: exemplo 1
Suponha que seu filho adora jogar basquete e que erra 3 arremessos a cada 10. Como ele 
sempre pede para ficar mais um pouco jogando antes de ir embora, você pensa responder 
sempre da mesma forma, para ser consistente. Entre as duas opções seguintes:
1) Mais 5 lances livres e vamos embora
2) Apenas lances livres e vamos embora quando você errar
Qual é a estratégia que permite que ele jogue mais, em média?
Modelos discretos: exemplo 1
Modelos discretos: Hipergeométrica
X nº de sucessos em uma amostra de tamanho n (sem reposição) de uma 
população finita, de tamanho N, que contém k sucessos (k,n≤N).
X ~ Hipergeométrica(N,n,k)
k N-k
n
x n-x
Modelos discretos: Hipergeométrica
X nº de sucessos em uma amostra de tamanho n (sem reposição) de uma 
população finita, de tamanho N, que contém k sucessos (k,n≤N).
X ~ Hipergeométrica(N,n,k)
k N-k
n
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Modelos discretos: Hipergeométrica
X nº de sucessos em uma amostra de tamanho n (sem reposição) de uma 
população finita, de tamanho N, que contém k sucessos (k,n≤N).
X ~ Hipergeométrica(N,n,k)
k N-k
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Modelos discretos: Hipergeométrica
fator de correção para população finita
Modelos discretos: exemplo 2
Processo de captura e recaptura para estimar tamanho populacional
Captura
k animais marcados
Recaptura
n animais
x são marcados
Qual o N?
k N-k
n
x n-x
https://www.tamar.org.br/noticia1.php?cod=830
http://www.youtube.com/watch?v=2qJNWtbRCTQ
https://www.tamar.org.br/noticia1.php?cod=830
Modelos discretos: Poisson
Exemplo: indústria de peças automobilísticas
● fabrica n peças por dia
● probabilidade p da fabricação gerar uma peça defeituosa
● X: número de peças fabricadas com defeito no dia
● Se p é constante e as peças são com ou sem defeito de forma independente, 
então:
X ~ Binomial (n,p) e E(X) = np = λ
Modelos discretos: Poisson
Se n ↑ e p ↓ tal que E(X) = np = λ se mantém constante, então:
∴ X ~ Poisson(λ)
Seja X o número de fissuras em um fio de cobre de 1m de comprimento, com um 
número médio de fissuras igual a λ:
● particionando o comprimento do fio em (n, ↑) subintervalos bem pequenos, t.q.
● a probabilidade de um subintervalo ter mais de uma fissura é 0 (desprezível),
● os subintervalos têm mesma probabilidade, p=λ/n, (↓) de apresentar uma 
fissura, proporcional ao comprimento do subintervalo, e
● os subintervalos apresentam ou não uma fissura de forma independente,
então X ~ Poisson(λ)
Processo de Poisson
Modelos discretos: exemplo 3
A avaliação final de um curso à distância consta de uma prova com 10 questões de 
múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas de resposta. Aprovação no curso 
requer pelo menos 6 questões corretas. 
a) Se um aluno responde a todas as questões baseado em palpite (“chute”), qual a 
probabilidade de ser aprovado?
b) O curso, a cada ano de oferecimento, tem 200 alunos matriculados. Qual é o 
número médio de alunos sem nenhum conhecimento que são aprovados no 
curso? Use a aproximação pela Poisson.
c) Qual é a probabilidade de que esse curso tenha no máximo 2 alunos sem 
nenhum conhecimento aprovados em dois anos de seu oferecimento?
Modelos discretos: exemplo 3
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3. Planejamento estatístico 
3.1
CONCEITOS 
BÁSICOS
Arte de torturar os dados até 
obter os resultados esperados!
O que é estatística?
A estatística é uma ciência que se preocupa com a 
coleta, organização, simplificação, análise e 
interpretação dos dados, assim como tirar 
conclusões sobre as características das fontes de 
onde estes foram retirados, para melhor 
compreender as situações.
Conjunto de dados
Um conjunto de dados estatísticos consiste de uma 
ou mais medidas, escores ou valores observados 
(coletados) de certo número de indivíduos, animais, 
objetos, ensaios, experimentos, etc.
Variável:
Variável é a característica de interesse que é 
medida em cada elemento da amostra ou 
população, é aquilo que se deseja observar para 
tirar algumas conclusões. Como o nome diz, seus 
valores variam de elemento para elemento.
Tipos de variáveis
VARIÁVEL
Qualitativa
Quantitativa
Nominal
Ordinal
Discreta
Contínua
tem como característica categorias ou classes.
Variável qualitativa:
Nominal:
Apenas identifica um 
atributo à unidade 
observacional sem qualquer 
outra propriedade.
Ex: região de procedência, 
cor dos olhos.
Ordinal:
Identifica um atributo que 
estabelece uma estrutura de 
ordem nas unidades de 
observação.
Ex: nível de escolaridade, 
classe social.
pode ser medida em uma escala quantitativa, ou seja, 
apresenta valores numéricos que fazem sentido.
Variável quantitativa:
Discreta:
Pode assumir um conjunto 
finito ou enumerável de 
valores.
Ex: número de filhos, 
quantidade de televisoresna 
residência.
Contínua:
Pode assumir infinitos 
valores num intervalo de 
números reais.
Ex: peso, altura.
População e amostra
◸ Problema típico de estatística aplicada: conhecer certas características dos 
elementos de uma população, com base nos dados de uma amostra.
◸ Chamamos de população o conjunto de elementos que formam o universo de nosso 
estudo e que são passíveis de serem observados. Uma parte destes elementos é dita 
uma amostra.
◸ N: tamanho da população.
◸ n: tamanho da amostra.
◸ Censo: coleta de dados realizada com toda a população.
◸ Amostragem: coleta de dados realizada com uma parte da população.
Tipos de levantamento
◸ Estudos Retrospectivos: os dados são obtidos a partir de uma coleta de 
informações históricas relacionadas ao problema investigado.
◸ Estudos Observacionais: as características da população são observadas ou 
medidas sem que se faça manipulação
◸ Experimentos Planejados: as características da população são observadas ou 
medidas por pesquisadores que manipulam os dados para avaliar o efeito de 
diferentes tratamentos.
Amostragem
Nas pesquisas científicas, em que se deseja conhecer algumas características da população, 
essas características chamamos de parâmetros.
Podemos observar apenas uma amostra de seus elementos e, com base nos resultados da 
amostra, obter valores aproximados, ou estimativas, para os parâmetros de interesse. Esse 
tipo de pesquisa é usualmente chamada de levantamento por amostragem.
O uso apropriado dos dados de uma amostra para se ter conhecimento sobre parâmetros 
da população onde foi extraída a amostra é chamado de inferência.
Exemplos: proporção de pessoas contaminadas por uma doença, tempo médio de serviço 
de funcionários de uma empresa.
Plano de Amostragem
Para elaborar um plano de amostragem, devemos ter bem definidos:
◸ os objetivos da pesquisa, 
◸ a população a ser amostrada, 
◸ os parâmetros que precisamos estimar para atingir os objetivos da pesquisa,
◸ a unidade de amostragem, 
◸ a forma de seleção dos elementos da população e 
◸ o tamanho da amostra.
Unidade de amostragem pode ser os próprios elementos da população ou outras 
unidades que sejam mais fáceis de serem selecionadas, mas que tenham 
correspondência com os elementos da população.
Características importantes para o sucesso da pesquisa 
por amostragem
◸ Representatividade: a amostra precisa conter todas as subdivisões da 
população, 
◸ Suficiência: quantidade tal que permita caracterizar a variabilidade, mesmo 
dentro das subdivisões da população e
◸ Aleatoriedade: necessária para a generalização estatística.
Tipos de amostragem
Amostragem 
Aleatória
A amostragem probabilística ou 
aleatória reúne todas as técnicas que 
usam mecanismos aleatórios de seleção 
dos elementos de uma amostra 
distribuindo a cada um deles uma 
probabilidade conhecida a priori de 
pertencer a amostra.
Aqui podemos fazer inferência a 
respeito da população.
Amostragem 
Não Aleatória
Na amostragem não probabilística ou 
não aleatória os elementos da 
população são selecionados de forma 
não aleatória, assim a probabilidade de 
seleção não é conhecida.
Aqui não é possível fazer inferência a 
respeito da população.
Tipos de amostragem aleatória:
Amostragem aleatória simples 
(AAS)
Amostragem sistemática
Amostragem estratificada
Amostragem por conglomerados
Metodologia Científica
Etapas da metodologia científica:
Conjunto de métodos e técnicas para analisar dados e tomar decisões com base na incerteza.
Definição do problema
Planejamento
Coleta dos dadosApuração dos dados
Análise e interpretação 
dos dados
3.2
Organização de 
dados em 
planilhas
Fonte: FLAI Inteligência Artificial https://www.instagram.com/p/CErdQJJAAbj/
Exemplo de um conjunto de dados
Como organizar dados em planilhas
◸ Uma variável por coluna, uma unidade amostral por linha.
◸ Cabeçalho com nomes informativos. 
◹ Evite utilizar letras maiúsculas, caracteres especiais (acentos, barras, vírgulas). 
◹ Evite espaços (use, por exemplo, underline ou hífen).
◹ Caso opte por usar siglas, adicione uma aba na planilha explicando o que é cada 
coluna (metadados).
◸ A aba dos metadados pode conter também as unidades de medida adotadas, 
informações do delineamento experimental, datas de atividades e todas as 
informações relevantes daqueles dados.
◸ ID geralmente é uma coluna inserida na planilha e representa a identificação da 
unidade amostral. Essa identificação não é utilizada para analisar os dados, mas é útil 
para sabermos a qual das unidades amostrais estamos nos referindo.
Exemplo
Fonte: SOBREVIVENDO NA CIÊNCIA https://marcoarmello.wordpress.com/2018/02/01/dados/
Usando as dicas:
3.3
Elementos de 
inferência
Problemas de inferência
Inferir significa fazer afirmações sobre algo desconhecido.
A inferência estatística tem como objetivo fazer afirmações sobre uma característica de 
uma população a partir do conhecimento de dados de uma parte desta população 
(isto é, uma amostra de n observações).
A população é representada por uma distribuição de probabilidade com parâmetro(s) 
cujo(s) valor(es) é (são) desconhecido(s).
Fazemos inferências sobre o(s) parâmetro(s).
População
Amostra
Inferência 
Estatística
A Inferência estatística, portanto, tem como objetivo estudar generalizações 
sobre uma população através de evidências fornecidas por uma amostra 
retirada desta população. A amostra contém os elementos que podem ser 
observados e é onde as quantidades de interesse podem ser medidas.
Definições
Parâmetro: característica numérica (desconhecida) da distribuição dos elementos da 
população.
Espaço paramétrico: conjunto de todos os valores possíveis que o parâmetro pode 
assumir.
Estatística: qualquer função dos elementos de uma amostra aleatória, a qual não depende 
de parâmetros desconhecidos.
Estimador: Função da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar um 
parâmetro de interesse na população. 
Estimativa: Valor numérico que um estimador assume.
4. ANÁLISE EXPLORATÓRIA
Por quê? Como?Quando?
ANÁLISE EXPLORATÓRIA
Como?
ANÁLISE EXPLORATÓRIA
◸ Medidas descritivas
◹ Medidas de posição
◹ Medidas de dispersão
◸ Gráficos
4.1
TIPOS DE 
VARIÁVEIS
CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS
De forma mais geral: quantitativa ou qualitativa.
Ou mais especificamente: quantitativa discreta 
ou contínua, qualitativa nominal ou ordinal.
Variável
Qualitativa
Quantitativa
Nominal
Ordinal
Discreta
Contínua
Tipo de mída 
social
Grau de uma 
doença
Número de 
compras
Diâmetro de 
uma peça
Variável qualitativa nominal: atributo que não pode ser ordenado 
naturalmente.
Variável qualitativa ordinal: atributo para o qual existe uma ordem.
Variável quantitativa discreta: valores assumidos são discretos 
(conjunto finito de valores ou enumerável).
Variável quantitativa contínua: valores assumidos são contínuos 
(intervalo de valores ou reunião de intervalos).
NOTAS
● As variáveis qualitativas são não numéricas mas podem 
ser representadas por números.
○ Grau de escolaridade: 1 → EF; 2 → EM; 3 → ES; 
4 → pós-graduação.
● As variáveis quantitativas são numéricas. 
POR QUE CLASSIFICAR AS VARIÁVEIS?
● Gráficos adequados.
● Modelos adequados.
○ Modelos para variáveis qualitativas ou 
quantitativas, discretas ou contínuas. 
TABELA
O que é? É uma forma de apresentar informações que se 
assemelha a uma matriz, com a particularidade de que uma 
tabela deve ser autoexplicativa.
Para que serve? Facilitar o entendimento do que é apresentado.
Como? Colocar título que descreva a tabela. Nomear as colunas e 
linhas para que as informações sejam claras. Cores e linhas 
podem ser usadas para cumprir o objetivo. 
Exemplo
Outra escala de cor
Figura: Avaliação da intensidade da dor em um período pós-operatório considerando dois 
métodos de analgesia. 
TABELA versus GRÁFICO
Figura: Avaliação da intensidade da dor em um período pós-operatório considerando dois 
métodos de analgesia. 
CONCLUSÃO:Tabela e gráfico podem ser complementares ou um gráfico pode substituir 
uma tabela. 
TABELA DE FREQUÊNCIAS
O que é? Tabela com pelo menos um dos tipos de 
frequências. 
Para que serve? Apresentar as frequências das variáveis 
em estudo.
Como? Calculando as frequências e as dispondo 
organizadamente em uma tabela.
TIPOS DE FREQUÊNCIA
Frequência absoluta: quantidade de vezes que um certo valor ou atributo aparece 
no conjunto de dados.
Frequência relativa: proporção de certo valor, faixa de valores ou atributo no 
conjunto de dados.
Frequência acumulada: quando o valor, faixa de valores ou atributo é uma variável 
quantitativa ou qualitativa ordinal, a frequência acumulada existe é e representa o 
acúmulo das quantidades de vezes que o valor, faixa de valores ou atributo 
juntamente com as quantidades dos valores ou atributos antecessores (ou 
sucessores).
Frequência acumulada relativa: é a frequência acumulada em relação ao todo.
Tipos de frequência: Notação
É comum ser usada a seguinte notação
◸ Frequência absoluta: fj
◸ Frequência relativa: frj .
◸ Frequência acumulada: Fj .
◸ Frequência acumulada relativa: Frj .
Nota: j indica o valor, faixa de valores ou atributo.
Exemplo
Dados: Resposta sobre hábitos alimentares (vegano, vegetariano, onívoro, outros)
Exemplo: Tabela de frequências
Tabela: Frequências absoluta e relativa dos hábitos alimentares de uma 
amostra de frequentadores da cantina. 
Pergunta: Faz sentido obtermos as frequências acumuladas?
Resposta: Não, pois a variável hábito alimentar é qualitativa nominal.
Qualitativa nominal
Exemplo: Tabela de frequências
Tabela: Frequências do número de refeições de uma amostra de frequentadores da 
cantina. 
Quantitativa discreta
Exemplo: Tabela de frequências
Massa corporal da amostra de frequentadores da cantina (kg)
Quantitativa contínua
 É necessária a construção de 
classes para obter a tabela de frequências de uma 
variável contínua ou de uma variável discreta que 
tenha muitos diferentes valores observados. 
TABELA DE FREQUÊNCIA POR CLASSES
Classes: faixa de valores.
Nomenclatura:
◸ Número de classes: k
◸ Limite inferior da classe j: Ij
◸ Limite superior da classe j: Lj
◸ Amplitude dos dados: A = máximo - mínimo = x(n) - x(1)
◸ Ponto médio da classe j: 
Tabela de frequência por classes
Número de classes
Conveniência: Escolher um número, geralmente, entre 5 e 20 que seja conveniente.
Regra do quadrado: 
Notas
◸ Ao invés de escolher o número de classes conveniente, pode-se 
escolher as classes por conveniência.
◸ Para análise da distribuição da variável, a escolha por conveniência 
pode não ser adequada.
Construção da tabela de frequências por classes
◸ Ordenação dos dados: x(1), x(2), …, x(n).
◸ Amplitude dos dados: A = x(n) - x(1)
◸ Calcular o número de classes (arredondar conforme a conveniência)
◸ Calcular a amplitude das classes: Aj (arredondar conforme a 
conveniência)
◸ Calcular os limites inferiores e superiores das classes: Ij e Lj, j = 1, …, k.
◸ Verificar se é necessário aumentar Lk ou acrescentar uma classe. 
Também podemos arredondar I1.
◸ Contagem das observações em cada classe.
Exemplo (continuação)
Dados ordenados: Massa corporal da amostra de frequentadores da cantina (kg)
Tamanho da amostra: 
n = 80
Regra do quadrado: 
Escolhemos: 
k = 8
Amplitude: 
x(80) - x(1) = 56,9
Amplitude de cada classe: 
Aj = A/k ≈ 7,11
Escolhemos:
Aj = 7
Exemplo (continuação)
Observações
◸ a ⊢ b equivale a [a,b)
◸ a ⊣ b equivale a (a,b]
◸ a ⊢⊣ b equivale a [a,b]
◸ O ponto médio de cada classe, xj
* será útil para o 
cálculo de algumas medidas.
4.2
ANÁLISE 
DESCRITIVA DE 
VARIÁVEIS 
QUALITATIVAS
GRÁFICO
O que é? Representação visual de dados. 
Para que serve? Facilitar o entendimento do que é 
apresentado (e também para analisar os resultados).
Como? Existem vários tipos de gráficos, e cada um é 
adequado a cada tipo de variável e situação.
ELEMENTOS DE UM GRÁFICO
◸ Gráfico de barras (bar plot)
◸ Gráfico de Pareto
◸ Gráfico de setores (pizza - pie chart)
TIPOS DE GRÁFICOS
VARIÁVEIS QUALITATIVAS
NOTA
Muitas vezes mais de um gráfico é teoricamente adequado, 
mas apenas um deles é mais adequado na prática.
É formado por retângulos na vertical (ou 
horizontal), cujas alturas (ou bases) são 
proporcionais às frequências dos atributos
GRÁFICO DE BARRAS 
(OU COLUNAS)
NOTAS
◸ As frequências usadas podem ser a absoluta ou a relativa (em 
porcentagem ou em decimal).
◸ A largura (ou altura) da barra deve ser a conveniente.
◸ Podemos usar barras agrupadas, barras lado a lado, barras com um 
eixo em comum (espelho), barras empilhadas.
◸ Não é possível representar por um gráfico de barras uma variável 
quantitativa contínua. Se estiver em classes, pode ser representada 
por um outro tipo de gráfico.
Gráfico de barras para variável qualitativa
Figura: Meio pelo o qual o consumidor teve conhecimento ao produto.
Gráfico de barras com a frequência absoluta e barras decrescentes
Figura: Meio pelo o qual o consumidor teve conhecimento ao produto.
Gráfico de barras horizontais com a frequência relativa (%)
Figura: Meio pelo o qual o consumidor teve conhecimento ao produto.
Gráfico de barras empilhadas
Figura: Meio pelo o qual o consumidor teve conhecimento ao produto para 
diferentes faixas etárias.
Gráfico de barras empilhadas na horizontal (proporção)
Figura: Números de atendimentos por faixa etária - UPA1 e UPA2. 
Fonte: NEA por Matheus Toshio Hisatugu.
Gráfico de barras espelho
Figura: Idade e gênero - 2016 - UPA1, UPA2 e UPA3.
Fonte: NEA por Matheus Toshio Hisatugu.
Gráfico de barras espelho
Figura: Idade e gênero - 2016 - UPA1.
Fonte: NEA por Matheus Toshio Hisatugu.
Figura: Idade e gênero - 2016 - UPA2.
Fonte: NEA por Matheus Toshio Hisatugu.
Gráfico de barras horizontais ordenadas por frequência
Figura: Motivos - 2016 - UPA1.3
Fonte: NEA por Matheus Toshio Hisatugu.
GRÁFICO DE PARETO
Gráfico de barras ordenadas de forma decrescente 
acrescido das frequências relativas acumuladas.
NOTAS
◸ Um eixo representa a frequência absoluta dos atributos e o outro eixo 
representa a frequência relativa, normalmente em porcentagem.
◸ O Gráfico de Pareto ficou famoso pelo Princípio de Pareto: 80% da 
riqueza de uma população pertencia a 20% da população.
◸ O Princípio de Pareto também é conhecido como Regra do 80/20, Lei dos 
Poucos Vitais ou Princípio de escassez do fator.
◸ A regra 80/20 mostra-se válida em diversas áreas: consumo, 
confiabilidade, finanças, etc.
Gráfico de Pareto
Figura: Meio pelo o qual o consumidor teve conhecimento ao produto.
Exemplo
Exemplo
Exemplo: Gráfico de Pareto
Figura: Motivos das reclamações dos clientes de um restaurante.
Exemplo
Exemplo: Gráfico de Pareto
Figura: Gastos mensais de um casal.
NOTAS
◸ Quanto mais a curva da frequência acumulada está próxima do extremo 
superior esquerdo do gráfico, mais representativos são os atributos mais 
frequentes.
◸ Quanto mais a curva da frequência acumulada está próxima da reta 
identidade, mais igualmente frequentes são todos os atributos.
Gráfico circular sendo os atributos representados 
por arcos cujos ângulos (centrais) são 
proporcionais às suas frequências.
GRÁFICO DE SETORES 
Gráfico de setores
Figura: Meio pelo o qual o consumidor teve conhecimento ao produto.
NOTAS
◸ Em geral, é difícil transformarmos a informação de setor em quantidade.
◸ Há uma grande dificuldade quando queremos comparar dois grupos, ou 
seja, dois gráficos de setores.
◸ Os atributos de menores frequências ficam pouco visíveis.
Gráfico de setores versus gráfico de barras
Figura: Meio pelo o qual o consumidor teve conhecimento ao produto.
Gráfico de setores versus gráfico de barras
Figura: Meio pelo o qual o consumidor teve conhecimento ao produto.
Figura: Proporções de atendimentos em 2015 e 2016 por dia da semana.
Fonte: Dados do Núcleo de Estatística Aplicada (NEA).
Gráfico de setores versus gráficode barras
Figura: Proporções de atendimentos em 2015 e 2016 por dia da semana.
Fonte: Dados do Núcleo de Estatística Aplicada (NEA).
Gráfico de setores versus gráfico de barras
Figura: Número de atendimentos - 2015 - Janeiro a março.
Fonte: NEA por Matheus Toshio Hisatugu (adaptado).
Cuidados com gráficos
Figura: Número de atendimentos - 2015 - Janeiro a março.
Fonte: NEA por Matheus Toshio Hisatugu (adaptado).
Cuidados com gráficos
Figura: Número de atendimentos - 2015 - Janeiro a março.
Fonte: NEA por Matheus Toshio Hisatugu.
Cuidados com gráficos
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Prática de Análise Descritiva 
Empregados da 
Companhia MB
Conjunto de 
dados 1
Empregados da Companhia MB
◸ Informações sobre estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário, 
idade e procedência de 36 empregados da seção de orçamentos da companhia 
MB.
◸ Conjunto de dados disponível em: https://www.ime.usp.br/~pam/EstBas.html 
(MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton Oliveira. Estatística básica. Saraiva Educação SA, 2017.)
https://www.ime.usp.br/~pam/EstBas.html
Veículos
Conjunto de 
dados 2
Veículos
◸ Dados sobre 30 veículos novos, nacionais(N) e importados(I) em Março de 
1999. Preço em dólares, comprimento em metros e motor em CV.
◸ Conjunto de dados disponível em: https://www.ime.usp.br/~pam/EstBas.html 
(MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton Oliveira. Estatística básica. Saraiva Educação SA, 2017.)
https://www.ime.usp.br/~pam/EstBas.html
Organizar dados 
em planilhas
Primeiro passo:
Como organizar dados em planilhas
◸ Uma variável por coluna, uma unidade amostral por linha.
◸ Cabeçalho com nomes informativos. 
◹ Evite utilizar letras maiúsculas, caracteres especiais (acentos, barras, vírgulas). 
◹ Evite espaços (use, por exemplo, underline ou hífen).
◹ Caso opte por usar siglas, adicione uma aba na planilha explicando o que é cada 
coluna (metadados).
◸ A aba dos metadados pode conter também as unidades de medida adotadas, 
informações do delineamento experimental, datas de atividades e todas as 
informações relevantes daqueles dados.
◸ ID geralmente é uma coluna inserida na planilha e representa a identificação da 
unidade amostral. Essa identificação não é utilizada para analisar os dados, mas é útil 
para sabermos a qual das unidades amostrais estamos nos referindo.
Lembre-se...
Devemos salvar o conjunto de dados 
em um formato adequado ao 
software em que será feita a análise!
Análise 
Descritiva 
usando o R 
Commander
Importanto o conjunto de dados
Tabela de frequências e Medidas descritivas
◸ Estatísticas > Resumos > Distribuições de frequência…
◸ Estatísticas > Tabelas de Contingência > Tabela de dupla entrada…
◸ Estatísticas > Resumos > Conjunto de dados ativo
◸ Estatísticas > Resumos > Resumos numéricos...
◸ Estatísticas > Resumos > Matriz de correlação
Gráficos
Gráficos > “Escolher o gráfico desejado adequado ao tipo de variável”
5. Inferência estatística 
Problemas de inferência
Inferir significa fazer afirmações sobre algo desconhecido.
A inferência estatística tem como objetivo fazer afirmações sobre uma característica 
de uma população a partir do conhecimento de dados de uma parte desta 
população (isto é, uma amostra de n observações).
A população é representada por uma distribuição de probabilidade com 
parâmetro(s) cujo(s) valor(es) é (são) desconhecido(s).
Fazemos inferências sobre o(s) parâmetro(s).
Definições
Parâmetro: característica numérica (desconhecida) da distribuição dos elementos da 
população.
Espaço paramétrico: conjunto de todos os valores possíveis que o parâmetro pode 
assumir.
Estatística: qualquer função dos elementos de uma amostra aleatória, a qual não depende 
de parâmetros desconhecidos.
Estimador: Função da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar um 
parâmetro de interesse na população. 
Estimativa: Valor numérico que um estimador assume.
Erro padrão: é o desvio padrão de sua distribuição amostral ou uma estimativa desse 
desvio padrão.
Problemas de inferência
Se 𝜃 é um parâmetro da distribuição de uma v. a. X e X1,X2,...,Xn é uma amostra 
aleatória desta distribuição, encontramos três problemas típicos: 
1. Estimação pontual 
Apresentar um valor para 𝜃, que é uma função da amostra X1,X2,...,Xn (“cálculo” de 
𝜃), chamada de estimador de 𝜃. 
Espera-se que o estimador tenha boas propriedades.
Problemas de inferência
2. Estimação intervalar
Apresentar um intervalo de possíveis valores para 𝜃, chamado de intervalo de 
confiança. Os limites do intervalo são funções da amostra X1,...,Xn (são aleatórios).
A probabilidade de que o intervalo contenha 𝜃 deve ser alta.
A amplitude do intervalo deve ser tão pequena quanto possível (intervalo mais 
preciso).
Problemas de inferência
3. Teste de hipóteses
Uma hipótese estatística (H) é uma afirmação sobre o valor de 𝜃. Pode ser 
verdadeira ou falsa. 
Por exemplo, se 𝜃 é a probabilidade de sucesso no modelo binomial, H: 𝜃 = ½, 
H: 𝜃 ≠ ½ e H: 𝜃 > ¾ são exemplos de hipóteses. 
Com base na amostra X1,...,Xn, formulamos uma regra de decisão que permita 
concluir pela rejeição ou não rejeição (aceitação) de H. A decisão pode ser 
correta ou errada.
5.1
PROPRIEDADES 
DOS 
ESTIMADORES
Estimação pontual
Como vimos, é importante que os estimadores possuam algumas características 
desejáveis. Consideremos uma amostra X1,X2,...,Xn de uma população X. Seja 𝜃 o 
parâmetro de interesse da população que desejamosestimar, como por exemplo 
𝜇 = E(X) ou 𝜎² = Var(X).
1 - Estimador não viciado
Um estimador = T(X1,X2,...,Xn) é dito não viciado (ou não viesado) para algum 
parâmetro populacional 𝜃 se 
E( ) = 𝜃,
para todo 𝜃. 
Observação: Caso a igualdade acima não ocorra, dizemos que o estimador é um 
estimador viciado (viesado) e a diferença V( ,𝜃) =E( ) - 𝜃 é chamada de vício (viés) de .
2 - Estimador consistente
Um estimador é chamado consistente se a probabilidade dele diferir do 
verdadeiro valor 𝜃 em menos do que c, onde c é um número arbitrário positivo e 
pequeno, tende a 1, quando o tamanho da amostra (n) aumenta; ou seja, se
 P(| - 𝜃|) = 1.
◸ Proposição:
As condições suficientes para um estimador ser consistente são:
 E( ) = 𝜃 e Var( ) = 0.
◹ Observação:
. Observe que, se for um estimador não viciado de 𝜃, então a primeira 
condição estará claramente satisfeita.
. Esta é uma propriedade assintótica de um estimador. Ela é aplicada a 
amostras “suficientemente grandes”.
3 - Estimador eficiente
 Um estimador é eficiente se for não viesado e entre os estimadores não viesados, 
apresentar a menor variância. 
Ou seja, suponha que T e T' sejam dois estimadores não viciados de um mesmo 
parâmetro 𝜃. Se 
Var(T) < Var(T')
então dizemos que T é um estimador mais eficiente do que T'.
Observação: Quanto menor for a diferença entre o estimador T e o parâmetro 𝜃, 
menor será o erro cometido ao estimar o parâmetro 𝜃 pelo estimador T. Esta 
diferença e = T - 𝜃 é chamada de erro amostral.
Estimação 
pontual – 
método de 
substituição
Estimação pontual – método de substituição
1. Distribuição binomial. X ~ B(n, p). Vimos que E(X) = np. 
Um estimador para proporção amostral de sucessos.
2. Distribuição de Poisson. X ~ Po(𝜇). Vimos que E(X) = 𝜇.
Um estimador para .
3. Distribuição exponencial. X ~ Ex(𝜆). Vimos que E(X) = 1 / 𝜆.
Um estimador para .
4. Distribuição normal. X ~ N(𝜇,𝜎²). Vimos que E(X) = 𝜇 e Var(X) = 𝜎².
Um estimador para Um estimador para
Observação: Existem outros métodos de estimação.
Resultado
Seja X1,X2,...,Xn uma amostra aleatória independente e igualmente distribuída de uma população 
com média 𝜇 e variância 𝜎² < ∞. Então
a) E( ) = 𝜇,
b) E(s²) = 𝜎².
Demonstração: 
Para a média amostral temos que 
De maneira similar, para a variância amostral, temos que 
ou seja, 
Desta forma, podemos concluir que e s² são estimadores não viciados da média populacional 𝜇 e da 
variância populacional 𝜎².
Resultado
A partir do resultado anterior, é evidente que a média amostral é estimador 
consistente da média populacional 𝜇.
Resultado
Seja X1,X2,...,Xn uma amostra aleatória de uma população com distribuição normal N(𝜇,
𝜎²). 
O estimador é viesado, pois E(s) . Logo, o vício é 
aproximandamente . 
Portanto, temos que o estimador s é viesado embora s² não seja, pois como sabemos 
E(s²) = 𝜎².
Exemplo
A quantidade de tempo, em minutos, que um passageiro gasta esperando na fila de 
check-in de um aeroporto é uma variável aleatória com média e variância desconhecidos 
e distribuição normal.
Suponha que uma amostra aleatória de 10 passageiros foi observada, em que os tempos 
foram: 10; 9; 11; 8,5; 7,1; 9; 9,5; 8; 10; 7,8.
a) Encontre a estimativa da média e variância.
b) Essas estimativas são não viciadas?
5.2
Estimador de 
Máxima 
Verossimilhança
Introdução
◸ Assuma que deseja-se conhecer um parâmetro de interesse 𝜃 de certa 
característica dos elementos de uma população que possa ser representada por 
uma variável aleatória X com função densidade f(x;𝜃), em que 𝜃 é desconhecido.
◸ Assuma também que os valores x1,x2,...,xn da amostra aleatória X1,X2,...,Xn de f(x;𝜃) 
foram observados.
◸ Baseado nos valores observados da amostra aleatória, queremos estimar o valor 
do parâmetro desconhecido 𝜃.
◸ Na estimação pontual, o valor de alguma estatística t(X1,X2,...,Xn) representa, ou 
estima, o parâmetro desconhecido 𝜃.
Exemplo
◸ Suponha que uma urna contém bolas pretas e brancas e que a razão entre elas 
é de 3/1, mas não sabemos se há mais bolas pretas ou brancas. Assim, a 
probabilidade de retirar uma bola preta é 1/4 ou 3/4 .
◸ Se n bolas são retiradas da urna com reposição, a distribuição de X = número 
de bolas pretas é dada pela distribuição binomial
em que p = 1/4 ou p = 3/4.
◸ Iremos retirar uma amostra de três bolas (n = 3) com reposição e tentar estimar 
o parâmetro desconhecido p da distribuição.
◸ Se encontrarmos x = 0 em uma amostra de 3, a estimativa 0,25 para p deve ser 
preferida sobre 0,75 porque a probabilidade 27/64 é maior que 1/64, isto é, porque 
uma amostra com x = 0 e mais verossímil (no sentido de ter maior probabilidade) 
ter surgido de uma população com p = 1/4 do que de uma com p = 3/4 .
◸ O estimador pode ser definido como
◸ O estimador então seleciona para cada possível x o valor de p, dito , de tal forma 
que
em que p’ e o valor alternativa de p.
Função de Verossimilhança
Definição: A função de verossimilhança de n variáveis aleatórias X1,X2,...,Xn é definida como a 
densidade conjunta das n variáveis aleatórias, isto e, L(𝜃; x1,x2,...,xn) = f( x1,x2,...,xn ;𝜃), que é 
considerada ser uma função de 𝜃, com 𝜃 ∈ Θ, em que Θ é o espaço paramétrico.
Em particular, se X1,X2,...,Xn é uma amostra aleatória da densidade f(x;𝜃), então a função de 
verossimilhança é L(𝜃; x1,x2,...,xn) = .
Interpretação: A função de verossimilhança L(𝜃; x1,x2,...,xn) nos dá a verossimilhança relativa à um particular 
valor x1,x2,...,xn que a variável aleatória assume. Supondo 𝜃 conhecido, então um particular valor da variável 
aleatória é mais “provável que ocorra”, ou mais “verossímil”, quando o valor da função for o máximo.
O Princípio da Verossimilhança postula que para fazer inferência sobre uma quantidade de interesse 𝜃 só 
importa aquilo que foi realmente observado e não aquilo que “poderia” ter ocorrido mas efetivamente não 
ocorreu.
Estimador de Máxima Verossimilhança
Definição: Seja L(𝜃) = L(𝜃; x1,x2,...,xn) a função de verossimilhança das variáveis 
aleatórias X1,X2,...,Xn. Se (em que é função das observações x1,x2,...,xn) é o valor de 𝜃 
∈ Θ que maximiza L(𝜃), então é o estimador de máxima verossimilhança (EMV) 
de 𝜃, ou seja,
Se a função de verossimilhança conter k parâmetros, ou seja,
então os estimadores de máxima verossimilhança de 𝜃1,𝜃2,...,𝜃k são variáveis 
aleatórias (que dependem da amostra), em que são valores em Θ que 
maximizam L(𝜃1,𝜃2,...,𝜃k).
Procedimento usual
◸ O logaritmo natural da função de verossimilhança de 𝜃 é denotado por
◸ Como o logaritmo é uma função crescente e contínua, o valor de 𝜃 que 
maximiza L(𝜃) também maximiza . Se é variável, o estimador de 
máxima verossimilhança pode ser encontrado como a raiz da equação de 
verossimilhança
◸ Para se concluir que e um ponto de máximo, é necessário verificar se
Outras formas de encontrar o estimador
◸ Nos casos em que o suporte da distribuição de X depende de 𝜃 ou o máximo 
ocorre na fronteira de Θ, o estimador de máxima verossimilhança é em geral 
obtido inspecionando o gráfico da função de verossimilhança.
◸ Quando não é possível encontrar analiticamente o ponto de máximo da 
função de verossimilhança, podemos utilizar métodos numéricos, como o 
método de Newton-Raphson. Computacionalmente, no R temos a rotina “mle” 
do pacote “stats4” ou o “optim” do pacote “stats”.
Exemplo
Exponencial
Sejam X1,X2,...,Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X ~Exp(𝜃) com 
densidade
𝜃 > 0 e x ≥ 0. Encontre o estimador de máxima verossimilhança para 𝜃.
Exemplo
Normal
Sejam X1,X2,...,Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X ~ N(𝜇,𝜎²), onde 𝜇 e 𝜎² 
são desconhecidos. Temos então que 𝜃 = (𝜇,𝜎²) e
-∞ < x <